可用柯西不等式的基本不等式训练题(含详解)

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柯西不等式习题教师版_含答案

新课标数学选修4-5柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(.等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαββαβαk k =≤⋅借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a ∴1818≤⋅≤-b a b a ⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b【2】设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2 = 16，则a b的最大值为。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a．b = x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2 ⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b 的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？答案：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

二一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值是A.1 B,得[·(12+12+12)≥∵a+b+c=1,∴ ≤ ×1=3,当且仅当a=b=c时,等号成立.的最大值为2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则A,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当时,等号成立,因此有3已知则的最大值是A.1B.2C.3D.4a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤当且仅当a i=x i,n)时,等号成立.故a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4,得(2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,,等号成立.又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥( -a)2,解得 ≤a≤ ,即a的最大值是2.5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2Dn个正数为x1,x2,…,x n,由柯西不等式,得(x1+x2+…+x n…≥··…·=…共个当且仅当x1=x2=…=x n时,等号成立.6若x,y,z∈R+,且则的最小值是7设a,b,c为正数,则(a+b+c的最小值是(a+b+c···当且仅当时,等号成立.8设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2; 即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤( 2+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(- )当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.9已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 .,得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c )2,即a 2+4b 2+9c 2≥ ,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12.10设x 1,x 2,x 3,…,x n 都是正实数,且x 1+x 2+x 3+…+x n =S. 求证----S-x 1+S-x 2+…+S-x n .,得不等式左边---=[(S-x 1)+(S-x 2)+…+(S-x n )]·( - )--…-( - )- - + ---…( )· · …( - ) +x n )2( - )·S 2- 不等式右边.故原不等式成立.a>0,∴a≥ ,∴a ≥当且仅当a=1时,等号成立.-- ( - ) - - - - ( - )-- ( - ),n.n 个式子相加,有-------( - )- ( - )…- ( - )-- ( - )-故原不等式成立. 能力提升1若实数x+y+z=1,则2x 2+y 2+3z 2的最小值为( )A.1B.6C.11 D(2x2+y2+3z2≥···=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥当且仅当x时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为2已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则的最小值为A.1B.3C.6D.9a+b+c=1,=2(a+b+c=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥( +1+1)2=9,当且仅当a=b=c时,等号成立.3若则的最小值为A.-25B.-5C.5D.25,得≥(a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1)2,∴|a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1|≤ .∴- ≤a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a1≤ .故所求最小值为-5,应选B.4已知2x+3y+z=8,则x2+y2+z2取得最小值时,x,y,z形成的点(x,y,z)= .,得(22+32+12)(x2+y2+z2)≥( x+3y+z)2,即x2+y2+z2≥当且仅当时,等号成立.又2x+3y+z=8,解得x故所求点为,,,,5已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为.,得(x2+4y2+z2)(1+1+ )≥(x+2y+z)2.∵x+2y+z=1,∴3(x2+4y2+z2)≥ ,即x2+4y2+z2≥当且仅当x=2y=z即x时,等号成立.故x2+4y2+z2的最小值为6已知二次三项式f(x)=ax2+bx+c的所有系数均为正数,且a+b+c=1,求证:对于任何正数x1,x2,当x1x2=1时,必有f(x1)f(x2)≥ .(x1)f(x2)=(≥[a=f2故f(x1)f(x2)≥ .★7已知:α1,α2,…,αn是平面凸n边形的内角的弧度数,求证(- ),得(α1+α2+…+αn…≥··…·=n2.∵α1+α2+…+αn=(n-2)π,( ) 当且仅当α1=α2=…=αn-时,等号成立.。

02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)

柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立．例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c，所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立．例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n；将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n，即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立．例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值．解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。

02柯西不等式与平均值不等式训练题(含经典例题+答案)

柯西不等式与平均值不等式训练题1一．选择题（共20小题）1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2D．42．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2 B．最小值3+2C．最大值6 D．最小值64．（2015•上海）已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（）A．a2+b2有最小值B．有最小值C．有最大值 D．有最大值5．（2015•浙江）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（）A．3 B．C．D．6．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2C．4 D．27．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1 C．2 D．49．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在10．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．312．设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+213．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．B．3 C．D．414．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]15．已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a2+b2+c2=4，则ab+bc+ac的最大值为（）A．B．C．3 D．416．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A ．B ．C ．D ．17．已知a ＞0，b ＞0且a≠1，若函数y=log a x 过点（a+2b ，0），则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．218．已知a ＞0，b ＞1且2a+b=4，则+的最小值为（）A ．8B ．4C ．2D ．19．若正数a ，b 满足+=1，则+的最小值为（）A ．16B ．25C ．36D ．4920．已知x ，y ∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+有（）A ．最大值B ．最小值C ．最小值﹣D ．最大值﹣二．解答题（共10小题） 21．已知正实数a 、b 满足：a 2+b 2=2．（1）求的最小值m ；（2）设函数f （x ）=|x ﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得f （x ）=2m成立，说明理由． 22．已知不等式x 2﹣5ax+b ＞0的解集为{x|x ＞4或x ＜1}（1）求实数a ，b 的值；（2）若0＜x ＜1，f （x ）=，求f （x ）的最小值．23．已知函数f （x ）=的定义域为R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足+=n 时，求7a+4b 的最小值．24．已知a ，b 都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．25．已知实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证．26．已知关于x 的不等式：|2x ﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，若2a+2b+2c=m ，求++的最小值．27．已知正数x ，y ，z 满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx 的最大值． 28．已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．（1）若a+b+c=0，求a 的最大值．（2）若ab+bc+ca 的最大值为M ，解不等式|x+1|+|x ﹣1|≥3M ．29．已知正实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，求证：++≥3．30．已知a ＞0，b ＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a ，b 的值；（2）求证：a 2+b 2≥2．一．选择题（共20小题）1．C；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C；7．A；8．A；9．A；10．D； 11．B；12．C； 13．D； 14．D； 15．A； 16．A； 17．A； 18．D； 19．A； 20．B；二．解答题（共10小题）21.解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．22．解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．23．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．24．证明：．（Ⅱ）解：≥，即，又∵得，即，∴．∴当且仅当上式等号成立．25．证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2）=9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2）=3+++++=3+++≥+2+2=9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴≥326．解：（1）由关于x的不等式：|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1，解得≤x≤．由于整数解有且仅有一个值为1，∴，∴1＜m＜3．故整数m的值为2．（2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．∵，，，∴，即∴，当且仅当a=b=c 时取等号故的最小值为1．27．解：∵正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1﹣2（x+y）＞0，解得．∴3xy+yz+zx=3xy+[1﹣2（x+y）]（x+y）≤﹣2（x+y）2+（x+y）==+，当x+y=，x=y=时，取等号．∴3xy+yz+zx的最大值为．28．解：（1）∵a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）∴a2≤2（1﹣a2），∴3a2≤2，即，∴a 的最大值为．（2）∵，∴M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M对一切实数a，b，c 恒成立，则|x+1|+|x﹣1|≥3，当x≥1时，化为2x≥3，解得，满足x≥1，∴；当﹣1≤x＜1时，化为x+1﹣x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；当x＜﹣1时，化为﹣2x≥3，解得x≤﹣，满足x≤﹣1，∴x≤﹣．综上可得：不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集为∪．29．证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴，∴abc≤1，∴．30．解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+===5++≥=9，当且仅当，b=时等号成立．∴+的最小值为9．（2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号．。

柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(十一大题型)(解析版)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~不等式柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录1方法技巧与总结 12题型归纳与总结 2题型一:柯西不等式之直接套公式型 2题型二:柯西不等式之根式下有正负型 3题型三:柯西不等式之高次定求低次型 4题型四:柯西不等式之低次定求高次型 5题型五:柯西不等式之整式与分式型 6题型六:柯西不等式之多变量型 7题型七:柯西不等式之三角函数型 8题型八:Aczel 不等式 9题型九:权方和不等式之整式与分式综合型 10题型十:权方和不等式之三角函数型 11题型十一:权方和不等式之杂合型 123过关测试 131方法技巧与总结1、柯西不等式(Cauchy 不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a ,b ,c ,d ∈R ，都有(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)．(2)n 元柯西不等式：(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2，取等条件：a i =λb i 或b i =λa i (i =1,2,⋯,n )．2、Aczel 不等式(反柯西不等式)设a 1,a 2,⋯,a n ；b 1,b 2,⋯,b n 均为实数，a 21-a 22-⋯-a 2n >0或b 21-b 22-⋯-b 2n >0，则有(a 21-a 22-⋯-a 2n )(b 21-b 22-⋯-b 2n )≤(a 1b 1-a 2b 2-⋯-a n b n )2．当且仅当a k ，b k 成比例时取等．3、权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．2题型归纳与总结题型一:柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B4(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2=25，当且仅当34-3x=13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为25.故选：A .5柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .6(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3 B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为26.故选：C .7设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc 22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2 =a 2+2a 21-a 2 =a 2-12 2+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .8(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A9已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d ≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c-2=d -2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D10若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2 +2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当a c =3,b d =2,a +c b +d =43,⇒a :b :c :d =3:2:1:1时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .11已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12=x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为3.故选：B12已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 2 2当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时取等,所以12+222+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五:柯西不等式之整式与分式型13(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a (2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.14已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b+13c =a +2b +3c 1a +12b +13c ≥a a +2b 2b +3c 3c 2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.15已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b+11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c(1-a +1-b +1-c )≥1+1+1 2所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六:柯西不等式之多变量型16已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .17已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .18已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b-1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4 的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b-1c=3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4 ≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七:柯西不等式之三角函数型19函数3+23cosθ+cos2θ+5-23cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cosθ+10-(3cos+1)2=3cosθ+13+10-(3cosθ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cosθ+1)23cosθ+1=3⇒cosθ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D.20(2024·浙江·一模)若sin x+cos y+sin x+y=2，则sin x的最小值是() A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x+cos y+sin x cos y+cos x sin y=2整理得2-sin x=sin x+1cos y+cos x sin y，由柯西不等式得sin x+1cos y+cos x sin y≤1+sin x2+cos2x⋅cos2y+sin2y=2+2sin x，当sin x+1sin y=cos y cos x时取等号，所以2-sin x2≤2+2sin x，即sin2x-6sin x+2≤0，解得3-7≤sin x≤1，所以sin x的最小值为3-7.故选：C．21函数y=2cos x+31-cos2x的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y=2cos x+31-cos2x=2cos x+32sin2x ≤cos2x+sin2x22+(32)2=22当且仅当cos xsin2x=232，即tan x=±322时，函数有最大值22.故选：A.题型八:Aczel 不等式22f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45 -(x -4)=4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．23为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x ∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 ≤1，则-12x 2+1-42x 2+2 ≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九:权方和不等式之整式与分式综合型24已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.25权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B26已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.27已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：2728已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin2θ12+432cos2θ12≥1+4 32sin2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5529(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m3+⋯+a m +1n b m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x取得最小值时，x 的值为()A.π12 B.π6 C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x=332sin 2x 12+132cos 2x 12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x 12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x ，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．30已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y =132x 2 12+232y 2 12≥1+2 32x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b n m ,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y =1 ，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3331已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6032求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2 121-12+2+3x -x 2 121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.3过关测试33(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D34已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B35(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122 D.p 14+q144【答案】B 【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4p f sin x +sin 2x +4q f cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2x q f cos x =cos 2x ，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .36由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D37已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B38已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B39实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .40已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .41若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .42函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .43若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3 B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+122+12 =4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .44函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -5 2+6-x 212+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B45已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A46函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin 2x +cos 2x=3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A47(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .48已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C49(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .50(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：651若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 552已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.53(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 254在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A= 1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B =2tan B tan C =3tan C tan A ⇒tan A :tan B :tan C =2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2655函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.56(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.57已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=b a -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：858已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1)12x +y +1y +1 -32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。

柯西不等式练习2-解析版

柯西不等式练习2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若正实数、、满足，则的最小值为（）A．2 B．1 C．D．2【答案】D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．2．已知是的三内角的弧度数，则与的大小关系为()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】由柯西不等式,得≥,当且仅当，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.3．已知x,y,z∈(0,+∞),且则的最小值为（）A．5B．6C．8D．9【答案】D【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解的最小值即可.【详解】x≥=9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即的最小值为9.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．若5x1+6x2-7x3+4x4=1,则的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合柯西不等式有：.故.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．若α,β为锐角,且则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意结合柯西不等式确定等号成立的条件求得的值即可.【详解】由题意：.当且仅当，时等号成立，即，.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题6．已知实数满足条件，求的最小值是_________【答案】-24【解析】【分析】设z=，由柯西不等式，可求得，z的最小值为。

高考基本不等式和柯西不等式训练卷及解答

2018年10月20日基本不等式和柯西不等式复习卷及答案第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．102．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b23．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+25．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．26．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．107．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．1010．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．1011．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．2512．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．313．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．115．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线过点（1，1），∴=1则4a+b=（4a+b）（）=5≥5+2=9∴4a+b的最小值为9故选：C．2．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b2【解答】解：a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，则a2=4，b2=1，a2＞b2，∴A错误；=﹣，=﹣1，＞，∴B错误；=，=2，＜，∴C正确；ab=2，b2=1，ab＞b2，∴D错误．故选：C．3．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则【解答】解：利用排除法：对于选项A：当令c=0时，则：（a﹣b）c=（b﹣a）c故错误．对于选项B：若0＞a＞b，0＞c＞d，则：ac＜bd．故错误．对于选项D：当a=2，b=0时，不存在．故错误．故选：C．4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+2【解答】解：y=1+3x+=3（x﹣1）++4．令x﹣1=t，t≥1．∴y=3t++4．当t时，函数是递增函数，∵t≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x+取得最小值为8．故选：C．5．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．2【解答】解：实数m＞0，n＞0，且m+n=2，可得，则=（）（）=1+=2．当且仅当m=n=1时取等号．∴则的最小值为2；故选：B．6．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则+=1，x+y=（x+y）（+）=++5≥2+5=9，当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．7．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（）（x+2y）=4+，当且仅当x=2y=4时取等号．若x+2y＞m恒成立，∴m＜8，∴实数m的取值范围是（﹣∞，8）．8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b+﹣=（a﹣b）+=（a﹣b）（1+）＞0，故a+＞b+，故A正确，B，D错误，同理可证明C错误，故选：A．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．10【解答】解：x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则：，即：2x+y=1，所以：=4+1+≥5+4=9．（当且仅当x=等号成立）故选：C．10．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，所以，由x＞0，得到y＞2时，x+y==+y=≥3+4=7，故函数x+y的最小值为7．故选：B．11．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．25【解答】解：在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则x+y=1．所以：==4+9+≥13+12=25（当且仅当x=，y=等号成立），故选：D．12．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．3【解答】解：a2+b2=15﹣ab≥2ab，即3ab≤15，可得ab≤5，当且仅当a=b=±时，取得等号，则ab的最大值为5．故选：C．13．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．【解答】解：对于A：当x＜0时，A显然不满足条件．对于B：当sinx＜0，B 显然不满足条件．∵e x＞0，∴2e x+2e﹣x≥4，当且仅当e x=1时，即x=0时取等号，故有C 满足条件；对于D：∵0＜x＜1，则log3x＜0时，D显然不满足条件．故选：C．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．1【解答】解：由lga+lgb=lg（a+b），可得lg（ab）=lg（a+b），所以，ab=a+b，则ab﹣a﹣b+1=1，即a（b﹣1）﹣（b﹣1）=1，所以，（a﹣1）（b﹣1）=1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为4，故选：C．15．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数y=的最小值为9，故选：B．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f（a）=[a+（2﹣a）]（+）=（2+++1）=（+3）≥（2+3）=．当且仅当时取等号，故+的最小值为．故选：A．解法二：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f′（a）=﹣+=，令f′（a）＞0，得4﹣2＜a＜2，f（a）单调递增，令f′（a）＜0，得0＜a＜4﹣2，f（a）单调递减，∴当且仅当a=4﹣2时函数f（a）取得极小值即最小值，f（4﹣2）==．ξ故选：A．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2【解答】解：∵x＞1，即x﹣1＞0，∴f（x）=2x+=+2=2+2，当且仅当x=1+时等号成立．即f（x）的最小值为2（+1），故选：C．二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣1+=，当n=1时，a1=，所以a n=，n∈N*；（2）由（1）及=log（）=n，所以==﹣，故的前n项和T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．。

柯西不等式及应用含答案

一、柯西不等式：211212)()()(k nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二维柯西不等式：))(()(2222212122121y x y x y y x x ++≤+证明：（用作差法）0)(2)())((212212121212222212212122222121≥-=-+=+-++y x y x y y x x y x y x y y x x y x y x三维柯西不等式：))(()(2222222121212212121z y x z y x z z y y x x ++++≤++证明：（构造空间向量法）设),,(),,,(222111z y x n z y x m ==n m n m n m n m ⋅≤⋅=⋅,cos ，所以：222222212121212121z y x z y x z z y y x x ++⋅++≤++，两边平方即可！n 维柯西不等式：211212)()()(k nk k nk knk kb a b a ∑∑∑===≥∙等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ证明：（用构造函数法）（1）.当021==⋅⋅⋅==n b b b 时，不等式显然成立；（2）当n b b b ⋅⋅⋅,,21不全为0时，构造)()(2)()(121212∑∑∑===+-=nk k k n k k nk ka xb a x bx f ,所以有0)()()(2)()(12121212≥-=+-=∑∑∑∑====nk k k nk kk nk k nk ka xb a x b a x b x f 对任意R x ∈恒成立，因此0)()(4)(4121221≤∙-=∆∑∑∑===nk k n k kk n k k b a b a故：211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙柯西不等式的变式：2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k k n k k n k k b a b ak nk k n k kn k kb a b a ∑∑∑===≥∙11212)()(2111)()()(∑∑∑===≥∙nk k nk k kk n k k a b a b a 等号成立的条件是当且仅当n b b b =⋅⋅⋅==21 2112)()(∑∑==≥nk k nk k n an a （在柯西不等式中令b k =1，两边同时除以n 2即得） ∑∑∑===≥nk knk k nk k kba b a 12112)()( (等号成立的条件是)3,2,1(n k b a k k ⋅⋅⋅==λ二、练习：1.已知z y x ,,>0，且1=++z y x ，求)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-的最小值； 2.已知b a ,>0,求证：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++ 3.已知2=++z y x 且z y x ,,>0，求证：x z z y y x +++++111≥494.设c b a ,,为正数且互不相等.求证:a c cb b a +++++222>c b a ++95.设正实数c b a ,, 满足1=abc , 求证:)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.设c b a ,,为正数, 且1=++c b a ,求证:222)1()1()1(cc bb a a +++++≥31007.设实数c b a ,, 满足632222=++c b a ，求证：c b a ---++2793≥31；8.已知1232=++z y x , 求证:22232z y x ++≥24；9.已知1=++c b a , 求证:33332313≤+++++c b a ； 10.若a >b>c ，求证：ca cb b a -≥-+-411答案：1.证明：由1=++z y x 得：zxxy z y x x x yzzx y x z z z xzxy z x y y y +=+=-+=+=-+=+=-)()1()()1()()1(，所以有)1()1()1(222x x z z z y y y x -+-+-＝zx xy z yz zx y yz xy x +++++222，由柯西不等式得：2222)()()]()()[(z y x zx xy z yz zx y yz xy x zx xy yz zx yz xy ++≥+++++⋅+++++所以有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++222)]()()[(1zx xy yz zx yz xy +++++≥即：zxxy z yz zx y yz xy x +++++222)(21zx yz xy ++≥，又zxyz xy z y x z y x z y x zx yz xy ++≥++++-++≤++2222222)()()(2 1=++z y x所有：zx xy z yz zx y yz xy x +++++22223≥，当且仅当31===z y x 时取等号 2.证明：由柯西不等式可得：22)611411211()614121(ba b a b a b a b a b a +⋅++⋅++⋅=+++++])6(1)4(1)2(1)[111(222222b a b a b a +++++++≤< ])7)(5(1)5)(3(1)3)((1[3b a b a b a b a b a b a ++++++++（放缩）)71515131311(23ba b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+=（裂项相消）)711(23ba b a b +-+=)7)((623b a b a b b ++=)7)((9b a b a ++= 所以有：b a b a b a 614121+++++<)7)((3b a b a ++3.证明：由柯西不等式得：9)111()111()]()()[(2=++≥+++++⋅+++++xz z y y x x z z y y x ，又2=++z y x所以有：x z z y y x +++++111≥49)(29=++z y x .4.证明：与第3题的证法相同，最后说明c b a ,,为正数且互不相等,所以不取等号；5.证明：由1=abc 得：1222=c b a ，所以：2221c b a =,1,222c a b =2221b a c= )(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++bcac b a bc ab c a ac ab c b b a c b a c a b c a c b a c b +++++=+++++=222222222222)()()(2222222)()()]()()[(ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b bc ac bc ab ac ab ++≥+++++⋅+++++即：232)(2)(32222222222c b a ab ac bc ac bc ab ab ac bc bc ac b a bc ab c a ac ab c b ≥++=++++≥+++++又1=abc ，所以：)(1)(1)(1333b a c c a b c b a +++++≥23 6.证明：由柯西不等式])1()1()1[()111()]1(1)1(1)1(1[2222222cc b b a a c c b b a a +++++⋅++≤+⋅++⋅++⋅结合1=++c b a所以：222)1()1()1(c c b b a a +++++22)]111(1[31)]111()[(31cb ac b a c b a +++=+++++≥又9)111()111)((1112=++≥++++=++cb ac b a c b a 所以：3100)91(31)]111(1[3122=+≥+++c b a故：222)1()1()1(cc b b a a +++++≥31007.证明：c b a ---++2793＝3)32(33232333333333c b a c b a c b a ++-------=⋅⋅≥++又由柯西不等式：])3()2([])3()2(1[)33221(2222222c b a c b a ++⋅++≤⋅+⋅+⋅即：)2(6)32(2222c b a c b a ++⋅≤++，结合632222=++c b a 所以有：632≤++c b a即：313333363)32(=≥-++-c b a 所以：c b a---++2793≥318.证明：由])3()2([])3()2(1[)33221(2222222z y x z y x ++⋅++≤⋅+⋅+⋅结合题目条件即可证出，与第7题一样； 9.证明：]6)(3[3])33()23()13[()111()331231131(2222222+++=+++++∙++≤+⋅++⋅++⋅c b a c b a c b a 结合题目条件就可以证出了！10.证明：由条件a >b>c 得：b a ->0,c b ->0,所以2)11()11()]()[(+≥-+-⋅-+-cb b ac b b a ＝4 所以：c a c b b a -≥-+-411 点评： 1.211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙中的求和展开式为：222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +⋅⋅⋅++≥⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++；2.二维、三维、n 维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择k a 和k b , 便于运用柯西不等式211212)()()(k nk k n k k nk kb a b a∑∑∑===≥∙；4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题1. x、y>0, x＋y="1," 且≤a恒成立, 则a的最小值为A．B． 2C．2D．【答案】D【解析】解：因为x、y>0, x＋y=1,要使≤a恒成立，则a大于等于的最大值即可。

而2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．【答案】见解析【解析】由（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=（a+b）（a﹣b）2≥0，得a3+b3≥a2b+ab2，同理，a3+c3≥a2c+ac2，b3+c3≥b2c+bc2三式相加，能证明2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．证明：先证明：a3+b3≥a2b+ab2，∵（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）=（a2﹣b2）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）2≥0，∴a3+b3≥a2b+ab2，取等号的条件是a=b，同理，a3+b3≥a2b+ab2，a3+c3≥a2c+ac2，b3+c3≥b2c+bc2三式相加，得：2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b），取等号的条件是a=b=c，∴2（a3+b3+c3）≥a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法的合理运用．4.设a1，a2，…，an为实数，证明：≤．【答案】见解析【解析】利用排序原理，n个式子相加，可得n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得结论．证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，则由排序原理得：a 12+a22+…+an2=a1a1+a2a2+…+anana 12+a22+…+an2≤a1a2+a2a3+…+ana1a 12+a22+…+an2≤a1a3+a2a4+…+an﹣1a1+a n a2…a 12+a22+…+an2≤a1an+a2a1+…+anan﹣1．将上述n个式子相加，得：n（a12+a22+…+an2）≤（a1+a2+…+an）2，上式两边除以n2，并开方可得：≤．点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5.设a1，a2，…，an为正数，求证：++…++≥a1+a2+…+an．【答案】见解析【解析】不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，，由排序原理：乱序和≥反序和，可得结论．证明：不妨设a1＞a2＞…＞an＞0，则a12＞a22＞…＞an2，由排序原理：乱序和≥反序和，可得：++…++≥=a1+a2+…+an．点评：本题考查不等式的证明，考查排序原理：乱序和≥反序和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．9.已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．10.（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），可得≤（1+9）（x+y），结合x，y∈R+，恒成立，即可求得实数k的取值范围．解：∵（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2），∴≤（1+9）（x+y），∴≤，∵x，y∈R +，恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生运用数学知识解决问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

高一数学柯西不等式试题

高一数学柯西不等式试题1.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）A．ax+cy+bz B．bx+ay+czC．bx+cy+az D．ax+by+cz【答案】D【解析】根据条件：a＜b＜c，x＜y＜z，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz最大．解：∵a＜b＜c，x＜y＜z，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，得：同序和ax+by+cz最大．故选D．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．【答案】见解析【解析】由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．点评：本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.函数（）A．6B．2C．5D．2【答案】D【解析】函数可化为=，利用柯西不等式，即可求得最大值．解：由柯西不等式可得=≤=2当且仅当，即x=时，函数取得最大值2故选D．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．5.（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．6.二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）【答案】C【解析】二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），即+3＜10结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），∴+3＜10∵+3＜k恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生的计算能力，正确运用柯西不等式是关键．9.（2014•陕西模拟）函数的最大值是．【答案】10．【解析】由函数的特点，利用柯西不等式，即可得到结论．解：由于．当且仅当即时等号成立．故函数的最大值是 10．故答案为：10．点评：本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件．10.（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．【答案】．【解析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值．解：∵a、b、c为正数，a+b+9c2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c）2]•[12+12+]=1×=，∴++c的最大值是=，此时，且a+b+9c2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为：．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题。

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题

用柯西不等式解几道2023年不等式竞赛题OP =a ，sin ∠POF 1=sin ∠POF 2=2c,tan ∠PF 1O=tan ∠POF 2=2a .因为∠POF 2=∠OPF 1+∠PF 1O ，所以有tan ∠POF 2=tan(∠OPF 1+∠PF 1O )，即2a=tan ∠OPF 1412∠OPF 1，化简得tan ∠OPF 1=2.从而有sin ∠OPF 1=2cos ∠OPF 1∠F 1PF 2=sin ()∠OPF 1+90°=cos ∠OPF 1=2在△OPF 1中使用正弦定理，有PF 1sin ∠POF 1=OF 1sin ∠OPF 1，得PF 1.对F 1,O ,F 2应用张角定理，有sin 1PF 2OP =∠OPF 1PF 2+sin ∠OPF 2PF 1，即+.消去c ，并解方程得a =2.所以，双曲线的方程为x 22-y 24=1.正确答案为D.张角定理为我们提供了一种求解含有图1所示模型的平面几何问题的思路.当然，在利用张角定理解决问题时，往往还需适当地将其与正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等结论相结合.参考文献［1］沈文选,张垚,冷岗松.奥林匹克数学中的几何问题［M ］.长沙:湖南师范大学出版社,2014.（山西省太原市第三实验中学校董立伟030031）柯西不等式是指：设正实数a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n ,则(a 21+a 22+⋯+a 2n )(b 21+b 22+⋯+b 2n ) (a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n )2,当且仅当a 1b 1=a 2b 2=⋯=a n b n 时等号成立.其中的一个变形：设a 1,a 2,⋯,a n ,b 1,b 2,⋯,b n 为正实数，则有a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2n b n (a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n,是权方和不等式的一个特例.本文用柯西不等式及其变式权方和不等式，给出几道2023年竞赛不等式试题的证明.例1（2023江西预赛）若锐角A ,B ,C 满足sin 2A +sin 2B +sin 2C =2，则1sin 2A cos 4B+1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A的最小值是.解：由柯西不等式及权方和不等式，有1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A =12æèçöø÷1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A ·(sin 2A +sin 2B +sin 2C ) 12(1cos 2B +1cos 2C +)1cos 2A =12æèçöø÷12cos 2B +12cos 2C +12cos 2A 212⋅éëêêùûúú()1+1+12cos 2A +cos 2B +cos 2C 2=12⋅æèöø912=812.所以1sin 2A cos 4B +1sin 2B cos 4C +1sin 2C cos 4A 的最小值是812.例2（2023北京大学优秀大学生寒假学堂数学试题）设x ,y ∈æèöø0,π2，则1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y的最小值为（）.··48A.8B.10C.9D.其他三个答案都不对解：由权方和不等式，有1cos 2x+1sin 2x sin 2y cos 2y =1cos 2x +4sin 2x sin 22y1cos 2x +4sin 2x ()1+22cos 2x +sin 2x=9，故选B.例3（2023南京大学强基计划第4题）已知sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=1，则sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=.解：由权方和不等式，有1=sin 4αsin 2β+cos 4αcos 2β=(sin 2α)2sin 2β+(cos 2α)2cos 2β (sin 2α+cos 2α)2sin 2β+cos 2β=1，由等号成立的条件知sin 2αsin 2β=cos 2αcos 2β=sin 2α+cos 2αsin 2β+cos 2β=1,所以sin 2α=sin 2β，所以sin 4βsin 2α+cos 4βcos 2α=()sin 2α2sin 2α+()cos 2α2cos 2α=sin 2α+cos 2α=1.例4（2023广东东莞数学竞赛试题）已知正数a ,b ,c ,d 满足a +b +c +d =1，求++的最小值.解：当a =b =c =d =14+++=3，下证+ 3.证明：由柯西不等式，有a+，于是有++ 13æèça ++b++c ++d +13æèç1+ 13æèç1+=3.例5（2023福建数学竞赛预赛试题）若不等式对所有正实数a ,b 都成立，求λ的最大值.解：当a =b 时，有λ20a +23b，下证.证明：由权方和不等式，有120a +23b +123a +20b =13220a +23b +13223a +20b ()1+13220a +23b +23a +20b =43()a +b a +b故λ最大值为例6（2023中美洲和加勒比海数学奥林匹克）已知a ,b ,c 为正实数，满足ab +bc +ca =1，求证：a 3a 2+3b 2+3ab +2bc+b 3b 2+3c 2+3bc +2ca +c 3c 2+3a 2+3ca +2ab>16()a 2+b 2+c 2.证明：由平均值不等式，有a 2+b 2+c 213(a +b +c )2,a 2+b 2+c 2 ab +bc +ca ，所以(a 2+b 2+c 2)3 19(a +b +c )4(ab +bc +ca )=19(a +b +c )3(a +b +c ) 19(a +b +c )3⋅3()ab +bc +ca ,由权方和不等式的变式，有··49a 3a 2+3b 2+3ab +2bc +b 3b 2+3c 2+3bc +2ca+c 3c 2+3a 2+3ca +2ab =a 4a 3+3ab 2+3a 2b +2abc+b 4b 3+3bc 2+3b 2c +2abc +c 4c 3+3a 2c +3c 2a +2abc(a 2+b 2+c 2)2a 3+b 3+c 3+3(ab 2+a 2b +bc 2+b 2c +a 2c +c 2a )+6abc=(a 2+b 2+c 2)2(a +b +c )3=(a 2+b 2+c 2)3(a +b +c )3(a 2+b 2+c 2)>16(a 2+b 2+c 2).（安徽省南陵县城东实验学校邹守文241300）问题：（2023年高考数学全国甲卷理科第16题）在 ABC 中，∠BAC =60°,AB =2,BC =6，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD =.[1]解析1（面积法）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由S ABC =S ABD +S ACD 可得12×2×b×sin 60°=12×2×AD ×sin 30°+12×AD ×b ×sin 30°，解得AD =b 2=23(1+3)3+3=2，故答案为2．点评：面积法比较适合本题，它很好地将已知与所求紧密联系起来，只不过用面积法之前必须用余弦定理求出AC 的长度.解析2（正余弦定理）：由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由正弦定理可得=b sin B =2sin C ，解得sinB =sin C =，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2，故答案为2．点评：很多学生会像上面这样做，但若利用正弦定理BC sin ∠BAC =AB sin C，得C =45°,不用求b ，只需利用内角和定理求出所有的角，同样可以求出AD 的长度，这样做会更快.解析3（张角定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由张角定理得sin ∠BAD AC +sin ∠CAD AB =sin ∠BAC AD,即AD =2，故答案为2．点评：张角定理是数学竞赛常用的一个几何定理，若用在这里事半功倍.如图2所示，在ABC 中，点D 为边BC 上任意一点，设∠BAD=α,∠CAD =β,则sin αAC +sin βAB =sin(α+β)AD.解析4（角平分线定理）：如图1所示，记AB =c ,AC =b ,BC =a ，由余弦定理可得22+b 2-2×2×b ×cos 60°=6，因为b >0，解得b =1+3，由角平分线定理得AB AC=BD DC,即探究一道解三角形小题的多种解法AB DC 230°30°6图1CA B D αβ图2··50。

(原创)最新柯西不等式习题及解析

柯西不等式习题及解析一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++ 二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈ bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤题型参考：例1：设a 、b 、c 为正数且各不相等。

求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 （2）重新安排某些项的次序：例2：a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++ （3）改变结构：例3、若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411 （4）添项：例4：+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 【1】、设6 ),2,1,2(=-=b a，则b a ⋅之最小值为________；此时=b ________。

答案：-18; )4,2,4(-- 解析：b a b a ≤⋅ ∴18≤⋅b a∴1818≤⋅≤-b ab a⋅之最小值为-18，此时)4,2,4(2--=-=a b 【2】设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若x 2 + y 2 + z 2= 16，则a b 的最大值为。

【解】∵ a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z) ∴ a ．b= x - 2z 由柯西不等式[12 + 0 + (- 2)2](x 2 + y 2 + z 2) ≥ (x + 0 - 2z)2⇒ 5 ⨯ 16 ≥ (x - 2z)2 ⇒ - 45≤ x ≤ 45⇒ - 45≤ a ．b ≤ 45，故a ．b的最大值为45【3】空间二向量(1,2,3)a =，(,,)b x y z =，已知56b =，则(1)a b ⋅的最大值为多少？(2)此时b =？ Ans ：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a 、b 、c 为正数，求4936()()a b c a b c++++的最小值。

2021届高三高考文科数学必刷题考点60不等式的证明柯西不等式含答案.docx

2021届高三高考文科数学必刷题考点60不等式的证明、柯西不等式1.已知函数/W = |x-l| + |%-3|,(1)解不等式/W<x + 1.a2b2------ 1 -------- > 1 (2)设函数/'W的最小值为c,实数a, b满足a > 0,b > 0,a +/? = c,求证：a + 1 b + 1【答案】(1) US；一⑵ 见解析【解析】①当X < I时，不等式可化为4 - 2m, x 2 1.又,「X < 1, .'.X C0;②当1<X< 3时，不等式可化为2 <x + l, X>1.又VI <x < 3, /.I <x < 3.③当x > 3时，不等式可化为2x -4 M x + 1, x <5.又•「x>3, .”〈x*.综上所得，..•原不等式的解集为〔>51.(2)证明：由绝对值不等式性质得，|X-1|+|X-3|2|(1-X)+(X-3)|=2,.•.c = 2,即0 + 6 = 2 .令a + l = m, b + \=n，则，”>l, “>1, a = m-\,b = n-\f 7n + n = 4,a2t b2 (m-1)2 . 01-1)2 . j . 1 . 1 4-4 .不 + 航=^^ + ^~ =m + n-4+- + - =—>^=1,原不等式得证.2.已知函数/W = |x-a|.(1)当a = 2时，解不等式/(x)>7-|x-l|.、r—I ------= a(m > 0,n > 0) l(2)若/(x) < 1 的解集为[0,2], m 2n\ 求证：m + 4〃22膜+ 3.【答案】(1)( - 8,- 2] U [5,+ 8)； Q)证明见解析.【解析】(1)当a = 2时，不等式为|x —2| +庆一1| 2 7,.( x< 1 书l<x< 2 书x>2 ,,<2-x + l-x>7s^l-2-x + x-l>7^tx-2 + x-l>7, ...不等式的解集为(-CO.-2] U [5. +s).(2) f{x) < 1,即|x - a| < 1,解得a - l<x<a + l,而/'(x) < 1,解集是[0.2], /.P = °解得a = 1,k a + 1 = 2所以'幸 + 土 = l(m>0,n>0),.'.in + 4?i = (?n + 4n)(二+ = 3 + —■ + ^- > 2\^2 + 3.当且仅当m =V2 + 1, n =亏与寸等号成立.3.已知函数/'(x) = |x-3|.(1)求不等式广3)< * + 1的解集M；(2)设见虬证明:(a2 + l)(b2 + 1) > 2a2 + 262.【答案】(1) M = {x\x>l} (2)见解析【解析】(1)当了2 3时，|x-3| <x +l=>x-3 |x-3| <x +lnx-3恒成立，所以x> 3；当x < 3 时，|x-3|<x+ln3 -x<x + l=>x> 1,所以l<x<3,综合可知，不等式/'(x)<x + l的解集为心={了次>1}.(2)因为(『+l)(b： + l) -(2n: +2fe=) =(a&): + a: + &: +1 —2a:— 2b: =(a&)2— a z— b2 + 1 = (a:— l)(b:— 1),又因为a.b&M,所以a > l,b > 1,因此a：> Lh3>la2-1 >0.&=-l>0,所以(a：-l)(Zf-l) >0,所以原不等式(/ + l)(b' + 1) > 2a2 + 2尸成立一/(%) = |2x - a\ + |x + -|(实数a>0)4.设函数a,(1)当a = l,求不等式Kx) > 3的解.集;(2)求证：六Q2很.【答案】(1) ｛小<-1或％>1｝； (2)膜【解析】(1)原不等.式等价于|2X-1|+|X +1|>3,1% 2 —当2时，可得2*-1 +刀+ 1>3,得%>1；1—1 V X V —当2时，可得一2x + l+x + l>3,得％<-1不成立;1x <—当2时，可得-+ 得xV- 1；•综上所述，原不等式的解集为｛x|x<-W>1]3x-fl+^,x>7-尤+ a + j, - ^ < x < 7 ,—3x + a - -,x < -- a a当一土 <x<2 时，f (x) > - + a 2 / \ 2 A当点-泸，/(x)> a+^,所以\/min(X )= :+注2 J?X j = \ 2 ,当且仅当(I = "2时等号成立法二：f(x) = |2x-a| + |x + ：| = |x-?| + |x-?| + |x+3 I 2 |x-?| + |? + 刁 *• —— M ■« *«« a *当且仅当(x -9 (x+9三o 时等号成立。

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 设a，b，c为正数，a+b+9c2=1，则√a+√b+√3c的最大值是()A.7 3B.53C.√213D.√1532. 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+ cz=20，则a+b+cx+y+z=（）A.1 4B.13C.12D.343. 已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是（）A.12B.20C.28D.364. 函数y=5√x−1+√9−3x()A.6√3B.2√3C.5√2D.2√145. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n6. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=1，则x21+x +y21+y+z21+z的最小值为________．7. （不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则(am+bn)(bm+an)的最小值为________．8. 若正数a，b，c满足a+b+4c=1，则√a+√b+√2c的最大值为________．9. 已知实数a，b，c满足a+2b−c=1，则a2+b2+c2的最小值是________．10. 函数y=√x−4+√25−5x的最大值为________．11. 已知x+2y+3z=1，则2x2+2y2+z2的最小值为________．12. 已知空间的点P(x, y, z)(x, y, z∈R)到原点O(0, 0, 0)的距离为3，则式子x+2y+ 2z的最大值与最小值的差是________．13. 已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2＝1，则x−2y−3z的最大值为________√14．14. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则1a +9b+25c的最小值为________．15. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，则a的取值范围是________．16. （1）a、b为非负数，a+b=1，x1，x2∈R+，求证：(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2； 16.（2）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值．17. （I）在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值． 17.（II）已知f(x)=m−|x−2|，且不等式f(x+2)≥0解集为[−1, 1]．（1）求正实数m的大小；（2）已知a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m，求a+2b+3c的最小值．18. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R)（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．19. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R)．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知f(x)=|2x+1|+|x+5|.(1)解不等式f(x)<9;(2)若a，b，c均为正数，且f(a)+f(b)+f(c)=24，证明：b2a +c2b+a2c≥2.21. 已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．22. 已知关于x的不等式|x−1|−|x+2|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．(1)求实数m的取值范围；(2)正数a，b，c满足a+2b+2c=M，求证：1a+b +3b+c+4c+a≥9．23. 已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3√3．（1）求证：x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32．（2）求1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值．24. 已知a，b，c是正实数，且满足a+b2+c3=1．(1)是否存在满足已知条件的a，b，使得ab=12，试说明理由；(2)求√a+√b+√c的最大值．25. 已知函数f (x )=|x −2|−2|x| . (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若正数a ，b ，c 满足a +4b +9c =f (13)+2，求1a +4b +9c 的最小值．26. 已知函数f (x )=|x −4|+|1−x|，x ∈R ． (1)解不等式：f (x )≤5；(2)记f (x )的最小值为M ，若正实数a ，b 满足a +b =M ，试求：1a+2+1b+1的最小值．27. 已知a ，b ，c >0，a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2=1，证明．αbc ≤√24．28. a 2+b 2+c 2+x 2+y 2=16√21，求证：(ax +by)2+(bx +cy)2≤2016．29. （选做题）已知x 2+3y 2+4z 2=2，求证：|x +3y +4z|≤4．30. 设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1． (1)求(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥13成立，证明：a ≤−3或a ≥−1．31. 已知x +y +z =1，求证x 2+y 2+z 2≥13．32. 不等式选讲：已知x ，y ，z ∈R ，且x −2y −3z =4，求x 2+y 2+z 2的最小值．33. 已知实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5，求a 的取值范围．34. （选做题）已知a ，b ，c ∈(0, +∞)，且1a +2b +3c =2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．35. 已知：x，y，x是正实数，且x+2y+3z=1，(1)求1x +1y+1z的最小值；(2)求证：x2+y2+z2≥114．参考答案与试题解析高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分） 1.【答案】 C【考点】柯西不等式一般形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2]≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2，代入数据变形可得．【解答】解：由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2] ≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2，∴ 代入数据变形可得√a +√b +√3c ≤√2+13=√213，当且仅当√a 1=√b 1=√33且a +b +9c 2=1，即a =b =37，c =√721时取等号， ∴ √a +√b +√3c 的最大值是√213. 故选C .2.【答案】 C【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)=10×40≥(ax +by +cz)2=202．取等条件是ax =by =cz =12，所以a+b+cx+y+z =12． 3. 【答案】 C【考点】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2，用x2+y2+z2和(xy+yz+xz)表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2=5(x2+y2+z2)−4(xy+yz+xz)=20−2[(x+y+z)2−(x2+y2+z2)]=28−2(x+y+z)2≤28∴当x+y+z=0时(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是28．故选C．4.【答案】D【考点】一般形式的柯西不等式【解析】函数可化为y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x，利用柯西不等式，即可求得最大值．【解答】由柯西不等式可得y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x≤√(25+3)(x−1+3−x))=2√14当且仅当√3=√x−1√3−x，即x=3914时，函数取得最大值2√145.【答案】C【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由柯西不等式，得(x1+x2+⋯+x n)(1x1+1x2+⋯+1x n)≥(√x11√x√x2×1√x⋯+√x n1x n)2=(1+1+⋯+1)2=n2，当且仅当x1=x2=⋯=x n时取等号.故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）6.【答案】14【考点】此题暂无解析【解答】解：∵ x ，y ，z 均为正数，∴ (x 21+x +y 21+y +z 21+z )(1+x +1+y +1+z)≥(x +y +z)2， ∵ x +y +z =1， ∴x 21+x+y 21+y+z 21+z≥14，当且仅当x =y =z =13时，取等号， ∴x 21+x+y 21+y +z 21+z的最小值为 14.故答案为：14. 7.【答案】 2【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d ∈R 均为实数，则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2其中等号当且仅当ac =bd 时成立，即可求出(am +bn)(bm +an)的最小值．【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2可得(am +bn)(bm +an)≥(√am ⋅√an +√bn ⋅√bm)2=mn(a +b)2=2×1=2，当且仅当aman =bnbm 即m =n 时，取得最小值2．故答案为：2． 8. 【答案】√102【考点】一般形式的柯西不等式【解析】直接利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+p 2)≥(am +bn +cp)2进行求解即可．【解答】解：由柯西不等式可知（(√a)2+(√b)2+(√4c)2）(12+12+(√22)2)≥(√a ×1+√b ×1+√4c ×√22)2∴ 52(a +b +4c)≥(√a +√b +√2c)2即√a +√b +√2c ≤√102故答案为：√1029.【答案】16【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+2b−c=1，构造柯西不等式(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+ c2)进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式得(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+c2)，∵a+2b−c=1，∴1≤(12+22+12)(a2+b2+c2)，∴a2+b2+c2≥16，当且仅当a1=b2=c1取等号，则a2+b2+c2的最小值是16故答案为：16．10.【答案】√6【考点】一般形式的柯西不等式【解析】先将函数变为y=1×√x−4+√5×√5−x，再利用柯西不等式，即可得到结论．【解答】解：∵y=√x−4+√25−5x∴y=1×√x−4+√5×√5−x≤√(1+5)(x−4+5−x)=√6故答案为：√611.【答案】223【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用题中条件：“x+2y+3z=1”构造柯西不等式：(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2进行计算即可．【解答】解：构造柯西不等式：(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2已知x+2y+3z=1，∴2x2+2y2+z2≥223，则2x2+2y2+z2的最小值为223，故答案为：223．12.【答案】18【考点】一般形式的柯西不等式【解析】根据可得|x+2y+2z|≤9，从而得到x+2y+2z的最大值为9，最小值为−9．由此可得最大值与最小值的差．【解答】解：∵|OP|2=x2+y2+z2=9，∴根据柯西不等式，得|x+2y+2z|≤√(12+22+22)(x2+y2+z2)=9，由|x+2y+2z|≤9，得−9≤x+2y+2z≤9当且仅当x=1，y=z=2时，x+2y+2z有最大值9，当x=−1，y=z=−2时，x+2y+2z有最小值−9．最大最小值的差为18故答案为：1813.【答案】√14【考点】一般形式的柯西不等式【解析】首先分析题目已知x2+y2+z2＝1，求x−2y−3z的最大值，可以联想到柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2的应用，构造出柯西不等式即可得到答案．【解答】由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2＝1，和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2则构造出[12+(−2)2+(−3)2](x2+y2+z2)≥(x−2y−3z)2．即：(x−2y−3z)2≤14即：x−2y−3z的最大值为√14．14.【答案】27【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+b+c=12，构造柯西不等式(1+3+5)2≤(a+b+c)(1a +9b+25c)进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式得(1+3+5)2≤(a +b +c)(1a +9b +25c)，∵ a +b +c =12， ∴ (1+3+5)2≤12(1a +9b +25c)，∴ 1a +9b +25c≥274，当且仅当1aa=9bb=25cc取等号，则1a +9b +25c的最小值为274．故答案为：274． 15.【答案】[1, 2] 【考点】一般形式的柯西不等式【解析】由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2，从而得到关于a 的不等关系：5−a 2≥(3−a)2，解之即a 的取值范围．【解答】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2．当且仅当√2b√2=√3b√3=√6d√6时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]．故答案为：[1, 2]．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分） 16.【答案】解：（1）∵ (ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)=(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥(a √x 1x 2+b √x 1x 2)2=(a +b)2x 1x 2=x 1x 2 (∵ a +b =1)．（2）解：由柯西不等式得，有(2b 2+3c 2+6d 2)(12+13+16)≥(b +c +d)2；即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2 由条件可得，5−a 2≥(3−a)2；解得，1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，代入b=1,c=13，d=16时，a max=2b=1,c=23，d=13时a min=1．【考点】一般形式的柯西不等式【解析】（1）将y1、y2代入乘积y1y2展开，化简出x1x2的表达式，判断其大小，即可．（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2；结合条件可得，5−a2≥(3−a)2；从而求得a的最值．【解答】解：（1）∵(ax1+bx2)(bx1+ax2)=(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a√x1x2+b√x1x2)2=(a+b)2x1x2=x1x2 (∵a+b=1)．（2）解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2；即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2由条件可得，5−a2≥(3−a)2；解得，1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，代入b=1,c=13，d=16时，a max=2b=1,c=23，d=13时a min=1．17.【答案】解：(I)(1)对于曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x2+y2−2x+4y+4=0，即(x−1)2+(y+2)2=1；对于曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数），可化为普通方程3x+4y−15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x+4y−15=0的垂线，此时切线长最小，则由点到直线的距离公式可知，d=√32+42=4，则切线长为√16−1=√15．(II)(1)因为f(x+2)=m−|x|≥0，所以|x|≤m，所以m≥0，−m≤x≤m．又f(x+2)≥0的解集是[−1, 1]，故m=1．（2）由（1）知1a +12b+13c=1，a，b，c∈R+，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)≥(1+1+1)2=9．∴a+2b+3c的最小值为9．【考点】一般形式的柯西不等式参数方程与普通方程的互化【解析】(I)(1)参数方程、极坐标化为直角坐标方程，可得结论．（2）根据圆的切线性质、点到直线的距离公式求得这条切线长的最小值．(II)(1)由条件可得|x|≤m ，求得−m ≤x ≤m ．再根据f(x +2)≥0的解集是[−1, 1]，求得m 的值．（2）由（1）知1a +12b+13c=1，a ，b ，c ∈R +，由柯西不等式求得a +2b +3c 的最小值．【解答】解：(I)(1)对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cos θ−2sin θ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1；对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t （t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时切线长最小，则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则切线长为√16−1=√15．(II)(1)因为f(x +2)=m −|x|≥0，所以|x|≤m ，所以m ≥0，−m ≤x ≤m ．又f(x +2)≥0的解集是[−1, 1]，故m =1．（2）由（1）知1a +12b+13c=1，a ，b ，c ∈R +，由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a+12b+13c)≥(1+1+1)2=9．∴ a +2b +3c 的最小值为9． 18.【答案】解：（1）∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R)．∴ x 2+y 2+z 2≥87，当且仅当x1=y2=z3时取等号．即x 2+y 2+z 2的最小值为87．（2）∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87． ∴ |a +2|≤72×87=4， ∴ −4≤a +2≤4，解得−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]．【考点】一般形式的柯西不等式基本不等式【解析】（1）利用柯西不等式即可得出；（2）由（1）可得x 2+y 2+z 2的最小值为87．因此|a +2|≤4，解出即可．【解答】解：（1）∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R)．∴ x 2+y 2+z 2≥87，当且仅当x1=y2=z3时取等号．即x 2+y 2+z 2的最小值为87．（2）∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87．∴ |a +2|≤72×87=4， ∴ −4≤a +2≤4，解得−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 19.【答案】解：（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，由|x +2y +3z|≥4，则x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87；（2）由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，且x 2+y 2+z 2的最小值为87，则|a +2|≤4，则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]．【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，结合条件即可得到最小值；（2）由恒成立思想，结合（1）可得|a +2|≤4，解不等式即可得到．【解答】解：（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，由|x +2y +3z|≥4，则x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87；（2）由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，且x 2+y 2+z 2的最小值为87，则|a +2|≤4，则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 20. 【答案】解：(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12, 解得：x 无解，或−5<x <−12，或−12≤x <1，综上可得：不等式f (x )<9 的解集为(−5,1).(2)∵ a ，b ，c 均为正数， ∴ 3a +3b +3c +18=24，即：a +b +c =2， ∴ 由柯西不等式可得：(b 2a+c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2， ∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.【考点】绝对值不等式的解法与证明柯西不等式一般形式的柯西不等式【解析】(1)分情况讨论去掉绝对值，再分别解不等式即可；(2)由于化简得到a +b +c =2，与要证的结论能构成柯西不等式模型，故直接用柯西不等式证明即可. 【解答】解：(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12,解得：x 无解，或−5<x <−12，或−12≤x <1，综上可得：不等式f (x )<9 的解集为(−5,1). (2)∵ a ，b ，c 均为正数， ∴ 3a +3b +3c +18=24，即：a +b +c =2， ∴ 由柯西不等式可得：(b 2a +c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2，∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.21.【答案】解：(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2，当且仅当x =0时等号成立，故m =2 .(2)由(1)知，a 2+b 2=2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 ，当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立， ∴ 11+a +12+b ≥4a +b +3=45，故11+a 2+12+b 2的最小值为45．【考点】一般形式的柯西不等式绝对值三角不等式【解析】【解答】解：(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2，当且仅当x =0时等号成立，故m =2 .(2)由(1)知，a 2+b 2=2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 ，当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立， ∴ 11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45，故11+a2+12+b2的最小值为45．22.【答案】解：(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3， "=”当x =−2时成立．若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解，则满足|m +1|≤3，解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]． (2)由(1)知M =2，故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2， ∴ 1a+b +3b+c +4c+a =(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a)≥(√1+√9+√4)24=9.【考点】绝对值不等式一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3， "=”当x =−2时成立．若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解，则满足|m +1|≤3，解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]． (2)由(1)知M =2，故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2， ∴1a+b+3b+c+4c+a=(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a )≥(√1+√9+√4)24=9.23.【答案】解：（1）由柯西不等式得，(x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3z +z 2z +2x +3y )[(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2=27 得：x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥√32；（2）∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx)，由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)），由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)）≥9所以，(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz)，又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3．∴xyz≤3√3．∴log3xyz≤32．得92log3xyz≥92×23=3所以，1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时，等号成立．故所求的最小值是3．【考点】一般形式的柯西不等式平均值不等式在函数极值中的应用【解析】（1）可以将不等式左边乘以）[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]然后利用柯西不等式进行放缩求解；（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；【解答】解：（1）由柯西不等式得，(x2+y2+z2)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得：x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32；（2）∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx)，由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)），由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)）≥9所以，(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz)，又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3．∴xyz≤3√3．∴log3xyz≤32．得92log3xyz≥92×23=3所以，1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时，等号成立．故所求的最小值是3．24.【答案】解：(1)由条件0<a+b2<1，从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12，∴不存在满足已知条件的a，b，使得ab=12．(2)由柯西不等式可得：(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2，≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6，∴√a+√b+√c≤√6，等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3，结合a+b2+a3=1，可知a=16，b=23，c=32，∴√a+√b+√c的最大值为√6．【考点】基本不等式一般形式的柯西不等式【解析】【解答】解：(1)由条件0<a+b2<1，从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12，∴不存在满足已知条件的a，b，使得ab=12．(2)由柯西不等式可得：(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2，≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6，∴√a+√b+√c≤√6，等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3，结合a+b2+a3=1，可知a =16，b =23，c =32，∴ √a +√b +√c 的最大值为√6． 25.【答案】解：(1)①当x ≤0时，f(x)=2−x −(−2x)=x +2，由f(x)>1，即x +2>1，解得x >−1，又x ≤0，所以−1<x ≤0；②当0<x <2时，f(x)=2−3x ，由f(x)>1，即2−3x >1，解得x <13，又0<x <2，所以0<x <13；③当x ≥2时，f(x)=−x −2，由f(x)>1，得x ∈⌀，综上，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)． (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1，故a +4b +9c =3，所以1a +4b +9c =13(a +4b +9c)(1a +4b +9c ) 因为a, b, c >0，所以由柯西不等式：上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a)2+(2√1b)2+(3√1c)2]≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2 =1963，当且仅当a =b =c =314时，等号成立.【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)①当x ≤0时，f(x)=2−x −(−2x)=x +2，由f(x)>1，即x +2>1，解得x >−1，又x ≤0，所以−1<x ≤0；②当0<x <2时，f(x)=2−3x ，由f(x)>1，即2−3x >1，解得x <13，又0<x <2，所以0<x <13；③当x ≥2时，f(x)=−x −2，由f(x)>1，得x ∈⌀，综上，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)． (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1，故a +4b +9c =3，所以1a+4b+9c=13(a +4b +9c)(1a+4b+9c)因为a, b, c >0，所以由柯西不等式：上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a )2+(2√1b )2+(3√1c )2] ≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2=1963，当且仅当a =b =c =314时，等号成立.26. 【答案】解：(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5，∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ，∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知，f (x )在(−∞,1)上单调递减， (4,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =3， ∴ M =3．解法1：a +b =3 ，∴ (a +2)+(b +1)=6， ∴ 1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)]=16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23．解法2：由柯西不等式得，1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23，当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时，即 a =1，b =2时，1a+2+1b+1的最小值为23．【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用一般形式的柯西不等式【解析】无无【解答】解：(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5，∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ，∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知，f (x )在(−∞,1)上单调递减， (4,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =3， ∴ M =3．解法1：a +b =3 ，∴ (a +2)+(b +1)=6， ∴1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] =16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23．解法2：由柯西不等式得，1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23，当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时，即 a =1，b =2时，1a+2+1b+1的最小值为23．27.【答案】证明：根据柯西不等式(n =3)得，[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a +b 21+b +c 21+c )≥(a +b +c)2，即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2，整理得，ab +bc +ac ≤32，再由基本不等式：ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3，两边立方得，a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18，所以，abc ≤√18=√24，即abc ≤√24，证毕．【考点】一般形式的柯西不等式不等式的证明【解析】先用柯西不等式得出ab +bc +ac ≤32，再用基本不等式ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3，得出abc ≤√24．【解答】证明：根据柯西不等式(n =3)得，[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2)≥(a +b +c)2，即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2，整理得，ab +bc +ac ≤32，再由基本不等式：ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3，两边立方得，a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18，所以，abc ≤√18=√24，即abc ≤√24，证毕． 28.【答案】证明：只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ，当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况．此时，由柯西不等式及均值不等式，可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016．故不等式得证．【考点】不等式的证明一般形式的柯西不等式【解析】只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ，当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2]=(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况．此时，由柯西不等式及均值不等式，化简整理，即可得证．【解答】证明：只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ，当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况．此时，由柯西不等式及均值不等式，可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤3(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016．故不等式得证． 29.【答案】证明：因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得：即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故：|x +3y +4z|≤4．【考点】一般形式的柯西不等式【解析】分析题目已知x 2+3y 2+4z 2=2，求证：|x +3y +4z|≤4．考虑到应用柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)，首先构造出柯西不等式求出(x +3y +4z)2的最大值，开平方根即可得到答案．【解答】证明：因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得：即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故：|x +3y +4z|≤4． 30.【答案】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]，故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，当且仅当x =53，y =−13，z =−13时等号成立；(2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2]，由已知得，(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23，当且仅当x =4−a 3，y =1−a 3，z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23，由题设知(2+a)23≥13，解得a ≤−3或a ≥−1.【考点】一般形式的柯西不等式【解析】（1）运用柯西不等式可得(12+12+12)[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]≥(x −1+y +1+z +1)2＝4，可得所求最小值；（2）运用柯西不等式求得(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围．【解答】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]，故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，当且仅当x =53，y =−13，z =−13时等号成立； (2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2]，由已知得，(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23，当且仅当x =4−a 3，y =1−a 3，z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23，由题设知(2+a)23≥13，解得a ≤−3或a ≥−1. 31.【答案】解：∵ x 2+y 2≥2xy ，x 2+z 2≥2xz ，y 2+z 2≥2yz ， ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz ．∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13．原不等式得证．【考点】一般形式的柯西不等式【解析】先利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ，同时变形利用x +y +z =1，即(x +y +z)2=1即可证得结论．【解答】解：∵ x 2+y 2≥2xy ，x 2+z 2≥2xz ，y 2+z 2≥2yz ， ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz ．∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13．原不等式得证． 32.【答案】解：由柯西不等式，得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)，即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2)，… 即16≤14(x 2+y 2+z 2)．所以x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87．…【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用题中条件：“x −2y −3z =4”构造柯西不等式：[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)，利用这个条件进行计算即可．【解答】解：由柯西不等式，得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)，即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2)，… 即16≤14(x 2+y 2+z 2)．所以x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87．… 33. 【答案】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]．【考点】一般形式的柯西不等式【解析】先由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2从而得到关于a 的不等关系：5−a 2≥(3−a)2，解之即a 的取值范围．【解答】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]． 34. 【答案】解：由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c)=[(√1a )2+(√2b )2+(√3c )2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2，∴ a +2b +3c ≥18，当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时，a +2b +3c 取得最小值18 【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用柯西不等式，即可求得a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【解答】解：由于(1a+2b+3c)(a +2b +3c)=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2，∴ a +2b +3c ≥18，当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时，a +2b +3c 取得最小值18 35.【答案】(1)解：∵ x ，y ，x 是正实数，且x +2y +3z =1， ∴ 1x +1y +1z =(1x +1y +1z )(x +2y +3z) =6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6，当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明：由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)， ∴ x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =2y =3z 时，即x =13，y =16，z =19时取等号．故x 2+y 2+z 2≥114．【考点】一般形式的柯西不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）由题意整体代入可得1x +1y +1z =6+(2yx +xy )+(3zx +xz )+(3zy +2y z)，由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)，由不等式的性质可得．【解答】(1)解：∵ x ，y ，x 是正实数，且x +2y +3z =1， ∴ 1x+1y+1z=(1x+1y+1z)(x +2y +3z)=6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6，当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明：由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)， ∴ x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =2y =3z 时，即x =13，y =16，z =19时取等号．故x 2+y 2+z 2≥114．。

高中数学第二章几个重要的不等式 2.1 柯西不等式练

§1 柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B.C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2≤a+b≤2,即a+b的最大值为2.答案:C2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2B.4C.D.8解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,当且仅当x=,y=,z=时等号成立,因此x+y+z≤2,即x+y+z的最大值等于2.答案:A3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c)·81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.答案:C4.函数y=+2的最大值是()A. B. C.3 D.5解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×≤,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B5.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()A.5B.-5C.-50D.-5解析:令α=(a,b),β=(3,1),则α·β=3a+b,|α|=,|β|=.由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|α||β|,所以|3a+b|≤=5,当且仅当a=,b=时等号成立,因此-5≤3a+b≤5,即3a+b的最小值为-5.答案:D6.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为.解析:因为(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以≥2,故的最小值为2.答案:27.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是.解析:P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案:P≤Q8.已知a,b,m,n均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.解析:由柯西不等式,得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,当且仅当m=n=时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案:29.已知a,b,c为正实数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证:cos2θ+sin2θ<.证明由柯西不等式,得cos2θ+sin2θ≤=.故原不等式成立.10.导学号35664033设a,b∈R+,且a+b=2.求证:≥2.证明由柯西不等式,得[(2-a)+(2-b)]=[()2+()2]≥=(a+b)2=4.因为a,b∈R+,且a+b=2,所以2-a>0,2-b>0,所以=2,当且仅当a=b=1时等号成立.故原不等式成立.B组1.若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.解析:∵(2x2+y2+3z2)≥=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥,当且仅当x=,y=,z=时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为.答案:D2.若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为()A.2RB.2RC.4RD.4R解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1·x+1·).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2×2R×=4R,当且仅当x·1=·1,即x=R时等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案:D3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于()A. B. C.13 D.18解析:,当且仅当a=,b=,c=时等号成立,故最大值为.答案:A4.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是.解析:(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.当且仅当时等号成立.答案:1215.已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是.解析:因为a,b∈R+,且a+b=1,所以=(a+b),由柯西不等式得(a+b),当且仅当且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案:6.已知x2+y2=2,且|x|≠|y|,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)≥4,当且仅当u2=v2=2,即x=±,y=0或x=0,y=±时,的最小值是1.7.导学号35664034已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2).因此x2+y2+z2≥,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.8.导学号35664035求函数y=的最小值.解y=.根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+()2=11+2.当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.此时y min=+1.。

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