同济大学朱慈勉-结构力学第9章-弯矩分配法

相当于原结构“先固定、后放松”
q
q
M
u A
B
A
C
B
A
C
B

M
u A
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
固定状态内力分析
弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！
固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。
• 固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。
转动刚度：AB杆件A端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为AB杆A端的转动刚度， 记为 S AB 。
• 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 i EI l 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。 • 远端为固定支座：SAB 4i • 远端为铰支座： SAB 3i • 远端为定向滑动支座： SAB i
A

M
u A
D (b)放松状态
M
f AD
A结点力矩
得，
A

M
u A
SAB SAC SAD
从而，
M
f AB

S AB S Aj
M
u A
AB

M
u A
称为力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。
每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即 1。
A 1 i
A SAB 4i
M BA 2i B
A 1 i
A SAB 3i
M BA 0 B
A 1 i
A SAB i
M BA i B
2019/5/17
放松状态内力分析
传递系数：AB杆件仅A端发生转角时，B端弯矩与A端弯矩之比，称为从A到B的弯矩传递系数，记为 CAB 。
• 分配系数： AB 3 8; AC 1 8; AD 1 2
•
M
u A

M
g AB

M
g AC

M
g AD

1 ql2 8
2019/5/17
q
q
M
u A
B
A
C
B
A
C
B
M
u A
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
放松状态内力分析
放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向力矩（相当于解除约束）。 放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
• •
固端弯矩
M
g AB

1 8
ql 2 ,
结点不平衡力弯矩
M
u A

M
g BA

0;
M
g AB

M
g AC

M
g AC
M
g AD
0,
M
g CA
1 ql2 8

0;
放松状态，计算分配力矩和传递力矩。
M
g AD

0,
M
g DA

0;
• 杆件转动刚度： SAB 3i; SAC i; SAD 4i
•
M
g AB

1 ql2, 8
M
g BA

0;
M
g AC
0,
M
g CA

0;
M
g AD

0,
M
g DA

0;
结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。
• 结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。 • 在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。
• 分配系数：CAB 3 8; CAC 1 8; CAD 1 2
•
近端分配力矩：
M
f AB


3 64
ql 2 ;
M
f AC


1 64
ql 2 ;
M
f AD

1 16
ql 2
•
远端传递力矩：M来自c BA 0;
M
c CA

1 64
ql 2 ;
M
c DA


1 32
ql 2
杆端最终弯矩＝固端弯矩＋分配力矩＋传递力矩
q
q
M
u A
M
u A
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
D
D
原结构
(a)状态
(b)状态
只有一个位移法未知量—A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元。
根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。
• (a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移—— 固定状态 • (b)状态：只发生结点位移，无外荷载—— 放松状态
弯矩分配法
弯矩分配法的本质及其适用范围
弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。
弯矩分配法的适用范围：
单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。 弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。
弯矩分配法的基本概念
以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 i ，杆长均为 l ，不计杆件轴向变形。
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q
结点 B
A
C D 备注
B
A
C
杆端 BA AB AC AD CA DA

38 18 12
D 原结构
计算过程小结
Mg
分配 传递
M终
18 0 3 64 1 64 1 16 1 64 1 32 0 5 64 1 64 1 16 1 64 1 32
ql 2
分配力矩下划 线，以示与传 递力矩区分
固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。
• •
固端弯矩
M
g AB

1 8
ql 2 ,
结点不平衡力弯矩
M
u A

M
g BA

0;
M
g AB

M
g AC

M
g AC
M
g AD
0,
M
g CA
1 ql2 8

0;
放松状态，计算分配力矩和传递力矩。
M
g AD

0,
M
g DA

0;
• 杆件转动刚度： SAB 3i; SAC i; SAD 4i
A SAB i
M BA i B
放松状态内力（分配系数）
B
M
u A
A
C
M
f AB
M
u A
A
M
f AC
A结点力矩平衡方程：
M
f AB

M
f AC

M
f AD

M
u A
而，M
f AB

S AB A;
M
f AC

SAC A;
M
f AD

SAD A
所以，
SAB SAC SAD
• 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。
• 远端为固定支座：CAB 1 2
A 1 i
A SAB 4i
M BA 2i B
• 远端为铰支座： CAB 0
A 1 i
A SAB 3i
M BA 0 B
• 远端为定向滑动支座：CAB 1
A 1 i
物W理h含y?义：结点力矩平衡
M
f AC

S AC S Aj

M
u A
AC

M
u A
M
f AD

S AD S Aj

M
u A
AD

M
u A
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q
q
M
u A
B
A
C
B
A
C
B

M
u A
A
C
D 原结构
D (a)固定状态
D (b)放松状态
计算过程小结