2015届高考数学总复习第四章 平面向量与复数第4课时 复 数课时训练
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第四章 平面向量与复数第4课时 复 数
1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i
(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限．
答案：三
解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ）
＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1
解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）
＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i
＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3
解析：由a ＋3i i
＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.
4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i
解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i
＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i
＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2
解析：由2＋ai 1－i
＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2.
6. 若z －·z ＋z ＝154
＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12
＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154
＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝2，
所以z ＝－12
＋2i.
7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________．
答案：2
解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2.
8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________.
答案：19
解析：∵ x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，∴ (－3－2i)2＋a(－3－2i)＋b ＝0，化为5－3a ＋b ＋(12－2a)i ＝0.根据复数相等即可得到⎩⎪⎨⎪⎧5－3a ＋b ＝0，12－2a ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝13，∴ a ＋b ＝19. 9. 已知复数z 的共轭复数是z －，且满足z·z －＋2iz ＝9＋2i.求z.
解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z －＝a －bi ，
∵ z ·z －＋2iz ＝9＋2i ，
∴ (a ＋bi)(a －bi)＋2i(a ＋bi)＝9＋2i ，
即a 2＋b 2－2b ＋2ai ＝9＋2i ，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝9，2a ＝2. ①② 由②，得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0，
解得b ＝－2或b ＝4.∴ z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.
10. 已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解：设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R )，
所以z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.
因为z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i. 由题意得x ＝4，所以z ＝4－2i.
所以(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2 11. 设复数z 满足4z ＋2z －＝33＋i ，w ＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －w|的取值范围． 解：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )， 则z －＝a －bi. 代入4z ＋2z －＝33＋i ，得4(a ＋bi)＋2(a －bi)＝33＋i ， 即6a ＋2bi ＝33＋i. ∴ ⎩ ⎨⎧a ＝32，b ＝12 .∴ z ＝32＋12i. |z －w|＝|32＋12 i －(sin θ－icos θ)| ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12 ＋cos θ2 ＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2sin ⎝ ⎛⎭⎫θ－π6. ∵ －1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，∴ 0≤2－2sin ⎝ ⎛⎭⎫θ－π6≤4， ∴ 0≤|z －w|≤2.