专题1.1 乘法公式(原卷版)

1.1 乘法公式

1．乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

进入高中之后，我们将面临更多更复杂的运算。我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：

（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：

证明：3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+

【例1】计算：

（1）)416)(4(2m m m +-+

（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++

说明：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

【例2】计算：（1）3(1)x + （2）3(23)x - （3）2

(21)x y ++

2．常见变形

乘法公式有比较多的变形，如：

（1）222()2a b a b ab +=+-；（2）222()2a b a b ab +=-+；

（3）333()3()a b a b ab a b +=+++；（4）333()3()a b a b ab a b +=+-+.

【例3】 已知7,12x y xy +==，求22x y +的值

【例4】已知13x x +=，求：（1）221x x +；（2）331x x +．

说明：（1）本题若先从方程13x x

+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐． （2）本题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算． 【例5】已知2310x x +-=，求：（1）221x x +

；（2）331x x -．

说明：本题若先从方程2310x x +-=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．

【例6】 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）

A ．总是正数

B ．总是负数

C ．可以是零

D ．可以是正数也可以是负数

2．已知22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为（ ）

A ．120

B ．60

C ．30

D ．15

3．已知17x y +=，60xy =，则22x y +=

4．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，则m 的值是

5．()()22_________a b a b +--= ()222__________a b a b +=+-

6．计算：()()()()221111a a a a a a -+++-+=

7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：

（1）3(3)(

)27x x -=- （2）26(2)()8x x +=+ （3）3(2)(

)x +=； （4）3(23)()x y -= （5）221111()()9432

a b a b -=+ （6）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ) 8．观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..

根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x

x --++++=_________________ 9．已知2()2210x y x y +--+=，则2019()

x y +=_________________ 10．若2210x x +-=，则2

21x x +=____________；331x x

-=____________． 11．已知2310x x -+=，求3313x x ++的值．

12．已知0a b c ++=，12ab bc ac ++=-

，求下列各式的值： （1）222a b c ++；（2）444a b c ++．