麦克斯韦方程组1
麦克斯韦方程组表达式及物理意义
麦克斯韦方程组表达式及物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程组，包含了电场和磁场的生成、传播和相互作用的规律，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
麦克斯韦方程组共有四个方程式，分别是高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和安培定律。
下面将对麦克斯韦方程组的表达式和物理意义进行介绍。
## 1. 麦克斯韦方程组的表达式### 1.1 高斯定律高斯定律描述了电场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} =\frac{Q}{\epsilon_{0}}$$其中，$\vec{E}$表示电场强度，$d\vec{S}$表示任意面元的面积分，$Q$表示该面元内的电荷量，$\epsilon_{0}$为真空介电常数。
### 1.2 安培环路定理安培环路定理描述了磁场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{enc}$$其中，$\vec{B}$表示磁场强度，$d\vec{l}$表示任意回路的线积分，$\mu_{0}$为真空磁导率，$I_{enc}$表示该回路内的电流总量。
### 1.3 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，以及磁场和电场的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$$其中，$\mathcal{E}$表示感应电动势，$\Phi$表示磁通量，$t$表示时间。
### 1.4 安培定律安培定律描述了电流对磁场的影响，以及磁场和电流的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\nabla \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$其中，$\vec{J}$表示电流密度，$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$表示电场随时间的变化率。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
【电动力学课件】1-3-4 麦克斯韦方程组-介质的电磁性质
= ∫ E 感 ⋅ dl
L
因此电磁感应定律可写为
d ∫L E感 ⋅ dl = − dt ∫SB ⋅ dS
若回路L是空间中的一条固定回路，则上式中的 对t的全微商可代为偏微商：
∂B ∫L E感 ⋅ dl = −∫S ∂t ⋅ dS
6
化为微分形式后可得：
∂B ∇ × E感 = − ∂t ——这是磁场对电场作用的基本规律。由上式可以
J P = ∂P / ∂t D = ε 0 E + P 得
B ∂D ∇× − M µ = J f + ∂t 0
28
引入磁场强度H，定义为
∂D ∇ × H = Jf + ∂t ② B和H之间的实验关系
H=
B
µ0
−M
改写上式为
实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度 M和H之间有简单的线性关系
2.介质的分类：
①介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极矩。 (无极分子） ②介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但因 分子的无规则热运动，在物理小体积内的平均电偶极矩为 零，故没有宏观上的电偶极矩分布。（有极分子） (3)分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。 无外场时，分子电流取向无规，不出现宏观电流分布。
M = χM H
χM称为磁化率。 由此可得： B = µ 0 H + µ 0 M = µ（ 0 1 + χ M ) H = µ 0 µ r H = µH µ称为磁导率， µr为相对磁导率。
29
四、介质中的麦克斯韦方程组
∂B ∇ × E = − ∂t ∇ × H = J + ∂D f t ∂ ∇ ⋅ D = ρ f ∇ ⋅ B = 0
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
麦克斯韦方程组
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必 再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律 是较为方便的。 注记 采用不同的单位制，麦克斯韦方程组的形式会稍微有所改变，大致形式仍旧相同，只是不同 的常数会出现在方程内部不同位置。 国际单位制是最常使用的单位制，整个工程学领域都采用这种单位制，大多数化学家也都使 用这种单位制，大学物理教科书几乎都采用这种单位制。其它常用的单位制有高斯单位制、 洛伦兹-赫维赛德单位制（Lorentz-Heavisideunits）和普朗克单位制。由厘米-克-秒制衍生 的高斯单位制，比较适合于教学用途，能够使得方程看起来更简单、更易懂。洛伦兹-赫维 赛德单位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理学；普朗克单位制是一种自然单位 制，其单位都是根据自然的性质定义，不是由人为设定。普朗克单位制是研究理论物理学非 常有用的工具，能够给出很大的启示。在本页里，除非特别说明，所有方程都采用国际单位 制。 这里展示出麦克斯韦方程组的两种等价表述。第一种表述如下：
注意： (1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程组有同样的形式。 (2)应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在均匀各向同 性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用 t=0时场量的初值条件， 原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即 E(x,y,z,t)和 B(x,y,z,t)。
1855年至 1865年，麦克斯韦在全面地审视了库仑定律、毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的 基础上，把数学分析方法带进了电磁学的研究领域，由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生。 方程组成 麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：[1] 高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷。 计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。 更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。 高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初 始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。换句话说，进入任何区域的磁场 线，必需从那区域离开。以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个 无源场。 法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。电磁感应是制造许多发电机的理论 基础。例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭 合电路因而感应出电流。 麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的 安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。 在电磁学里，麦克斯韦修正项意味着时变电场可以生成磁场，而由于法拉第感应定律，时变 磁场又可以生成电场。这样，两个方程在理论上允许自我维持的电磁波传播于空间。 麦克斯韦电磁场理论的要点可以归结为： ①几分立的带电体或电流，它们之间的一切电的及磁的作用都是通过它们之间的中间区域传 递的，不论中间区域是真空还是实体物质。 ②电能或磁能不仅存在于带电体、磁化体或带电流物体中，其大部分分布在周围的电磁场中。 ③导体构成的电路若有中断处，电路中的传导电流将由电介质中的位移电流补偿贯通，即全 电流连续。且位移电流与其所产生的磁场的关系与传导电流的相同。 ④磁通量既无始点又无终点，即不存在磁荷。 ⑤光波也是电磁波。 麦克斯韦方程组有两种表达方式。 1.积分形式的麦克斯韦方程组是描述电磁场在某一体积或某一面积内的数学模型。表达式 为：
电磁学中的麦克斯韦方程组
电磁学是研究电荷和电磁场之间相互作用的学科。
麦克斯韦方程组是描述电磁场产生与传播规律的一组方程。
它由麦克斯韦根据历史上许多科学家的研究成果总结而成。
麦克斯韦方程组的形式十分简洁，但它们深刻地揭示了电磁学的基本原理和电磁场的性质。
麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是麦克斯韦第一和第二方程以及麦克斯韦第三和第四方程。
麦克斯韦第一和第二方程是用来描述电磁场的起源和变化规律的，而麦克斯韦第三和第四方程则是用来描述电磁场的传播方式的。
麦克斯韦第一方程是电磁学的基础。
它描述了电磁场的起源和变化规律。
方程的左边是电磁场的旋度，表示了电磁场的变化率。
方程的右边是电磁场的源项，表示了在电荷和电流的作用下电磁场的变化情况。
通过麦克斯韦第一方程，我们可以很好地理解电磁场的起源和变化机制。
麦克斯韦第二方程是电磁学中的另一个重要方程。
它描述了电磁场的旋度与电场的变化关系。
方程的左边是电磁场的旋度，表示了电磁场的变化率。
方程的右边是电场的变化，表示了电场受电流和磁场变化的影响而发生的变化。
通过麦克斯韦第二方程，我们可以了解磁场对电场的影响，并进一步认识电磁场的性质。
麦克斯韦第三方程描述了电磁场的传播方式，即电磁波的传播方式。
方程的左边是电场的曲率，表示了电场的变化速度。
方程的右边是电场的源项，表示了电场的源自电荷和磁场变化的情况。
通过麦克斯韦第三方程，我们可以了解电磁波的传播规律，以及电磁波在空间中的行为。
麦克斯韦第四方程是麦克斯韦方程组中的最后一个方程。
它描述了磁场的传播方式，即磁场的曲率与磁场的源项之间的关系。
方程的左边是磁场的曲率，表示了磁场的变化速度。
方程的右边是磁场的源项，表示了磁场源自电流和电场变化的情况。
通过麦克斯韦第四方程，我们可以了解磁场的传播规律，以及磁场在空间中的行为。
通过麦克斯韦方程组，我们可以深入地了解电磁场的起源、变化和传播规律。
这组方程对电磁学的研究产生了深远的影响，并被广泛应用于科学技术领域。
大学物理-13 麦克斯韦方程组(1)
H dl Id
L1
H dl Id L3
L
H
dl
S
(
j传
D t
)
dS
空间没有传导电流的情况下，有：
L
H
d
dl
S
D t
dS
比较
l
E感
dl
S
B t
dS
(Hd为Id产生的涡旋磁场)
D
B
t
t
对称美
右旋 Hd
E感 左旋
§13-2 电磁场 麦克斯韦方程组
一、电磁场
E
t
H t
James ClerkMaxwell（1831-1879）
十九世纪四十年代，关于电磁现象的三个最 基本的实验定律已经总结出来:
库仑定律（1785年） 毕奥－萨伐尔定律（1820年） 法拉第电磁感应定律（1831－1845年）
摆在物理学家面前的课题是把已发现的各个 规律囊括起来，建立电磁现象的统一理论。
“只有上帝才能创造出这样完美的诗句！”
James ClerkMaxwell （1831-1879）
麦克斯韦
是经典电磁理论的奠基 人。他在电磁理论方面的 工作可以和牛顿在力学方 面的工作相媲美。他提出 了有旋场和位移电流的概 念,建立了经典电磁场理论 的完整体系,并预言了电磁 波的存在。1873年他的«电 磁学通论»问世，这是一本 划时代的巨著。是人类探 索电磁规律的里程碑。
H
变化的电场激发磁场;
E
E
E
变化的磁场激发电场；
E
E
H
H
H
H
H
两种变化的场永远互相联系着，形成统一的电磁场
这种变化的电磁场在空间的传播就称为电磁波
麦克斯韦方程组数学表达式
麦克斯韦方程组数学表达式麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由四个方程组成，分别为高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定理和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的数学表达式如下：1. 高斯定律（电场电荷密度定理）：$$ablacdotmathbf{E}=frac{rho}{epsilon_0}$$其中，$ablacdotmathbf{E}$表示电场的散度，$rho$表示电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
2. 法拉第电磁感应定律（电动势定理）：$$oint_Cmathbf{E}cdotdmathbf{l}=-frac{d}{dt}int_Smathbf{B}cdot dmathbf{A}$$ 其中，$C$表示一条封闭路径，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$S$表示该路径所围成的面积。
3. 安培环路定理（磁场电流密度定理）：$$ablatimesmathbf{B}=mu_0mathbf{J}+mu_0epsilon_0frac{partialm athbf{E}}{partial t}$$其中，$ablatimesmathbf{B}$表示磁场的旋度，$mathbf{J}$表示电流密度，$mu_0$为真空磁导率，$epsilon_0$为真空介电常数。
4. 法拉第电磁感应定律的积分形式（法拉第电磁感应定律的通量定理）：$$oint_Smathbf{E}cdotdmathbf{A}=-frac{d}{dt}int_Vmathbf{B}cdot dmathbf{V}$$ 其中，$S$表示一个封闭曲面，$mathbf{E}$表示电场强度，$mathbf{B}$表示磁场强度，$V$表示该曲面所围成的体积。
电磁场的基本规律—麦克斯韦方程组及物理意义
电磁场的基本规律—麦克斯韦方程
组及物理意义
麦克斯韦方程组是电磁场中最基本的物理规律，由James Clerk Maxwell于1864年提出。
它由两个方程组成：
1. 电流守恒定律：∇ · J = 0
2. Faraday定律：∇ × E = - ∂B/∂t
上述两个方程式描述的是电磁场的最基本的物理规律，即电流守恒定律和Faraday定律。
电流守恒定律表明，电流在空间中是不变的，也就是说，电流的总量是不变的，一旦电流产生，就会在空间中存在。
Faraday定律则表明，当外加电场发生变化时，磁场也会发生变化，这也就是所谓的感应电流的原理。
它表明，当电场发生变化时，会导致磁场的变化，同时也会导致电流的产生，也就是常说的感应电流。
总之，麦克斯韦方程组是电磁学中最基本的物理规律，它描述了电流、电场、磁场以及它们之间相互作用的现象。
介质中的麦克斯韦方程组1
dS 0
dl I
d dt
DBiblioteka dS四、介质的电磁性质方程（本构方程）
首先讨论非铁磁介质
1. 一种简单的情况（电磁场较弱）
（1）各向同性均匀介质
P与E，M与H，D与E，B与H
为线性关系。
极化率
电容率
P
e
0
E
D E
M mH B H
铁磁性材料：常温下，铁、钴、镍
M
低温下，Tb, Ho, Eu, Tm 化合物：La1-xCaxMnO3 (0.2<x<0.4), CrBr3, EuO, EuS,EuSe, EuI2，Eu2SiO4等。
值很大，且与外磁场呈非线性关系变化 O 103 ~ 106
铁磁性材料
亚铁磁性材料
顺磁性材料 反铁磁性材料
H与B
H
，
介质中的麦氏方程组
微分形式
D
f
B
E
t
B 0 H J f
D t
积分形式
S
L
D dS
E dl
Q
S
B t
dS
SLBH
B H j E
B 0H
解题方法步骤：
①取合适的坐标系。
②画图。
③求电场强度
D f
介质中的高斯定律：
③求磁场强度
H Jf
D t
介质中的环路定律：
D
麦克斯韦方程组
D ex Em cos(t kz)
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
代入式
ex ey ez
H x
y
z
ex
H y z
ex
k 2 Em
sin(t kz)
Hx Hy Hz
D t
ex
Dx t
ex Em sin(t kz)
由H DtFra bibliotekk 2 2
H
e H
e
CU m 2 r
cos t
9
例 2.6.2 在无源(J 0、 0) 的电介质( 0) 中，若已知电 场强度矢量 E exE0 cos(t kz) V/m，式中的E0为振幅、ω为角频
率、k为相位常数。试确定k与ω 之间所满足的关系，并求出与
相应E的其它场矢量。 解：E 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利
H
E
J
D
t
B
t
B D
0
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
2.6.3 媒质的本构关系 各向同性线性媒质的本构关系为
缓变场
B 0 t
电磁场 (EM)
准静电场 (EQS)
D 0 t
准静磁场 (MQS)
静电场 (ES)
静态场
0 t
恒定电场 (SS)
静磁场 (MS)
7
例 2.6.1 正弦交流电压源 u Um 连sin接到t 平行板电容器的两个极
板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线 中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为r 处的磁场强度。
麦克斯伟方程组
所以谈不上产生焦耳热
24
如果， I 0 0 这时全电流定律为 E 表示变化的电场 B d r d S 0 0 t 产生磁场 L S 与涡旋电场的环路定理比较
B E dl dS L S t
二者非常对称 表示变化的磁场 产生电场
s1
s2
K
○
0 J 0 ds 0 J 0 ds B d r
L
9
S1
J 0 dS J 0 dS
S2
S1
S2
显然这与实际相矛盾 由图知
S1
J 0 dS i
S1
J 0 dS J 0 dS 0
4
2. 磁场的高斯定理
在一般情况下，磁场可以由
传导电流和变化的电场激发
B B稳恒 B位移
B稳 恒 和 B位 移 都是涡旋场
在任何磁场中，通过任何封闭曲面的磁通量总等于0
B dS 0
S
5
3. 电场的环路定理 在一般情况下，电场可以由
自由电荷和变化的磁场产生
第十一章 麦克斯韦电磁理论与电磁波
§1 麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组 二.位移电流（8.5 与变化电场相联系的磁场）
三. 全电流定律
作业：
1
小结
电现象和磁现象
实验定律 场量 场的性质
q内i (1) E dS 0 S (1) E dr 0 L (1) B dS 0
S
J 0 dS
S
是单位时间流入 S的电荷量，
R
电磁场理论中的麦克斯韦方程组详解
电磁场理论中的麦克斯韦方程组详解电磁场理论是物理学的重要分支之一，它描述了电磁场的性质和行为。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的基石，它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程的积分形式和微分形式。
本文将详细解释麦克斯韦方程组的含义和应用。
麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述了电场的产生和分布。
高斯定律的积分形式是电场通过一个封闭曲面的通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数。
这个方程告诉我们，电场的分布与周围的电荷有关，电荷越多，电场越强。
高斯定律的微分形式是电场的散度等于真空中的电荷密度除以真空介电常数。
这个方程告诉我们，电场的散度决定了电场的分布情况，电荷密度越大，电场的散度越大。
麦克斯韦方程组的第二个方程是法拉第电磁感应定律，它描述了磁场的产生和变化。
法拉第电磁感应定律的积分形式是磁场通过一个闭合回路的环流等于该回路内的电流总量加上由电场引起的变化磁通量。
这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电流，而电流的存在又会产生磁场。
法拉第电磁感应定律的微分形式是磁场的旋度等于真空中的电流密度加上由电场引起的变化磁场的时间导数。
这个方程告诉我们，磁场的旋度决定了磁场的变化情况，电流密度越大，磁场的旋度越大。
麦克斯韦方程组的第三个方程是安培定律，它描述了磁场对电流的作用。
安培定律的积分形式是磁场通过一个闭合回路的环流等于该回路内的电流总量加上由电场引起的变化磁通量。
这个方程告诉我们，磁场的环流与通过该回路的电流有关，电流越大，磁场的环流越大。
安培定律的微分形式是磁场的旋度等于真空中的电流密度。
这个方程告诉我们，磁场的旋度决定了磁场对电流的作用情况，电流密度越大，磁场的旋度越大。
麦克斯韦方程组的第四个方程是麦克斯韦-安培定律，它描述了电场和磁场的相互作用。
麦克斯韦-安培定律的积分形式是电场和磁场通过一个闭合曲面的通量之和等于该曲面内的电流总量加上由电场引起的变化磁通量的时间导数。
这个方程告诉我们，电场和磁场的相互作用会产生电流和磁通量的变化。
麦克斯韦方程组
㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。
20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。
在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。
因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。
上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。
将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)yz x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。
第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。
根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。
麦克斯韦方程组ppt课件
L
S
LHdlS
dS t
变化磁场 变化电场
电场
变化电场 变化磁场
磁场
可脱离电荷、电流在空间传播
电磁波
4. 预言了光的电磁本性
电磁波的传播速率
y
E
c
1
v
c
00
o
z
H
x
实验证实：德国科学家赫兹（1888 年完成）
用电磁波重复了所有光学反射、折射、衍射、干涉、 偏振实验.
S 2
S
L
2 1K
2. 推广的安培环路定理
L H d l （ L 内 I全 ） （ L 内 （ I0 ） ID ） S(j
D )dS t
I
LHdlI全 ID I
对 S1 对 S2
不矛盾！
练习： P344 11-19
已知：对平行板电容器充电
保守力及其与相关势能的关系，
角动量、力矩、转动惯量、转动动能
刚体定轴转动问题
……
守恒定律与时空对称性的联系（第7章） 练习：将守恒定律与其相关的时空对称性连接起来。
C , q t 0 0 , i 0 .2 e tS I
求： U (t)? ID?
t
解： dqidt, qidt
0
U q 1tid t 1t0 .2 e td t 0 .2 ( 1 e t)
CC 0 C 0
C
IDi0.2et
练习：设平行板电容器内交变电场强度：
麦克斯韦是19世纪伟大的英 国物理学家、数学家。主要从 事电磁理论、分子物理学、统 计物理学、光学、力学、弹性 理论方面的研究。尤其是他建 立的电磁场理论，将电、磁、 光、统一起来，是19世纪物理 学发展的最光辉的成果，是科 学史上最伟大的综合之一。
静电场的麦克斯韦方程组
静电场的麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述静电场的四个基本方程。
它们分别是：
1. Gauss定律：电场通过任意闭合曲面的通量等于该曲面内部的电荷之和的量除以真空介电常数。
\[ \nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} \]
2. Gauss定律的磁场形式：磁场通过任意闭合曲面的通量为零。
\[ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \]
3. 法拉第电磁感应定律：磁场沿闭合曲线的环路积分等于该环路内部电场变化的速率的负值。
\[ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\dfrac{d}{dt} \int \vec{B} \cdot d\vec{A} \]
4. 安培定律：磁场沿闭合曲线的环路积分等于该曲线内部的电流之和除以真空介电常数。
\[ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \iint \vec{J} \cdot
d\vec{A} \]
其中，\(\vec{E}\)表示电场强度，\(\vec{B}\)表示磁感应强度，
\(\rho\)表示电荷密度，\(\varepsilon_0\)表示真空介电常数，\(t\)表示时间，\(\vec{J}\)表示电流密度，\(\mu_0\)表示真空磁导率，
\(\nabla\)表示梯度。
以上是静电场的麦克斯韦方程组的表达式，它
们描述了静电场的基本性质和相互关系。
maxwell微分方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场变化的偏微分方程组，它由四个方程组成，分别是：1.麦克斯韦第一方程：∂t∂B=−∇×E
这个方程描述了磁场B的变化与电场E的关系。
2.麦克斯韦第二方程：∂t∂E=∇×B−J
这个方程描述了电场E的变化与磁场B和电流密度J的关系。
3.麦克斯韦第三方程：∇∇B=0
这个方程描述了磁场的散度为零，即磁场是无源场。
4.麦克斯韦第四方程：∇∇E=ρ
这个方程描述了电场的散度与电荷密度ρ的关系。
以上四个方程描述了电磁场的基本性质和变化规律，是电磁学和电动力学的基础。
集大成者-麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组
三、微麦分DB克HE式斯0韦J方程Bt组Dt 的辅助方((((2134程)))) ——本MP提一三程构示致个，关P：，矢共M(系分但量1r(6,—r别需方个t),—t与要程方)物前注，程极磁质面意每，化化方静这个1强强6程电里矢个度度场的量方介 量 方程含含质除程1空空6极了对个间间化是应未和和、空三知时时静间个数间间磁的标可变变场函量以量量介数方求的的质外程解极磁磁，，了化化化还共。强强和是9度度个恒含矢矢方定时量量程电间函函，流的数数加的。（（上电场场前场））面在的形7式个上方
B
H
J
t D
t
D
B 0
(1)
(2) (3) (4)
1、E麦 克H斯韦D方程B 组J的变 量个数
E5量个矢E量xex，1个Ey标ey量，E每ze个z 矢量有3个柱标坐量标，和共球1坐6个标标类变似
2、独立方程的确定 ( E)
B
←对第(1)方程两边同时取散度
←左边矢量恒等式 ( A) 0
其DHE中方DHE程(((rrr中,,,ttt个))) 字母电磁电、场场位字强强移符度度矢含量义
B J
B (r , t )
J ((rr,,tt))
磁感应强度 电流密度 电荷密度
含空间和时间变量的电场强度矢量场（函数） 等号左边场 含空间和时间变量的磁场强度矢量场（函数） 等号左边场 含空间和时间变量的电位移矢量场（函数） 等号左边场
闭曲线围成的开曲面
闭曲线围成的开曲面 闭曲面围成的体
提示：微分式解析和数值解，积分形式的重要应用是对称问题和确定边界条件。
雄兔脚扑朔，雌兔眼迷离，双兔傍地走，安能辨我是雄雌? 变化的磁场，变化的电场，互相产生兮，安能辨我是源场?
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div Jv v ds
通常，传导电流与运流电流并不同时存在。
19
位移电流
电介质内部的分子束缚电荷作微观位移而形成
作一个闭合面S，假定其中所包围的电量为q，根据高斯定 律可知
q
s
D dS
则穿过闭合面S的位移电流为：
dq D id dS J d dS s t s dt
B dl ?
l
对任何矢量场基本性质的研究，就是考察它的通量和 环流。
对稳恒磁场环流的研究形成了安培环路定理。
24
安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任意闭 合曲线的线积分（也称 B 的环流）, 等于穿过该闭合曲线的
所有电流强度 （即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流 强度）的代数和的μ0倍。
③ 当电流呈体分布时
B dl 0 J dS
S
26
定义自由空间用磁场强度 H 表示的磁通密度为
B 0 H
则安培环路定律可写成
l
H dl I
其中
I I內i
i
4.麦克斯韦第四方程 在时变场中，应将安培环路定律中的电流拓广为全电 流，即
当一个电荷既受到电场力同时又受到磁场力的作用
时，我们称这样的合力为洛伦兹力。
即
F qE qv B
我们也可以用这个表达式作为电场强度和磁场强度的 定义式。
14
2.2 由电通量与高斯定律导出麦克斯韦第一方程 定义
穿过一个单位有向面积dS的力线的条数为 电通密度(electric flux density)，用 D 表示。 在自由空间中，穿过有向面积S的电通量为 E D dS q
它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。
麦克斯韦由此预言电磁波的。
22
例:
已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介
电常数
,极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电 忽略极板的边缘效应和感应电场
,
流 iC与 iD 的关系是什么? 解： 电场
u E d
u( t ) D E d
感应电动势
闭合路径所包围的磁通 根据斯托克斯定律
dm e dt e E dl
l
m B dS
s
B l E dl ( E) dS t dS s s
可得麦克斯韦第二方程 ：
B E t
麦克斯韦 第四方程
D E H J 0 J t t
或
c B J / 0 E / t
2
28
位移电流密度 J D D ( du ) t d dt
位移电流
传导电流与位移电流
S du du iD J D dS ( ) C iC S d dt dt
23
3.磁场强度与安培环路定律 静电场的环流为零 说明静电场是保守场；
E dl 0
l
稳恒磁场的环流如何呢？
电流连续性原理表明：在时 变场中，在传导电流中断处 必有运流电流或位移电流接 续。 其中
E J J c J v J d E v 0 t
称为全电流密度
通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭 示了不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。
形成运流电流的电荷在运动时并不受到碰撞阻滞作用， 即使存在与其它粒子发生碰撞的机率，其作用也微乎其微， 可忽略不计，因此运流电流不服从于欧姆定律。 假设存在一个电荷体密度为 的区域，在电场作用下， 电荷以平均速度 v 运动，则运动电荷垂直穿过面积S 的运 流电流为
iv J v ds
s
式中运流电流密度为
109 0 8.85 1012 36
F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中
( 0 )
当真空中引入第三个点电荷 q3 时，试问 q1 与 q2 相互间的 作用力改变吗? 为什么？
结论：电场力符合矢量叠加原理
11
库仑定律还可以换一种方式来阐述：
假定电荷q=1C，于是电场力 FE 即为q1对单位电荷的作用 力,我们将这个特定大小的电场力 FE 称为电场强度矢量 E
q1 R 1 E＝ 2 R R 4 0
结论
由电场强度矢量可以得出两个或多个彼此相对 静止的电荷之间的作用力，所以电场强度表示 了电场力。
12
2. 磁场力
当电荷之间存在相对运动，比如两根载流导线，会
发现另外一种力，它存在于这两线之间，是运动的电荷 即电流之间的作用力，我们称其为磁场力 。
16
2.4 由磁通量与高斯定律导出麦克斯韦第三方程
磁通连续性原理 穿过开表面积S的磁通
B dS 0
s
m B dS
s
根据高斯定律
B dS BdV 0
s V
可得麦克斯韦第三方程 ：
B 0
17
2.5
由安培环路定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第四方程
s
与电场强度关系为 根据高斯定律
s
D dS DdV Q q dV
V V
可得麦克斯韦第一方程 ： 或
D E / 0
15
2.3 由法拉第电磁感应定律与斯托克斯定律 导出麦克斯韦第二方程
法拉第电磁感应定律
1. 传导电流、运流电流和位移电流 传导电流 自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成
传导电流的电流密度 J c 与电场强度 E 的关系为：
Jc E
此式说明传导电流密度服从于欧姆定律(ohm’s law)，并且 传导电流为
ic J c ds
s
18
运流电流
电荷在无阻力空间作有规则运动而形成
6. 由麦克斯韦方程看静态电磁场
8
电磁场与波基本物理量
9
Байду номын сангаас
自由空间中的麦克斯韦方程组
积分形式
微分形式
如 何 转 化 ？
10
2.1 电场力、磁场力与洛伦兹力 1. 电场力
库仑定律
qq1 R 1 FE 2 ( )( ) R R 4 0
适用条件
两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中
D ( J c dS J v dS ) id dS s s s t
于是可得
s
( J c J v J d ) dS 0
此式称为电流连续性原理
21
即
ic iv id 0
或
s
J dS 0
1. 两种表示方式都可以用 2. 第一种最常用
5
矢量场
具有矢量特征的物理量在空间的分布
电场 磁场
6
第三课 麦克斯韦方程组
7
重点：
1. 电场力、磁场力、洛伦兹力 2. 电磁场中的三种电流以及电流连续性原理 3. 麦克斯韦方程的导出及意义 4. 微分形式的麦克斯韦方程 5. 积分形式的麦克斯韦方程
D E Jd 0 t t
20
式中位移电流密度
2.电流连续性原理 在时变电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则 穿入的传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率 ，即
dq ic iv dt
麦克斯韦假设， S面内自由电量q的增长应与穿出的位移电流 相一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则
H dl ( J c J v J d ) ds
l s
27
由斯托克斯定律得
H dl H ds ( J c J v J d ) ds
l s s
即
H Jc Jv J d＝J J d
B dl 0 I內i
l i
与环路成右旋关系的电流取正。
I
25
讨论
B dl 0 I內i
i
① 磁感应强度的环流只与环路内的电流有关，但环路上一
点的磁感应强度是由环路内、外电流共同产生的。
② 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一，磁场是有旋
场，是非保守场，故磁场中不能引入势能的概念。
电磁场与电磁波
Electromagnetic Fields and Waves
上海电机学院电子信息学院
1
知识点回顾
2
笛卡尔坐标系
笛卡尔坐标系中矢量的表示
1. 三种表示方式都可以用 2. 第一种最常用
3
圆柱坐标系
圆柱坐标系中矢量的表示
1. 两种表示方式都可以用 2. 第一种最常用
4
球坐标系
球坐标系中矢量的表示
假定一个电荷q以速度
到磁场力为
v
在磁场中运动，则它所受
dF ＝dq ( v B )
B
FB＝qv B
＝
dq
dt ＝I ( dl B )
* dtv B
这表明：一个单位电流与另外一个电流的作用力可以
用一个磁感应强度 B 来描述。
13
3.洛伦兹力