二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)(可编辑修改word版)

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(完整word版)二次函数精选练习题及答案

二次函数练习题及答案一、选择题1．将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是（ )A 23(2)1y x =++B 。

23(2)1y x =+-C 。

23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ；Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。

b= -2,c=-1 D 。

b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。

二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

九年级数学二次函数专题训练含答案解析-精选5份

九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1 4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B （1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C 位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF ＝OE ＝∵BF +AE ＝OE +AE ＝OA ＝∴S △ABC ＝S △BCD +S △ACD ＝CD •BF +CD •AE ∴S △ABC ＝CD （BF +AE ）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交于A （﹣1，0）和B （2，3）两点 ∴，解得：， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +1；（2）令x ＝0，则y ＝﹣x 2+2x +3＝3， ∴C （0，3），则OC ＝3，BC ＝2，BC ∥x 轴， ∴S △ABC ＝×BC ×OC ＝＝3．九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值62．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（） A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5)3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（） A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（） A ．22(2)1y x =-+- B ．22(2)1y x =--+ C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，②320a b +>，③24b a c ac >++，④a c b >>．正确结论的个数为（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（） A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论： ①c ≥−2 ；②当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；③若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（） A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（） A ．m 1≥或0m < B ．m 1≥ C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =②方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根③若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ④不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________． 16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x 时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y =A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到△ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）△ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得△ACE 与△ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：△抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，△设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，△()()21545y x x x x =-+-=-++．△该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ，令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++；（2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C -∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD =MBC ∴20．解：（1）对于y =x =0时，y =当y =0时，03x -=，妥得，x =3 △A （3，0），B （0，把A （3，0），B （0，2y bx c++得：+=0b c c ⎧⎪⎨=⎪⎩解得，b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩△抛物线的解析式为：2y =（2）抛物线的对称轴为直线12b x a =-== 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，△B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，△△BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴△在菱形BQCP 中，BC △PQ△PQ △x 轴△点P 在x =1上，△点Q 也在x =1上，当x =1时，211y△Q （1，）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，△BC //PQ ，且BC =PQ△BC //x 轴，△令y =2y 解得，120,2x x ==△(2,C△PQ=BC=22=△PB=BC=2△迠P在x轴上，△P(1,0)△Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，△抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，△点A（﹣2，0），点B（8，0），△对称轴为直线x＝3，△△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，△当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，△点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，△连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，△0＝8k ﹣8，△k ＝1，△直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，△点D （3，﹣5）；（3）存在，△点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），△直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，△△ACE 与△ACD 面积相等，△DE △AC ，△设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，△﹣5＝﹣4×3+n ，△n ＝7，△DE 解析式为：y ＝﹣4x +7，联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， △点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（）A ．y ＝（2x ﹣1）2B ．y ＝（x +1）2﹣x 2C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +3 2．若抛物线258(3)23mm y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（） A ．3 B ．2-C ．2D ．2或3 3．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（）A ．1,3,5a b c ==-=B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-= 5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≠B ．a≥0C ．a=2D ．a>0 6．下列函数中①31y x ；②243y x x =-；③1y x =；④225=-+y x ，是二次函数的有（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（）A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( )A ．a≠0，b≠0，c≠0B ．a<0，b≠0，c≠0C ．a>0，b≠0，c≠0D ．a≠0 二、填空题9．若()2321mm y m x --=+是二次函数，则m 的值为______． 10．若22a y x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数．14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数；② 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m ）x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A2．C3．B4．D5．A6．B7．B8．D9．410．2±11．012．③13． 4，-2 414． 13215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数 18．（1）m =（2）m ≠m ≠19．①a≠0；②b=0或-1，a 取全体实数③当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y 关于x 的二次函数的是（）A ．y ＝4xB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝D ．y ＝2x 2+12．已知：a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，。

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ，令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++；（2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7，联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。

中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《二次函数》专项测试卷-附参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3 2．已知二次函数y=3(x−2)2+ℎ，当自变量x分别取-2，2，5时，对应的值分别为y1，y2和y 3则y1，y2和y3的大小关系正确的是()A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y3<y1D．y3<y1<y23．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数ℎ=3.5t−4.9t2（的单位：秒，h的单位：米）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A．0.71B．0.70C．0.63D．0.364．对于二次函数y=−14(x+2)2−1，下列说法正确的是（）A．当x>−2时，y随x的增大而增大B．当x=−2时，y有最大值−1C．图象的顶点坐标为(2，−1)D．图象与x轴有两个交点5．抛物线y=2x2−12x+22的顶点是（）A．(3,−4)B．(−3,4)C．(3,4)D．(2,4)6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0）下列结论：①ab＜0，②b2-4ac＞0，③a-b+c＜0，④c=1，⑤当x＞－1时，y＞0.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④8．关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（）A．当x＞-2时，y随x增大而减小B．当x＞-2时，y随x增大而增大C．当x＞2时，y随x增大而减小D．当x＞2时，y随x增大而增大9．如图，双曲线y= k x经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A．a+b=k B．2a+b=0C．b＜k＜0D．k＜a＜010．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于(−1，0)，(3，0)两点，则下列判断中，不正确的是（）A．图象的对称轴是直线x=1B．当x>2时，y随x的增大而减小C ．当−1<x <1时D ．一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根是−1和311．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)在y =−x 2+2x +m 的图象上，下列说法错误的是（）A ．当m >0时，二次函数y =−x 2+2x +m 与x 轴总有两个交点B ．若x 2=2，且y 1>y 2，则0<x 1<2C ．若x 1+x 2>2，则y 1>y 2D ．当−1≤x ≤2时，y 的取值范围为m −3≤y ≤m12．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是：h ＝30t ﹣5t 2这个函数图象如图所示，则小球从第3s 到第5s 的运动路径长为（）A ．15mB ．20mC ．25mD ．30m二、填空题(共6题；共6分)13．在二次函数 y =−x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则m 、n 的大小关系为 m n ．（填“＜”，“＝”或“＞”）14．已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）15．二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 (−1, 0) 和 (5, 0) 两点，则该抛物线的对称轴是 .16．函数y= {x 2+2x −3(x <0)x 2−4x −3(x ≥0) 的图象与直线y=﹣x+n 只有两个不同的公共点，则n 的取值为．17．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx+1，当﹣2≤x≤1时最大值为4，则m 的值为． 18．若函数y=（m ﹣2）x m 2−2+3是二次函数，则m=三、综合题(共6题；共70分)19．已知抛物线 y =a(x −4)2+2 经过点 (2,−2) ．（1）求a 的值；（2）若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<4)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．20．宁波地区最近雾霾天气频繁，使得空气净化器得以畅销，某商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是1000元/台时，可售出50台，且售价每降低20元，就可多售出5台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？21．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？22．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中。

(完整版)初三数学二次函数知识点总结和经典习题含答案,推荐文档

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a ，， b c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b ，的定义域是全体实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，， b c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：y = ax 2 + c 的性质：上加下减。

c 可以为零．二次函数2.3.左加右减。

a < 0向下(h ， 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4. y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ， k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ， k )； ⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：【【(k >0)【【【【(k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0【【【 |k|【【【【【( h >0)【【【( h <0) 【【 |k|【【【【【( k >0)【【【( k <0)【【【 |k |【【【【【( h >0)【【【( h <0)【【【 |k|【【【y=a (x-h )2【【(k >0)【【【(k <0)【【【 |k |【【【y=a (x-h )2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 ⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2到前者，即 y = a x + 2a ⎪+ ，其中 h = - 4a ， k = ．2a 4a ⎝ ⎭六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质y=ax 2y=ax 2+k⎝ ⎭ ．当 x < - b2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b2a 时， y 随 x 的增大而增大；b 时， 4ac - b 2 当 x = -2a 2. 当y 有最小值． 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a ⎪ ．当 x < - 2a 时，b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 时， y 有最大值．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ；3. 两根式（交点式）： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为 0 对称轴为 y 轴） 3. 常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； ⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x ，0，) ，B (x 0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元121212二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．. ② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点；1. 当b ⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - ，顶点坐标为 - ， 4a2a 2a ⎝ ⎭③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数y =x2 - 4x - 7 的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线y =-2x2 向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）A. y =-2(x +1)2B. y =-2(x -1)2C. y =-2x2 +1D. y =-2x2 -1中的( )3.函数y =kx2 -k 和y =k(k ≠ 0) 在x同一直角坐标系中图象可能是图4.已知二次函数y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x =1 和x = 3 时,函数值相等;③ 4a +b = 0 ④当y =-2 时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D. 4 个5.已知二次函数y =ax2 +bx +c(a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的两个根分别是x1=1.3和x2=（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36.已知二次函数y =ax2 +bx +c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A. 第一象✲B ．第二象✲C ．第三象✲D ．第四象✲7. 方程2x - x 2 =2 的正根的个数为（）xA.0 个B.1 个C.2 个.3 个8. 已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2C. y = x 2 - x - 2 或 y = -x 2 + x + 2B. y = -x 2 + x + 2D. y = -x 2 - x - 2 或 y = x 2 + x + 2二、填空题9. 二次函数 y = x 2 + bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b =。

二次函数综合试题及答案

二次函数综合试题及答案一、选择题1.下列四个函数中，不是二次函数的是（）A. y = 2x^2 + 3x - 1B. y = -x^2 + 5x + 2C. y = 3x + 4D. y = x^2 + 2x - 3答案：C2.若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口朝上，且在x = -1处有最小值0，则a，b，c的值应满足的关系是（）A. a < 0，b < 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 0答案：C3.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象过点(1, 4)，且在x = 2处有最大值5，那么a，b，c的值应满足的关系是（）A. a = 1，b = 2，c = 3B. a = -1，b = -2，c = -3C. a = 1，b = -2，c = 3D. a = -1，b = 2，c = -3答案：C二、计算题1.求函数y = 2x^2 - 3x + 1的对称轴和顶点坐标。

解答：对称轴的公式为x = -b / (2a)，代入a = 2，b = -3，得x = 3/4。

将x = 3/4代入原方程得y = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = 1/8。

所以对称轴为x = 3/4，顶点坐标为(3/4, 1/8)。

2.求函数y = x^2 + 4x - 5的零点。

解答：函数的零点即为方程x^2 + 4x - 5 = 0的解。

使用求根公式，得x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 1 * -5)) / (2 * 1)= (-4 ± √(16 + 20)) / 2= (-4 ± √36) / 2= (-4 ± 6) / 2解得x1 = -5，x2 = 1。

所以函数的零点为-5和1。

二次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）

⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)⼀、中考要求：1．经历探索、分析和建⽴两个变量之间的⼆次函数关系的过程，进⼀步体验如何⽤数学的⽅法描述变量之间的数量关系．2．能⽤表格、表达式、图象表⽰变量之间的⼆次函数关系，发展有条理的思考和语⾔表达能⼒；能根据具体问题，选取适当的⽅法表⽰变量之间的⼆次函数关系．3．会作⼆次函数的图象，并能根据图象对⼆次函数的性质进⾏分析，逐步积累研究函数性质的经验．4．能根据⼆次函数的表达式确定⼆次函数的开⼝⽅向，对称轴和顶点坐标．5．理解⼀元⼆次⽅程与⼆次函数的关系，并能利⽤⼆次函数的图象求⼀元⼆次⽅程的近似根．6．能利⽤⼆次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进⾏预测．⼆、中考卷研究(⼀)中考对知识点的考查：:(⼆)中考热点：⼆次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查⼆次函数的概念、图象、性质及应⽤，这些知识是考查学⽣综合能⼒，解决实际问题的能⼒．因此函数的实际应⽤是中考的热点，和⼏何、⽅程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策⼆次函数是数学中最重要的内容之⼀，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，⼜有中档的解答题，更有⼤量的综合题，近⼏年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近⽣活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应⽤题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和⽅法，全⾯地考查学⽣的计算能⼒，逻辑思维能⼒，空间想象能⼒和创造能⼒。

针对中考命题趋势，在复习时应⾸先理解⼆次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应⽤以及⼆次函数与⼏何图形的联系，此外对各种函数的综合应⽤还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为⼆次函数． 2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是⼀条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a 越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

“二次函数”中考试题分类汇编(含答案)-绝对经典

“二次函数”中考试题分类汇编(含答案)-绝对经典C ）218()32y x =--+ （D ）218()32y x =-++二、填空题7、（2009·襄樊中考）抛物线2y xbx c=-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为．8、（2009·安徽中考）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 .9、（2008·苏州中考）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y axbx c=++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c=++在3x =时，y = ．三、解答题10、（2010∙宁波中考）如图，已知二次函数cbx xy ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与xBA、BC，求△ABC的面积。

11、（2008·兰州中考）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．12、（2008·巴中中考）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y xx =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ．（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．（2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．要点二、二次函数的性质与图象平移规律一、选择题1、（2010·成都中考）把抛物线2x y =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A12+=x y B()21+=x y C12-=x y D()21-=x y解析：选D ，根据抛物线的平移规律，左右平移，变自变量，“左加右减”，故选D 。

中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)

中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12，且经过点（2，0），下列结论正确的是（）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ．（1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）．（1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标；（4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大，点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-，解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-，当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答．【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等．故答案为：1y x =．【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-，故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，．【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3．故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ．连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（），所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误；当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >，对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >，抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <．，所以0abc <，故①不正确；由对称轴12b x a=-=-可得2b a =，由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=，因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。

人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。

(完整版)二次函数知识点复习(可编辑修改word版)

一、二次函数概念：二次函数知识点1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y = ax 2 + c下减。

的性质：左加右减。

的性质：上加3.y = a ( x - h )24.y = a ( x - h )2+ k 的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h 何k ) ；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h 何 k ) 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c（或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）a < 0向下(h 何 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．2a 四、二次函数y = a ( x - h )2+ k与 y = ax 2+ bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点(x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2+ bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b 2a ．时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a⎝ ⎭ 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪．当 x < - 2a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 2a ⎝ ⎭4ac - b 2 时， y 有最大值．4a 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ．⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a > 0 的前提下，当b > 0 时， - b 2a < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b = 0 时， - b2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．⑵ 在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当b = 0 时， - b 2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 2a在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 03. 常数项c ⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x ，0)，B ( x ，0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方程121212ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⎩⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用⎧ 何何何何 ⎪二次函数应用⎨何何何何何何何何⎪ 何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点，则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx -1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。