东北大学离散数学复习总结

方法、知识点总结（知识重点和考题重点）

前三章重点内容（知识重点）：

1、蕴含（条件）“→”的真值

P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。

2、重言(永真)蕴涵式证明方法

<1>假设前件为真，推出后件也为真。

<2>假设后件为假，推出前件也为假。

易错

3、等价公式和证明中运用

4、重要公式

重言蕴涵式：P∧Q => P or Q

P or Q => p∨Q

A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C)

其他是在此基础上演变

等价公式：幂等律 P∧P=P P∨P=P

吸收律 P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P

同一律 P∨F=P P∧T=P

P∨T=T P∧F=F

P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q)

5、范式的写法（最方便就是真值表法）

6、派遣人员、课表安排类算法：

第一步：列出所有条件，写成符号公式

第二步：用合取∧连接

第三步：求上一步中的析取范式即可

7、逻辑推理的写法

直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分

其中E公式是指等价公式部分

条件论证: 形如 ~ , ~, ~ => R->S

R P(附加条件)

... ...

S T

R->S CP

8、谓词基本内容

注意：任意用—> 连接

存在用∧连接

量词的否定公式

量词的辖域扩充公式

量词分配公式

其他公式

9、带量词的公式在论域内的展开

10、量词辖域的扩充公式

11、前束范式的写法

给定一个带有量词的谓词公式，

1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)；

2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前；

3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；

4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。

简要概括： 1、去 -> ， <-> 2、移﹁

3、换元

4、量词辖域扩充

12、谓词演算的推理理论

推理规则：P、T、CP、US、ES、EG、UG 的使用

ES US 去量词

EG UG 添量词

★谨记：ES要在US之前,很重要

添加量词注意事项：

13、集合的幂集（用P表示，也常有花P表示）

A是集合，由A的所有子集构成的集合，称之为A的幂集。记作P(A)或2的A次方

给定有限集合A，如果|A|=n, 则|P(A)|=2的n次方

14、求集合的划分数与等价关系数——相同

15、三种重要集合运算

一、差运算- (相对补集)

二、绝对补集~

三、对称差

前三章重点内容（考题重点）：最常考

内容和方法需要看自己课件，前三章考试内容不多且简单

1、命题符号化（包括第一章简单的命题和第二章谓词的命题）

2、逻辑推理（命题逻辑和谓词逻辑两种推理，每章书最后部分）

3、主析取范式与主合取范式（命题逻辑和谓词逻辑中的两种范式写法）

4、真值的判断

后五章重点内容（知识重点）：

1、笛卡尔积

定义:设A、B是集合，由A的元素为第一元素， B的元素为第二元素组成序偶的集合，称为A和B 的笛卡尔积，记作A×B

如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则 |AXB |=mn.

2、域的表示：

定义域dom（关系的第一个元素的范围）

值域 Ran（关系的第二个元素的范围）

3、空关系、完全关系、A上的恒等关系IA的定义

空关系只有点，没有一条边。

4、关系的个数

5、对称、反对称、自反、反自反、传递的判定

6、等价关系、等价类

定义：设R是A上关系,若R是自反的、对称的和传递的，则称R是A中的等价关系

等价关系的个数：划分数；

由等价关系图求等价类：

R图中每个独立子图上的结点，构成一个等价类。

不同的等价类个数=独立子图个数

7、相容关系、相容类

特点：自反、对称。

图的简化：⑴不画环；

⑵两条对称边用一条无向直线代替

相容类：设r是集合X上的相容关系，C?X,如果对于C 中任意两个元素x,y有∈r ,称C是r的一个相容类从简化图找最大相容类：

最大相容类的意义是——一个相容类加多一个点就不是相容类了，所以最大相容类可以是多个而不是唯一的“最大”的概念，定义类似极大线性无关组，但元素个数不同------找最大完全多边形。最大完全多边形：含有结点最多的多边形中，每个结点都与其它结点相联结。

通过最大相容类求完全覆盖：

完全覆盖就是指所有最大相容类构成的集合。

8、关系的分类：

偏序关系定义：R是A上自反、反对称和传递的关系，则称R 是A上的偏序关系。并称是偏序集。

全序关系定义：是偏序集，任何x,y∈A，如果x与y都是可比较的，则称≤是全序关系(线序、链)。

9、偏序集Hasse图的画法

1).用“。”表示A中元素。

2).如果x≤y,且x≠y，则结点y要画在结点x的上方。

3). 如果x≤y,且y盖住x，x与y之间连一直线。

4). 一般先从最下层结点(全是射出的边与之相连(不考虑环))，逐层向上画，直到最上层结点(全是射入的边与之相连)。(采用抓两头，带中间的方法 )

10、重要元素定义（极大小元、最大小元、上下界、最大下界与最小上界）

11、如何求映射是入（单）、满、双射？

第一步：分别求出定义域和值域

第二步：比较就出来了，就那么简单

但是要证明的话：

两者结合得：双射成立