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微积分中的导数思想与应用

蔡淑铭

摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。

关键词：流数术、可导、变化

1.导数的概念

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x

上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的

比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x

0处的导数，记作f'(x

)或

df/dx(x

)。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

2.导数的历史沿革

2.1起源

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A)，发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

2.2发展

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

2.3成熟

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：

{dy/dx)=lim(oy/ox).

1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的定义也就获得了今天常见的形式。

微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。

就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的。

光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。

3.导数在流数术中的应用

导数的广泛应用为我们解决函数问题提供了有力的工具，用导数可以解决函

数中的最值问题、不等式问题，还可以与解析几何联系在一起，可以在知识的网络交汇处设计问题。微积分它是一种数学思想，无限细分就是微分无限求和就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础。它是用一种运动的思想看待问题。比如子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念。子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一二大叔，那么初等数学是树的根。名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决。数学也开始研究变化着的量，数学进入了变量数学时代——即微分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和莱布尼茨。从微积分成为一门学科来说是17世纪，但是微分和积分的思想早在古代就已经产生额。公元前3世纪，古希腊的数学家、理学家阿基米德公元前287-公元前212的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽。他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的天下篇中著有一尺之锤，日取其半，万世不竭。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出割之弥细所失弥少，割之以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中就把曲线看成无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》就把曲线看成无限多条线段不可分量拼成的。这些都为后来的微积分诞生作了思想准备。

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大。而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪后半叶在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾克萨牛顿是从物理学的角度研究微积分的。他为了解决运动问题创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为流数术的理论。这实际上就是微积分理论。牛顿的有关流数术的主要著作是《求曲边型面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿