二项式定理课件(二)
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4
6
3
例3、已知 (1 2 x展开式中第 2项大于它的相邻两项， ) 求x的范围。
5
1 n 例4、(1)已知( x 2 ) 的第5项的二项式系数与第3 3x
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
2 n (2)已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
an x n , a1 a2 an1 6 n ( 1 y ) y 29 n(n N , n 1), 那么 的展开式中含 项的系数是 a0 a1 x a2 x 2
5
3
.
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
二项式定理（二）
1
复习
温故而知新
n
－ － －
1．二项式定理
0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 r n r r C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C b n n na ( a＋ b) ＝ n
n ＋…＋Cn nb (n∈N＋) _______________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
(3)C 2C 3C ... nC
1 n 2 n 3 n
n n
16
例1、计算：
5 4 3 2 ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1) （ 1）
（2）1 2C
1 n
4C ... 2 C
2 n n
n n
例2、求 (1 x)
6
(1 x) 的展开式中的 x 系数。
•练习:
•(1)若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
8Βιβλιοθήκη Baidu
[点评] 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的 一切值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使 用赋值法时，令 a，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取 “1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若 f(x) ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ … ＋ anxn ，则 f(x) 展开式各项系数之和为 f1＋f－1 f(1)，偶数项系数之和 a0＋a2＋a4＋…＝ ，奇数项 2 f1－f－1 系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 2
7
赋值法
例5、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
(4) ao a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 _____
2 2 2 x 3x 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 ） A．160 B．240 C．360 D．800
5
3.求(1 x) (1 x) 2 (1 x)16 的展开式中 x 项的系数. 4．已知 (1 x) (1 x) 2 (1 x) n
理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数 Cr n(r ＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数 项展开式的通项 Tr＋1＝
n－r r Cr a b . n
n r r ．式中的 Cr b 叫做二 na
－
，用 Tr＋1 表示，即展开式的第r＋1
项；
2
2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为
n＋1
.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和 为
n
.
降幂 升幂
(3)字母 a 按 到零；字母 b 按 n.
排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到
0 Cn ，C1 n，一直到 n－ 1 Cn ，Cn n.
(4)二项式的系数从
3
3．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中， 与首末两端“等距离”的两项的_______ 二项式 _________ 系数 相等． (2)如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项 的二项式系数 最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项式系数相 等并且最大．
n 0 2 n n ＋C1 (3)二项式系数的和等于 2 ，即 Cn n＋Cn＋…＋Cn＝2 .
11 2 m 5m
A
2 m2 113 m
(m N )
5 23 2 n 公差是（ x ) 的展开式中常数项，其中n为 2x 5 7777 15除以19的余数，求数列an的通项公式。
10
例题6：已知（1 x)n (n 8, n N )展开式中，第五、第六、第七项 的系数成等差，求展开式中 (1)中间项; (2)二项式系数最大的项： （3）系数最大的项： （4）各项系数之和。
9
（2）设(x 1) (x 2) a0 a1 ( x 3) a2 ( x 3) L a9 ( x 3)
4 5 2
9
则(a0 a2 a4 a6 a8 )2 (a1 a3 a5 a7 a9 )2 _______
(3)若等差数列{an }的首项a1 =C
(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 3 5 0 2 4 n－1 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n n n n n 式系数和，即 n .
4
课前练习：
1 2 3 n1 n 1. Cn 等于 （ ） 2Cn 4Cn 2 C n n n n 3 1 3 n A. 3 B. 3 1 C. D. 1
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例3、已知 (1 2 x展开式中第 2项大于它的相邻两项， ) 求x的范围。
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1 n 例4、(1)已知( x 2 ) 的第5项的二项式系数与第3 3x
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
2 n (2)已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
an x n , a1 a2 an1 6 n ( 1 y ) y 29 n(n N , n 1), 那么 的展开式中含 项的系数是 a0 a1 x a2 x 2
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5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
二项式定理（二）
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复习
温故而知新
n
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1．二项式定理
0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 r n r r C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C b n n na ( a＋ b) ＝ n
n ＋…＋Cn nb (n∈N＋) _______________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
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(2)3 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
(3)C 2C 3C ... nC
1 n 2 n 3 n
n n
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例1、计算：
5 4 3 2 ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1) （ 1）
（2）1 2C
1 n
4C ... 2 C
2 n n
n n
例2、求 (1 x)
6
(1 x) 的展开式中的 x 系数。
•练习:
•(1)若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
8Βιβλιοθήκη Baidu
[点评] 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的 一切值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使 用赋值法时，令 a，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取 “1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若 f(x) ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ … ＋ anxn ，则 f(x) 展开式各项系数之和为 f1＋f－1 f(1)，偶数项系数之和 a0＋a2＋a4＋…＝ ，奇数项 2 f1－f－1 系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 2
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赋值法
例5、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
(4) ao a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 _____
2 2 2 x 3x 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 ） A．160 B．240 C．360 D．800
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3.求(1 x) (1 x) 2 (1 x)16 的展开式中 x 项的系数. 4．已知 (1 x) (1 x) 2 (1 x) n
理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数 Cr n(r ＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数 项展开式的通项 Tr＋1＝
n－r r Cr a b . n
n r r ．式中的 Cr b 叫做二 na
－
，用 Tr＋1 表示，即展开式的第r＋1
项；
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2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为
n＋1
.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和 为
n
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降幂 升幂
(3)字母 a 按 到零；字母 b 按 n.
排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到
0 Cn ，C1 n，一直到 n－ 1 Cn ，Cn n.
(4)二项式的系数从
3
3．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中， 与首末两端“等距离”的两项的_______ 二项式 _________ 系数 相等． (2)如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项 的二项式系数 最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项式系数相 等并且最大．
n 0 2 n n ＋C1 (3)二项式系数的和等于 2 ，即 Cn n＋Cn＋…＋Cn＝2 .
11 2 m 5m
A
2 m2 113 m
(m N )
5 23 2 n 公差是（ x ) 的展开式中常数项，其中n为 2x 5 7777 15除以19的余数，求数列an的通项公式。
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例题6：已知（1 x)n (n 8, n N )展开式中，第五、第六、第七项 的系数成等差，求展开式中 (1)中间项; (2)二项式系数最大的项： （3）系数最大的项： （4）各项系数之和。
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（2）设(x 1) (x 2) a0 a1 ( x 3) a2 ( x 3) L a9 ( x 3)
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则(a0 a2 a4 a6 a8 )2 (a1 a3 a5 a7 a9 )2 _______
(3)若等差数列{an }的首项a1 =C
(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 3 5 0 2 4 n－1 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n n n n n 式系数和，即 n .
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课前练习：
1 2 3 n1 n 1. Cn 等于 （ ） 2Cn 4Cn 2 C n n n n 3 1 3 n A. 3 B. 3 1 C. D. 1