函数的极限典型例题
高数求极限的例题及详解
高数求极限的例题及详解
求极限的例题及详解
高数的极限是指在函数中求取某一极限值的方法，也是高数中分离变量的基本概念，在学习求取极限过程中，例题的了解也非常重要。
下面就来讨论一道求极限的例题。
例题题目：求极限
lim\left(x\right) = \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}
解析：该题要求求出极限，首先将分数中的分母变为0，则有：2-3x=0，解得x=2/3。
由于在求取函数极值时，该函数至少需要二阶可导，所以要先求出其二阶导。
导函数结果：y''= \frac{12}{\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+7}\right)^3}
故其二阶导数为正，由于函数y= \frac{\sqrt{x+8}-
\sqrt{x+7}+6\sqrt{x+1}-2}{2-3x}在x=2/3时，分子和分母同时趋向于无穷大，所以此时函数极限值为正无穷，因此，解得该题极限为：lim\left(x\right) = +\infty。
结论：最终我们解出该题极限值为+∞，由此可见，求极限的基本方法是：求出函数的导数并判断其开口方向；在求取极限的例题中，要先求出表示极限的分子和分母的表达式，然后求出函数的二阶导数，最后由分母或分子在极限点趋向于无穷大或无穷小，两者成比例来确定函数的极限值。
函数的极限典型例题
第二讲函数的极限一 内容提要1•函数在一点处的定义注2 的存在性（以x x o 为例）：在数列的“ N ”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的Heine ）定理•它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.因此，利用定理必要性的逆否命题，又可以借用数列极限的现成结果来论证函 ） 2函数在无穷处的极限设 f (X)在［a,）上有定义，则lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) AX0, X a, 使得 x: x X ，有『(x)lim f (x) A0, X a, 使得 x:xX ，有 f(x)注1 lim f (x)XAlimXf(x) lim f(x) A .X注2 X im f(X ) A{X n } {X n }|X nlim f (x)X X 0A 0,0,使得 x:0 X X。
右极限lim f (x)XxA0,0,使得X 0X X。
左极限lim f(x)X X 0A 0, 0, 使得 X 0XX注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性.，有 f(x) A，有 | f (x) A，有 | f (x) AN 无关紧要；对 也是如此,只要对给定的 0，能找到某一个 ，能使0 x x 0 时，有f （x ） A 即可.注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究 f （x ）是否无限趋近于A .注 4 lim f (x)x x 0A lim f (x)x x 0lim f (x) A .x X 0注5 lim f (x)x X 0A {X n } {X n } |X n X 0,且X nx 0 ，有 lim nf (X n ) A ，称为归结原则一一海涅（ 条件下函数极限与数列极限可以相互转化.验证某些函数极限不存在； 而利用定理的充分性,数极限问题.（会叙述，证明，特别充分性的证明. 说明在一定可以方便地注 6 lim f (x) Ax x0 0,X 。
大一函数极限定义证明例题
大一函数极限定义证明例题1. 函数极限的基本概念哎呀，大家好！今天咱们来聊聊一个数学里的“高大上”概念——函数的极限。
说到极限，感觉就像是数学界的小秘密，听起来复杂，但其实它的核心概念非常简单。
就像咱们生活中的一些事情，表面看着神秘，实际上不过是个小道理。
举个例子，就像你在公交车上，车越来越快，眼前的风景好像在飞驰而过。
这个时候，你可能会想：“如果我再靠近终点，会发生什么？”这就是极限的感觉！极限的正式定义听起来有点吓人，但其实它只是想告诉我们，当自变量靠近某个值的时候，函数的值是如何变化的。
我们用一个小符号“lim”来表示极限，像一个数学界的魔法师，神奇地把一些复杂的关系变得简单易懂。
想象一下，当你把冰淇淋放在阳光下，随着时间的推移，它慢慢融化。
这个过程其实就是在告诉我们，温度越来越高，冰淇淋的状态在改变。
这种变化，其实就是极限在悄悄发挥作用。
2. 极限的定义2.1 εδ定义说到极限，我们不得不提到“εδ”定义。
这是什么神仙概念呢？简单来说，它是用来描述函数在某个点附近的行为。
想象一下，你在操场上玩“捉迷藏”，你朋友站在一个固定的地方，而你则在不断靠近他。
你能做到的就是不断接近，直到你几乎触碰到他。
这里的“ε”就是你能接受的距离，而“δ”是你离他多远才算“接近”。
在数学里，当我们说“对于任意小的ε，都存在一个δ”，其实就是在说，不管你怎么要求，我都能找到一个方法让这个关系成立。
这听起来很复杂，但想象一下在追逐梦想的路上，总会有些坎坷，但只要你努力，总能找到一条路径让你更接近梦想。
这种“追逐”的过程，其实就是在寻找极限的意义！2.2 极限的性质极限还有很多有趣的性质，比如说如果你把两个函数相加，极限是可以直接相加的，就像是两位好朋友一起去冒险，各自的勇气合在一起，能量翻倍！当然，乘法也是同理。
这就像是你和你的好基友一起开派对，乐趣成倍增长。
不过，有些情况下，极限不太好求，比如遇到“0/0”这种情况，哎，真是让人抓狂，感觉像是被堵在了死胡同里。
函数极限习题及解析
函数极限习题及解析1. 极限的定义函数极限是研究函数变化趋势的重要概念，通过求取函数在某一点附近的极限值，可以推断函数在该点的行为。
函数极限的定义如下：对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时，有 |f(x)-L| < ε 成立，那么称函数 f(x) 在 x=a 处具有极限 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
2. 基本极限公式在计算极限的过程中，常常会用到一些基本的极限公式，它们的证明可以依靠函数极限的定义以及一些基础的数学概念。
以下是一些常见的基本极限公式：公式1：lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
lim(x→a) c = c，其中 c 为常数。
公式2：lim(x→a) x = a。
lim(x→a) x = a。
公式3：lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
lim(x→∞) kx = ∞，其中 k 为正常数。
公式4：lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
lim(x→∞) x^n = ∞，其中 n 为正整数。
公式5：lim(x→a) (f(x) ± g(x)) = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
lim(x→a) (f(x) ± g(x)) =lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限。
3. 极限的题和解析题1：求函数 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) 在 x = 1 处的极限。
解析：直接代入 x = 1，得到 f(x) = 0/0，这种形式的函数是无法通过直接代入求得极限的。
我们可以对该函数进行化简，得到 f(x) = x + 1。
高数极限真题及答案解析
高数极限真题及答案解析引言：高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中极限是数学中的重要概念之一。
作为基础与应用数学的桥梁，掌握高数极限的理论和解题方法对学生的学习和发展至关重要。
本文将介绍几道经典的高数极限真题，并对它们的答案进行详细解析，帮助读者深入理解高数极限的概念和运用。
第一道题目：求极限：lim(x→2) (3x² - 7x + 2)解析：对于这道题目，我们可以使用极限的性质，将其分解为更简单的形式。
首先，我们将3x² - 7x + 2因式分解为(x - 2)(3x - 1)。
然后，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2)(3x - 1) = lim(x→2) (x - 2) ×lim(x→2) (3x - 1)将极限运算分解为两个单独的极限，便于计算。
此时，我们可以得到：lim(x→2) (x - 2) = 2 - 2 = 0lim(x→2) (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5因此，原极限的结果为0 × 5 = 0。
第二道题目：求极限：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4)解析：对于这道题目，我们需要考虑的是当自变量趋向于无穷大时的极限情况。
首先，我们可以使用同除法的原则，将分子和分母同时除以x²，得到：lim(x→∞) (2x² - 5x) / (3x² + 4) = lim(x→∞) (2 -5/x) / (3 + 4/x²)随着x趋向于无穷大，5/x和4/x²的值都趋近于0，因此我们可以得到：lim(x→∞) (2 - 5/x) / (3 + 4/x²) = 2/3所以，原极限的结果为2/3。
第三道题目：求极限：lim(x→0) (sin²x) / x解析：对于这道题目，我们可以使用极限的定义，即lim(x→a) f(x) = L。
求极限的方法和例题总结
求极限的⽅法和例题总结8.⽤初等⽅法变形后，再利⽤极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分⼦分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x xx（2） e x xx =+→10)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运⽤这两个重要极限本⾝，还应能够熟练运⽤它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利⽤两个重要极限求极限例5 203cos 1lim x xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim 220220=?=→→x xx x x x 。
注：本题也可以⽤洛⽐达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-?-→=-=-e x x xx xx xxx x例7nn n n )12(lim +-∞→=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+e n n n n n n n nn n 。
4．等价⽆穷⼩定理2 ⽆穷⼩与有界函数的乘积仍然是⽆穷⼩（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是⽆穷⼩（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
函数极限练习题
函数极限练习题一、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x}{x+1}$，当$x$趋近于正无穷时的极限。
由于函数为有理函数，我们可以将其分子分母同时除以$x$，得到：$f(x) = \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$当$x$趋近于正无穷时，$\frac{1}{x}$趋近于0，因此分母趋近于1。
所以极限为：$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1$2. $g(x) = \sin(x)$，当$x$趋近于0时的极限。
根据三角函数的性质，$\sin(x)$的极限为：$\lim\limits_{x\to0} g(x) = \sin(0) = 0$3. $h(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：$h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$当$x$趋近于2时，分母趋近于0，但由于分子中同样存在$(x-2)$这一因子，两者相除后可以约去，所以极限为：$\lim\limits_{x\to2} h(x) = \lim\limits_{x\to2} (x+2) = 4$二、求以下函数的极限：1. $f(x) = \frac{x^3-2x^2-3x+2}{x^2-4}$，当$x$趋近于2时的极限。
首先，我们可以对函数进行因式分解：$f(x) = \frac{(x-2)(x^2+x-1)}{(x-2)(x+2)}$当$x$趋近于2时，分子和分母都趋近于0，所以可以将相同的 $(x-2)$ 因子约去，得到：$\lim\limits_{x\to2} f(x) = \lim\limits_{x\to2} \frac{x^2+x-1}{x+2} =\frac{2^2+2-1}{2+2} = \frac{5}{4}$2. $g(x) = \frac{\sqrt{x+1}-3}{x-8}$，当$x$趋近于8时的极限。
证明函数极限例题
证明函数极限例题要证明一个函数的极限，首先需要确定极限的形式是什么。
常见的形式有：1.当x趋近于一些数a时，f(x)趋近于一个常数L。
2.当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于一个常数L。
3.当x趋近于一些数a时，f(x)趋近于正无穷或负无穷。
4.当x趋近于无穷大时，f(x)趋近于正无穷或负无穷。
接下来我们会通过一个具体的例子来证明函数的极限。
假设要证明函数f(x)=(2x^2-1)/(x^2-4x+3)在x趋近于3时的极限。
首先，我们可以将函数进行简化，将分子和分母同时除以x^2，得到f(x)=(2-1/x^2)/(1-4/x+3/x^2)。
接下来，我们可以将x趋近于3时的函数值进行计算，即计算f(3)。
代入x=3，我们得到f(3)=(2-1/9)/(1-4/3+3/9)=5/2现在我们需要证明当x趋近于3时，f(x)趋近于5/2我们可以使用极限的定义来证明这一点。
根据极限的定义，我们需要找到一个数δ>0，使得当0<，x-3，<δ时，都有，f(x)-5/2，<ε成立，其中ε是一个任意小的正数。
我们可以从公式中得到：f(x)-5/2，=，(2-1/x^2)/(1-4/x+3/x^2)-5/2=，(2-1/x^2-5/2(1-4/x+3/x^2))/(1-4/x+3/x^2)=，(2-1/x^2-5/2+10/x-15/x^2)/(1-4/x+3/x^2)=，(4/x-13/2+10/x-15/x^2)/(1-4/x+3/x^2)=，(4x-13x+20-15)/(2x^2-8x+6)，/，1-4/x+3/x^2=，(-9x+5)/(2x^2-8x+6)，/，x^2-4x+3=，(-9x+5)/[(x-1)(x-3)]，/，(x-1)(x-3)=，(-9x+5)/[(x-1)(x-3)]，/，x-1，x-3=，-9x+5，/，x^2-4x+3然后，我们观察到当x趋近于3时，-9x+5，趋近于0。
函数的极限(二)
（2）lim f 而 xx0
lim f (x)
xx0
(
x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
lim
xx0
f
(x)都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧
极限，
显然 lif( m x ) a lif( m x ) lif( m x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
(三)例题
变化趋势？
y
x 1 (x 0)
(1)图象
1
01 x -1
(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1
(二)函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，
如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0
2.4函数的极限(二)
高二备课组
序言
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函数极限(2)
x → x+。 x → x-。
定理五 如果linf(x)=A （ A ≠0）那么就存在着 x → x。 x 。的某一 去心领域Ù（ x 。， ），当x Ù（ x 。， ）时，就有| f(x)|>|A|/2 。 推论 如果在x 。的某去心领域内f(x) ≥ 0（ 或f(x) ≤ 0 ），而且linf(x)=A，那么A ≥ 0 （或A ≤ 0 ）。
定义3 如果当时函数f (x) 无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f (x) 当的极限．记作 lim f ( x) A或f ( x) A( x x0 )
x x0
例3
( x 1) 求 lim x 1
．
lim (ax b) ax 0 b 一般地， x x
0
例4求函数
0
如果当 x x0时，函数f(x) 无限接近于一个确定的常数A，那么A就 叫做函数f(x) 在点x0的左极限，记作 lim f ( x) A或f ( x) A( x x0 )
x x0
结论：
(1) lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x → x。
即 linf(x)=A
x → x。
f(x) ≥ 0 A ≥ 0 f(x) ≤ 0 A ≤ 0
•x → ∞时,函数f(x)的极限
定义1 如果当x的绝对值无限增大时，函数f（x）无限接近于一个确定的常 数A，那么称A为函数f(x)当时的极限,记为 lim f ( x) A或当 x 时, f ( x) A y
例3、当X → 0时，函数Y=X+2 的变化趋势如何？
y
2
y=x+2
0
x
（完整版）函数极限习题与解析
函数与极限习题与解析（同济大学第六版高等数学）一、填空题1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是的定义域是[0[0[0，，1]1]，则，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是的定义域是[0[0[0，，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。
7、函数xx y sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(=，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222n n nn nn n n Λ。
1010、函数、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
1111、、=++++∞→352352)23)(1(lim x x x x x x 。
1212、、3)21(lim -∞→=+e n kn n ，则k= 。
1313、函数、函数23122+--=x x x y 的间断点是。
1414、当、当+∞→x 时，x 1是比13+-+x x 的无穷小。
1515、当、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
1616、函数、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。
1717、设、设113--=x x y，则x=1为y 的 间断点。
1818、已知、已知33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
1919、设、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
2020、曲线、曲线2sin 2-+=xx x y 水平渐近线方程是 。
求左右极限的简单例题
求左右极限的简单例题
求左右极限的简单例题
求左右极限是数学中一种重要的概念，可用于求解实际问题，求取函数所能取得的最大/
最小值，甚至在各种学科中都有广泛的应用。
下面将举一个简单的例题来讲解求左右极限
的概念。
问题：证明函数f(x) = (3x-1) / (x-1)的左极限和右极限都为3。
解答：首先，我们将函数f(x)表示为比例：
f(x) = y
a = 3x-1
b = x-1
我们注意到，b>0，因此，令a/b（令y=a/b）可以表示函数f(x)。
求函数f(x)的左极限：
当x逐渐接近1时，函数f(x)的值也逐渐接近3；
当x由大到1时，函数f(x)的值从“+∞”到3，从而可得函数f(x)的左极限为3。
求函数f(x)的右极限：
当x逐渐接近1时，函数f(x)的值也逐渐接近3；
当x由小到1时，函数f(x)的值从“-∞”到3，从而可得函数f(x)的右极限为3。
综上，通过以上分析可知，函数f(x)的左极限和右极限均为3，即f(x)介于-∞到+∞之间时，函数的取值范围的最小值和最大值均为3。
求左右极限的简单例题具有很重要的现实意义，它涉及函数模型的应用及其等价的解析表达。
例如，在金融计算中，通过求解极限可以有效地计算诸如泊松方程、累计折现函数、时间价值等复杂的函数模型，它不仅改变了传统模型的分析方式，而且提供了新的思考方式，进而使得绝大多数复杂实际问题得以求解。
函数极限定义证明习题解析
在。则所有这些极限都相等。 证：对{xn} (x0)，{yn} (x0)，xn x0，yn x0， 令 zn：x1, y1, x2, y2,…, xn, yn 则{zn} (x0)，zn x0, 由假设， lim f ( z n ) 存在，设为 A, 从而{ f(xn)}，{ f(yn)} 作
x1
n(n 1) 2 n 1 x 1 1 1 x lim (4). lim x 0 x 0 x n x (1 x) n 1 n (1 x) n 2 n (1 x) n 1 n [ x] (5). lim x x 1 [ x] 当 x >0，x-1< [ x] x, 从而 1 1 x x 0 x x x 1 [ x] 1 而 lim 1 1, lim 1 1, lim 1 x x x x [ x] x [ x] 1 x [ x] 1 当 x <0，x-1< [ x] x, 从而 1 1 x x 1 [ ] x 而 lim 1 1, lim 1 1, lim 1 x x x x x [ x] 综上， lim 1 x x 9．(1). 证明：若 lim f ( x 3 ) 存在，则 lim f ( y ) lim f ( x 3 ) 1 2 3 n
n
为{ f(zn)}的两个子列，必有 lim f ( x n ) lim f ( x n ) A ，由{yn}，{xn}的任意性，即见
n n
所有极限 lim f ( x n ) 都相等。
n
5．设 f 为(x0)上的递增函数，证明：f (x0-0)和 f (x0+0)都存在，且 f ( x0 0) sup f ( x), f ( x0 0) inf f ( x)
高中数学 函数的极限范例例题
x0
－x＋2， 當 x＜0
解■ (2)如右图，lim f（x）＝ lim（－x＋2）＝2
x0－
x0－
lim f（x）＝ lim（2x＋2）＝2
x0＋
x0＋
lim f（x）＝ lim f（x）＝2
x0－
x0＋
∴lim f（x）＝2 x0
例题 5 极限的存在
利用左极限及右极限判断下列极限是否存在。 (3) lim log2│x│。
x2－
x2－
x2＋
x2＋
∴2a＋b＝－2
② lim f (x) ＝ lim x2＝0，lim f (x) ＝ lim（ax＋b）＝b
x0－
x0－
x0＋
x0＋
由①与②得 b2＝a＋0 b＝－2，解得 a＝－1，b＝0
∴b＝0
上一题
下一题
主题 3 中间值定理
例题 16 中间值定理的应用
x3
xx－－43＋（x－3）（2 x－1）
＝lim（x－4）（x－1）＋2 x3 （x－3）（x－1）
＝lim x2－5x＋6 ＝lim（x－3）（x－2） x3（x－3）（x－1） x3（x－3）（x－1）
＝lim x－2＝1 x3 x－1 2
上一题 下一题
例题 9 函数极限的运算性质(四)根式型
上一题 下一题
例题 17 勘根定理的应用
(1)设 f（x）＝2x4－5，g（x）＝x2－5，试证在 1 与 2 之间有一实数 c， 满足 f（c）＋g（c）＝c。
■證 (1)令 F（x）＝f（x）＋g（x）－x ＝（2x4－5）＋（x2－5）－x ＝2x4＋x2－x－10
F（1）＝2＋1－1－10＝－8＜0 F（2）＝2．24＋22－2－10＝24＞0 ∴F（1）．F（2）＜0 由勘根定理可知，在 1 与 2 之间有一实数 c 满足 F（c）＝0 即 f（c）＋g（c）－c＝0 f（c）＋g（c）＝c
分段函数求极限例题及详解
分段函数求极限例题及详解
分段函数求极限是数学中的重要内容之一。
下面我将给出一个例题，并详细解答。
例题，求函数 f(x) = {x^2, x < 1; 2x-1, x ≥ 1} 在 x = 1 处的极限。
解答：
要求函数 f(x) 在 x = 1 处的极限，我们需要分别考虑 x < 1 和x ≥ 1 两种情况。
当 x < 1 时，函数 f(x) = x^2。
此时，我们可以直接计算
x^2 在 x = 1 处的极限。
由于 x^2 是一个连续函数，我们可以直接将 x 替换为 1，得到极限值为 1^2 = 1。
当x ≥ 1 时，函数 f(x) = 2x-1。
同样地，我们需要计算
2x-1 在 x = 1 处的极限。
同样地，我们可以直接将 x 替换为 1，得到极限值为 2(1)-1 = 1。
综上所述，当 x = 1 时，函数 f(x) 的极限值为 1。
这个例题中的分段函数在 x = 1 处的极限存在，并且等于两个
分段函数在 x = 1 处的极限值的共同值。
这是因为在 x = 1 处，
两个分段函数的定义是连续的，没有发生跳跃或间断。
需要注意的是，分段函数求极限时，除了要考虑分段函数在分
段点处的极限值外，还要考虑分段点处的函数值是否与极限值相等。
只有当这两个条件都满足时，分段函数在该点处的极限才存在。
希望以上解答对你有帮助。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
求函数极限的例题
求函数极限的例题函数极限是在数学中定义的术语，用于描述函数在其自变量接近某一特定值时的行为。
函数的极限的概念在数学中非常重要，它可以帮助我们分析和推断函数的行为，从而解决实际问题。
一般来说，求函数极限的步骤如下：1.定极限的值：即要求函数极限的自变量的值。
2.定函数的表达式：需要根据题中给出的函数表达式，确定函数的表达式。
3.函数极限：根据函数的表达式，求函数极限的值。
下面来看一个具体的例题，求函数极限的值：求：lim x→4 (x^2-16)/(x-4)首先，我们需要根据题干确定函数的表达式，这里明显是求极限，所以函数表达式是：y=(x^2-16)/(x-4)。
接着，求函数极限，首先我们需要找到x→4时函数的表达式，即当x=4时，y=(4^2-16)/(4-4)，然后带入极限函数求极限，可以得到：lim x→4 (x^2-16)/(x-4)=lim x→4 4=4因此，本题的求函数极限结果为lim x→4 (x^2-16)/(x-4)=4。
以上就是关于求函数极限的例题的分析过程，通过以上的分析，我们可以清楚的理解求函数极限的过程，以及如何解决实际问题，从而帮助我们更深入的了解数学中的极限概念。
除了以上求极限的例题，我们还可以看一些其它的例题，来进一步加深我们对极限的理解，比如：例题2：求：lim x→∞ (2x^2+1)/(x^2-2)解：分析：x→∞时，函数的表达式为：y=(2x^2+1)/(x^2-2)求函数极限：lim x→∞ (2x^2+1)/(x^2-2) = lim x→∞ 2 = 2 因此，lim x→∞ (2x^2+1)/(x^2-2) = 2。
从上面的两个例题中，我们可以看出，求函数极限的过程需要考虑极限的值、函数的表达式以及极限函数求解的步骤。
而在具体的求极限过程中，需要注意灵活运用极限函数，在讨论实际问题时，也要把极限的思想用到实际生活中。
通过本文的分析，我们可以得出结论：求函数极限的过程非常重要，它可以帮助我们分析和推断函数的行为，从而帮助我们解决实际问题，运用极限思想在日常生活中，也是非常有用的。
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第二讲 函数的极限一 内容提要1.函数在一点处的定义,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.右极限,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=+→δεA x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有ε<-A x f )(.左极限,0,0)(lim 0>∃>∀⇔=-→δεA x f x x 使得δ<-<∀x x x 00:，有ε<-A x f )(.注1 同数列极限一样，函数极限中的ε同样具有双重性． 注2δ的存在性（以0x x →为例）：在数列的“N -ε”定义中，我们曾经提到过，N 的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N 无关紧要；对δ也是如此，只要对给定的0>ε，能找到某一个δ，能使δ<-<00x x 时，有ε<-A x f )(即可． 注3 讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究)(x f 是否无限趋近于A ．注4 ⇔=→A x f x x )(lim 0=+→)(lim 0x f x x A x f x x =-→)(lim 0．注５ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠→∈∀⇔=∞→→00,|}{}{)(lim 0x x x x x x A x f n n n n n x x 且，有A x f n n =∞→)(lim ，称为归结原则――海涅（Heine ）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．） 注6 0,0)(lim 00>∀>∃⇔≠→δεA x f x x ，δ<-'<'∃00:x x x ，有0)(ε≥-'A x f ．2 函数在无穷处的极限 设)(x f 在),[+∞a 上有定义，则,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=+∞→ε使得X x x >∀:，有ε<-A x f )(． ,,0)(lim a X A x f x >∃>∀⇔=-∞→ε使得X x x -<∀:，有ε<-A x f )(．注１ ⇔=∞→A x f x )(lim =+∞→)(lim x f x A x f x =-∞→)(lim ．注２ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞→∈∀⇔=∞→∞→n n n n x x x x A x f |}{}{)(lim ，有A x f n n =∞→)(lim ．３ 函数的有界设)(x f 在),[+∞a 上有定义，若存在一常数0>M ，使得),[+∞∈∀a x ，有M x f ≤)(，则称)(x f 在),[+∞a 上有界． ４ 无穷大量,0,0)(lim 0>∃>∀⇔∞=→δG x f x x 使得δ<-<∀00:x x x ，有G x f >)(． ,0,0)(lim >∃>∀⇔∞=∞→X G x f x 使得X x x >∀:，有G x f >)(．类似地，可定义-∞=+→)(lim 0x f x x ，-∞=-→)(lim 0x f x x ，∞=+→)(lim 0x f x x ，∞=-→)(lim 0x f x x 等．注 若∞=→)(lim 0x f x x ，且0>∃δ和0>C ，使得δ<-<∀00:x x x ，有0)(>≥C x f ，则∞=→)()(lim 0x g x f x x ．特别的，若∞=→)(lim 0x f x x ，0)(lim 0≠=→A x g x x ，则∞=→)()(lim 0x g x f x x ．５ 无穷小量若0)(lim 0=→x f x x ，则称)(x f 当0x x →时为无穷量．注1 可将0x x →改为其它逼近过程．注2 ⇔=→A x f x x )(lim 0)()(x A x f α+=，其中0)(lim 0=→x x x α．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代． 注3 0)(lim 0=→x f x x ，)(x g 在0x 的某空心邻域内有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x ．注4 0)(lim =∞→x f x ，且当x 足够大时，)(x g 有界，则0)()(lim 0=→x g x f x x ．注5 在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．6 函数极限的性质以下以0x x →为例，其他极限过程类似． （1）A x f x x =→)(lim 0，则极限A 唯一．（2）A x f x x =→)(lim 0，则0,>∃M δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有M x f ≤)(．（3）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且B A <，则0>∃δ，使得δ<-<∀00:x x x ，有 )()(x g x f <注 这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍． （4）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且0>∃δ当δ<-<00x x 时，)()(x g x f <则B A ≤．（5）A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，则[]B A x g x f x x ±=±→)()(lim 0B A x g x f x x ⋅=⋅→)()(lim 0BAx g x f x x =→)()(lim（0≠B ） 要求：①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数． 7 夹逼定理 若,0>∃δ使得δ<-<∀00:x x x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，且=→)(lim 0x f x x A x h x x =→)(lim 0，则A x g x x =→)(lim 0．8 Cauchy 收敛准则函数)(x f 在0x 的空心邻域内极限存在,0,0>∃>∀⇔δε使得x x '''∀,，当δ<-'<00x x ，δ<-''<00x x 时，有ε<''-')()(x f x f ．9 无穷小量的比较 设0)(lim 0=→x x x α，0)(lim=→x x x β，且k x x x x =→)()(limαβ，则 （1）当0=k 时，称)(x β为)(x α的高阶无穷小量，记作)(x β())(x o α=； （2）当∞=k 时，称)(x β为)(x α的低阶无穷小量； （3）当0≠k 且∞≠k 时，称)(x β为)(x α的同阶无穷小量．特别的，当1=k 时，称)(x β和)(x α为等价的无穷小量，记作)(x α～)(x β．注 1 上述定义中，自变量的变化过程0x x →也可用+∞→x ，-∞→x ，∞→x ，+→0x x ，-→0x x 之一代替．注2 当0→x 时，常见的等价无穷小有：x sin ～x ，x tan ～x ，x cos 1-～22x ，1-xe ～x ，)1ln(x +～x ，1)1(-+m x ～mx 注3 在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：若)(x α～)(x β（P ），则=)()(limx x f Pβ=⋅)()()()(lim x x x x f P βαα)()(lim x x f P α或 =)()(lim x x g Pα=⋅)()()()(lim x x x x g Pβαβ)()(lim x x g P β （P 为某逼近过程）．而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．注4 在某一极限过程中，若)(x α为无穷小量，则在此极限过程，有 ())()(x o x αα+～)(x α． 10 两个重要极限（1）1sin lim0=→xxx ； （2）e x x x =+→10)1(lim ．二、典型例题例 用定义证明下列极限： （1）211)1(lim21=--→x x x x ； （2）211lim2-=-+-∞→x x xx ．例 A x f x x =→)(lim 0，证明：（1）若0>A ，则有221)(1lim 0Ax f x x =→； （2）33)(limA x f x x =→．例 设)(x f 是],[b a 上的严格严格单调函数，又若对],(b a x n ∈（ ,2,1=n ），有)()(lim a f x f n n =∞→，试证明：a x n n =∞→lim ．例 函数)(x f 在点0x 的某邻域I 内有定义，且对{}I x n ⊂∀（00,x x x x n n ≠→），且 0010x x x x n n -<-<+（N n ∈∀），有A x f n n =∞→)(lim ，证明：A x f x x =→)(lim 0．例 设函数)(x f ，)1,0(∈x ，满足0)(→x f （+→0x ），且 )()2()(x o xf x f =-（+→0x ） 则 )()(x o x f =（+→0x ）问：在题设条件下，是否有0)0(=f 答：否．如⎩⎨⎧=≠=0100)(x x x f ．例 设函数)(x f 在),0(+∞上满足议程)()2(x f x f =，且A x f n =+∞→)(lim ，则 A x f ≡)(（),0(+∞∈x ）．例 求下列函数极限 （1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x b a x n 0lim （0,0>>b a ）； （2）xba x n ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→0lim （0,0>>b a ）；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e xx n sin 12lim 410．例 求下列极限 （1）1tan 1tan 1lim---+→x n e xx ；（2）)cos 1(cos 1limx x x n --→；（3）xe x xe x x x n 2)ln()ln(sin lim 2220-+-+→．例 求下列极限：（1）xx x e e xx n cos sin lim tan 0--+→；（2）2303cos 2cos cos 1lim x xx x n -→．例 求下列极限：（1）x x x x n ln 1lim 1-→；（2）20)(lim x a x a xx n -+→．例 求下列极限：（1）)1ln(12)(cos lim x n x +→；（2）x n xx )1cos 1(sinlim +∞→； （3）设0>i a （n i ,,2,1 =），求xn x nx xn n aa a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→ 210lim ．例 （1）已知0)1(lim 33=---∞→b ax x n ，求常数b a ,；（2）已知513)2sin )(1ln(lim=-+→x n x x f ，求20)(lim x x f n →．。