窄带随机过程ppt课件
2.5 窄带随机过程
可见， 服从均匀分布。
第2章
随机过程
结论：
其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位 t 的一维分布 t 是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与 是统计独立 一个均值为零，方差为 2 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，
的，即有下式成立：
f (a , ) f (a ) f ( )
s (t ) a (t ) sin (t )
第2章
随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性 t 的统计特性可由 a t , t 或c t , s t 的统计特性
确定。反之亦然。 1. 数学期望 2 设窄带过程是平稳高斯窄带过程，且均值为0，方差为 。 对式（2.5 - 2）求数学期望: E[ (t )] E[c (t )]cos ct E[s (t )]sin ct （2.5-5） 因为已设ξ(t)平稳且均值为零，那么对于任意的时间t，都有E ［ξ(t)］=0，所以由式（2.5-5）可得
E[ c (t )] 0 E[ s (t )] 0
（2.5-6）
第2章
随机过程
2. 自相关函数
R (t, t ) E[ (t ) (t )]
E{[ c (t ) cosc t s (t ) sin c t ]
[ c (t ) cosc (t ) s (t ) sin c (t )]}
第2章
随机过程
另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都
是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有
t t1 0 时, (t1 ) c (t1 )
t t2 时, (t2 ) s (t2 ) 2c
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
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25
正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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18
相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
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第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
09第八章窄带随机过程
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
第四章 窄带随机过程
(准正弦震荡)
包络 A t 与相位 t 均为慢变化（包含信息）
0
快变（载波)
展开成另一种表达形式:
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0 t A t sin t sin 0 t
ˆ X t cos t X t sin t
0 0
ˆ RX cos 0 t cos 0 t RX sin 0 t sin 0 t
ˆ RX cos 0 RX sin 0 RAC ( )
解析信号(复信号的一种常见形式)
ˆ z t x t jx t
2 X ( ) Z X sgn X 0
0 0
正频率加倍，负频率清零。复信号没有负频率。
4.1.2 Hilbert变换的性质
2 X
2 AC
2 AS
3．功率谱密度
1 S AC S X 0 S X 0 2
1 sgn 0 S X 0 sgn 0 S X 0 2
用 X (t )及希尔伯特变换 X (t ) 表示 两个正交分量
ˆ AC t X t cos 0 t X t sin 0 t ˆ AS t X t sin 0 t X t cos 0 t
1．均值：零均值
5.互相关
ˆ RAC AS RX sin 0 RX cos 0
ˆ RAS AC RX sin 0 RX cos 0
第12讲_窄带随机过程2
窄带信号通过窄带系统窄带信号通过窄带系统窄带信号的低通表示方法Xω(A中除载波频率之外的所有信息，称为)窄带信号通过窄带系统窄带系统的表示方法H(H窄带信号通过窄带系统窄带信号通过窄带系统的计算方法例已知，，且，。
窄带信号通过窄带系统()0()cos x t m t t =ωr t ()0cos ,00,t t Th t <<⎧=⎨⎩ω其他02T >>πω()h t 求()解法1：T=∗()()()r t x t h t +∞−∞=−∫()()x t h d τττ=−−∫000()cos ()cos Tm t t d τωτωττ=−+−−∫∫000011()cos ()cos (2)22T Tm t td m t t d τωττωττ1t d =−u t τt =−2u t τ=∫cos ()t m u du ω++∫1()cos u tm udu ω窄带信号通过窄带系统解法2：先求等效基带信号T先求等效带信号()=0()cos x t m t tω()()()=+=000()cos sin j t xt m t t jm t t m t e ωωω ()()0()j t L x t xt e m t ω−== 再求系统的等效低通表示=−−0()[()()]cos h t U t U t T tω=−−=−−0j t h ω +⎡⎤⎣⎦00()[()()]cos sin [()()]t U t U t T t j t U t U t T e ωω窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性表示形式1()()cos ()C A t A t t =Φ()()sin ()S A t A t t =Φ00ˆ()()cos ()sin C A t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos S A t X t t X t t ωω=−+A t A t 表示形式1：表示形式2：30和都是实随机过程()C ()S 如果，则，由此有[()][()]0C S E A t E A t ==[()]0E X t =ˆ[()]0E Xt =窄带随机过程的统计特性()A t ,+τ窄带随机过程的统计特性A t()+τ,t窄带随机过程的统计特性A t()窄带随机过程的统计特性GG2ωG窄带随机过程的统计特性A t()窄带随机过程的统计特性对零值的窄带平稳随机过程对于零均值的窄带平稳随机过程同相分量和正交分量均为零均值的平稳随机过程同相分量和正交分量的自相关函数相同，且方差均等于窄带随机过程的方差同相分量和正交分量联合平稳，且互相关函数为奇函数联合平稳关函数为奇函数36窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布由于窄带正态随机过程包络和相位的分布ˆ由窄带正态随机过程包络和相位的分布()()cos ()=A t A t t ϕ窄带正态随机过程包络和相位的分布222⎪⎜⎟d 包络的一维概率密度为()()0,0,0==⎨⎝⎠⎪<⎩∫A A f A f A A ϕϕϕσσ分布41窄带正态随机过程包络和相位的分布相位的一维概率密度为窄带正态随机过程包络和相位的分布()cos ()A t a N t θ=+窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布作业。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
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2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
窄带随机过程ppt课件
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
于是， 由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0
(3.5 - 15)
于是，由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)
(3.5 - 16)
即σ2ξ=σ2c=σ2s
(3.5 - 17)
பைடு நூலகம்
这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪 声又是随机的，则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
再取使cosωct=0的所有t
(3.5 - 9)
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (3.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过 程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
窄带平稳随机过程
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
第5章-窄带随机过程
RXXˆ () RXXˆ ()
RXXˆ (0) 0
互相关函数是奇函数
ˆ (t )正交 意味着 X (t )与 X
17
（9）偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希 尔伯特变换为偶函数 2015/6/2
Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0 t sin 2 f0 t
X () X () j ( j sgn()) X () (1 sgn()) X () =2 X ( w)U ( w) 2 X ( w), W 0 W 0 0, 即，解析信号的频谱在负频率部分为0，在正频率部分是 是信号的两倍。
2015/6/2 22
解析信号的特点2：解析信号频谱与复包络频谱
2015/6/2
6
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1. 定义 ：
正变换定义：
ˆ (t ) H [ x(t )] x
反变换：
ˆ ( ) x ˆ (t )] x(t ) H [x d t 1 1 ˆ (t )] x ˆ (t ) H [x t
2015/6/2 20
解析信号的性质(2)
4) 解析信号 x(t ) 的能量为其实信号 x (t)能量的2倍
x1 t x 2 t 0 5) 提示：利用性质2）和3） x t x2 t 0 1 6) 已知实函数 x t , 求其解析信号的方法
x( t ) A( t )cos 2 f 0 t x( t ) A t e j 2 f0t
2015/6/2
注：A t 为低通信号，其带宽W f 0 .
第7章 窄带随机过程
h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
90
0 0
H ( ) 的相移
1
0
0
H () 1
90
2
解析信号（用信号的希尔伯特变换构造解析信号）
• 由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t ) 的实部， x(t ) 的希尔伯特变 换作为复信号 z(t ) 的虚部，即
H () 1
/ 2 0 ( ) /2 0
相频特性为：
正 交 滤 波 器
1 希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
什么叫窄带？当信号的带宽远小于载波频率时， 则该信号称为窄带信号，如通信系统中的调幅信号 和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号（谱线）， 是最窄的一种窄带信号，实际上它的带宽等于 0 ， 而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解 窄带随机过程是很重要的。
窄带随机过程
高斯白噪声是一种典型的随机过程，它的概率密度函数为正 态分布（又称高斯分布） ，它的功率谱在整个频率范围内为常数， 故称之为“白” 。当它通过一个窄带滤波器后，就形成了一种窄带 高斯噪声， 它是一种典型的窄带随机过程， 如图所示。 图中 ni (t ) 为 输入高斯白噪声， n0 (t ) 为输出窄带高斯噪声，NBPF 为窄带滤波 器，根据前面随机信号通过线性系统的结论，得输出窄带高斯噪 声的功率谱及窄带随机过程的时域波形如下页图所示。
5
1. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：
《通信原理教学资料》第3章资料PPT课件
初识： 两个集合
特征量： 分布函数，数字特征
定义：严、宽
随 机
平稳 分类
高斯
时域频域特征 维纳-辛钦定理
过
程 通过线性系统的求解
举例：白噪声
应用：窄带随机过程
第3章 随机过程
3.1 随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机：发生前不定，发生后确定 随机试验：抛硬币，样本空间，随机变量
是全部样本函数的集合。
(t1) ={1 (t1), 2 (t1), …, n (t1)}
1 (t )
2 (t)
(t1) 是随机变量！
n (t)
t 0
3.1 随机过程的基本概念
角度2：随机过程是随机变量的集合。
(t1) ={1 (t1), 2 (t1), …, n (t1)}
在一个固定时刻t1上， (t)中的每个样本函数有一个取值 i (t1)全部取值集合{i (t1), i = 1, 2, …, n}是个随机变量， 记为 (t1)。
样本函数集合 随机变量集合 分布函数，数字特征，E[]的计算
3.2 平稳随机过程
严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性 过程的时域、频域特性，功率概念，维纳-辛钦定理
3.3 高斯随机过程（概念）
3.4 平稳随机通过线性系统：输出平稳，输出功率谱
3.5 窄带随机过程：
窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法
不同时刻有不同的分布（那时它是随机变量）。
随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1,t1)F1 (xx1 1,t1)
北大随机过程课件：第4章第7讲窄带实平稳随机过程
窄带实平稳随机过程¾ 1概述6 确定性窄带信号窄带信号的数学表达式 同相分量、正交分量 包络和相位分量6 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换（冲击响应、频率响应）和等效的线性系统窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的自相关函数和功率谱 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的互相关函数和互功率谱¾ 2线性调制过程（1）6 由两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造线性调制过程6线性调制过程的广义平稳的条件 6 构造线性调制过程的对偶过程 6 线性调制过程的复数表示6 线性调制过程相关函数和功率谱 6 单边带调制过程 ¾ 3线性调制过程（2）6 由线性调制过程)(t ξ构造对偶过程，解析信号6等效低通信号定义、频谱、功率谱，数学表达式时域表示，等效低通信号，它的同相分量、正交分量窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换，它们的同相分量、正交分量¾ 4计算调制过程分量的相关函数和功率谱 6 自相关函数和功率谱)(t x c 、)(t x s 的自相关函数和自功率谱6互相关函数和功率谱)(),(t x t x s c ；)(),(t x t x c s 的互相关函数和互功率谱6相关函数和相关矩阵进一步讨论 定理：窄带实平稳的随机过程的功率谱、时域的同相分量和正交分量表示、同相分量和正交分量的自功率谱、同相分量和正交分量的互功率谱、 6 相关函数和功率谱密度的小结¾ 5窄带实平稳随机过程的相关函数和相关矩阵： 6 相关函数 6 相关矩阵1概述1.1 确定性窄带信号窄带信号，信号的频谱分量仅仅集中在载波频率附近。
窄带信号的数学表达式是：()()()cos 2()()cos ()cos2()sin ()sin 2()cos2()sin 2c c c c c s c x t V t f t t V t t f t V t t f t x t f t x t f tπφφπφπππ=−=+=+ 同相分量、正交分量分别是：)(sin )()()(cos )()(t t V t x t t V t x s c φφ⋅=⋅=包洛和相位分量分别是：1()()()tan ()s c V t x t t x t φ−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1.2 窄带实平稳信号的Hilbert 变换Hilbert 变换和等效的线性系统如果把变换看作一个线性系统，Hilbert 变换的频率响应和冲击响应分别是f j jf H sgn )(⋅−= tt h π1)(=随机过程)(t ξ的Hilbert 变换记作)(ˆt ξ11ˆ()()()()t t u du u du u t u ξξξππ=−=−∫∫ 窄带实平稳信号和它的 Hilbert 变换的自相关函数、互相关函数、功率谱和互功率谱：它们的相关函数和功率谱是)()()()(2ˆf P f P f H f P ξξξ== )()(ˆττξξR R =它们的互相关函数和互功率谱是)()()()sgn()()()()()sgn()()()(ˆˆ*ˆˆττξξξξξξξξξξξξR R f P f j f P f H f P f P f j f P f H f P −=⋅==⋅⋅−== 2线性调制过程（1）2.1构造线性调制过程线性调制过程：给定两个均值为零实宽平稳过程()a t 、()b t ，常数0ω，构造过程()x t ，[]000()()cos ()sin ()cos ()x t a t t b t tr t t t ωωωϕ=−=+其中振幅过程()r t 、相位过程()t ϕ()()()/()r t tg t b t a t ϕ==该过程是具有振幅调制()r t 和相位调制的调制过程。
《随机信号分析基础》第5章 课件 _窄带随机过程
N (t) = Ac(t)cos w0t - As(t)sin w 0t
因此
X(t) = [acosq+Ac(t)]cosw0t -[asinq+As(t)] sinw0t = A(t)cos[w0t+F(t)]
Gx (w)
A
w 0
w0
W
解：（1）零均值平稳窄带高斯信号 X(t) 的正交表达式为
X(t) = Ac(t)cos w 0t - As (t)sin w 0t
ò 基于功率谱计算功率得 P
=
Rx (0)
=
s2
=
1 2p
¥
G X (w)dw
-¥
=
AW 2p
5‐ 6 / 7
X(t) 为 0 均值的高斯随机信号,所以 X(t) N (0, s 2)
Ps(w) = 2121p Pm(w) * p[d(w - wc ) + d(w + wc )]
=
1 4
[Pm
(w
-
wc)
+ Pmd(w
+
wc ]
功率
P
=
Rsm (0)
=
1 2
Rm
(0)
cos
0
=
1 2
或则
ò ò P
=
1 4
⋅
1 2p
¥ -¥
Ps
(w)d
w
=
1 2p
¥ -¥
[Pm
(w
-
wc )
+
Pm (w
fAcAs (ac,as ) = fAc(ac )fAs (a s ) =
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
窄带
f
－fc
S( f )
S( f )
O (a) 缓慢 变化的包 络[a (t)]
f
fc
f
随机
O t
频率 近似为 fc (b)
图2-6 窄带过程的频谱和波形示意
•窄带随机过程ξ(t)可用下式表示:
ξ(t)=aξ(t) cos［ωct+φξ(t)］, aξ(t)≥0 (3.5 - 1)
0
n
瑞利分布；大信噪比时，它
A
z－
(a)
接近于高斯分布；在一般情
况下它是莱斯分布
图 2 – 7 正弦波加窄带高斯过程的包络分布
关于信号加噪声的合成波相位分布f(φ)，
n关f (z)于信号加噪声的合成波相
位分布f(φ)，r由＝0 于比较复杂， 这 0里.5 就不再演算了。不难推想，f(φ) 0也.4 与信噪比有关。小信噪r＞比＞ 1时，
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
进一步分析， 式（3.5 - 9）和式（3.5 - 10）应同时成立，
故有
Rc(τ)=Rs(τ) Rcs(τ)=-Rsc(τ)
第5章 窄带随机过程
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
第7章 窄带随机过程
Z t X t sin 0t Y t cos 0t X t Z t cos 0t Z t sin 0t
Y t Z t cos 0t Z t sin 0t
Hibert变换Matlab函数
窄带随机过程的物理模型
Ui t
dt
幅度
Ui
t
U o t AU i sin 0t
振荡叠加
Z t B t cos t
U2
2
相位
U
1
U1
t 0t t
Z t B t cos 0t t
1 s t 2
S e jt d
s* t s t S * S
1 s t Re s t , s t 2
0
2S e jt d
s t 称为实信号s(t)的解析信号
0
内，并满足
0
随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄
带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度Δf<<fc ，且fc 远离零
频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄 带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是 随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现 的波形，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦
B t X 2 t Y 2 t tan t Y t X t
Y t
Z t
t
X t
B t
第十六讲 窄带随机过程统计特性
其中： Ac (t) A(t) cos (t)
As (t) A(t) sin (t)
A(t) Ac2 (t) As2 (t)
(t) tg 1 Ac (t) As (t)
4
2、莱斯表示窄带随机过程统计特性
• Rc ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0 Rs ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0
• Rcs ( ) Rcs ( ) Rcs (0) 0
即 Ac (t)、 As (t) 在同一时刻是相互正交的。
6
• 若Y(t)具有对称形式的功率谱
Rcs ( ) 0
即 Ac (t)、 As (t) 是相互正交的随机信号。
Rc ( ) Ra ( )
RY ( ) Rc ( ) cos0
7
3、复信号表示统计特性
0; t 0
的线性滤波器，求滤波器输出的功率谱密度。
11
计算机作业
假定一具有抽样序列｛X(n)｝的白噪声随机过程X(t)通过一 脉冲响应为
(0.95)n; n 0 h(n)
0; n 0
的线性滤波器，绘出输入输出信号的均值、方差、相关函数 及功率谱密度。
12
计算机作业
如果信号X(t)的表达式为：
RA%() 2[Rc () jRcs ()]
GA%() 2[1 sgn( 0 )]GY ( 0 )
RY~ ( ) RA~ ( )e j0
GY%() GA%( 0 ) 2[1 sgn()]GY ()
若Y(t)具有对称形式的功率谱
RY~ ( ) 2Rc ( )e j0
RY ( ) Rc ( ) cos0
若Y(t)平稳，则AC(t)、AS(t)平稳； AC(t)、 AS(t)的相关函数相等，方差相等，功率谱密度相等； RY(0)=RS(0)=RC(0)，表明低频过程AC(t)、AS(t)和窄带过程 Y(t)平均功率相等。
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T 2T T
T 2T T
15
性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换 Xˆ (t) 的自相关函数满足：
RXˆ ((0)
性质5. 平稳随机过程 X(t) ~ Xˆ (t) 的互相关函数满足：
(t )
X(t )
7
平稳窄带过程
表达式1： Z (t ) B(t ) cos[0t (t )], B(t) 0
表达式2： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
X (t ) B(t ) cos (t )
Y
(t)
B(t ) sin (t )
B(t) X 2(t) Y 2(t),
F变换
Z( ) S( )1 jH( )
11
H()的设计要求：
1．要满足使得Z()只有正频域频谱； 2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。
由此可得:
H
( )
j,
j,
f 0
j sgn()
f 0
。
h(t) F 1 H ( ) 1
t
故此， sˆ(t) s(t) 1 1 s( ) d H [s(t)]，
t t
称为Hilbert变换。
12
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
t
13
H( )
1
0
f
1
全通滤波器
| H( )|
1
0
f
H ( )
0
90
问题的提出：
tan(t) Y (t) / X (t)
B( t )与Ф( t ) 统计特性或功率谱密度如何 X( t )和Y( t ) 确定呢？
8
§ 6.2 解析信号与希尔伯特变换
1． 解析信号的引入--- 仅在正频域有值的复信号.
一般时域信号 S(t) S() s(t)e jtdt R() jI () S ()满足共轭对称性，即，
S () S ()
R() R(), 偶函数 I () I ()， 奇函数
j arctanI ( )
S( ) S( ) e j( f ) R2 () I 2 ()e
R( )
S ()，偶函数 ()，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。 9
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余 余的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S () ，即可。
0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
2
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t )。
性质1. H [ xˆ (t)]= x(t)
性质2 若 y(t) h(t) x(t)，则
H [ y(t) ] h(t) xˆ (t) hˆ(t) x(t) 。
性质3 xˆ (t ) 和x(t)的能量及平均功率相等，即
xˆ 2 (t )dt x 2 (t )dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
0
f
0
90
H()或h(t)称为Hilbert变换器。
90°相移器
它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号:
sA(t) s(t ) j H s(t )
2S(), 0
S A ()
S ( )1
jH ()
0, 0
14
3．Hilbert变换的性质
5
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0
4
B( t )
B(t)cos[0t (t)]
Z( t )的一个样本函数
B( t )----窄带随机过程Z(t)的包络函数---慢变化 Ф( t )----窄带随机过程Z(t)的相位函数----慢变化， B( t ) , Ф( t )都是随时间 t 慢变化的随机过程。
3
1.
由
Gz
( )
E[lim T
|
ZT ( )
T
|2
]
可知:
若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的 频带,即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式
2. 由信号与线性系统可知： 时域中的一个慢变化信号对一高频(ω0)信号调幅变换时,
信号具有如图所示的频响特征。
窄带随机过程的时域表达(一):
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
1
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：