2013-2014-概率论与数理统计试卷及参考答案

x 0, y 0 其他
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c c x ( c 1) , x , 4. (10 分) 设总体 X 的的概率密度为 f ( x) ,其中 c 1 为已知, 未知参 其他, 0, 数 0 , X 1 , X 2 ,..., X n 为总体的一个样本，试分别求 的矩估计量和极大似然估计量．
(2)确定统计量: 2
(n 1) S 2 ~ 2 (n 1), (n 13, 0.1) ; 2 0
2 2 (12) 5.226 , 0.05 (12) 21.026 ; (3)分位数: 0.95
拒绝域: 2 5.226 2 21.026 ; 12 13.4 13.4 ,不落在拒绝域内; (4)由样本值算得: 2 12 ∴接受 H 0 ，即认为该厂生产的钢丝抗断力方差为 12.
2 t 0.025 (36) 2.0281 , t 0.05 (35) 1.6896 , t 0.05 (36) 1.6883 , 0.05 (9) 16.919 , 2 2 2 2 0.05 (10) 18.307 0.05 (12) 21.026 , 0.05 (13) 22.362 , 0.1 (12) 18.549 , 2 2 2 2 2 0.1 (13) 19.812 , 0.9 (12) 6.304 , 0.9 (13) 7.041 , 0.95 (12) 5.226 , 0.95 (13) 5.892
(3) PY X xe x dx e y dy
x

0
0
3 4 c X c -1
4.(1) E ( X ) x f ( x)dx x c c x ( c 1) dx



ˆ (c 1) X . 得 的矩估计量为 c
(2) 似然函数为
(5 分)
L() f ( xi ) nc c n (i 1 xi ) ( c 1)
n i 1
n
ln L() nc ln n ln c (c 1) ln xi
i 1
n
令
[ ln L()]
nc 0，
(5 分)
ˆ min{ X , X ,..., X } . 1 2 n
一、填空题（每空 2 分，共 30 分）请将正确答案写在题目后面的横线上. 1.设 A,B 为随机事件，且 P( A) 0.5, P( B) 0.2, P( A B) 0.6, 则 P( AB)
P( B A) .
，
2. 一个袋中有 2 个黑球和若干个白球，现有放回地摸球 3 次，若至少摸到一个白球的概
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上 海 海 事 大 学 试 卷
2013 — 2014 学年第二学期期末考试 《 概率论与数理统计（54 学时） 》 （A 卷）参考答案
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,
D (2 X Y )
.
二、计算题（共 7 题，每小题 10 分， 70 分）请将解答过程写在每小题后.
1. （10 分）袋中有 5 个红球和 5 个绿球, 现掷一枚均匀的骰子(6 个面),掷出几点就从袋 中随机取出几个球. 若任意投掷一次骰子, 试求 (1)取出全是红球的概率? (2)若已知取出的球全是红球，求掷出 3 点的概率？
（10 分）
7.解:设每位小数的数字为 X, 它的可能取值为 0,1,2,…,9,要检验的假设 1 H 0 : P{ X i} , i 0,1,2,..., 9. 10 1 k 10, pi , n 800, npi 80. 10 9 ( f i - 80) 2 2 2 2 计算得 5.125 ,查表得 (k 1) 0 .05 (9) 16.919 , 80 i 0 不落在拒绝域内,故接受 H 0 ,即这些数据是在 0,1,2,…,9 中均匀分布的. （10 分）
(4 分)
(4 分)
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x x42 e , x0 (2) f ( x) F ( x) 2 其他 0,
(3) P- 2 X 2 F (2) F (-2) 1 - e 1 0.6321
xe ( x y ) dy xe x x 0 f ( x , y )dy 0 其 他 0
率是
26 ，则袋中白球的个数是 _______ ；记首次抽到黑球时抽取的次数为 X ，则 27
P{ X 3} _______.
3. 设连续型随机变量 X 服从区间[0,100]上的均匀分布，则 E ( X )
；另外随机变
；若
100e 100 y , y 0 量的 Y 的概率密度为 f Y ( y ) ，则 PY - 50 50 0, 其他
6
(2 分)
(1)由全概率公式 P( A) P( Bi ) P( A Bi )
i 1
35 0.139 252
(4 分)
1 C53 3 P( AB3 ) 6 C10 0.1 (2)由贝叶氏公式 P( B3 A) 35 P( A) 252
2. 解:(1) F () 1 A 1 , F (0-) A B F (0) 0 B 1.
上 海 海 事 大 学 试 卷
2013 — 2014 学年第二学期期末考试 《 概率论与数理统计（54 学时） 》 （A 卷） （本次考试允许使用计算器）
班级 题 得 目 分 学号
一 二(1)
姓名
二(2-3) 二(4-7)
总分
阅卷人
(1) 0.8413 ， (2) 0.9772 ， z0.025 1.960 , z0.05 1.645 , t 0.025 (35) 2.0301 ,
X , Y 相互独立，则 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x, y )
.
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4．已知 X , Yຫໍສະໝຸດ Baidu是两个相互独立的正态随机变量，且 Z X 2Y 3 ，则 Z 服从 若 X ~ N (2,3), Y ~ N (1,5) ，则随机变量 Z 方差为 5.设随机变量 X ~ b(100,0.2) ,则由二项分布律知 P{ X 1} 定理得 P{24 X 28} . .
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7.(10 分)
在 的前 800 位小数的数字中,0,1,2,3,…,9 相应分别出现了 74,92,83,79,80,73,
77,75,76,91 次, 试用 2 拟合检验法检验这些数据是否是均匀分布的( 0.05 )?
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5. （10 分） 由 36 名大学生组成一个随机样本, 要求他们分别记下每周上网的时间, 根据
以往的调查, 它服从正态分布 N ( , 2 ) , 现从这组样本值计算出样本均值为 15, 样本方 差为 6, 试求总体均值 的置信水平为 95%的置信区间．
6. （10 分）某厂生产钢丝，生产一向稳定，且钢丝抗断力服从正态分布。现从该厂产品 中随机抽出 13 段钢丝检验其抗断力，经测量计算得： x 227.5, s 2 13.4 ．问是否可以 相信该厂生产的钢丝抗断力方差为 12? ( 0.1 )
5. 解:
(x
6 S t (n 1)) (15 t 0.025 (35)) 2 36 n (15 0.8288) (14.1712,15.8288)
H 1 : 2 12 ;
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（10 分）
6.解: (1)提出假设 H 0 : 2 12
2
n 15.4
) , 2 (n - 1)
二、计算题（共 7 题，每小题 10 分，共 70 分）
1. 解：设 A 表示”取出全是红球”, Bi 表示”掷出的点数是 i 点”(i=1,2,…,6), 则
P ( Bi )
Ci 1 , P ( A Bi ) i5 , i 1,2,...,5 , P ( A B6 ) 0 . 6 C10
分布；
; 若应用中心极限
6. 设 X 1 , X 2 ,..., X n 是来自总体 N ( , 2 ) 中随机抽取的样本， X 是样本均值, 则
X ~
，
X
n i 1
i
X
2
2
~
,
7. 设 D( X ) 1, D(Y ) 9, 相关系数 X ,Y 0.2 , 则协方差 cov( X , Y )
（3 分）
（3 分）
3．解：(1) f X ( x) f y ( y)




xe ( x y ) dx e y y 0 f ( x , y )dy 0 其 他 0
（4 分） （3 分） （3 分）
（2） f ( x, y ) f X ( x) f Y ( y ) ,故 X,Y 独立
一、填空题（共 7 题，每空 2 分，共 30 分） 1. 0.4, 0.2. 4 2.4， . 27
e 100 y , 0 x 100, y 0 3．50, e 10000 ， f ( x, y ) 其他 0, 4. 正态分布, 23 1 0.2(0.8) 99 , 0.1359 5. C100 6. N ( , 7. -0.6
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2. （10 分）设连续型随机变量 X 的分布函数为
x A Be 4 , x 0 F ( x) x 0. 0, 2
求: (1)待定系数 A、B 的值；
(2) 概率密度函数 f ( x) ； (3) 概率 P- 2 X 2 .
xe ( x y ) , （10 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) 3． 0, 求：(1) 边缘概率密度 f x ( x), f y ( y ) ； (2) X 与 Y 是否独立； (3) 概率 PY X ．
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