OFDM调制

OFDM：正交频分复用
主要思想是：将信道分成若干正交子信道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到在每个子信道上进行传输。

正交信号可以通过在接收端采用相关技术来分开，这样可以减少子信道之间的相互干扰。

每个子信道上的信号带宽小于信道的相关带宽，因此每个子信道上的可以看成平坦性衰落，从而可以消除符号间干扰。

而且由于每个子信道的带宽仅仅是原信道带宽的一小部分，信道均衡变得相对容易。

目前OFDM技术已经被广泛应用于广播式的音频和视频领域以及民用通信系统中，主要的应用包括：非对称的数字用户环路（ADSL）、ETSI标准的数字音频广播（DAB）、数字视频广播（DVB）、高清晰度电视（HDTV）、无线局域网（WLAN）等。

一、时域分析OFDM
最简单的情况，sin(t)和sin(2t)是正交的【因为sin(t)·sin(2t)在区间[0,2π]上的积分为0】：
图示中，在[0,2π]的时长内，以最易懂的幅度调制方式传送信号：sin(t)传送信号a，因此发送a·sin(t)，sin(2t)传送信号b，因此发送b·sin(2t)。

其中，sin(t)和sin(2t)的用处是用来承载信号，是收发端预先规定好的信息，称为子载波；调制在子载波上的幅度信号a和b，才是需要发送的信息。

因此在信道中传送的信号为a·sin(t)+b·sin(2t)。

在接收端，分别对接收到的信号作关于sin(t)和sin(2t)的积分检测，就可以得到a和b了。

图一：发送a信号的sin(t)
图二：发送b信号的sin(2t)【注意：在区间[0,2π]内发送了两个完整波形】
图三：发送在无线空间的叠加信号a·sin(t)+b·sin(2t)
图四：接收信号乘sin(t)，积分解码出a信号。

【传送b信号的sin(2t)项，在积分后为0】
图五：接收信号乘sin(2t)，积分解码出b信号。

【传送a信号的sin(t)项，在积分后为0】
图六：流程图
上面的图示虽然简单，但是却是所有复杂的基础。

1.1 下一步，将sin(t)和sin(2t)扩展到更多的子载波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，应该是很好理解的事情。

其中，2π是常量；Δf是事先选好的载频间隔，也是常量。

1t,2t,3t,...,kt保证了正弦波序列的正交性。

1.2 再下一步，将cos(t)也引入。

容易证明，cos(t)与sin(t)是正交的，也与整个sin(kt)的正交族相正交。

同样，cos(kt)也与整个sin(kt)的正交族相正交。

因此发射序列扩展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos( 2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就顺理成章了。

1.3 经过前两步的扩充，选好了2组正交序列sin(kt)和cos(kt)，这只是传输的"介质"。

真正要传输的信息还需要调制在这些载波上，即sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分别幅度调制a1,a2,...,ak信号,cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分别幅度调制b1,b2,...,bk信号。

这2n
组互相正交的信号同时发送出去，在空间上会叠加出怎样的波形呢？做简单的加法如下：
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +a2·sin(2π·Δf·2t) +a3·sin(2π·Δf·3t) + ...ak·sin(2π·Δf·kt) +b1·sin(2π·Δf·t) +b2·sin(2π·Δf·2t) + b3·sin(2π·Δf·3t) +...bk·sin(2π·Δf·kt) = ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：实数的表达】
为了方便进行数学处理，上式有复数表达形式如下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：复数的表达】
上面的公式可以这样看：每个子载波序列都在发送自己的信号，互相交叠在空中，最终在接收端看到的信号就是f(t)。

接收端收到杂糅信号f(t)后，再在每个子载波上分别作相乘后积分的操作，就可以取出每个子载波分别承载的信号了。

看看公式1-1和公式1-2！！！这就是傅里叶级数。

如果将t离散化，那么就是离散傅立叶变换。

所以OFDM可以用FFT来实现。

上面1.1-1.3的扩展，可如下图所示：
图七：时域上的OFDM系统图
不过，一个系统若要从时域上来实现OFDM，难度太大，时延和频偏都会严重破坏子载波的正交性，从而影响系统性能。

二、频域分析OFDM
频域上我们从"FDM"开始。

先画出一个常规FDM的系统图：
图八：常规FDM
两路信号频谱之间有间隔，互相不干扰，为了更好的利用系统带宽，子载波的间距可以尽量靠近些。

图九：靠得很近的FDM
实际中考虑到硬件实现，解调第一路信号时，已经很难完全去除第二路信号的影响了（电路的实现毕竟不能像剪刀裁纸一样利落），两路信号互相之间可能已经产生干扰了。

还能再近些吗？可以的。

这就是OFDM的优势，近到完全等同于奈奎斯特带宽，使频带的利用率达到了理论上的最大值。

图十：继续靠近
间隔频率互相正交，因此频谱虽然有重叠，但是仍然是没有互相干扰的。

神奇的OFDM。

请回看一中的图一至图六等时域波形图，图示了在时域上，波形的调制，叠加接收，以及最终的解码。

让我们看看图一至图三中的每个步骤在频域上是如何表现的。

对限制在[0,2π]内的sin(t)信号，相当于无限长的sin(t)信号乘以一个[0,2π]上的门信号（矩形脉冲），其频谱为两者频谱的卷积。

sin(t)的频谱为冲激，门信号的频谱为sinc 信号（即sin(x)/x信号）。

冲激信号卷积sinc信号，相当于对sinc信号的搬移。

所以分析到这里，可以得出图一的时域波形其对应的频谱如下：
图十一：限定在[0,2π]内的a·sin(t)信号的频谱，即以sin(t)为载波的调制信号的频谱
sin(2t)的频谱分析基本相同。

需要注意的是，由于正交区间为[0,2π]，因此sin(2t)在相同的时间内发送了两个完整波形。

相同的门函数保证了两个函数的频谱形状相同，只是频谱被搬移的位置变了：
图十二：限定在[0,2π]内的b·sin(2t)信号的频谱，即以sin(2t)为载波的调制信号的频谱
将sin(t)和sin(2t)所传信号的频谱叠加在一起，如下：
图十三：a·sin(t)+b·sin(2t)信号的频谱
图十三和图十，均是频域上两个正交子载波的频谱图。

比一下，不太一样！
这是因为基带信号在传输前，一般会通过脉冲成型滤波器的结果。

比如使用"升余弦滚降滤波器"后，图十三所示的信号就会被修理成图十所示的信号了。

这样可以有效的限制带宽外部的信号，在保证本路信号没有码间串扰的情况下，既能最大限度的利用带宽，又能减少子载波间的各路信号的相互干扰。

注意：脉冲成型滤波器作用于频域，可以"看作"时域中的每个码元都是以类似sinc信号发出的。

没必要纠结于发送端码元的时域波形，只需要知道在接收端通过合适的采样就可以无失真的恢复信号。

三、简单回顾一下奈奎斯特第一准则
推论：码元速率为1/T(即每个码元的传输时长为T)，进行无码间串扰传输时，所需的最小带宽称为奈奎斯特带宽。

对于理想低通信道，
奈奎斯特带宽W = 1/(2T)
对于理想带通信道，奈奎斯特带宽W = 1/T
在下面的图十四中，可以看出信号的实际带宽B是要大于奈奎斯特带宽W（低通的1/(2T)或者带通的1/T）。

图十四带宽描述
列出奈奎斯特第一准则，还有一个重要目的就是说明下频带利用率的问题。

频带利用率是码元速率1/T和带宽B(或者W)的比值。

理想情况下，低通信道传实数信号，频带利用率为2Baud/Hz。

实际情况下，因为实际带宽B要大于奈奎斯特带宽W，所以实际FDM系统的频带利用率会低于理想情况。

而OFDM的子载波间隔最低能达到奈奎斯特带宽，也就是说（在不考虑最旁边的两个子载波情况下），OFDM达到了理想信道的频带利用率。

图十五OFDM正交子载波，载频间距为奈奎斯特带宽，保证了最大的频带利用率。