匹配滤波

1.5.2. 匹配滤波器最佳接收机还可以有另外的一种结构，即匹配滤波器。

为了说明匹配滤波器的基本原理，我们从这样一个直观的分析入手。

我们知道，通信系统的误码率与输出的信噪比有关，接收端输出信噪比越大，则系统的误码率越小。

因此，如果在每次判决前，输出的信噪比都是最大的，则该系统一定是误码率最小的系统。

遵从这种考虑原则，我们可以得到匹配滤波器的概念。

接收机通过匹配滤波器使输出信噪比最大。

一、匹配滤波器原理假设线性滤波器的输入端是信号与噪声的叠加)()()(t n t x t s +=，且假设噪声)(t n 是白噪声，其功率谱密度2)(0N f P n =，信号的频谱为)(f X 。

问题：设计一个滤波器使输出端的信噪比在某时刻0t 达到最大。

假设该滤波器的系统响应函数为)(f H ，系统冲击响应为)(t h ，则 输出信号)()()(0t n t s t y O +=其中，⎰∞∞--=τττd t h x t s )()()(0，)()()(f H f X f S o =⎰∞∞-=df e f H f X t s ft j o π2)()()(所以在0t 时刻，信号的功率为200|)(|t s 输出噪声的功率谱密度20|)(|2)(f H N f P o n =输出噪声平均功率为⎰∞∞-=df f H N Pn 20|)(|2所以0t 时刻输出的信噪比为：⎰⎰∞∞-∞∞-==dff H N df e f H f X Pnt s r ft j 20222000|)(|2|)()(||)(|0π根据Schwarts 不等式，⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-≤df f Y df f X df f Y f X 222|)(||)(||)()(|2022|)(|N E N df f X r s=≤⎰∞∞- 当02*)()(ft j ef KX f H π-=时等式成立。

因此，如果设计一个滤波器，它的系统响应函数为02*)()(ft j e f KX f H π-=时，滤波器输出信噪比最大。

二、匹配滤波器结构我们再来看看，匹配滤波器的冲激响应)(t h02*)()(ft j e f KX f H π-=两边取傅立叶反变换，得到*0)()(t t Kx t h -=如果输入信号)(t x 是实信号，则)()(0t t Kx t h -=现在，我们把以上的结论用在数字通信上。

假设符号的传输速率sT 1，则在接收端同样地我们需要每隔s T 时间进行一次判决，因此我们希望在每s T 时刻的输出信噪比最大，将上述的0t 用Ts 带入，我们得到匹配滤波器如下：)()(t T Kx t h s -=。

所以，匹配滤波器的结构如下：例1、 假设某二进制通信系统的0、1信号对应的传输波形为)(),(21t s t s ，如下图示。

问：1、该系统的匹配接收机结构如何？四、匹配滤波器与相关接收机的关系由匹配滤波器的冲激响应函数)()(t T Kx t h s -=，当接收端输入为)()()(1t n t x t s +=时，在相对于)(1t x 的匹配滤波器端输出信号 ⎰⎰+-+=-=ssT s T d T t Kx n x d t h s t r 01110)()]()([)()()(τττττττ⎰⎰+-+-+=ss T s s T d T t x Kn d T t x x K 011101)()()()(ττττττ当s T t =时，得到⎰⎰+=ss T T s d x n K d x x K T r 011011)()()()()(ττττττdt t x t s K sT )()(10⎰= （相关接收机形式）因此，在s T t =的取样点上，匹配滤波器与相关接收机的结果是等价的。

因此，如果我们说相关接收机是最佳接收机，那么匹配滤波器也是最佳的。

即最佳接收机的形式可以是相关接收机形式、也可以是匹配滤波器形式。

在实际应用中，由于匹配滤波器只要实现相应的系统响应，就可以实现最佳接收，而 相关接收机要实现乘法、积分运算，因此在实际应用中，经常是匹配滤波器的结构。

由于相关接收机在理论分析方面的方便，因此在理论分析中，经常用相关接收机的形 式。

但是，这两者是等价的。

1.5.3. 相关接收机的性能分析由上面所讲的相关接收机的理论，我们可以知道，最佳的判决准则最终是由下式决定：⎰>⎰----sT i sT m dtt x t y N i dtt x t y N m eX P eX P 02020)]()([1)]()([1)()(两边取对数，得到)(ln )]()([1)(ln )]()([(10202i T i m T m X P dt t x t y N X P dt t x t y N ss+-->+--⎰⎰假设符号出现是等概的，我们可以得到如下最佳判决规则：⎰⎰-->--ssT i T m dt t x t y N dt t x t y N 0202)]()([1)]()([(1，判为m X ，m i ≠我们在第一、二节讲信号空间概念时，曾经讲到两个信号间的距离2/122121]|)()(|[|)()(|⎰-=-=badt t x t x t x t x d假设发送信号},...2,1),({M i t x i =组成的信号空间可以由正交函数集}...2,1),({N i t f i =张成，则∑==Nk k ik i t f s t x 1)()(，即信号)(t x i 可以由空间中的点],...,[21iN i i s s s 表示。

同理，接收信号)(t y 也可以在正交集中展开，即∑∑∑===-++=+=Nk k k N k k k Nk k iki t f n t n t f n t f st n t x t y 111)()()()()()()()()(1t o t f rNk k k+=∑=我们可以证明，∑=-=Nk k kt f nt n t 1)()()(ο与k r 是不相关的，即从)(t ο中是不知道任何关于)(t x i 的信息的，因此它对判决的结果没有影响。

[证明可以参见Proakis 的《数字通信》书P237]。

****)]([)]([)]([])([t o n E t o n E t o s E r t o E k k ik k =+=∑⎰=-=Ni j k i T k t f n n E d f n t n E s1)()()()]()([τττ0)(21)(2100=-=t f N t f N k k ***** 因此，上述的信号间距离也可以变成接收信号点与星座图中各个星座间的距离：2/1122/12)(]|)()(|[|)()(|⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=∑⎰=N k ik k bai i s r dt t x t y t x t y d其中，k ik k n s r +=，k n 是高斯型的噪声。

其中，0)()]([][0==⎰sT k k dt t f t n E n E⎰⎰=ssT T m k m k dtd f t f n t n E n n E 0)()()]()([][τττ⎰⎰-=ss T m k T dtd f t f t N 000)()()(21τττδ mk N δ021=其中，⎩⎨⎧≠==km k m mk1δ所以，k n 是均值为0，方差为021N 的高斯变量。

相应的判决准则可以变成如下：)(ln )]()([1)(ln )]()([(102020i T i m T m X P dt t x t y N X P dt t x t y N ss+-->+--⎰⎰等价于)(ln )()(ln )(012012i Nk ik k m Nk mk kX P N s r X P N s r--<--∑∑==对于等概传输的系统来说，就变成了如下：∑∑==-<-Nk ik k Nk mk ks r s r1212)()(，判为m X （准则二）一、二进制最佳接收机的性能1、 2PSK 信号的最佳接收机性能 我们知道，2PSK 信号)()(10t s t s -=， 假设t f t g t s c π2cos )()(0-= 则)()(00t f s t s = 其中，t f t g E t f c gπ2cos )(2)(=，2/0g E s = 我们定义符号能量g T s E dt t s E s21)(020==⎰， 所以，s E s -=0。

它们的信号距离s E d 2min =假设经过相关接收机（或匹配滤波器后），每个抽样时刻输出k i k n s r +=，i=0,1其中，s E s s -=-=10，k n 是均值为0，方差为021N 的高斯变量。

根据准则二，这里条件为N=1（一维信号空间）2120)()(s r s r k k -<-，判为0。

根据上述的准则，我们可以得到错误判决的概率：)()|)(()()|)((112201002102X P n s r n n s s P X P n s r n s s n P P k k k k k k k k e +=>+-++=+->= 即（图示） )()()()(10X P E n P X P E n P P s k s k e >+>==)0(21)0(21>++>+-k s k s n E P n E P 其中， 021)(N n k k eN n f -=π所以，2PSK 相干最佳接收系统的误码率为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0min 2002212N d Q N E erfc NE Q P s se 例题1，一2PSK 通信的接收系统如图示，在每码元期间，2PSK 信号或为t f t g c π2cos )(，或为t f t g c π2cos )(-（等概出现）。

二进制码元宽度为ms T 1=，载频MHz f 10=，)(t g 是矩形波，加性宽带白高斯噪声)(t n 的双边功率谱密度为2N ，问 1、如何设计)(f H ，使得在（1）处T 抽样时刻的信噪比最大，请写出滤波器的传递函数)(f H 表示式。

2、请写出在（1）处T 时刻的瞬时信号功率值及信噪比。

3、若在T 时刻的抽样值为V ，请写出在等概情况下的最佳判决门限及判决公式（判决准则）。

4、请详细推导上述解调器的误码率公式。

c2、 2FSK 信号的最佳接收机性能 2FSK 的两个发送信号为： 0——)(2cos )()(110t f E t f t g t s s ==π1——t f t g t s 212cos )()(π==)(2t f E s可见，2FSK 信号是二维信号，它们的距离是s E d 2min =。