矩阵对角化及应用论文

矩阵对角化及应用

理学院 数学082 缪仁东 指导师：陈巧云

摘 要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.

关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.

矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.

1．矩阵对角化概念及其判定

所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.

定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使

1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化.

矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.

定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组

AX X λ= (1)

存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．

（1）式也可写成,

()0E A X λ-= (2)

这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

=0E A λ-, (3)

即

11

12

12122

21

2

0n n

n n nn

a a a a a a a a a λλλ------=---

上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程． 其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵

的特征多项式．

11

121212221

2

()||n n

A n n nn

a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=

---

1

11n n n n a a a λλλ--=++

++

显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．

设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明

（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++

+;

（ⅱ）12

n A λλλ=.

若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程

=0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都

是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；

第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；

第三步：对于

的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：

()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ++

+（其中12,,

,s k k k 是不全为零的任意实数）．

设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,

,λλλ 为

A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根

我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积

1212()()()()i r r r i f λλλλλλλ=---

则V 可分解成不变子空间的直和

其中i V = {ξ|

i

r

i 12-==s V V V V λ⊕⊕⊕（A E ）;ξ∈V}

引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.

定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若1λ, 2λ,...,K λ 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r , 2r ,... k r , 那么 (Ⅰ) 可对角化的充要条件是()i j i j

E A r λ≠⎛

⎫

-= ⎪⎝⎭

∏秩 j=1, 2,.......k

(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,

()i

i j

E A λ≠-∏ 的列空间就是A 的属于特征根i

λ的特征子子空间.

证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使

{}11122,,...,k K T AT diag E E E λλλ-=

这里右边是分块对角矩阵, j E 为i r 阶单位阵, 于是有

()()()11

i i i i j i j i j E A T E A T E T AT λλλ--≠≠≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭∏∏∏秩秩秩

={}()122,,...,i K K i j E diag E E E λλλλ≠⎛

⎫

-

⎪⎝⎭

∏秩

=()()(){}

12,,...,,i j i j i j K

i j diag E E E λλλλλλ≠⎛

⎫

---

⎪⎝⎭

∏秩 =()0,0,...0,

,0,0,...,0i j j j i j

diag E r λλ≠⎛⎫⎧⎫-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩

⎭⎝

⎭

∏秩 j=1,2, ......k.

反之,若()()i

j

E A r λ-=∏秩

i=1,2,.....k, 反复用引理可得

()()()()()22i j i i i j

i j

E A E A K n n r k n λλ≠≠-≥---≥---∑∑∏秩r 秩 i j i j

n r r ≠=-=∑ j=1,2,...,k.

这里用到了齐次线性方程组()0i E A X λ-=的解空间的维数不大于i λ的重数不大于j r 这个结论.