凸函数

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。

凸函数的主要性质有：

1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf 也是定义在S上的凸函数;

2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;

3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数;

4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集

Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集

微积分

如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。

如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。

凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。

初等运算

1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和

h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。

2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。

3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数

举例

函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。

绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。

当1 ≤p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。

定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥0的集合上是凸函数，在x ≤0的集合上是凹函数。

每一个在内取值的线性变换都是凸函数，但不是严格凸函数，因为如果f是线性函数，那么f(a + b) = f(a) + f(b）。如果我们把“凸”换为“凹”，那么该命题也成立。

每一个在内取值的仿射变换，也就是说，每一个形如f(x) = aTx + b的函数，既是凸函数又是凹函数。

每一个范数都是凸函数，这是由于三角不等式。

如果f是凸函数，那么当t > 0时，g(x,t) = tf(x / t）是凸函数。

单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x）。

非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = −x。

函数f(x) = 1/x2，f(0)=+∞，在区间（0,+∞）内是凸函数，在区间（-∞，0）内也是凸函数，但是在区间（-∞，+∞）内不是凸函数，这是由于x = 0处的奇点。