【精品复习】立体几何篇-第6讲 空间向量及其运算

第6讲 空间向量及其运算

【2014年高考会这样考】

1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 【复习指导】

空间向量的运算类似于平面向量的运算，复习时又对比论证，重点掌握空间向量共线与垂直的条件，及空间向量基本定理的应用．

基础梳理

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律

(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB

→＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角

已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA

→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做

向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π

2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理

(1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c .

一种方法

用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 两个理解

(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ⇒a ∥b ；

②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .

③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1.

(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．

四种运算

空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．

双基自测

1．已知向量a ∥平面β，向量a 所在直线为a ，则( )． A ．a ∥β B ．a ⊂β C ．a 交β于一点 D ．a ∥β或a ⊂β

答案 D

2．(人教A 版教材习题改编)下列命题：

①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；

②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；

④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP

→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中

x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b|＝|a ＋b|； ③中a 、b 所在直线可能重合；

④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面． 答案 C

3．(2012·福州质检)a ＝λb (λ是实数)是a 与b 共线的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 a ＝λb ⇒a ∥b 但⎩⎨⎧

b ＝0，a ≠0，则a ∥b ，a ≠λb . 答案 A

4．(2012·舟山月考)平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1

→两两的夹

角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→

|等于( )． A ．5 B ．6 C ．4 D ．8

解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ， AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b ＋2b·c ＋2c·a ＝25， 因此|AC 1→|＝5. 答案 A

5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE

→＝________(用a ，b ，c 表示)．

解析 如图，OE

→＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .

答案 12a ＋14b ＋1

4c

考向一 空间向量的线性运算

【例1】►如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示AC 1→，AG

→. [审题视点] 正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量． 解 AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→ ＝AB →＋AD →＋AA

1→ ＝a ＋b ＋c . AG →＝AA 1→＋A 1G → ＝AA 1→＋13

(A 1D →＋A 1B →)