可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

可用柯西不等式的基本不等式训练题（含详解）

柯西不等式()（a+b ）c d +≥+ 条件a,b,c,d 为正 当且仅当c

d a

b

=取=号 1．已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则

的最小值是（ ） A ．

B ．4

C ．

D ．5 2．若直线

()10,0x y a b a b +=>>过点()1,2，则2a b +的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12

3．已知直线210kx y k -+-=恒过定点A ，点A 也在直线10mx ny ++=上，其中m

n 、均为正数，则12m n +的最小值为（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 4．已知正数,x y 满足

811x y +=，则2x y +的最小值是（ ） A ．18 B ．16 C ．8 D ．10

5．如图，在ABC 中，23

BD BC =，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13x y

+的最小值为（ ）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．10

6．若对0x >、0y >，有()212x y m x y ⎛⎫++≥

⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤ B ．8m > C ．0m < D ．4m ≤ 7．圆222610x y x y ++-+=关于直线30(0,0)ax by a b -+=>>对称，则

13a b

+的最小值是( )

A ．

B ．263

C ．4

D ．153 8．若直线

1x y a b +=（0a >，0b >）过点()1,2，则2+a b 的最小值等于（ ）

A

．9

B ．8

C ．3+

D ．4+ 9．若直线

1(00)x y a b a b

+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 10．若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 11．已知x ，y 是正数，且141x y

+=，则x y +的最小值是______． 12．已知()222log log log x y x y +=+，则 11x y

+=______2x y +的最小值为 ______．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成（

）（）展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．

解：∵a+b=2，

∴

=1 ∴

=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a 时等号成立） 故选C

点评：本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．

2．A

【解析】

【分析】

由直线过点()1,2，可得

121a b

+=，利用基本不等式即可求解. 【详解】 因为直线

()10,0x y a b a b

+=>>过点()1,2， 所以121a b

+=，

所以1242(2)()448b a a b a b a b a b

+=++=++≥+=， 当且仅当4b a a b =，即2,4a b ==时等号成立. 故选：A

【点睛】

本题主要考查了均值不等式的灵活运用，考查了运算推理能力，属于中档题.

3．D

【解析】

试题分析：210kx y k -+-=变形为()21k x y +=+，所以过定点()2,1--，代入直线得21m n +=

()12124

2448n m m n m n m n m n ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n

=时等号成立，取得最小值8

考点：1．直线方程；2．均值不等式求最值

4．A

【解析】

【分析】

()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

然后运用基本不等式求出最小值 【详解】 811x y

+=

()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭

当且仅当16y x x y

=，即12x =，3y =时，2x y +取得最小值18 故选A

【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，本题运用了均值不等式，属于基础题 5．A

【解析】

【分析】

由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解.

【详解】 解：∵23

BD BC =， ∴3CB CD =，

3CE xCA yCB xCA yCD =+=+，

因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=，

则()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=. 当且仅当

33y x x y =且31x y +=即14x y ==时取等号， 故选：A.

【点睛】

本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6．A

【解析】

【分析】

利用基本不等式求出()212x y x y ⎛⎫++

⎪⎝⎭的最小值，即可得解. 【详解】

解：0x 、0y >

()21422248y x x y x y x y ⎛⎫∴++=+++≥+= ⎪⎝⎭

，当且仅当2x y =时， 等号成立，

∴8m ≤，

故选：A .

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

7．D

【解析】

【分析】

求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求解最值即可．

【详解】 解：圆22

2610x y x y ++-+=，