高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的

物理背景及其含义》

教学设计

2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计

一、教材分析

1.地位与作用

本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析

学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。

二、教学目标

1.知识与技能

⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；

⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律；

⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。

2.过程与方法

本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。

3.情感态度与价值观

通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。

三、教学重难点

重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

垂直关系。

难点：平面向量数量积概念与运算律的理解，平面向量数量积的应用。

四、教学准备

实物投影仪，多媒体课件，数学专业术语词汇表。

六、教学过程（三三式）

（Ⅰ）第一段

1. 提出问题

问题1：物理中力对物体所做的功是什么？ 功是力与力的方向上位移的乘积. 问题2：给出图示，如何计算“功”？

||||cos W F S θ=

【设计意图】由学生所熟悉的“功”开始这节课，以物理问题为背景，使学生初步认识向量的数量积，为引入向量数量积的概念做铺垫。

2.引入新课

既然功的大小只与力的大小，位移的大小及它们的夹角有关，而力与位移都是矢量，在

数学中叫做向量，那么我们可以引入一种新的运算，用F S ⋅

来替代W ，这就是平面向量的数量积，从而引入本节课——2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义。

3.出示目标

⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义；

⑵掌握平面向量数量积的性质，会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角； ⑶掌握平面向量数量积的运算律。

【设计意图】学习目标的展示让学生明确本节课的学习任务，从而做到心中有数。 （Ⅱ）第二段 1. 概念明晰

已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||co s a b θ

叫做a 与b 的数量积（inner product/dot product ）（或内积），记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅=

问题3：向量的夹角的范围；

问题4：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响向量的数量积大小的因素是什么？

【设计意图】引导学生分析定义中的要点内容，明确数量积这一种新运算与之前所学的向量的线性运算的区别，运算结果是一个数量。

之后利用课件向学生介绍投影（projection ）的内容.

a 在

b 方向上的投影为cos a θ ，b 在a 方向上的投影为cos b θ

.

问题5：向量的数量积和投影都是数量，它们什么时候为正(positive)，什么时候为负(negative)，是否可能为零呢？

学生分为两大组分别完成例1中的任务一与任务二：

例1：计算a b ⋅ 以及b 在a 方向上的投影（θ为a 与b

的夹角）.

当[0,)2θ∈时，0a b ⋅>；当(,]2θπ∈时，0a b ⋅<；当2

θ=时，0a b ⋅=.

问题6：你从表格中还发现了什么？你发现数量积a b ⋅ 与b 在a

方向上的投影有什么关系

吗？

数量积的几何意义：数量积a b ⋅ 等于a 的长度与b 在a

方向上的投影的乘积. 物理中“功”的数学本质是力与位移的数量积.

【设计意图】通过例1,一方面让学生练习计算数量积与投影，巩固所学新知；另一方面让学生通过自己的动手动脑总结归纳出问题6的答案，进而教师又提出新的问题，引导学生观察并发现数量积与投影之间的关系，从而得出数量积的几何意义，再联系课前引入得出“功”的数学本质.

2. 探究数量积的性质与运算律

教师通过多媒体出示问题，让学生联系数量积的定义进行自主探究寻找答案，之后由学 生回答，教师点评，并说明这就是数量积的性质。

问题7：①?a b ⊥⇔ ②当a 与b 同向时，a b ⋅ =？ 当a 与b 反向时，a b ⋅

=？

③?a a ⋅=

或 ?a = ④cos ?θ= ⑤a b a b ⋅≤ （什么时候取等号？）

问题8：我们知道实数乘法满足交换律、结合律、分配律，数量积是一种运算，那么类比实数乘法，数量积能满足哪些运算律？你能推导出向量数量积下列运算律吗？ ①a b b a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ .

① 的证明较为简单，学生可以完成；对于②，若按照数量积的定义展开会出现困难 教师给学生提示，可以结合数量积的定义及向量的数乘运算对0λ>和0λ<两种情况下分别证明；③的证明有难度，由师生共同完成。

问题9：⑴()a b c ⋅ 与()a b c ⋅

相等吗？⑵如果0a b ⋅= ，那么0a = 或0b = ，对吗？

⑶如果a c b c ⋅=⋅ ，0c ≠ ，那么能得出a b =

吗？为什么？

【设计意图】学习过数量积的概念，学生有能力完成性质的探究，因此要发挥学生的主观能动性进行自主学习；对于数量积的运算律，教师先给出它所满足的运算律，由学生小组讨论