工程数学辅导(重点基础知识)

工程数学（本科）考试形式本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。

考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。

其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。

形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。

期末考试的考核内容为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。

期末考试采用半开卷笔试形式，题型不变。

卷面满分为100分，考试时间为90分钟。

半开卷考试是介于闭卷考试和开卷考试两者之间考试方式。

半开卷考试与开卷考试的差别就在于允许考生携带的资料的不同，开卷考试允许考生携带任何资料，而半开卷考试只允许考生携带指定的资料，比如允许考生携带一张统一印制A4纸，考生可以将自己对课程学习内容的总结包括重点、难点、不好记忆的公式、定理等写在这张A4纸上带入考场，作为答卷的参考。

工程数学（本科）知识点（线性代数部分）第一章行列式本章重点要求1. n 阶行列式，当2=n 时，21122211222112112a a a a a a a aD -==∆当2>n 时，∑==+++=nij ij ij n n n A a A a A a A a D 1112121111其中数ij a 为第i 行第j 列的元素，()ij ji ij M A +-=1 为ij a 的代数余子式，ij M 为ij a 的余子式，它是由n D 划去第i 行和第j 列后余下元素构成的1-n 阶行列式，即nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n ij ij ij a a a a a a a a a a a a a a a a M1111111111111111111111+-+++-++-+----+-=要注意，元素ij a 的余子式ij M 与代数余子式ij A 之间仅仅相差一个代数符号ji +-）（1。

第二章 矩阵本章重点要求1． 矩阵的运算满足以下性质A B B A +=+，()()A B C A B C ++=++，()()AB C A BC =λλλ()()()AB A B A B ==，(),()A B C AC BC C A B CA CB +=++=+ ()''=A A ，()A B A B +'='+'，()kA kA '='，()AB B A '='' ⒉ A B ,是同阶方阵，则有：AB A B =3． 若A 是n 阶行列式，k 为常数，则有：kA k A n = ⒋ 若A 为n 阶方阵，则下列结论等价A 可逆⇔A ≠⇔0A 满秩⇔存在n 阶方阵B 使得AB BA I ==⒌ 用初等行变换法求逆矩阵：()()A I I A 初等行变换−→−−−-1 用伴随矩阵法求逆矩阵：A AA -*=11 （其中A *是A 的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质：下面的方阵A ，B 都可逆()AB B A ---=111，()kA kA --=111，()()'='--A A 11 ⒍ 会求矩阵的秩。

将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。

第三章 线性方程组本章重点要求⒈对于向量组ααα12,,, m ，若存在一组不全为零的常数k k k m 12,,, ，使得 k k k m m 11220ααα+++=,,则称向量组ααα12,,, m 线性相关，否则称线性无关。

⒉ 了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。

向量组的一个部分组如满足 ⑴线性无关；⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。

则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。

⒊线性方程组AX b =有解的充分必要条件是：[]r A r A b ()()= 。

n 元齐次线性方程组AX =0有非零解的充分必要条件是：r A n ()<。

⒋ 熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。

⒌ 熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

第四章 矩阵的特征值及二次型本章重点要求1.设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x，使得x x Aλ=则称数λ为A 的特征值，称x为A 相应于特征值λ的特征向量。

（概率论与数理统计部分） 第一章 随机事件与概率本章重点要求1．在事件的运算中，要特别注意下述性质： A B A AB A AB AB +=+=+,， A B A B AB A B +=⋅=+,概率的主要性质是指①对任一事件A ，有01≤≤P A () ②P U P (),()=∅=10③对于任意有限个或可数个事件A A A n 12,,, ，若它们两两互不相容，则 P A P A k kk k()()∑∑=2．在古典概型中，任一事件A 的概率为P A k n()=其中k 是A 所包含的基本事件个数，n 是基本事件的总数。

3．熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式。

⑴ 加法公式：对于任意事件A B ,，有 P A B P A P B P AB ()()()()+=+- 特别地，当AB =∅时有 P A B P A P B ()()()+=+ 对于事件A B ,，如果有A B ⊂，则 (-)()-()P A B P A P B = ⑵ 条件概率：对于任意事件A B ,，若P B ()≠0，有P A B P AB P B ()()()= 称P A B ()为B 发生的条件下A 发生条件概率。

4．理解事件独立性概念，会进行有关计算。

若事件A B ,满足P B P B A ()()= （当时P A ()≠0） 或 P A P A B ()()= （当时P B ()≠0）则称事件A 与B 相互独立。

A 与B 相互独立的充分必要条件是 P AB P A P B ()()()=第二章 随机变量及其数字特征本章重点要求1．常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。

离散型随机变量用概率分布{}p i 来刻画，{}p i 满足： ①0i p > ②p i i∑=1连续型随机变量用概率密度函数f x ()来刻画，f x ()满足： ①f x ()≥0 ②f x x ()-∞+∞⎰=d 1随机变量X 的分布函数)(x F 定义为 F x P X x ()()=≤ 对于离散型随机变量X 有 F x p i x xi ()=≤∑对于连续型随机变量X 有 t t f x F x d )()(⎰∞-=2．掌握求随机变量期望、方差的方法。

⑴ 期望：随机变量的期望记为E X ()，定义为E X x p i i i()=∑ （离散型随机变量，{}p i 是X 的概率分布）E X x f x x ()()=-∞+∞⎰d （连续型随机变量，f x ()是X 的概率密度）⑵ 方差：随机变量的方差记为D X ()，定义为D X xE X p i i i()[()]=-∑2 （离散型随机变量）D X xE X f x x ()[()]()=--∞+∞⎰2d （连续型随机变量）⑶ 随机变量函数的期望：随机变量Y 是随机变量X 的函数，即Y g X =()，若E Y ()存在，则在两种形式下分别表示为E Y g x p i i i()()=∑ （离散型随机变量，{}p i 是X 的概率分布）E Y g x f x x ()()()=-∞+∞⎰d （连续型随机变量，f x ()是X 的概率密度）由此可得方差的简单计算公式 D X E X E X ()()()=-22 ⑷ 期望与方差的性质①若c 为常数，则E c c D c (),()==0②若k 为常数，则E kX kE X D kX k D X ()(),()()==2③若a b ,为常数，则E aX b aE X b D aX b a D X ()(),()()+=++=23． 掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。

常用分布：⑶ 正态分布X N ~(,)μσ2的密度函数为 f x x x ()()()=-∞<<+∞--12222σπμσe特别地，当μσ==01,时，X N ~(,)01，表示X 是服从标准正态分布的随机变量。

将一般正态分布转化为标准正态分布的线性变换： 若X N ~(,)μσ2，令Y X =-μσ，则Y N ~(,)01，且Y 的密度函数为g x x x ()()=-∞<<+∞-1222πe服从标准正态分布的随机变量Y N ~(,)01的概率为 P Y x t x t x()()≤==--∞⎰1222πe d Φ那么一般正态分布的随机变量X N ~(,)μσ2的概率可以通过下列公式再查表求出P a X b P a X b b a ()()()()<≤=-<-≤-=---μσμσμσμσμσΦΦ常见分布的期望与方差：二项分布X B n p ~(,)：E X np D X np p (),()()==-1均匀分布X U a b ~(,)：E X a b D X b a (),()()=+=-2122正态分布X N ~(,)μσ2：E X D X (),()==μσ2第三章 统计推断本章重点要求1． 统计量就是不含未知参数的样本函数。

2． 了解估计量的无偏性，有效性概念。

参数θ的估计量 (,,,)θx x x n 12 若满足E ( )θθ=，则称 θ为参数θ的无偏估计量。

若θθ12,都是θ的无偏估计，而且D D ()()θθ12≤，则称θ1比θ2更有效。

3．熟练掌握方差已知条件下单正态总体期望的置信区间的求法，掌握方差未知条件下单正态总体期望的置信区间的求法。

（这里的方差指总体的方差）。

当置信度α确定后，方差已知条件下单正态总体期望的置信区间是 [,]x nx n-+λσλσ其中σ是总体标准差，x 是样本均值，n 是样本容量，λ由Φ()λα=-12确定。

方差未知条件下单正态总体期望的置信区间是 [,]x s n x sn-+λλ 其中s n x x i i n=--=∑1121()称为样本标准差，λ满足P t ()≤=-λα1。

4． 知道 假设检验的基本思想，掌握单正态总体均值的检验方法，会作单正态总体方差的检验方法。

单正态总体均值的检验方法包括U 检验法和T 检验法。

⑴ U 检验法：设x x x n 12,,, 是正态总体X N ~(,)μσ2的一个样本，其中μ未知，σ2已知。

用x x x n 12,,, 检验假设H 00:μμ=（μ0是已知数），H 10:μμ≠。