函数的极限典型例题
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第二讲 函数的极限
一 内容提要
1.函数在一点处的定义
,
0,0)(lim 0
>∃>∀⇔=→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.
右极限
,
0,0)(lim 0
>∃>∀⇔=+→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.
左极限
,
0,0)(lim 0
>∃>∀⇔=-→δεA x f x x 使得δ<-<∀x x x 00:，有ε<-A x f )(.
注1 同数列极限一样，函数极限中的ε同样具有双重性． 注2
δ的存在性（以0x x →为例）
：在数列的“N -ε”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要；对δ也是如此，只要对给定的0>ε，能找到某一个δ，能使δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(即可． 注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A ．
注4 ⇔=→A x f x x )(lim 0
=+→)(lim 0
x f x x A x f x x =-→)(lim 0
．
注５ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≠→∈∀⇔=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且，有A x f n n =∞→)(lim ，称为
归结原则――海涅（Heine ）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定
条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6 0,
0)(lim 00
>∀>∃⇔≠→δεA x f x x ，δ<-'<'∃00:x x x ，有0)(ε≥-'A x f ．
2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义，则
,
,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=+∞
→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,
,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=-∞
→ε使得X x x -<∀:，有ε<-A x f )(．
注１ ⇔=∞
→A x f x )(lim =+∞
→)(lim x f x A x f x =-∞
→)(lim ．
注２ ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∞→∈∀⇔=∞
→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ，有A x f n n =∞→)(lim ．
３ 函数的有界
设)(x f 在),[+∞a 上有定义，若存在一常数0>M ，使得),[+∞∈∀a x ，有M x f ≤)(，则称)(x f 在),[+∞a 上有界． ４ 无穷大量
,
0,0)(lim 0
>∃>∀⇔∞=→δG x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有G x f >)(． ,
0,0)(lim >∃>∀⇔∞=∞
→X G x f x 使得X x x >∀:，有G x f >)(．
类似地，可定义-∞=+→)(lim 0
x f x x ，-∞=-→)(lim 0
x f x x ，∞=+→)(lim 0
x f x x ，∞=-→)(lim 0
x f x x 等．
注 若∞=→)(lim 0
x f x x ，且0>∃δ和0>C ，使得δ<-<∀00:x x x ，有0)(>≥C x f ，
则∞=→)()(lim 0
x g x f x x ．
特别的，若∞=→)(lim 0
x f x x ，0)(lim 0
≠=→A x g x x ，则∞=→)()(lim 0
x g x f x x ．
５ 无穷小量
若0)(lim 0
=→x f x x ，则称)(x f 当0x x →时为无穷量．
注1 可将0x x →改为其它逼近过程．
注2 ⇔=→A x f x x )(lim 0
)()(x A x f α+=，其中0)(lim 0
=→x x x α．由于有这种可以互逆的表
达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 0)(lim 0
=→x f x x ，)(x g 在0x 的某空心邻域内有界，则0)()(lim 0
=→x g x f x x ．
注4 0)(lim =∞
→x f x ，且当x 足够大时，)(x g 有界，则0)()(lim 0
=→x g x f x x ．
注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．
6 函数极限的性质
以下以0x x →为例，其他极限过程类似． （1）A x f x x =→)(lim 0
，则极限A 唯一．
（2）A x f x x =→)(lim 0
，则0,>∃M δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(．
（3）A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
，且B A <，则0>∃δ，使得δ<-<∀00:x x x ，
有 )()(x g x f <