新版同济大学朱慈勉结构力学第10章结构动..习题答案-新版.pdf

A
1
l
3
1 lk
3
C
.
lc
解：取 AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移
为： 1 q t l 2
3
1
1
lk l
3
3
.
l
..
l l c m x xdx 0
0
。根据几何关系，虚功方程
.
则同样有：
..
ma
ka
3ca
qt
。
3l
l
l
10-9 图示结构 AD 和 DF 杆具有无限刚性和均布质量 m ， A 处转动弹簧铰的刚度系数为 k θ，C、 E 处 弹簧的刚度系数为 k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c，试建立体系自由振动时的运动方程。
ll
l
l
l
l
l
EI 32 2 3 32 32 2 19 3 32 19 3 64
同济大学朱慈勉 结构力学 第 10 章 结构动 ..习题答案
10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突 加荷载？
10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？
10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a)
m1 EI
m2 EI
(b)
ym EI1= ∞
EI
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度
(c)
m
m
EI
EI
2EI
y， 。
(d)
m
m
m
m
m
m
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量 m ， B 处有一弹性支座（刚度系数为 k）， C 处有一阻尼 器（阻尼系数为 c），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
1
2
ql l
t
2
3
1 q
l2
t
3
由弹性恢复力所引起的弯矩为：
la 1
k
l
33
.
c al 2
1
.. 3
mal
3
根据 A 结点力矩平衡条件 M I M p M s 0 可得：
1
.. 3
mal
3
ka 2 l
9
. 2
c al
q t l3 3
.
.. ka 3 c a q t 整理得： m a
3l
l
l
2）力法
1 q
f 11 2
M 1图
2
2
4a
3
EA
2
5
5a
2
1 3a
6
EA
27 a 2 EA
1 m f11
2 EA 27 m a
(f)
10- 76
m
l EI= 常数
解：
l
l
2
2
3
l
1
16
5 l
32
3
l
16 3
l
32
3
l
32
1 3
l 32
13 l 64
M 1图
M 2图
13 1 23
3 1 3 2 3 16 2 13
l
l
l
l
2
2
2
2
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
3
2l
l3
上简支梁柔度系数为
48 E I 6 E I
l3 下简支梁柔度系数为
96 E I
于是两者并联的柔度系数为
1 并 6 EI 96 EI
l3
l3 102 EI
2。 3
10- 75
1 m (d)
102 EI
3
ml
m
l
EI = 常数 l
l
l
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。
R1 p Mt
3EI
l
k11
Mp
m l 3 .. M t
24
M1
10- 73
（ 3 ）列出刚度法方程
3 EI
m
.. 3
k11
， R1p
l
l
24
Mt
k11
R1p 0
代入 R1 p 、 k11 的值，整理得：
..
m
(b)
72 EI
4
l
24 M t
3
l
F P( t)
解：
EI
l
l
2
2
l
m P1 1
M 1图
水平支杆中力为
30 E I 13 l 3
，即 k11
30 EI 13 l 3 。
k11
30 E I
m
13 m l 3
30EI 13l 3
12 EI 13l 3
9EI 13l 3 9EI 13l 3
6 EI 13l 3
(e)忽略水平位移 m
EA= 常数
4a 解：
3a 4a
2
12
3
3
15 26
1
51
62
l
P2 1
2
试用柔度法解题
M 2图
此体系自由度为 1 。设质量集中处的竖向位移
y 为坐标。
y 是由动力荷载 F p t 和惯性力矩 M I 共同引起的。
y
11 M 1
F 12 p ( t )
由图乘法：
11
1
l2
2 l
l3
2 EI 3 3 EI
l /2
l
ll
12
2
l
6 EI
2
22
5l 3 48 EI
..
A
kθ a
B mC
c
k
D EI=∞
a
a
a
E mF k a
10- 72
解： k
.
..
ca
2k a 3ma
3 2
3 ka
2
取 DF 隔离体， M F 0 ：
R 2a R
2a
..
2
mx dx
0
. 2
2ma
3 ka
4
32 ka
2
取 AE 隔离体：
MA 0
3a
..
.
k
mx 2 dx ca 2
4 ka 2
3 Ra 0
0
将 R 代入，整理得：
R
..
15 ma 3
25 ka 2
k
0
4
10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)
A
B
m
EI
EI1= ∞
l
l 2
M(t)
解：（ 1）以支座 B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方 向与运动方向相反。
M(t) 1 ..
ml 2
（2）画出 M p 和 M 1 图（在 B 点处作用一附加约束）
惯性力矩为 m y l
3
l y
3 EI
..
m yl
3
5l Fpt
48 EI
经整理得，体系运动方程为：
..
my
3 EI y
l3
5
F 16 p t
。
10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。
10- 74
(a)
解： a
m
EI= 常数
2a
a
a
1
a 2
M 1图
1
1
a 2a
2
5a 3
图乘得： f 11
2
a
2 2a a a
EI
2
2 32
3
6 EI
1 m f11
6 EI 5ma 3
(b) m
EI1= ∞
k
l
l 2
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力 P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为
4
由此根据弯矩平衡可求得 P
k。
9
4
k
9
2k 。
m 3m
(c)
m
EI
EI
EA1= ∞
2EI
10- 71
q(t)
A
C
B k
EI= ∞
m
c
l
2l
3
3
解： 1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设 A 截面转角 a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量 m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度
..
为 ml a 。
取 A 点隔离体， A 结点力矩为： M I
1
..
2
ml a l l
2
3
由动力荷载引起的力矩为：