二项式定理课件(二)
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二项式定理的推导课件2
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)求值 C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展 开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
【例 2】 (1)求 n；
3 已知在
x－ 1 3
2
n
的展开式中，第 x
6
项为常数项．
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型 2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n 的二项展开式； (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的__C__kna_n_－_kb_k___叫作二项式通项，记作_T_k_＋_1__，它表 示展开式的第_k_＋__1项； (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ _C__0n＋__C__1nx_＋__C_2n_x_2_＋_…__＋__C__knx_k_＋__…__＋__C_nn_x_n ____．
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理---课件
• 对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理 项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰 好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指 数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
一个展开式的第三项．
[解析] (a＋b)2n 展开式中奇数项的二项式系数的和
为 22n－1，
x＋ 1 n 3 x
展开式中偶数项的二项式系数的和为
2n－1. 依题意，有 2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，
解得 2n＝16 或 2n＝－15(舍)．∴n＝4.
于是，第一个展开式中第三项为
3．“杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，________的两个二 项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r. (2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐 渐 ________ 的 ， 由 对 称 性 可 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 ________的，且在中间取到最大值．当 n 是偶数时，中间 两项的二项式系数________取得最大值；当 n 是偶数时， 中间两项的二项式系数________相等，且同时取到最大 值．
• a0－a1＋a2－…＋a2 010＝32 010②
• 与①式联立，①－②得
• 2(a1＋a3＋…＋a2 009)＝1－32 010，
(3)∵Tr＋1＝Cr2 010·12 010－r·(－2x)r ＝(－1)r·C2r 010·(2x)r. ∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 010| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010， 所以令 x＝－1 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010＝32 010.
高考数学一轮复习第九章概率与统计第2讲二项式定理课件理
第四页，共三十九页。
3.二项式系数(xìshù)的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即 Cnr＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项的二项式系
n
n1
n1
数
C
2 n
最大；当
n
是奇数时，中间两项的二项式系数Cn2
，Cn2
相
等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n____， 其中 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n－1.
解析：由题意(x－y)(x＋y)8 的展开式中得到 x2y7 可能为 xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.
第七页，共三十九页。
3.(2015 年重庆)x3＋2
1
5
x
的展开式中
x8
5 的系数是___2____.
(用数字作答)
解析：二项展开式通项为
第二十一页，共三十九页。
【互动(hù dònɡ)探究】
1.(2016
年上海)在 3
x
2 x
n
的二项式中，所有项的二项式
系数之和为 256，则常数项等于__1_1_2__.
解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n
＝256.所以 n＝8.二项式展开式的通项为 Tr＋1＝C8r( 3 x )8－r·－2xr
第二十五页，共三十九页。
考点(kǎo di二ǎn)项3式展开式中系数(xìshù)的最值问题
例
3：已知x＋2
3.二项式系数(xìshù)的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即 Cnr＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项的二项式系
n
n1
n1
数
C
2 n
最大；当
n
是奇数时，中间两项的二项式系数Cn2
，Cn2
相
等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n____， 其中 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n－1.
解析：由题意(x－y)(x＋y)8 的展开式中得到 x2y7 可能为 xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.
第七页，共三十九页。
3.(2015 年重庆)x3＋2
1
5
x
的展开式中
x8
5 的系数是___2____.
(用数字作答)
解析：二项展开式通项为
第二十一页，共三十九页。
【互动(hù dònɡ)探究】
1.(2016
年上海)在 3
x
2 x
n
的二项式中，所有项的二项式
系数之和为 256，则常数项等于__1_1_2__.
解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n
＝256.所以 n＝8.二项式展开式的通项为 Tr＋1＝C8r( 3 x )8－r·－2xr
第二十五页，共三十九页。
考点(kǎo di二ǎn)项3式展开式中系数(xìshù)的最值问题
例
3：已知x＋2
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×(1 ＋11％×10)＝21(万元); 本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋9％)10; 那么如何计算 (1＋9％)10 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、 准确地求出其近似值呢？
探究点1 多项式的乘法规律
2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， 项与项结合时要注意合理性和简捷性．
(1)在(2x－1)(x－y)6 的展开式中，x3y3 的系数为( )
A．50 B．20 C．15 D．－20
(x－y)6 的通项为 Cr6(－1)rx6－r·yr (0≤r≤6，r∈Z)，
1.数学抽象：二项式定理. 2.数学运算：二项式定理的应用.
新课引入 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11 ％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9％，按复利计 算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得利 息多少元？
(x－ 2 )4 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－ 2 )kCk4 x4－k，
令4－k＝2，则k＝2， 所以含 x2 的项为(－ 2 )2C24 x2＝12x2.
x)4＝161x2(2x－1)4
＝1 16x2
(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn. (2)原式＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
探究点1 多项式的乘法规律
2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， 项与项结合时要注意合理性和简捷性．
(1)在(2x－1)(x－y)6 的展开式中，x3y3 的系数为( )
A．50 B．20 C．15 D．－20
(x－y)6 的通项为 Cr6(－1)rx6－r·yr (0≤r≤6，r∈Z)，
1.数学抽象：二项式定理. 2.数学运算：二项式定理的应用.
新课引入 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11 ％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9％，按复利计 算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得利 息多少元？
(x－ 2 )4 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－ 2 )kCk4 x4－k，
令4－k＝2，则k＝2， 所以含 x2 的项为(－ 2 )2C24 x2＝12x2.
x)4＝161x2(2x－1)4
＝1 16x2
(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn. (2)原式＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
二项式定理ppt课件
二项式定理
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
汇报人：
2023-11-28
目录
• 二项式定理的背景和定义 • 二项式定理的公式和证明 • 二项式定理的应用 • 二项式定理的扩展和推广 • 二项式定理的意义和影响 • 二项式定理的实例和分析
01
二项式定理的背景和定义
背景介绍
二项式定理在数学中有着悠久的历史，它起源于17世纪，是组合数学中的一种基本理论。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
排列数公式
二项式定理可以用于计算排列数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数。
组合数公式
二项式定理可以用于计算组合数公式，即从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数。
插入与删除操作
二项式定理可以用于计算在n个元素中进行插入或删除操作的总次数，以及进行特定次数的插入或删除操 作的所有可能方式的个数。
概率论中的应用
概率分布
二项式定理可以用于计算二项分布的概率分布，即某个事 件在n次独立试验中发生的次数的概率分布。
01
组合概率
二项式定理可以用于计算多个事件同时 发生的概率，即组合事件发生的概率。
02
03
事件的独立性
二项式定理可以用于判断两个事件是 否独立，即一个事件的发生是否会影 响另一个事件发生的概率。
组合数性质：在二项式定理中，我们 使用了组合数的性质。组合数 $C(n,k)$ 等于 $C(n-1,k-1) + C(n1,k)$，这是组合数的一个重要性质。 这个性质可以帮助我们在二项式定理 的证明过程中进行简化。
指数性质：在证明二项式定理的过程 中，我们还使用了指数的性质。例如 ，当 $n$ 为偶数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2}$ ；当 $n$ 为奇数时，$(a+b)^n = (a+b)^{n/2} \times (a+b)^{n/2-1} \times b$。这些指数性质可以帮助 我们在计算过程中进行简化。
二项式定理ppt课件
b=29.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
题型分类 深度剖析
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式 ( x 1 )n 的展开式中，前三项的 24 x
系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系
数最大的项.
思维启迪 利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出n,再用通项公式求有理项.
解 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n ，
探究提高 用二项式定理处理整除问题，通常把 底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的 和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）一、二项就可以了. 同时，要注意余数的范围，a=cr+b，其中余数b∈ ［0，r），r是除数，利用二项式定理展开变形后， 若剩余部分是负数要注意转换.
(
1)r x
(1)r
Crn
x2n3r ,
常数项是15，则2n=3r,且 C=rn 15，验证n=6时，r=4
合题意.
5.（2009·北京理，6）若（1+ 2）5=a+b 2(a、b为
有理数)，则a+b=
（C ）
A.45
B.55
C.70
D.80
解析 ∵(1+ 2 )5=1+5 2 +20+20 2 +20+4 2 =41+29 2 =a+b 2, 又a、b为有理数,∴ a=41, ∴a+b=41+29=70.
2)3,则a2的值为
（ B）
A.3
B.6
C.9
D.12
解析 ∵x3=［2+（x-2）］3，
∴展开式中含（x-2）2项的系数为
a2=T2+1= C32 ×23-2=3×2=6.
高中数学选修二项式定理人教版ppt课件可修改文字
项，展r+开1 式共有_____个项.
n+1
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1, 2,
n)
二项展开式定理:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr
1.项数规律：
(n N )
展开式共有n+1个项
2.二项式系数规律：
Cn0、Cn1、Cn2、 、Cnn
3.指数规律：
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
C61 (2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C64 (2 x)2 C65 (2 x) C66 ]
=64 x3
192 x 2
240x 160
60 x
12 x2
1 x3
第三项的二项式系数为
C62 15
第六项的系数为
C65 • 2(1)5 12
例3:(1)求（1+2x )7的展开式的第4项的系数
4 x
6 x2
4 x3
1 x4
.
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
；C
r n
二项式定理的推导 教学课件 (共27张PPT) 高中数学北师大版选择性必修第一册
解：
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2： 求 x 2 5 的展开式.
解：
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个，将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1．二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律，是 二项式定理的核心，它在求二项展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等）或项的系数等方面有着广泛的应用．
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析：1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2．二项式定理是一个恒等式． （1）利用二项式定理可以展开给定的二项式，逆用二项式定理可以化简、求和、 证明．
（2）对于任意的 a，b，该等式都成立．
例如：① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2
(1 x)n 1 C1n x C2n x2
Ckn xk
xn
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例 2： 求 x 2 5 的展开式.
解：
(x 2)5
C95 x5 20 C15x4 21 C52 x3 22 C35x2 23 C54 x124 x5 10x4 40x3 80x2 80x 32.
k bk
共有
C
k n
个，将它们合并同类项可得
(a b)n C0nan C1nan 1b
Cknan kbk
Cnnbn n N
对二项式通项的理解 1．二项式通项体现了二项展开式的项数、系数及a与b的指数的变化规律，是 二项式定理的核心，它在求二项展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数 项、中间项、有理项、系数最大项等）或项的系数等方面有着广泛的应用．
A.1
B. 1
C. (1)n
D.3n
解析：1 2C1n 4C2n 8C3n (2)n Cnn
(2)0 C0n
(2)1 C1n
(2)
2
C
2 n
(2)3 C3n
(2)n
C
n n
(1 2)n (1)n
故选:C.
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-x 6.
2．二项式定理是一个恒等式． （1）利用二项式定理可以展开给定的二项式，逆用二项式定理可以化简、求和、 证明．
（2）对于任意的 a，b，该等式都成立．
例如：① (a b)n C0nan
1 C1nan 1b
② 1 x n C0n C1n x Cn2 x2
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件
解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
高二下学期数学人教A版必修第三册6.3.1二项式定理课件
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C
0 2
a
2
C21ab
C22b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 ；
(a＋b)4＝_a_4＋__4_a_3_b_＋__6_a_2_b_2＋__4_a_b_3_＋__b_4__ C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4 ；
)r
(1)r
C9r
x 92r
设9 2r 3,解得r 3.
∴展开式中有含x3项的系数为(1)3 C93 84.
(2)由于( x a)12的展开式共有13项,所以倒数第4项是展开式 的第10项,即
T10 T91 C192 x a 129 9 C132 x 3a 9 220x 3a9 .
……
(a＋b)n＝_C_n0_a_n__C__n1a__n_1b___C__n2a_n__2_b_2 ___ ___C_nk_a_n_k_b_k___ ___C__nn_b_n _. _
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1an1b Cn2a n2b2
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn .
巩固训练2 求 (3 x 2 1 )10 展开式中的常数项. x
解： 展开式的通项为Tr1 C1r0 (3 x2 )10r (
1 x
)r
310 r
C
r 21
20 5 r
x2
.
设20 5 r 0,解得r 8. 2
∴ (3 x2 1 )10 的展开式中的常数项为 x
T9 C180 32 405.
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
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11 2 m 5m
A
2 m2 113 m
(m N )
5 23 2 n 公差是（ x ) 的展开式中常数项，其中n为 2x 5 7777 15除以19的余数，求(n 8, n N )展开式中，第五、第六、第七项 的系数成等差，求展开式中 (1)中间项; (2)二项式系数最大的项： （3）系数最大的项： （4）各项系数之和。
二项式定理（二）
1
复习
温故而知新
n
－ － －
1．二项式定理
0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 r n r r C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C b n n na ( a＋ b) ＝ n
n ＋…＋Cn nb (n∈N＋) _______________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定
9
（2）设(x 1) (x 2) a0 a1 ( x 3) a2 ( x 3) L a9 ( x 3)
4 5 2
9
则(a0 a2 a4 a6 a8 )2 (a1 a3 a5 a7 a9 )2 _______
(3)若等差数列{an }的首项a1 =C
理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数 Cr n(r ＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数 项展开式的通项 Tr＋1＝
n－r r Cr a b . n
n r r ．式中的 Cr b 叫做二 na
－
，用 Tr＋1 表示，即展开式的第r＋1
项；
2
2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为
4
6
3
例3、已知 (1 2 x展开式中第 2项大于它的相邻两项， ) 求x的范围。
5
1 n 例4、(1)已知( x 2 ) 的第5项的二项式系数与第3 3x
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
2 n (2)已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 3 5 0 2 4 n－1 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n n n n n 式系数和，即 n .
4
课前练习：
1 2 3 n1 n 1. Cn 等于 （ ） 2Cn 4Cn 2 C n n n n 3 1 3 n A. 3 B. 3 1 C. D. 1
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
(3)C 2C 3C ... nC
3
3．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中， 与首末两端“等距离”的两项的_______ 二项式 _________ 系数 相等． (2)如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项 的二项式系数 最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项式系数相 等并且最大．
n 0 2 n n ＋C1 (3)二项式系数的和等于 2 ，即 Cn n＋Cn＋…＋Cn＝2 .
•练习:
•(1)若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
8
[点评] 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的 一切值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使 用赋值法时，令 a，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取 “1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若 f(x) ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ … ＋ anxn ，则 f(x) 展开式各项系数之和为 f1＋f－1 f(1)，偶数项系数之和 a0＋a2＋a4＋…＝ ，奇数项 2 f1－f－1 系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 2
2 2 2 x 3x 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 ） A．160 B．240 C．360 D．800
5
3.求(1 x) (1 x) 2 (1 x)16 的展开式中 x 项的系数. 4．已知 (1 x) (1 x) 2 (1 x) n
an x n , a1 a2 an1 6 n ( 1 y ) y 29 n(n N , n 1), 那么 的展开式中含 项的系数是 a0 a1 x a2 x 2
5
3
.
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
7
赋值法
例5、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
(4) ao a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 _____
1 n 2 n 3 n
n n
16
例1、计算：
5 4 3 2 ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1) （ 1）
（2）1 2C
1 n
4C ... 2 C
2 n n
n n
例2、求 (1 x)
6
(1 x) 的展开式中的 x 系数。
n＋1
.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和 为
n
.
降幂 升幂
(3)字母 a 按 到零；字母 b 按 n.
排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到
0 Cn ，C1 n，一直到 n－ 1 Cn ，Cn n.
(4)二项式的系数从