勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔尖

二.知识点回顾

1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性

质之一，其主要应用有：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形

（1）先确定最大边（如c）

（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系

（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。

3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数

如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）

9, 40, 41

三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形

1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,

1

且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .

F

E

针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是

a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的

形状.

考点二运用勾股定理的逆定理进行计算

例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上

A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。

针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.

求：四边形ABCD的面积. y

A

考点三勾股定理的折叠问题

例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为

针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1

考点四勾股定理的卡车通过大门问

例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以

的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6

m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.

题

AB为直径

高 2.5

C

考点五勾股定理的探究和应用问题

例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说

明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延

长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

针对训练：1观察下列图形，回答问题：

问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形

M的面积为。

问题（2 ）:如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是 ____________________ ；（用图中字母表示）

问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,

请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.

考点六勾股定理的设计问题

例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组

有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.

针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上

两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD —

AB , BC垂直AB ,垂足分别为A、B, AD=24 千米，BC=16

千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？

考点七勾股定理的最短路径问题

例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数

缠绕，则丝带的最短长度为cm •（结果保留n）

针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食

物，那么它需要爬行的最短路径的长是（

A . 5cm

B . 5.4cm C. 6.1cm D . 7cm

/rX

I

zZ7

考点八勾股定理的勾股数问题

常见的勾股数及几种通式有：

（1）（3，4，5）, （6，8，10）..... 3n,4n,5n （n 是正整数）

⑵（5, 12, 13）, （7 , 24, 25）, （9 , 40, 41）……

⑶（8 , 15, 17）, （12 , 35, 37）……

⑷m2—n2,2mn,m2+ n2（m、n均是正整数，m>n）简单列出一些：

课堂小测试（8分钟）

1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是（）

A.第三边一定为10

B.三角形的周长为24

C.三角形的面积为24

D.第三边有可能为10

2 •已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A、25

B、14

C、7

D、7 或25

3•下列各组数中，以a, b, c为边的三角形不是Rt△的是（）

A、a=1.5, b=2, c=3

B、a=7,b=24,c=25

C、a=6, b=8, c=10

D、a=3,b=4,c=5

3•三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）