【精品复习】立体几何篇-第6讲空间向量及其运算

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空间向量与立体几何复习课ppt课件

一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识
理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。

高考数学大一轮复习第七章立体几何第6节空间向量及其运算课件(理)

答案： 6
热点命题·突破 02
课堂升华强技提能
空间向量的线性运算
【小结归纳】用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已
知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来.
共线、共面定理的应用
【例 2】已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC， CD，DA 的中点，用向量法证明：
如图，在直三棱柱 ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
必考部分
第七章
立体几何
第六节空间向量及其运算
[考纲考情] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
4．理解直线的方向向量与平面的法向量． 5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系． 6．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．
4．已知平面 α 和 β 的法向量分别是(－1，3，4)和(x，1，－2)，若 α⊥β，则 x＝________．
解析：因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此(－1，3，4)·(x，1，－2)＝0，即 x＝－5.
答案：－5
5．已知平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1，且两两夹角都是 60°，则对角线 AC1 的长是________．

高考数学一轮复习第八章立体几何第6节空间向量及运算课件理

⑦cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
.
a21＋a22＋a32· b12＋b22＋b23
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．(
)
(2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋
D→A＝0.(
)
(3)对于向量 a，b，若 a·b＝0，则一定有 a＝0 或 b＝0.(
B．(－1，－3,2)
C.－12，32，－1
D．( 2，－3，－2 2)
[解析] 可知－12a＝－12，32，－1，选 C.
[答案] C
4．若向量 a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，且〈a，b〉＝π3，则
实数 z＝(
)
A. 22
B．5
C．± 22
D．±5
[解析] ∵cos〈a，b〉＝cosπ3＝|aa|· ·|bb|
其中真命题的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①正确，②中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 p ＝xa＋yb 就不成立．③正确．④中若 M，A，B 共线，点 P 不在此直线上，则M→P＝xM→A＋yM→B不正确．
[答案] B
6．已知 a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
)
(4)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(
)
(5) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相
同．(
)
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×

(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。

2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量6空间向量的概念与运算练习含解析

空间向量的概念与运算考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(或平行向量)共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b a1b1＋a2b2＋a3b3共线a ＝λb(b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角余弦值 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ∈R ) l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m ，l ⊄αl ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R ) 平面α，β的法向量分别为n ，mα∥β n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R )α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0常用结论1．在平面中，A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中，P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( × )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( √ ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( × ) 教材改编题1．若{a ，b ，c }为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是( ) A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b } D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b } 答案 C解析 ∵λa ＋μb (λ，μ∈R )与a ，b 共面． ∴A，B ，D 不正确．2.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则， BM →＝BB 1—→＋B 1M —→＝AA 1—→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 10解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.题型一空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1—→＋A 1P —→＝AA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→ ＝AA 1—→＋AD →＋12DC →＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点， ∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN → ＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1—→＝NC →＋CC 1—→＝12BC →＋AA 1—→＝12AD →＋AA 1—→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c . 教师备选如图，在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示OG →，则下列表示正确的是( )A.14OA →＋12OB →＋13OC →B.12OA →＋12OB →＋12OC → C ．－16OA →＋13OB →＋13OC →D.13OA →＋13OB →＋13OC → 答案 D解析 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →)＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC →－OA → ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.思维升华用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1 (1)(2022·宁波模拟)如图，在三棱锥O －ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →＝2DQ →，若记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →等于( )A.16a ＋13b ＋13cB.13a ＋13b ＋13cC.13a ＋16b ＋13cD.13a ＋13b ＋16c 答案 A解析 OD →＝OP →＋PD →＝12OA →＋23PQ →＝12OA →＋23(OQ →－OP →) ＝12OA →＋23OQ →－23OP → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c . (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若AF →＝xAD →＋yAB →＋z AA 1—→，则x －y ＋z 等于( )A.12B ．1C.32D ．2 答案 B解析 AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DD 1—→＋D 1C 1—→)＝AD →＋12(AA 1—→＋A 1B 1—→)＝AD →＋12(AA 1—→＋AB →)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，则x ＝1，y ＝12，z ＝12，则x －y ＋z ＝1.题型二空间向量基本定理及其应用例2 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解 (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，所以MA →，MB →，MC →共面．(2)方法一由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ，所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．方法二因为OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13OA →＋13OB →＋13OC →，又因为13＋13＋13＝1，所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而M 在平面ABC 内．教师备选如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝k AC 1—→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1—→共面．解因为AM →＝k AC 1—→，BN →＝kBC →，所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝k C 1A —→＋AB →＋kBC →＝k (C 1A —→＋BC →)＋AB →＝k (C 1A —→＋B 1C 1—→)＋AB → ＝k B 1A —→＋AB →＝AB →－k AB 1—→＝AB →－k (AA 1—→＋AB →) ＝(1－k )AB →－k AA 1—→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1—→共面．思维升华证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或PA →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件答案 CD解析由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．(2)已知A ，B ，C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足OM →＝15OA →＋45OB →＋25BC →，则点M ________(填“属于”或“不属于”)平面ABC . 答案属于解析 ∵OM →＝15OA →＋45OB →＋25BC →＝15OA →＋45OB →＋25(OC →－OB →)＝15OA →＋25OB →＋25OC →，∵15＋25＋25＝1， ∴M ，A ，B ，C 四点共面．即点M ∈平面ABC .题型三空间向量数量积及其应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →.(2)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值．解设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ·⎝⎛⎭⎪⎫－b ＋12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.教师备选已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM →·PN →的取值范围为( )A.[]0，4B.[]0，2C.[]1，4D.[]1，2 答案 B解析设正方体内切球的球心为O ，则OM ＝ON ＝1，PM →·PN →＝()PO →＋OM →·()PO →＋ON →＝PO →2＋PO →·()OM →＋ON →＋OM →·ON →， ∵MN 为球O 的直径， ∴OM →＋ON →＝0，OM →·ON →＝－1， ∴PM →·PN →＝PO →2－1，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，||PO →最大，最大值为3；当P 为内切球与正方体的切点时，||PO →最小，最小值为1， ∴PO →2－1∈[]0，2，即PM →·PN →的取值范围为[]0，2.思维升华由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b 计算准确．跟踪训练3如图所示，在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． (1)解记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1—→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1—→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1—→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1—→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝0. ∴AC 1—→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1—→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1—→|＝2，|AC →|＝3， BD 1—→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos〈BD 1—→，AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.题型四向量法证明平行、垂直例4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．证明：(1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面PAD ； (3)平面PCD ⊥平面PAD .证明依题意，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)， DC →＝(2,0,0)，故BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PA ，PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB →＝(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量，而BE →·AB →＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)由(2)知平面PAD 的法向量AB →＝(1,0,0)， PD →＝(0,2，－2)， DC →＝(2,0,0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＝0，令y ＝1，可得n ＝(0,1,1)为平面PCD 的一个法向量．且n ·AB →＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以n ⊥AB →.所以平面PAD ⊥平面PCD . 教师备选如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1.证明因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1，所以以过E 作平行于BB 1的垂线为z 轴，EC ，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝3，BE ＝5，所以AE ＝2，所以E (0,0,0)，C (5，0,0)，A (0，2,0)，B (－5，0,0)，B 1(－5，0,27)． A 1(0,2，7)，则F ⎝⎛⎭⎪⎫52，1，72.(1)EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，72，AB →＝(－5，－2,0)，AA 1→＝(0，0，7)．设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AA 1—→＝0，所以⎩⎨⎧－5x －2y ＝0，7z ＝0，取⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝5，z ＝0，所以n ＝(－2，5，0)．因为EF →·n ＝52×(－2)＋1×5＋72×0＝0，所以EF →⊥n . 又EF ⊄平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA . (2)因为EC ⊥平面AEA 1，所以EC →＝(5，0,0)为平面AEA 1的一个法向量．又EA ⊥平面BCB 1，所以EA →＝(0,2,0)为平面BCB 1的一个法向量．因为EC →·EA →＝0，所以EC →⊥EA →，故平面AEA 1⊥平面BCB 1.思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面PAD ； (2)平面PAB ⊥平面PDC .证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ∥AB .又四边形ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为PA ＝PD ＝22AD ，所以PA ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.如图，以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，0.因为E 为PC 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面PAD 的一个法向量为 OF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，因为EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，－a 4，OF →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，－a 4＝0.且EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .(2)因为PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2，CD →＝(0，－a ，0)，所以PA →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0，所以PA →⊥CD →，所以PA ⊥CD .又PA ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以PA ⊥平面PDC .又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC .课时精练1．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(0，－3,2)，c ＝(－2,1,2)，则a ·(b ＋c )等于( ) A ．18B ．－18C ．32D ．－3 2 答案 B解析因为b ＋c ＝(－2，－2,4)，所以a ·(b ＋c )＝－4－2－12＝－18.2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由x ＋y ＋z ＝1，得P ，A ，B ，C 四点共面，当P ，A ，B ，C 四点共面时，x ＋y ＋z ＝1，显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．3．已知空间向量a ＝(1,0,1)，b ＝(1,1，n )，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由题意，a ·b ＝1＋0＋n ＝3，解得n ＝2，又|a |＝1＋0＋1＝2，|b |＝1＋1＋4＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝32×6＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π6.4．直线l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面α的一个法向量为(4,2,2)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ∥α或l ⊂αD ．l 与α的位置关系不能判断答案 B解析直线l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面α的一个法向量为(4,2,2)，显然它们共线，所以l ⊥α.5．(多选)已知空间三点A (1,0,3)，B (－1,1,4)，C (2，－1,3)，若AP →∥BC →，且|AP →|＝14，则点P 的坐标为( ) A ．(4，－2,2) B ．(－2,2,4) C ．(－4,2，－2) D ．(2，－2,4)答案 AB解析因为B (－1,1,4)，C (2，－1,3)，所以BC →＝(3，－2，－1)，因为AP →∥BC →，所以可设AP →＝λBC →＝(3λ，－2λ，－λ)，因为|AP →|＝3λ2＋－2λ2＋－λ2＝14，解得λ＝±1，所以AP →＝(3，－2，－1)或AP →＝(－3,2,1)，设点P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y ，z －3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝3，y ＝－2，z －3＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－3，y ＝2，z －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，z ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，z ＝4.所以点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．6．(多选)已知空间中三点A (0,1,0)，B (2,2,0)，C (－1,3,1)，则下列结论正确的有( ) A.AB →与AC →是共线向量B ．与AB →共线的单位向量是(1,1,0) C.AB →与BC →夹角的余弦值是－5511D ．平面ABC 的一个法向量是(1，－2,5) 答案 CD解析对于A ，AB →＝(2,1,0)，AC →＝(－1,2,1)，不存在实数λ，使得AB →＝λAC →，所以AB →与AC →不是共线向量，所以A 错误；对于B ，因为AB →＝(2,1,0)，所以与AB →共线的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55，0或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－55，0，所以B 错误；对于C ，向量AB →＝(2,1,0)，BC →＝(－3,1,1)，所以cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－5511，所以C 正确；对于D ，设平面ABC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，因为AB →＝(2,1,0)，AC →＝(－1,2,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，－x ＋2y ＋z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－2,5)，所以D 正确．7．已知a ＝(x ，1,1)，b ＝(－2,2，y )，a ·b ＝0，则2x －y ＝________. 答案 2解析因为a ＝(x ，1,1)，b ＝(－2,2，y )，a ·b ＝0，所以－2x ＋2＋y ＝0,2x －y ＝2.8．已知点A (－1,1,0)，B (1,2,0)，C (－2，－1,0)，D (3,4,0)，则AB →在CD →上的投影向量为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0 解析由已知得AB →＝(2,1,0)，CD →＝(5,5,0)， ∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＋0＝15，又|CD →|＝52，∴AB →在CD →上的投影向量为AB →·CD →|CD →|·CD →|CD →|＝1552×CD →52＝310CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0. 9．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1—→，CB 1—→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .(1)解以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．B (0,1,0)，N (1,0,1)，∴BN →＝(1，－1,1)， ∴|BN →|＝12＋－12＋12＝ 3.(2)解 ∵A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴BA 1—→＝(1，－1,2)，CB 1—→＝(0,1,2)，∴BA 1—→·CB 1—→＝3，|BA 1—→|＝6，|CB 1—→|＝ 5. ∴cos〈BA 1—→，CB 1—→〉＝BA 1—→·CB 1—→|BA 1—→||CB 1—→|＝3010.(3)证明 ∵C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴A 1B —→＝(－1,1，－2)，C 1M —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴A 1B —→·C 1M —→＝－12＋12＋0＝0.∴A 1B —→⊥C 1M —→， ∴A 1B ⊥C 1M .10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，P (0,0，a )， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a2，CB →＝(a ，0,0)，CP →＝(0，－a ，a )，若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a2·(a ，0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2＝0，得x ＝a2，由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即G 为AD 的中点时，GF ⊥平面PCB .11．(多选)(2022·山东百师联盟大联考)下面四个结论正确的是( )A ．向量a ，b (a ≠0，b ≠0)，若a⊥b ，则a·b ＝0B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，PC →＝14PA →＋34PB →，则A ，B ，C 三点共线C ．已知向量a ＝(1,1，x )，b ＝(－3，x ，9)，若x <310，则〈a ，b 〉为钝角D ．任意向量a ，b ，c 满足(a·b )·c ＝a·(b·c )答案 AB解析由向量垂直的充要条件可得A 正确；∵PC →＝14PA →＋34PB →，∴14PC →－14PA →＝34PB →－34PC →，即AC →＝3CB →，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当x ＝－3时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．12．(多选)(2022·重庆市第七中学月考)给出下列命题，其中为假命题的是( )A ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若n ⊥m ，则l ∥αB ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若〈n ，m 〉＝2π3，则l 与α所成角为π6C ．若两个不同的平面α，β的法向量分别为u ，v ，且u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)，则α∥βD ．已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c答案 AD解析对于A ，由题意可得l ∥α或l ⊂α，故A 错误；对于B ，由图象可得，∠CAD ＝2π3，则∠DAB ＝π3，所以∠ADB ＝π6，根据线面角的定义可得，l 与α所成角为π6，故B 正确；对于C ，因为u ＝－12v ＝－12(－2，－4,4) ＝(1,2，－2)，所以u ∥v ，故α∥β，故C 正确；对于D ，当空间的三个向量a ，b ，c 不共面时，对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，故D 错误．13．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1，BB 1的中点，则cos∠EAF ＝________；EF ＝________.答案 25 62 解析如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方体棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12， cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝1252×52＝25， ∴cos∠EAF ＝25， EF ＝|EF →|＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝62. 14.如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形，E 为棱AB 的中点，AF →＝13AD →，AG →＝2GA 1—→，AC 1与平面EFG 交于点M ，则AM AC 1＝________.答案 213解析由题图知，设AM →＝λAC 1—→(0<λ<1)，由已知AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝2AE →＋3AF →＋32AG →，所以AM →＝2λAE →＋3λAF →＋3λ2AG →，因为M ，E ，F ，G 四点共面，所以2λ＋3λ＋3λ2＝1，解得λ＝213.15．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是______．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析因为点Q 在直线OP 上，所以设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. 即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 16.(2022·株州模拟)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos60°＝3，所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21，所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1—→＝(0,1，3)，AA 1—→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD →⊥AA 1—→，即BD ⊥AA 1.(2)解假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1—→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设平面DA 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1—→＝0，n 1·DA 1—→＝0，又A 1C 1—→＝(0,2,0)，DA 1—→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧ 2y 1＝0，3x 1＋3z 1＝0，取n 1＝(1,0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，所以n 1⊥BP →，即n 1·BP →＝－3－3λ＝0，解得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且|CP →|＝|CC 1—→|.。

(人教A版)高考数学复习：7.6《空间向量及其运算》ppt课件

a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( C )
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，
∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．
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第七章立体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何
1．辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别． (2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 (a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
.
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则A→B＝O→B－O→A＝__(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1，__z_2_－__z_1)_．
1，0，1)，
∴B→A1＝(0，1，1)， A→C1＝(－1，0，1)， ∴cos〈B→A1，A→C1〉
＝|BB→→AA11|··A|A→→CC11|＝
1 2×
2＝12，
∴〈B→A1，A→C1〉＝60°，
∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
栏目导引
第七章立体几何
4．已知 A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段 AB 的中点坐标和|A→B|分别是___(2_，__1_，__52_)_，___1_7_____．解析：设 P(x，y，z)是 AB 的中点，则 O→P＝12(O→A＋O→B)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)] ＝(2，1，52)， dAB＝|A→B|＝（3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2＝ 17.

第九章立体几何9-6空间向量及其运算(理)

答案：0

பைடு நூலகம்
[例3] 如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60°， N是CM的中点．
→ → → → (1)以 AB ， AD ， AM 为基向量表示出向量 CM ，并求
CM的长； (2)求BN的长．
→ → → 解析：(1)CM＝AM－AC → → → → → → ＝AM－(AB＋AD)＝AM－AB－AD， → → → → |CM|2＝(AM－AB－AD)2 → → → → AB → → AD → → AD → ＝AM2＋AB2＋AD2－2AM· －2AM· ＋2AB· ＝b2＋a2＋a2－2bacos60° －2bacos60° ＋2a2cos90° ＝2a2－2ab＋b2. → ∴CM＝|CM|＝ 2a2－2ab＋b2.

4．当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是判断p、a、b的基线共面的条件，用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内． 5．特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定． (2)在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0，因为其中cosθ有可能为0，即两向量垂直时a·b＝0.

其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式．

误区警示 1．空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，既要会类比平面向量的知识与方法来学习空间向量，又要注意其区别． 2．零向量是一个特殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误． 3．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们的基线可以平行也可以重合．

空间向量及其运算(共22张PPT)

向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运算来分析这些力的作用和影响。
THANKS

立体几何-空间向量及其坐标运算复习

向量混合积与向量外积的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结词
向量的混合积和外积在解决实际问题中具有广泛的应用。
VS
详细描述
向量的混合积和外积在解决实际问题中具有广泛的应用。例如，在物理学中，混合积可以用来计算力矩和磁场的强度，而外积可以用来计算速度和加速度的方向。此外，在工程学和计算机图形学中，混合积和外积也常被用于解决各种实际问题，如机械设计、流体动力学和计算机动画等。
overset{longrightarrow}{a} cdot (overset{longrightarrow}{b} times
空间向量的模与向量的外积之间的关系
总结词
空间向量的模等于其外积的绝对值。
详细描述
根据向量模的定义和外积的几何意义，我们知道向量$overset{longrightarrow}{a}$的模等于其外积$overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}$的绝对值，即$|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{a} times overset{longrightarrow}{b}|$。
向量的向量积
两个向量的向量积是一个向量，其模等于两个给定向量构成的平行四边形的面积除以两向量的夹角的正弦值，例如$overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的模为 $|overset{longrightarrow}{AB}| times |overset{longrightarrow}{BC}| times sin(120^circ) = 14 times 3 times frac{sqrt{3}}{2} = 63sqrt{3}$。

空间向量及其运算知识点总结

空间向量及其运算知识点总结空间向量及其运算是一个数学领域的重要知识点，涉及到向量理论在三维空间中的应用，包括向量的表示、运算、分解和向量间的关系等。

以下是对该知识点的总结：一、基本概念1. 向量：在空间中，向量是由大小和方向组成的物理量，可以用有向线段来表示。

2. 向量加法：两个向量和差运算的几何实现是平行四边形。

3. 向量减法：两个向量被同一个向量所连接。

4. 向量数乘：数与向量的乘法是数乘向量的一种方式。

5. 向量的模：向量的长度或大小称为向量的模。

二、基本运算法则1. 平行四边形法则：两个向量的加法可以扩展到多个向量。

2. 三角形法则：对于两个不能直接相加的向量，可以先将其分解为若干个互相平行或垂直的向量，再对这些向量进行加法运算。

3. 数乘结果：数乘向量时，不改变方向。

4. 向量的分解：一个向量可以通过添加一组垂直的单位向量来分解成若干个互相垂直的单位向量。

三、向量的分解与表示对于空间中的每一个点，都存在一组与之垂直的单位向量，可以通过这个单位向量来将该点表示为其他点的线性组合。

对于平面上任意的非零点，都存在唯一的一组平行于坐标轴的单位基底和数量因子，使得点在坐标轴上的投影可以用基底和数量因子的线性组合来表示。

四、空间向量的数量积空间向量的数量积是一个重要的概念，它表示的是两个向量对应坐标的乘积的标量结果。

空间向量的数量积具有一些重要的性质，如它是一个实数，它与向量的方向无关等。

五、空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示是空间向量的基本运算之一，可以将空间向量用一组有序实数来表示，从而方便了对空间向量的各种运算和讨论。

以上就是空间向量及其运算的一些基本知识点，理解和掌握这些知识对于解决空间几何问题、向量问题以及更广泛的数学问题都具有重要的意义。

空间向量与立体几何的知识点总结

空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．知识点二共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。

届一轮复习课件立体几何6-空间空间向量及其运算

(求向量的长度(模)的依据) (求两个向量的夹角) (向量不等式)
8.空间向量的直角坐标运算.
设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3),则
(1)a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3);
(2)a b (a1 b1,a2 b2,a3 b3); (3)a (a1,a2,a3)( R);
定
向量所在直线互相平
平行于同一平面的向量,叫
义行或重合
做共面向量.
定 a / /b R, a b p,a,b共面 p xa yb
理
(b 0)
(a , b不共线)
A, P, AP AB
P, A, AP x AB y AC
推 B三点 OP OA AB
B, OP OA x AB y AC
(.10) | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2.
M=(x,y,z),若M是线段AB的中点，
(11)x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 .
2
2
2
9. 平面向量与空间向量的坐标计算
平面向量
空间向量
平面向量的坐标运算：
a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 )
|cos
b, 则AOB
3.向量的垂直：
4.投影： | b | cos
90 a b
叫做b在a方向上的投影.
5.数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与b 在 a
的方向上的投影| b | cos 的乘积.
6.数量积的运算律：(1) a b b a
(2) (a) b (a b) a (b)
加法交换律 a b b a

高考数学一轮总复习第7章立体几何第6节空间向量的运算及应用课件理新人教版

向量和向量差
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝_(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_ a－b＝_(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_
数量积共线垂直
夹角公式
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_
数λ的值为
()
A．－2
B．－134
C．154
D．2
解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
答案：D
3．(教材习题改编)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)， c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于 ________．答案：675
xOA＋(1－x)OB
yOA＋(1－x－y) OB
[即时应用] 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1 和BC上，且满足 AM ＝k AC1 ， BN ＝kBC (0≤k≤1)．向量 MN 是否与向量 AB， AA1 共面？
解析
考点三利用向量证明平行与垂直问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领] (2016·汕头模拟)如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°， AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝ 4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.
证明
考点一空间向量的线性运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量既有大小，又有方向的量
AB或 a
B
零向量
长度为零的向量 0
A
单位向量长度为1的向量 | e | 1
相等向量方向相同，长度相等的向量 a b
B’
AC AA'
AC CC'
D
C
AC'
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
练习1、在如图所示的平行六面体中，
求证： AC AB AD 2AC. D’
变式：
A’
已知平行六面体 ABCD ABCD, 则下列四式中：
(1) AB CB AC;
2、对空间向量的加法、减法的小结
加法减法运算
运算律
平面向量加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律 a b b a
加法结合律
练习9 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA， OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．
证明：
10.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆

高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算理(2021年最新整理)

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第6讲空间向量及其运算一、选择题1．以下四个命题中正确的是（)．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若｛a，b，c｝为空间向量的一组基底，则｛a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC为直角三角形的充要条件是错误!·错误!＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，（1－μ）a＝(λ－1)b＋（λ＋μ）c,λ，μ不可能同时为1,设μ≠1,则a＝错误!b＋错误!c,则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案B2．若向量a＝(1，1，x)，b＝（1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件（c－a）·（2b)＝－2，则x ＝（）．A．－4 B．－2 C．4 D．2解析∵a＝(1，1,x)，b＝(1，2,1），c＝(1,1,1），∴c－a＝(0,0，1－x)，2b＝（2，4，2）．∴（c－a）·(2b）＝2(1－x）＝－2，∴x＝2。

答案D3．若｛a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中,能构成基底的一组向量是（）．A．{a,a＋b,a－b｝B．{b，a＋b，a－b}C．｛c，a＋b，a－b} D．｛a＋b，a－b，a＋2b}解析若c、a＋b、a－b共面,则c＝λ（a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m）a＋（λ－m）b,则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c｝为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案C4。

推荐2018高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第6节空间向量的运算及应用习题理

第6节空间向量的运算及应用基础对点练(时间:30分钟)1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b 不能构成空间基底的向量是( C )(A) (B)(C) (D)或解析:根据题意得=(a-b),所以,a,b共面.构成空间向量基底的向量不共面.所以选C.2.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( B )(A)(0,3,-6) (B)(0,6,-20)(C)(0,6,-6) (D)(6,6,-6)解析:由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).3. 如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是( D )(A)x=,y=,z=(B)x=,y=,z=(C)x=,y=,z=(D)x=,y=,z=解析:设=a,=b,=c,因为G分MN所成的比为2,所以=,所以=+=+(-)=a+(b+c-a)=a+b+c- a=a+b+ c.4. 如图所示,在平行六面体ABCD A 1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( A )(A)-a+b+c (B)a+b+c(C)-a-b+c (D)a-b+c解析:=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.5.(2016·福州质检)正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( A )(A) a (B) a(C) a (D) a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,,),所以||== a.故选A.6.(2016·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )(A)a2 (B)a2(C)a2 (D)a2解析:·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.选C.7.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ等于( B )(A)1 (B)3 (C)(D)2解析:若设BC边的中点为M,则++=+2=++2=+2+2=3,所以λ=3.8. 如图,在大小为45°的二面角A EF D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D 两点间的距离是( D )(A) (B)(C)1 (D)解析:因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为. 解析:由题意知·=0,||=||,又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),所以解得x=2.答案:210.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.解析:设P(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),由=2得点P坐标为(-,,3),又D(1,1,1),所以||=.答案:11.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是.解析:由题意,设=λ,即=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-,当λ=时有最小值,此时Q点坐标为(,,).答案:(,,)能力提升练(时间:15分钟)是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是( C )(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定解析:因为M为BC的中点,所以=(+).所以·=(+)·=·+·=0.。