几种时频分析方法综述2——希尔伯特黄变换

几种时频分析方法综述2——希尔伯特—黄变换

夏巨伟

(浙江大学空间结构研究中心)

摘 要：希尔伯特—黄变换由经验模态分解（empirical mode decomposition ，简称EMD ）和Hilbert 谱分析两部分组成。经验模态分解方法是一种自适应的、高效的数据分解方法。由于这种分解是以局部时间尺度为基础，因此，它适应于非线性、非平稳过程。通过经验模型分解，任何复杂的数据集都可以被分解为个数有限的、而且常常是为数不多的几个固有模函数(intrinsic mode functions ，简称IMF)的线性叠加。通过分解得到IMF 后，就可以对每一个分量做希尔伯特变换，得到其瞬时频率和幅度。本文详细对Hilbert -Huang Transform 的过程进行了阐述，并用算例分析指出了其优势所在。 关键词：希尔伯特—黄变换； 时频分析技术；

1 希尔伯特—黄变换（Hilbert-Huang Transform ）

1.1 希尔伯特变换与瞬时频率（Hilbert Transform and instantaneous frequency ）

对于任意一个时间序列X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式：

-1()(t)=,-X Y P d t ττπτ

∞∞⎰

其中，P ——积分的柯西主值；

希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立，即上式中X(t)∈L p

（—∞，+∞）。

通过上述定义，X(t)和Y(t)成为一组复共轭对，同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为：

()()

(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e

θ+

其中，

()()1/222

(t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦

⎝⎭

理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析

信号结果的方法。

X(t)的Hilbert 变换实质上是将X(t)与函数1/t 在时域上做卷积，这就决定了通过X(t)的Hilbert 变换能够考察其局部特性。得到X(t)的瞬时相位函数后，其瞬时频率为：

()()

(t).d w t dt

θ=

1.2 经验模态分解与固有模态函数（Empirical mode decomposition/EMD and Intrinsic mode function/IMF ）

固有模态函数需要满足两个条件：（1）极值与零点的数量必须相等或最多相差一个；（2）由局部极大值包络和局部极小值包络定义的平均包络曲线上任何一点的值为0；

1.2.1 EMD —筛选过程（Sifting process ）

11122k 1k k k 1x(t )m h ,h m h ,..........h m h .

h c .--=-=-==⇒ 11122n 1n n n

j

n j 1

x(t )c r ,r c r ,x(t )c

r ...

r c r ..

-=-=-=-

⇒=-=∑

1.3 Hilbert 谱与Hilbert 边际谱

经过筛选过程后，X(t)可以表示为IMF 与残差量的和：

n

n 1n 1n 12

2j n j

j

k

j 1j 1

j 1k 1

T

n 1n 1

2j k t 0j 1k 1n 1

22j j 1X(t )C r X (t )C (t )2C (t )C

(t )

C (t )C (t )/X (t )IO X (t )C (t )

0++++=====++====+⇒=+⎛⎫

⇒=≈⇒ ⎪⎝⎭

=∑∑∑

∑∑∑∑∑

对X(t)的每一个IMF 进行Hilbert 变换可以得到X(t)的Hilbert 谱：

()

()()j j j n

n

i t dt

j j j 1

j 1

Hilbert Spectrum

Hilb n i t dt

i t j j j j j 1

n

i ert Spectru t

j j 1

m

C (t )a (t )e

a (HHT :a (t )e X (t )C (t )t )e H (,t )

X (t )a t T )e

F :(ωωθωω====⎰

==⇒====⎰

∑∑∑

∑

得到Hilbert 谱后可以进一步定义Hilbert 边际谱：

Hilbert Magrinal Spectrum

T

h()

H(,t )dt

ωω=⎰

1.4 算例分析 1.4.1

一个有跳变的余弦信号

cos(6) 105cos(6) 10

t t s y t t s ππ≤⎧

=⎨

+>⎩

1.4.2

频率发生改变的余弦信号

cos(6)10

cos(4)10t t s y t t s ππ≤⎧=⎨>⎩

1.4.3

余弦扫频信号

2(10.2)cos(4) 010y t t t s π=+≤≤