全等三角形证明过程训练(习题及答案)

E

B 1 2 G C

E

G

⎨

⎩

全等三角形证明过程训练（习题）

例题示范

例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A

D

为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ．

【思路分析】 A D ① 读题标注：

B

C

F ② 梳理思路： F

要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现

，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由

已知得，AB =CB ；BE =BF ；

根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等．

【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图

∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90°

∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90°

∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2

在△ABE 和△CBF 中

⎧ A B = CB ⎪

∠1 = ∠2 ⎪BE = BF （已知） （已证） （已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）

∴AE =CF （全等三角形对应边相等）

过程规划：

1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2

2．证明△ABE ≌△CBF

3．根据全等性质得，AE =CF

E 巩固练习

1.

如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将

上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ．

B

D

A D

A

P

E

B

C C

第 1 题图 第 2 题图

2.

已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是

，理由是

．

3.

已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A

B C

D 4.

已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．

A

C D E

F

B

5.如图，点C，F 在BE 上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D．求

证：△ABC≌△DEF．

6.已知：如图，点A，B，C，D

∥CF，AE∥DF．求证：△过程规划：过程规划：

E

H

7. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为 点 D ，E ，AD 与 C E 相交于点 H ，AE =CE ．

A 求证：AH =C

B ．

B

D

C

思考小结

1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形 ；要证明三角形全等，需要准备 _组条件，其中

有一组必须是 相等．

过程规划：

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2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的？

例 1：已知：如图，AB =AD ，AC =AE ，∠BAE =∠DAC ． 求证：∠B =∠D ．

E

B

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）

第二步：分析特征走通思路

C

A

① 要求∠B =∠D ，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B 放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两 D

个三角形全等即可．

② 要证明△ ABC ≌△ ADE ，需要找三组条件，由已知得 AB =AD ，AC =AE ，还差一组条件，根据∠BAE =∠DAC ， 同时加上公共角∠CAE ，可得∠BAC =∠DAE ，利用 SAS 可得两个三角形全等． 第三步：规划过程过程分成三块：

① 由∠BAE =∠DAC ，可得∠BAC =∠DAE ； ② 由 SAS 得△ABC ≌△ADE ； ③ 由全等得∠B =∠D ． 第四步：过程书写

A

B

3 2 1

4 C

D

⎩

⎨

⎩ 【参考答案】 巩固练习

1. Rt △ADP ，Rt △AEP ，AE

2. AD =CB ，HL

AB =CD ，SAS ∠A =∠C ，AAS

∠ADB =∠CBD ，ASA 3. 6

4. 证明：如图，

∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF

∴AE +EF =BF +EF 即 AF =BE

在 Rt △CEB 和 Rt △DFA 中 ⎧BC = AD （已知） ⎨

BE = AF （已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，

∵BF =EC

∴BF +FC =EC+FC 即 BC =EF

在△ABC 和△DEF 中 ⎧∠A =∠∆ （已知） ⎪

∠1 =∠2 （已知） ⎪BC = EF （已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） F

6. 证明：如图，

∵AC =BD

∴AC -BC =BD -BC 即 AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2

∵∠1+∠3=180°

E