高中数学——平面向量数量积的教学设计
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
向量数量积的定义一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
二、教学目标1通过向量夹角的定义及练习使学生掌握向量夹角的求法2 掌握向量在轴上正射影数量的求法3 掌握向量的数量积的定义及性质三、教学重难点1、重点：平面向量数量积的定义。
2、难点：平面向量数量积的定义的理解。
四、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
五、教学过程平面向量数量积学情分析1.从学生的知识储备分析：本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习掌握了平面向量的线性运算，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识向量的分解与向量的坐标运算，因此学生对于平面向量数量积的学习有良好的认知基础。
但是学生对于数量积的定义的理解有一定的困难，要通过物理当中的做功运算一步步引导学生学习平面向量数量积的定义2、从我校教学特点分析，我校每个班级都成立了学习小组，小组成员是根据学生的学习能力安排的，每个小组均有学优生和学困生，可以有效完成小组合作，学生可以小组为单位进行讨论、探究式学习。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案一、教学目标1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的数量积运算，了解数量积的性质和运算规律。
3. 能够运用数量积解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 向量的概念及表示方法2. 向量的数量积定义及计算公式3. 数量积的性质和运算规律4. 数量积在坐标系中的运算5. 数量积的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的概念，数量积的计算公式，数量积的性质和运算规律。
2. 难点：数量积在坐标系中的运算，数量积的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量及数量积的基本概念、性质和运算规律。
2. 利用案例分析法，分析数量积在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，直观展示数量积在坐标系中的运算。
4. 引导学生通过小组讨论、探究，提高学生的参与度和自主学习能力。
五、教学安排1. 第一课时：向量的概念及表示方法2. 第二课时：向量的数量积定义及计算公式3. 第三课时：数量积的性质和运算规律4. 第四课时：数量积在坐标系中的运算5. 第五课时：数量积的应用六、教学过程1. 导入：通过复习实数乘法的分配律，引导学生思考向量数量积的定义。
2. 讲解向量的概念，向量的表示方法，向量的几何直观。
3. 引入向量数量积的概念，讲解数量积的计算公式。
4. 通过实例，演示数量积的运算过程，让学生感受数量积的意义。
5. 总结数量积的性质和运算规律，引导学生发现数量积与向量坐标的关系。
七、案例分析1. 利用数量积解释物理学中的力的合成与分解。
2. 利用数量积解决几何问题，如求解平行四边形的对角线长度。
3. 利用数量积判断两个向量是否垂直。
八、数量积在坐标系中的运算1. 讲解坐标系中向量的表示方法，向量的坐标运算。
2. 推导数量积在坐标系中的运算公式。
3. 通过实例，演示数量积在坐标系中的运算过程。
4. 引导学生掌握数量积在坐标系中的运算方法，提高运算能力。
九、数量积的应用1. 利用数量积解决线性方程组。
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的数量积教学设计一、教学目标：知识与技能：了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．过程与方法：体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．情感、态度与价值观通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．二．重点难点重点：平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．三、教材与学情分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版)§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．学生学习情况分析:学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、课堂结构设计本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。
六、教学过程（一）创设问题情境，引出新课1．提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．2．提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？答：物理模型→概念→性质→运算律→应用．3．新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义．设计意图:1．明白新旧知识的联系性．2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．（二）探究新知活动1：探究数量积的概念1．给出有关材料并提出问题3：(1)如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：W＝|F||s|cosθ.图12)这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W(功)是________量，②F(力)是________量，③s(位移)是________量，④θ是________．(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．(4)如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？答：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．2．明晰数量积的定义(1)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.(2)定义说明①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零．设计意图：1．认识向量的数量积的实际背景．2．使学生在形式上认识数量积的定义．3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a 与b的模有关，还和它们的夹角有关．4．学生讨论，并完成下表：进一步从细节上理解向量数量积的定义．5．研究数量积的几何意义(1)给出向量投影的概念：如图2，我们把|b|cosθ(|a|cosθ)叫做向量b在a方向上(a在b方向上)的投影，记作：OB1＝|b|cosθ.图2(2)提出问题5：数量积的几何意义是什么？答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．设计意图：这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．6．研究数量积的物理意义(1)请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积．(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．设计意图：通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．活动2：探究数量积的运算性质1．提出问题6：(1)将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？(2)比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？2．请证明上述结论．3．明晰数量积的性质：设a和b都是非零向量，则：(1)a⊥b⇔a·b＝0；(2)当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(3)|a·b|≤|a||b|.设计意图：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．活动3：探究数量积的运算律1．提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答：(1)交换律：ab＝ba；(2)结合律：(ab)c＝a(bc)；(3)分配律：(a＋b)c＝ac＋bc.猜想：①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的．关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．设计意图：要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．3．明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．学生活动：证明运算律(2)在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？此时，向量λa与b及a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5．师生活动：证明运算律(3)设计意图：学会利用定义证明运算律(1)(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．（三）：应用与提高1．学生独立完成：已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，求a·b .设计意图：通过计算巩固对定义的理解．2．师生共同完成：已知|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3．学生独立完成：对任意向量a ，b 是否有以下结论：(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2，(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.设计意图：让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．4．师生共同完成：已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a－k b 互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？设计意图：学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．5．反馈练习(1)判断下列各题正确与否：①若a≠0，则对任一非零向量b ，有a·b≠0.②若a≠0，a·b ＝a·c ，则b ＝c.(2)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，当a·b<0或a·b ＝0时，试判断△ABC 的形状．设计意图：1．加强学生的练习．2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．七、课堂小结1．本节课我们学习的主要内容是什么？2．平面向量的数量积有哪些应用？3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？八、课后作业1.课时练与测九、教学反思本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣，课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、以及学生学习过程中易忘点等，最后进行当堂检测，以达到提高课堂效率的目的。
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。
1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。
向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。
第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。
向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。
2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。
数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。
向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。
3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。
投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。
第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。
即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。
4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。
例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。
平面向量的数量积学案
平面向量的数量积学案一、学案背景平面向量的数量积是数学中的一个重要概念，通过数量积可以研究向量之间的夹角关系、向量的投影以及向量的模长等问题。
掌握了平面向量的数量积的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、学习目标1. 了解平面向量的数量积的定义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算方法和性质。
3. 理解平面向量的数量积与向量的夹角、投影和模长之间的关系。
4. 能够应用平面向量的数量积解决实际问题。
三、学习内容1. 平面向量的数量积的定义：平面向量a = (x1, y1) 和 b = (x2, y2) 的数量积（又称点积、内积）定义为 a · b = x1 * x2 + y1 * y2。
2. 平面向量的数量积的性质：a. a · b = b · a（数量积的交换律）。
b. a · (b + c) = a · b + a · c（数量积的分配律）。
c. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) = k(a · b)（数量积的结合律，其中k为实数）。
3. 平面向量的数量积与向量的夹角的关系：a. 如果 a · b = 0，则向量a和b垂直（夹角为90°）。
b. 如果 a · b > 0，则向量a和b夹角锐角。
c. 如果 a · b < 0，则向量a和b夹角钝角。
4. 平面向量的数量积与向量的投影的关系：a. 向量a在向量b上的投影p的长度为 |p| = |a| * cosθ，其中θ为a和b的夹角。
b. a · b = |a| * |b| * cosθ。
5. 平面向量的数量积与向量的模长的关系：a. a · a = |a|^2，其中|a|表示向量a的模长。
b. |a| = √(a · a)。
四、学习方法1. 技巧讲解与练习：通过教师的讲解，学习平面向量的数量积的定义、计算方法和性质。
平面向量数量积的教学设计
平面向量数量积的教学设计教学设计：平面向量数量积课时安排：本教学设计为一次课时的教学内容。
一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念及其性质；2.掌握平面向量的数量积的计算方法；3.能够运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念；2.平面向量的数量积的性质；3.平面向量的数量积的计算方法；4.平面向量的数量积在实际问题中的应用。
三、教学过程：步骤一：导入新知（5分钟）1.提问：大家知道平面向量的数量积是什么吗？它有哪些性质？2.学生回答并讨论。
步骤二：概念讲解（15分钟）1.通过投影的方法引入平面向量的数量积的概念。
2. 定义平面向量的数量积：对于平面内的任意两个向量a和b，它们的数量积记作a·b或者ab，定义为a·b=，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角。
3.解释平面向量数量积的含义和作用。
步骤三：性质讲解（15分钟）1.定理1：若a和b是两个平面向量，那么a·b=0的充要条件是a 和b垂直。
2.定理2：若a、b、c是三个平面向量，那么(a+b)·c=a·c+b·c。
3.定理3：平面向量的数量积满足交换律和结合律。
步骤四：计算方法（20分钟）1.计算平面向量的数量积的方法：a. 坐标法：根据坐标计算向量的数量积，公式为：a·b=ax*bx+ay*by；b. 模长法：根据向量的模长和夹角计算向量的数量积，公式为：a·b=，a，b，cosθ。
2.通过示例演示数量积的计算方法。
步骤五：应用（20分钟）1.给出一些实际问题，要求学生运用平面向量的数量积来解决问题，例如：求两个向量所夹角的大小、判断两个向量是否垂直等。
2.学生分组讨论并解决问题。
3.学生展示解题过程和答案。
四、课堂练习与作业布置：1.在课堂上进行练习题的讲解，加深学生对平面向量的数量积的理解；2.布置相应的作业，要求学生练习平面向量的数量积的计算和应用。
平面向量的数量积(教案)
§5.3 平面向量的数量积（教案）2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [难点正本疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB→、BC→的夹角与角B的关系．3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1． 已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝___.答案 －32解析 a ·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－3 2. 2． 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．答案32解析 由a ⊥b 知a ·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3． 已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析 设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a ·b|a||b |＝2×－4＋3×7－42＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5．(2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C．0 D．－1答案 C解析利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.题型一平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( )A．－16 B．－8 C．8 D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量CA→，CB→为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案(1)D (2)C→＝16.解析(1)AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA2(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.探究提高求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案 1 1解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a ·a .解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝33.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 (1)C (2)C解析 (1)∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2. 题型三 向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos β－α＋1， |a －k b |＝1－2k cosβ－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)． 又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算中，a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )． (1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－k a＋t b，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－k a＋t b)＝－k a2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.审题路线图图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝ 2↓(非等腰三角板的特点)|BD|＝|DE|sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°) AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即为y↓y＝|BD|·sin 45°＝62×22＝32.解析方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin 60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin 45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2. 设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝ 2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝3 2 .答案1＋3232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1． (1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2． a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3． a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A.5 B.10 C ．25 D ．10答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－79，－73答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB→·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析 由于AB→·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝32.6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.答案 －16 解析 如图所示， AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM→－MB →， ∴AB→·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6，32解析 由a ·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB→·BC →＝1，则BC 等于( )A.3B.7C ．22D.23答案 A解析 ∵AB→·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB→||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝3.2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2 答案 A解析 a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a ·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于( ) A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵PA→＝CA →－CP →，∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB→＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2. ∴|PA→|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|PA→|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析 利用向量数量积的坐标运算求解．a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析 方法一 坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)． 故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF→＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE→·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.方法二 用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键．设DF→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB→·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ， 又∵AB→·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2.6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD→|，则AM→·AN →的取值范围是________． 答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB→·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM→·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1.∴AM →·AN →∈[1,4]． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直． (2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
高二数学教案设计《平面向量的数量积》
高二数学教案《平面向量的数量积》【导语】直面高二的挑战，认清高二的自己，明确高二的目标，意义重大。
因为，高二的这个岔路口，分出的是渐行渐远的两条路，指向的是人生意义上的两个截然相反的阶段性终端。
高二频道为正在奋斗的你整理了《高二数学教案《平面向量的数量积》》希望你喜欢！教案【一】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).并规定0向量与任何向量的数量积为0.×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全
有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
接下来是小编为大家整理的有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全，希望大家喜欢!有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全一教学目标：(i)知识目标：(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.(2) 平面向量数量积的应用.(ii)能力目标：(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教学难点：平面向量数量积的综合应用.教学过程：一、知识梳理1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫与的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(，并规定与任何向量的数量积为02.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于的长度与在方向上投影| |cos(的乘积.3.两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 03(当与同向时， ( = | || |;当与反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = ||24(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |4.平面向量数量积的运算律① 交换律：( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )③ 分配律：( + )( = ( + (5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量，，则 .②设，则 .③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 .④向量垂直的判定两个非零向量，，则 .⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).二、典型例题1. 平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题：① ; ② ; ③ ; ④其中正确命题序号是②、④ .点评：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为，分别求 .解(1)当时， = 或 = .(2)当时， = .(3)当的夹角为时， = .变式训练：已知，求解： =点评：熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.2.夹角问题例题3 若，且，则向量与向量的夹角为 ( )A. B. C. D.解：依题意故选C变式训练1：① 已知，求向量与向量的夹角.② 已知，夹角为，则 .解：① ，故夹角为 .②依题意得 .变式训练2：已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.法一解：将两边平方得，则，故的夹角.为 .法二：数形结合点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.3.向量模的问题例题4 已知向量满足，且的夹角为，求 .解：，且的夹角为;变式训练：①(2005年湖北)已知向量，若不超过5，则的取值范围 ( )A. B. C. D.②(2006年福建) 已知的夹角为，，，则等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1解：① ，故选C② ，，解得，故选B点评：涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.4.平面向量数量积的综合应用例题5 已知向量 .若 ; (2)求的最大值 .解：(1)若，则， .(2) = =，的最大值为 .例题6已知向量，且满足，求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数 ;(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角 .解：(1)，故(2) ，故 .有关高三数学平面向量的数量积教学设计大全二2.3.1向量数量积的物理背景与定义教材说明平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题;夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。
高中数学_平面向量数量积复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量数量积复习课》教学设计《平面向量数量积复习课》一、教学目标确立依据：（一）课程标准要求及解读1、课程标准要求：(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2、课程标准解读：课程标准对平面向量数量积的要求可以分为两个层次，一是要求学生理解数量积的含义，掌握其运算；二是能够应用能运用平面向量数量积的基础知识对所给的有关平面向量数量积运算采用合理的方法进行运算。
简单地说就是：一、知识层面，要掌握牢固数量积的基础知识。
二是应用层面，要求学生会用数量积解决有关问题。
（二）教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。
既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，也是高考中经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想。
本节平面向量数量积的复习课在教学内容方面不仅有对于向量相关知识的回顾与梳理，也有辨析中准确掌握数量积中易错易漏知识点，还有求平面向量数量积、模、夹角的方法的总结；（三）全国卷命题趋势分析：平面向量的数量积运算是高考的重点内容之一，对本单元的考查多以选择题、填空题的形式出现，问题的档次为中、低档题，有时也有解答题。
1.高频考向：平面向量的数量积、模或夹角相结合。
2.低频考向：平面向量在平面几何、解析几何中的简单应用。
3.重点关注：(1)求数量积、模或夹角的最值或范围；(2)平面向量与三角函数相结合的解答题。
近几年命题趋势汇编如下：（三）学情分析：1、本节课的授课对象是高三一轮复习学习中等程度班级的学生，学生思维活跃，积极性高，另外学生具有数量积的所有知识储备，具有较强的抽象思维能力和一般的归纳推理能力。
人教A版新教材高中数学第二册教学设计4：6.2.4向量的数量积教案
6.2.4 向量的数量积『知识梳理』知识点一 平面向量的数量积 1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个非零向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. (3)向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．平面向量数量积(1)a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ.规定0·a ＝0. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. (2)a·b 的几何意义a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 易误提醒1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．3．在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b 却有|a ·b |≤|a |·|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|，而|cos θ|≤1. 必记结论两向量a 与b 的夹角为锐角⇒cos 〈a ，b 〉>0且a 与b 不共线； 两向量a 与b 的夹角为钝角⇒cos 〈a ，b 〉<0，且a 与b 不共线．『自测练习』1. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2『解 析』：向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2， 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，∴θ＝π3.『答 案』：C2．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2『解 析』：(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a |·|b |·cos a ，b －|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0. 『答 案』：B3．已知|a |＝4，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，则b 在a 方向上的投影为( ) A ．2B.32 C ．－2D ．－32『解 析』：b 在a 方向上的投影为|b |cos 120°＝－32.故选D.『答 案』：D知识点二 数量积的性质及坐标运算 1．向量数量积的性质(1)如果e 是单位向量，则a·e ＝e·a ＝|a |cos 〈a ，e 〉． (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0. (3)a·a ＝|a |2，|a |＝a·a . (4)cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|.(5)|a·b |≤|a||b |. 2．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .(3)对λ∈R ，λ(a·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )． 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)易误提醒1．实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线． 『自测练习』4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________. 『解 析』：∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0， 从而λ＝－3. 『答 案』：－35．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝ . 『解 析』：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 『答 案』：7『考点探究』考点一 平面向量数量积的运算|自主探究 『题组训练』1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2『解 析』：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 『答 案』：C2．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 『解 析』：在菱形ABCD 中，BA →＝CD →，BD →＝BA →＋BC →，所以BD →·CD →＝(BA →＋BC →)·CD →＝BA →·CD →＋BC →·CD →＝a 2＋a ×a ×cos 60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.『答 案』：D3．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.『解 析』：法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60° ＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴， AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)， 则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26. 『答 案』：26 『规律方法』向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.考点二 平面向量数量积的性质应用|多维探究平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．平面向量的模． 2．平面向量的夹角． 3．平面向量的垂直． 探究一 平面向量的模1．已知向量e 1，e 2是夹角为45°的两个单位向量，则|2e 1－e 2|＝( ) A.22B.12C ．1 D. 2『解 析』：由题意可得e 1·e 2＝22，所以|2e 1－e 2|＝(2e 1－e 2)2＝2－22e 1·e 2＋1＝1. 『答 案』：C2．已知平面向量a ＝(1，3)，|a －b |＝1，则|b |的取值范围是________.『解 析』：设b ＝(x ，y )，则|a －b |＝(x －1)2＋(y －3)2＝1，即点(x ，y )在圆(x －1)2＋(y －3)2＝1上，则|b |的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b |的取值范围是『1,3』． 『答 案』：『1,3』 探究二 平面向量的夹角3．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6C.π3D.π2『解 析』：∵c·a ＝⎣⎡⎦⎤a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ·a ＝a·a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b·a ＝a·a －a·a ＝0，∴c ⊥a ，即向量a 与c 的夹角为π2，故选D.『答 案』：D4．设向量a ＝(x,2)，b ＝(2,1)，若a ，b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为________． 『解 析』：由题意可得，a·b ＝2x ＋2>0，且x －4≠0，故实数x 的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．『答 案』：(－1,4)∪(4，＋∞) 探究三 平面向量的垂直5．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b ，若b ⊥c ，则实数k 值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32『解 析』：因为c ＝(1＋k,2＋k )，b·c ＝0，所以1＋k ＋2＋k ＝0，解得k ＝－32，故选A.『答 案』：A6．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π『解 析』：由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a·b ＝0，即a·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |， 所以a·b ＝3·⎝⎛⎭⎫223|b |2－2b 2＝23b 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22， 所以〈a ，b 〉＝π4，故选A.『答 案』：A 『规律方法』平面向量数量积求解问题的三个策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a |·|b |，要注意θ∈『0，π』． (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.考点三 平面向量与三角函数的综合应用|合作探究 『典题悟法』『典例』在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m·n 的最小值及对应的x 值．『解』 (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C ⎝⎛⎭⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC →＝(cos x ＋1，sin x )，则m·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4， 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取得最大值1， 所以m·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.『规律方法』平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 『演练冲关』设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.。
高中数学必修4《平面向量的数量积》教案
⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。
高三数学 第36课时 平面向量的数量积教案 教案
课题：平面向量的数量积教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的 充要条件和向量数量积的简单运用． 教学重点：平面向量数量积及其应用． （一） 主要知识：1.平面向量数量积的概念；2.平面向量数量积的性质：22||a a =，cos ,||||a ba b a b ⋅<>=；3.向量垂直的充要条件：0a b a b ⊥⇔⋅=．（二）主要方法：1.注意向量夹角的概念和两向量夹角的X 围；2.垂直的充要条件的应用；3.当角为锐角或钝角，求参数的X 围时注意转化的等价性；4.距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．（三）典例分析：问题1．()1有下列命题：①00a ⋅=；②00a ⋅=；③若0,a a b a c ≠⋅=⋅， 则b c =；④若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立；⑤||||||a b a b ⋅=⋅ ⑥()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；⑦对任意向量a ，有22a a = 其中正确命题的序号是()2（07某某）对于向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是.A 若0a b ⋅=，则0a =或0b =.B 若0a λ=，则0λ=或0a =.C 若22a b =，则a b =或a b =-.D 若a b a c ⋅=⋅，则b c =问题2．()1已知ABC △中，||6,||9,45BC CA C ==∠=︒，则BC CA ⋅=()2（04某某）已知平面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BCCA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于()3已知,a b 是两个非零向量，且ab a b ==-，求a 与a b +的夹角()4（06某某文）已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a=，13a b +=，则b =.A 5.B 4.C 3.D 1问题3．（06苏锡常镇模拟）已知平面上三个向量1a b c ===，它们之间的夹角均为120︒.()1求证：()a b c -⊥；()2若1ka b c ++>()k R ∈，求k 的取值X 围.问题4． （04某某）如图，在Rt ABC △中，已知BC a =，若 长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值.BCAa（四）课后作业：1.（08届高三某某师大附中期中试题）若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“b a ⨯”为“向量积”，其长度sin a b a b θ⨯=⋅⋅. 若1a =，5b =，4a b ⋅=-，求a b ⨯=2.已知2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则a b +在a 上的投影为3.向量,a b 都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b +⊥--⊥-，求a 与b 的夹角4.已知两单位向量a 与b 的夹角为120︒，若2c a b =-，3d b a =-,试求c 与d 的夹角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、教材分析1.地位与作用本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。
本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。
2.学情分析学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。
学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。
所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。
二、教学目标1.知识与技能⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。
2.过程与方法本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。
设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。
采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。
3.情感态度与价值观通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。
课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的垂直关系。
难点：平面向量数量积概念与运算律的理解，平面向量数量积的应用。
四、教学准备实物投影仪，多媒体课件，数学专业术语词汇表。
六、教学过程（三三式）（Ⅰ）第一段1. 提出问题问题1：物理中力对物体所做的功是什么？ 功是力与力的方向上位移的乘积. 问题2：给出图示，如何计算“功”？||||cos W F S θ=【设计意图】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。
2.引入新课既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用F S ⋅来替代W ，这就是平面向量的数量积，从而引入本节课——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。
3.出示目标⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；⑵掌握平面向量数量积的性质，会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角； ⑶掌握平面向量数量积的运算律。
【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。
（Ⅱ）第二段 1. 概念明晰已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||co s a b θ叫做a 与b 的数量积（inner product/dot product ）（或内积），记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=问题3：向量的夹角的范围；问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。
之后利用课件向学生介绍投影（projection ）的内容.a 在b 方向上的投影为cos a θ ，b 在a 方向上的投影为cos b θ.问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？学生分为两大组分别完成例1中的任务一与任务二：例1：计算a b ⋅ 以及b 在a 方向上的投影（θ为a 与b的夹角）.当[0,)2θ∈时，0a b ⋅>；当(,]2θπ∈时，0a b ⋅<；当2θ=时，0a b ⋅=.问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积a b ⋅ 与b 在a方向上的投影有什么关系吗？数量积的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度与b 在a方向上的投影的乘积. 物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.2. 探究数量积的性质与运算律教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学 生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。
问题7：①?a b ⊥⇔ ②当a 与b 同向时，a b ⋅ =？ 当a 与b 反向时，a b ⋅=？③?a a ⋅=或 ?a = ④cos ?θ= ⑤a b a b ⋅≤ （什么时候取等号？）问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？ ①a b b a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ .① 的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难 教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对0λ>和0λ<两种情况下分别证明；③的证明有难度，由师生共同完成。
问题9：⑴()a b c ⋅ 与()a b c ⋅相等吗？⑵如果0a b ⋅= ，那么0a = 或0b = ，对吗？⑶如果a c b c ⋅=⋅ ，0c ≠ ，那么能得出a b =吗？为什么？【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论试着进行证明，学生展示过程中出现的问题及时指出，学生证明有困难时，师生合作共同完成。
问题9的设置让学生体会向量的数量积与实数乘法运算的区别，强化对数量积的理解。
3. 运用所学，解决问题活动一（自主探究）：学生自主学习课本105页，例2、例3、例4问题10：⑴例2研究后补充两题：①(3)(2)a b a b +⋅- ；②(2)(3)a b a b +⋅-.⑵例3后给出变式题：已知6a = ，4b = ，(2)(3)72a b a b +⋅-=-，求a 与b 的夹角？ 【设计意图】使学生体会解题中运算律的作用，学会如何应用数量积解决夹角问题与垂直问题。
活动二（合作探究）：已知向量,a b 夹角为45,︒且||1,|2|a a b =-= 则||b =_________解：|2|a b -=(2)10a b ∴-= 即224410a a b b -⋅+= ||1,,a a b =夹角为45° 244||cos45||10b b ∴-︒+=解得||b = ||b =（舍去）【设计意图】小组合作探究题能激发学生钻研探索的欲望，提高学生的合作意识，让学生有更多的机会论及自己的思想，学会如何应用数量积解决向量的模的问题。
（Ⅲ）第三段 1. 课堂练习基础练习：课本106页 1、2、3题 (1,2题进行口答，3题由学生在黑板上作图) 综合练习：⑴向量,a b 的夹角为60°，||2,||1,a b == 则||a b -=___________ ⑵在ABC ∆中，若20,AB BC AB ⋅+= 则ABC ∆的形状为___________ 答案：直角三角形 2. 课堂小结 ⑴学生谈收获⑵教师总结：本节课共学习三个内容①平面向量数量积的定义与物理意义、几何意义；②平面向量数量积的性质；③平面向量数量积的运算律。
在学习新知的过程中还渗透着数学思想方法的学习，如数形结合，类比等。
3. 布置作业课本108页 2、3、6题思考题：已知向量a 与b 夹角为45°，|||1,a b ==当向量a b λ+ 与a b λ+ 夹角为锐角 时，求实数λ的取值范围.【设计意图】课堂练习中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此先让学生练习课后题目，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。
其次，为了使学生所学知识得到拓展，我又安排了两道综合题目，难度适中，供学生练习。
课堂作业选用课后习题中的三道题，进而通过作业的批改发现学生还存在的问题，进行针对性解决，再给出一道思考题，供学生课下研究讨论。
板书设计：。