人教A版选修2-1第二章第7课时导学案§2.3.1 双曲线及其标准方程

§2.3.1 双曲线及其标准方程

学习目标

1．掌握双曲线的定义；

2．掌握双曲线的标准方程．

学习过程

一、课前准备

复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？

复习2：在椭圆的标准方程22

221x y a b

+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =

二、新课导学

※ 学习探究

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

新知1：双曲线的定义：

平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．

反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？

2a =12F F 时，轨迹是 ；

2a >12F F 时，轨迹 ．

试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．

新知2：双曲线的标准方程：

22

22222

1,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．

思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？

※ 典型例题

例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．

变式：已知双曲线22

1169

x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 .

例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

※动手试试

练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

（1）焦点在x轴上，4

a=，3

b=；

（2）焦点为(0,6),(0,6)

-，且经过点(2,5)

-．

练2．点,A B的坐标分别是(5,0)

-，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之

积是4

9

，试求点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状．

三、总结提升

※学习小结

1 ．双曲线的定义；

2 ．双曲线的标准方程．

※知识拓展

GPS(全球定位系统)：双曲线的一个重要应用．

在例2中，再增设一个观察点C，利用B，C两处测得的点P发出的信号的时间差，就可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点P的准确位置．

学习评价

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1．动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）．

A. 双曲线

B. 双曲线的一支

C. 两条射线

D. 一条射线

2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是，那么实数k 的值为（ ）．

A ．25-

B ．25

C ．1-

D ．1

3．双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，若2a =，则b =（ ）．

A. 5

B. 13

C.

D.

4．已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=则动点P 的轨迹方程为 ．

5．已知方程22

121

x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围 ．

课后作业

1． 求适合下列条件的双曲线的标准方程式：

（1）焦点在x 轴上，a =，经过点(5,2)A -；

（2）经过两点(7,A --，B ．

2．相距1400m ,A B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340/m s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？