全等三角形证明过程训练(习题及答案)

E
B 1 2 G C
E
G
⎨
⎩
全等三角形证明过程训练（习题）
例题示范
例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E A
D
为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ．
【思路分析】 A D ① 读题标注：
B
C
F ② 梳理思路： F
要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现
，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由
已知得，AB =CB ；BE =BF ；
根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等．
【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图
∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90°
∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90°
∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2
在△ABE 和△CBF 中
⎧ A B = CB ⎪
∠1 = ∠2 ⎪BE = BF （已知） （已证） （已知）∴△ABE ≌△CBF （SAS ）
∴AE =CF （全等三角形对应边相等）
过程规划：
1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠2
2．证明△ABE ≌△CBF
3．根据全等性质得，AE =CF
E 巩固练习
1.
如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将
上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ．
B
D
A D
A
P
E
B
C C
第 1 题图 第 2 题图
2.
已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是
，理由是
．
3.
已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ． A
B C
D 4.
已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．
A
C D E
F
B
5.如图，点C，F 在BE 上，∠1=∠2，BF=EC，∠A=∠D．求
证：△ABC≌△DEF．
6.已知：如图，点A，B，C，D
∥CF，AE∥DF．求证：△过程规划：过程规划：
E
H
7. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为 点 D ，E ，AD 与 C E 相交于点 H ，AE =CE ．
A 求证：AH =C
B ．
B
D
C
思考小结
1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形 ；要证明三角形全等，需要准备 _组条件，其中
有一组必须是 相等．
过程规划：
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2. 阅读材料
我们是怎么做几何题的？
例 1：已知：如图，AB =AD ，AC =AE ，∠BAE =∠DAC ． 求证：∠B =∠D ．
E
B
第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）
第二步：分析特征走通思路
C
A
① 要求∠B =∠D ，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B 放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两 D
个三角形全等即可．
② 要证明△ ABC ≌△ ADE ，需要找三组条件，由已知得 AB =AD ，AC =AE ，还差一组条件，根据∠BAE =∠DAC ， 同时加上公共角∠CAE ，可得∠BAC =∠DAE ，利用 SAS 可得两个三角形全等． 第三步：规划过程过程分成三块：
① 由∠BAE =∠DAC ，可得∠BAC =∠DAE ； ② 由 SAS 得△ABC ≌△ADE ； ③ 由全等得∠B =∠D ． 第四步：过程书写
A
B
3 2 1
4 C
D
⎩
⎨
⎩ 【参考答案】 巩固练习
1. Rt △ADP ，Rt △AEP ，AE
2. AD =CB ，HL
AB =CD ，SAS ∠A =∠C ，AAS
∠ADB =∠CBD ，ASA 3. 6
4. 证明：如图，
∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF
∴AE +EF =BF +EF 即 AF =BE
在 Rt △CEB 和 Rt △DFA 中 ⎧BC = AD （已知） ⎨
BE = AF （已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，
∵BF =EC
∴BF +FC =EC+FC 即 BC =EF
在△ABC 和△DEF 中 ⎧∠A =∠∆ （已知） ⎪
∠1 =∠2 （已知） ⎪BC = EF （已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） F
6. 证明：如图，
∵AC =BD
∴AC -BC =BD -BC 即 AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2
∵∠1+∠3=180°
E
3
E 4
H 2 1
⎨ ⎩
⎨ ⎩
∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D
在△ABE 和△DCF 中 ⎧∠3 =∠4 （已证） ⎪
AB = DC （已证） ⎪∠A =∠∆ （已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，
A B D C ∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB ∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3
在△AEH 和△CEB 中
⎧∠AEH =∠XEB （已证） ⎪
AE = CE （已知） ⎪∠3 = ∠1 （已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）
∴AH =CB （全等三角形对应边相等）
思考小结
1. 全等；3，边。