勾股定理拓展与拔高
浅谈初中数学勾股定理的拓展教学
浅谈初中数学勾股定理的拓展教学作者：张桂友来源：《学习周报·教与学》2020年第16期摘;要：在新课程改革稳定开展的过程中，多种新型教学模式应用到各个阶段教学当中，有效改善传统教学模式的不足。
其中在初中数学开展教学时，由于勾股定理相关知识具有一定的难度，同时也是学习计算空间几何问题的基础，部分学生难以掌握，严重影响教学效率。
因此，为了能够解决当前教学存在的问题，教师需要注重勾股定理教学模式的拓展。
本文主要围绕勾股定理开展教学，并阐述了拓展模式。
关键词：勾股定理;初中数学;拓展教学引言：勾股定理具有丰富的数学史料知识，而且能够广泛的应用到初中数学解题当中，需要得到各个阶段教学的重视。
因此，在课堂实际开展教学的过程中，需要引导学生事先掌握勾股定理的内涵，并适当的为学生列举案例，让学生根据自身的理解能力分析知识解答方式，有效解决当前教学存在的不足，全面分析初中生当前数学学习情况，并制定针对性解题方案，促進初中数学课堂教学效率的提升。
一、初中勾股定理拓展教学的原则勾股定理作为初中数学重要组成部分，比较考验学生的思维能力。
初中数学教师在开展教学时，需要分析学生学习存在的问题，并观察学生的特点，确保能够不断拓展教学模式，调动学生的学习热情，提高勾股定理课堂教学效率。
因此，初中数学教师必须要遵循勾股定理教学原则，掌握教学的要点，科学合理地为学生创设针对性教学模式。
（一）了解勾股定理，注重课堂引入在初中勾股定理学习的过程中，教师不仅需要注重基础知识教学，同时应该分析学生对勾股定理定义的掌握情况，只有充分认识到勾股定理的运行方法，才能够准确高效地融入到解题当中，提高解题的效率，促使初中生的数学能力得到提升。
与此同时，教师还需要分析学生年龄段知识结构与认知能力，并由浅到深的渗透数学知识，遵循勾股定理教学原则，注重拓展教学[1]。
（二）勾股定理知识点的探索勾股定理时反应直角三角形三边关系的重要定理，同时也是解答直角三角形知识的重要理论，学生必须掌握其要点。
2012八年级上册数学拔高课北师版【第一期】勾股定理拔高课参考答案
八年级上册数学拔高课北师版
第一期初中数学勾股定理拔高课参考答案
第一讲直角三角形性质应用
【讲义参考答案】
一、知识点睛
1.互余，斜边长
2.平方和，平方，a2+b2=c2，直角
3.斜边的一半，一边上的中线等于这边的一半
4.斜边的一半，30°
二、精讲精练
1．B2．（略）3．（略）4．42或325．C
6．B7．A8．249．D10．MN⊥AC，证明（略）11．B12．m2+n2，证明（略）13．D14．A15．B 16．8m，求解（略）17．218．A19．B20．B 21．422．B23．C
【作业参考答案】
1. B
2. A
3. B4
. cm5. 49
2
6
. 7. 38. 1009
.
10. （图2）h1+h2+h3=h，（图3）h1+h2 h3=h
第二讲与直角有关的折叠、旋转
【讲义参考答案】
一、知识点睛
1.全等变换，对应线段、对应角
2.垂直，距离，高；
3.垂直平分
二、精讲精练
1．B2．C3．60°4．30°5．C6．2
7．
8．C9．80°或120°10．150°，证明（略）
11．135°证明（略）12．（略）13．1700m，证明（略）
14．5证明（略）15．1516
．17
．
【作业参考答案】
1.C
2. D
3. C
4. C
5. C
6. 5
7.略
1
8.（1
（2
）9.（1）135°；（2
）5 （3
）
4
2。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习试卷简介:本测试卷共有13道题，其中5道填空题，5道解答题，3道证明题，分四个板块，板块一为回顾练习，回顾暑期学到的关于勾股定理的主要知识，相关题目为教材1、2、3题；板块二为直角三角形六大性质，勾股定理只是直角三角形六大性质之一，将直角三角形的性质一网打尽，相关题目为教材4、5、6、8题；板块三为折叠专题，此类题为中考常考题，需熟练掌握，相关题目为教材9、10、12题；板块四为勾股定理实际应用，有典型的拱桥问题，台风问题，趣味性强，相关题目为教材14、16题。
学习建议:1.题目中有关于直角三角形边的关系，就要想到用勾股定理。
2.折叠专题要注意解题套路，第一步：找准折痕；第二步：找准相等线段，相等角度；第三步：找直角三角形。
3.勾股定理实际应用要能根据题意和生活经验抽象出数学模型，然后用勾股定理相关知识解答。
一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.答案：第一种情况：当高AD在三角形内部时，如图所示，利用勾股定理求出：BD=9，CD=5，BC=14，所以周长为13+14+15=42第二种情况：当高AD在三角形外部时，如图所示，同样由勾股定理求出周长为32所以，答案为42或32解题思路：此题没有给出图形，需要自己画图，所以要分类讨论：高在内部，高在外部。
易错点：只想到第一种情况，忽略了高在外部的情况，导致少一种情况。
试题难度：三颗星知识点：三角形2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．答案：解：由于△ABC≌△CDE，所以BC=DE∵S1是以AB为边长的正方形的面积，S2是以DE为边长的正方形的面积∴S1+S2=AB2+DE2=AB2+BC2=AC2=1，同理：S3＋S4＝3，故S1＋S2＋S3＋S4＝4．解题思路：要能从图形中看出那两个三角形是全等的，利用全等后对应边相等来运用勾股定理易错点：看不出哪两个三角形是全等的关系试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.答案：解：一边上的中线等于他的一半，则他一定是一个直角三角形。
勾股定理怎么算_勾股定理常用11个公式_勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高之动态几何(勾股定理)拔高练习一. 计算题(本大题共8小题，共40分)1.(本小题5分)如图，某人在B处通过平面镜看见在B正上方3米处的A物体，已知物体A到平面镜的距离为2米，问B点到物体A的像A′的距离是多少？核心考点:勾股定理则 =_____.核心考点:勾股定理3.(本小题5分)如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？核心考点:勾股定理轴对称的性质的最小值是？核心考点:勾股定理轴对称的性质5.(本小题5分)如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．核心考点:勾股定理旋转的性质梯形ABCD的面积．核心考点:勾股定理旋转的性质7.(本小题5分)如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.核心考点:勾股定理旋转的性质CE=4 ,求DE 的长.（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.核心考点:等腰三角形的性质勾股定理线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. （1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长核心考点:三角形三边关系勾股定理11.(本小题10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.核心考点:勾股定理旋转的性质12.(本小题10分)如图，在Rt13.(本小题10分)（2008天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（1）当扇形CEF绕点C在∠ACE的内部旋转时，如图①，求证：MN²=AM²+BN²（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由核心考点:旋转的性质运动变化型问题2AD=BD+CD核心考点:勾股定理旋转的性质勾股定理试题一．选择题（共10小题）1．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣52．（2016•台州）如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．B．C．D．3．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2016•南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5C．3，4，6 D．3，4，75．（2016•达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．6．（2016•哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里7．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+18．（2015•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9．（2015•黑龙江）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．510．（2015•毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2C．D．10﹣5【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE﹣BG=2、HE=CH﹣CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长【解答】解：如图，延长BG交CH于点E在△ABG和△CDH中∴△ABG≌△CDH（SSS）AG2+BG2=AB2∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6在△ABG和△BCE中∴△ABG≌△BCE（ASA）∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°∴GE=BE﹣BG=8﹣6=2同理可得HE=2在RT△GHE中，GH===2故选：B【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键。
八下数学专项拔高：勾股定理(手拉手模型)(人教版)
勾股定理（手拉手模型）专题知识点睛旋转结构（手拉手模型）：等线段共端点，借助全等整合条件．常见手拉手模型举例如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE．精讲精练1.如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．若AD=5，BD=12，求DE的长．2.如图，已知CA=CB，CF=CE，∠ACB=∠FCE=90°，且A，F，E三点共线，AE与CB交于点D．（1）求证：AF2+AE2=AB2；（2）若ACBE=3，则CE=_________．EDCB AEDCBAEDABA BCDEF3. 如图，△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，点D 在AC 上，其中∠ABC =∠DBE =90°．（1）当AB =5，AD :DC =2:3时，求DE 的长；（2）当点D 在线段AC 上运动时（D 不与A 重合），请写出一个反映DA 2，DC 2，DB 2之间的等式，并加以证明．4. 已知：如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2； ⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中结论正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55. （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且P A =3，PB =1，PC =2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△BEC 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE =CP ，连接EP ，EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？请写出过程． （2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，P A =3，PB =4，PC =5，直接写出∠APB 的度数为__________．EDCBAABCD E图1ABCEP图2ABCP6. 阅读下面的材料：（1）如图1，在等边三角形ABC 内，点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别是3，4，5，则∠APB 等于多少度？由于P A ，PB ，PC 不在同一三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°到△ACP′处，连接PP′，就可以利用全等的知识，进而将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB 的度数．请写出（1）的解答过程．（2）请你利用第（1）题的方法解答：如图2，△ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，E ，F 为BC 上的点，且 ∠EAF =45°，求证：BE 2+FC 2=EF 2．7. （1）如图1，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE =CD ．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC =45°，∠CAE =90°，AB =BC =100米，AC =AE ，求BE 的长．ABCPP′图1AB C图2E F 图1CBA图2CBEADGF图38. 已知∠ACD =90°，AC =DC ，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB ⊥MN 于点B ，连接CB ．（1）问题发现如图1，过点C 作CE ⊥CB ，与MN 交于点E ，则易发现BD 和EA 之间的数量关系为________________，BD ，AB ，CB 之间的数量关系为_________； （2）拓展探究当MN 绕点A 旋转到如图2的位置时，BD ，AB ，CB 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明； （3）解决问题当MN 绕点A 旋转到如图3的位置时（点C ，D 在直线MN 两侧），若此时∠BCD =30°，BD =2，则CB =______．图1图2图3NMEDCB ANM DCBA NMDCBA9.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=1，P A，则：①线段PB=______，PC=______；②猜想：P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__________________．（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P满足13PAPB=，求PCAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图1图2QPCBAABCPQABC10. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD上，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理 将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合，由∠B +∠ADC =180°，得 ∠FDG =180°，即F ，D ，G 三点共线，易证△AFG ≌_______，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为_______________．（2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC的延长线上，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展 如图3，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1，EC =2，则DE 的长为_________．图1 图2 图3GFE DCB AF E D C BAEDC BA。
勾股定理的推广与拓展
勾股定理的推广与拓展勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中较为著名的一个定理，它表达了一个直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和的关系。
然而，勾股定理的应用不仅仅局限于直角三角形，还可以推广到其他几何形状以及更广泛的数学问题中，拓展出多种应用和衍生定理。
一、勾股定理的基本形式在正文中，我们首先来回顾一下勾股定理的基本形式，即对于一个直角三角形，斜边的平方等于两个直角边平方之和。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长度为c，则有勾股定理的表达式：c² = a² + b²二、勾股定理的推广1. 推广到直线段上我们可以将勾股定理推广到直线段上，即任意线段a、b和c构成一个直角三角形，其中c是线段a和b的斜边。
这个定理可以用来计算两个坐标点之间的距离。
根据直线段的长度公式，我们可以得到：c = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)2. 推广到四边形和多边形勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到四边形和多边形中。
例如，对于一个平行四边形，如果它的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形就可以分割成两个直角三角形，可以使用勾股定理计算其边长和对角线长度之间的关系。
3. 推广到向量和复数在向量和复数的运算中，勾股定理同样适用。
假设有两个向量a和b，它们的长度分别是|a|和|b|，夹角为θ，则它们的和向量c的长度可以由勾股定理计算得到：|c| = √(|a|² + |b|² + 2|a||b|cosθ)4. 推广到其他数学问题勾股定理还可以应用于其他数学问题，如概率统计、最优化等领域。
例如，在概率统计中，可以利用勾股定理计算两个随机变量之间的相关系数，从而分析它们之间的关联程度。
在最优化问题中，可以使用勾股定理判断一个多维空间中的点是否为最优解。
三、勾股定理的拓展1. 勾股定理的逆定理除了勾股定理本身外，还存在一个与之相对应的逆定理，即如果一个三角形的三边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理拔高-讲义
勾股定理 拔高训练1.如图，P 是等边三角形ABC ∆内的一点，连结PA 、P Ｂ、PC,以B Ｐ为边作60=∠PBQ ,且BQ=BP,连结CQ 、ＰQ ，若P Ａ:PB:PC ＝3:4:5，试判断PQC ∆的形状。
2.如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形,30=∠ABC ，试说明:222BC AB BD +=3．在等腰直角三角形中，A Ｂ=A Ｃ，点D 是斜边B Ｃ的中点，点E 、F 分别为ＡＢ、ＡC 边上的点,且ＤE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+（2)若ＢE=１2,CF=5，试求DEF ∆的面积。
4.为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。
勾股定理提高训练(一）1、在R ｔ△A ＢC 中,若直角边的长分别为１cm,2cm ,则斜边长为＿____＿_____＿_．2、已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是________________.3.在一个直角三角形中,若斜边长为5ｃm ，直角边的长为3ｃm,则另一条直角边的长为( ）． A ．4cm Ｂ．4cm 或cm 34 C.cm 34 D.不存在 ４、在直角三角形ABC 中，斜边ＡB=1,则AB 222AC BC ++的值是（ ） A.2 B.4 C ．6 D.85、直角三角形两直角边长分别为5和１2,则它斜边上的高为_______．6、如图，学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”．他CDB第7题FEDCBA第9题BA6cm3cm 1cm第10题图CBA24252020242572520242415们仅仅少走了 步路（假设2步为1米)，却踩伤了花草．7、如图，在△ABC 中，ＡB=A Ｃ＝１3,ＢＣ＝10,D 是AB 的中点,过点D 作ＤE ⊥AC 于点E ，则ＤE 的长是＿_.8、把一根长为１0㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为＿_＿_的铁丝才能把三角形做好.９.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与 A 点重合，则ＥＢ的长是（ )． Ａ.3ﻩﻩB ．4 Ｃ D ．５１０、如图，长方体的底面边长分别为1ｃm 和3cm,高为6cm.①如果用一根细线从点A 开始经过４个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要__c ｍ； ②如果从点A 开始经过４个侧面缠绕３圈到达点B,那么所用细线最短需要______ｃｍ.勾股定理提高训练(二)１、如图,每个小正方形的边长为1，Ａ、B 、C 是小正方形的顶点,则∠AB Ｃ的度数为（ ) A.90° Ｂ.60° C.45° D.30° 2、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ) A.９，1２,15 B.43,1,45 C.０.2，０.3，0.4 D.4０，4１，9 3、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） Ａ.三个内角比为1∶2∶1 Ｂ．三边之比为１∶2∶5 Ｃ.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶２∶34、已知三角形两边长为2和６，要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为( ） A.2 Ｂ.102 C ．10224或 Ｄ．以上都不对5、 五根小木棒，其长度分别为7,15,20，２4，25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ）A B C6、△A ＢC 的三边分别是７、24、2５,则三角形的最大内角的度数是7、已知△ＡBC 的三边长满足18,10==+ab b a ,8=c ，则为 三角形.8、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 Ｂ.锐角三角形 Ｃ.钝角三角形 D.不是直角三角形9、在三角形ABC 中,AB=12cm ,ＡC ＝5cm ，B Ｃ=13cm ，则B Ｃ边上的高为AD= cm ． 10、下列命题中是假命题的是( ).A ．△ABＣ中,若∠Ｂ=∠C－∠Ａ,则△ABC 是直角三角形．B ．△ABC 中，若a 2=（b+ｃ)(b-c)，则△AＢC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=３∶4∶5则△AＢＣ是直角三角形. D.△ＡＢC 中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.11．如图,已知四边形ＡＢCD 中，∠B ＝90°,ＡB=3，B Ｃ=4,ＣD=12,AD=1３,求四边形ＡB ＣD 的面积．12、如图,AB 为一棵大树,在树上距地面１0m 的D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的C 处有一筐水果,一只猴子从D 处上爬到树顶A 处,利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB.13、如图，在梯形AB ＣD 中,ＡD∥BC，A Ｂ⊥AＣ，∠B=45°， AD=1，B C=4，求D Ｃ的长.1５、如图,某学校（Ａ点）与公路（直线L)的距离为300米，又与公路车站（Ｄ点)的距离为500米，第11题图BA CD .第12题图B CA DADEBC现要在公路上建一个小商店(C 点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等,求商店与车站之间的距离.１6．如图,铁路上A ，B 两点相距25k ｍ,C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，C Ｂ⊥ＡB 于B,已知DA ＝１５km ，ＣB ＝10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C,D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少k ｍ处？１７、如图所示，在四边形ＡBCD 中,∠Ａ=6０°，∠Ｂ=∠D ＝９0°,B Ｃ＝２,C Ｄ＝3，求A Ｂ的长.中考试题精选(2０1２广州市)在Ｒt △ＡBC 中，∠Ｃ=9０°，AC=９，BC=1２,则点C 到AB 的距离是（ ） Ａ.365 B. 1225 Ｃ. 94 Ｄ. 334(２０1２巴中市)已知a 、ｂ、c 是△AＢC 的三边长,且满足关系错误!+｜ａ-ｂ｜=0，则△ABC 的形状为_____＿(2013巴中)若直角三角形的两直角边长为ａ、b ，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．（２01３黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为( )A 、５ Ｂ、7 Ｃ、5 D 、5或7 （2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°,AB ＝３，A Ｃ=4.AD Ａ.B.平分∠ＢAC 交BC 于Ｄ，则BD 的长为( ) C ．D.第17题图(２012南充市) 如图,四边形ABＣD中,∠BAＤ＝∠BCD=90°，AＢ=AD,若四边形ABCD的面积是24c ｍ2，则AC长是__＿＿_＿＿____＿＿cm．（２013•湘西州)如图，Rｔ△AＢC中,∠C=9０°,AD平分∠CAB，DE⊥AＢ于E,若AC=6，BC＝8，CD＝3．(1)求ＤE的长；（2)求△ADＢ的面积．(2０13•达州）如图，折叠矩形纸片AＢＣD，使Ｂ点落在ＡD上一点E处,折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点）,且AＢ＝6，BC＝１0。
初中数学拔高辅导(勾股定理拓展提高之动态几何)
初中数学拔高辅导（勾股定理拓展提高之动态几何）板块一：通过位置变换找勾股关系（对称变换） 教材1题：如图，在△ABC 中，AB =AC ，（1）若P 为边BC 上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP =AB 2-AP 2；（2）若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.教材2题：如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？教材3题：如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE =3 ，BE =1,P 为AC 上的动点，则PB +PE 的最小值是？教材4题：（2010宁德市）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.解：⑴∵△ABE 是等边三角形， ∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°. ∵∠MBN ＝60°，∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN. 即∠BMA ＝∠NBE. 又∵MB ＝NB ，∴△AMB ≌△ENB （SAS ）⑵①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小ABPCB小河D CCBA②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝√3/2x，EF=x/2在Rt△EFC中，∵EF²＋FC²＝EC²，（x/2）²+（√3/2x+x）²=（√3+1）²解得x=√2板块二：通过位置变换找勾股关系（旋转变换）教材5题：如图：正方形ABCD中有一点P,且PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．（2012•盐城二模）阅读下列材料：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．请你回答：图2中∠APB的度数为135°．请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质；作图—复杂作图．分析：图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；（1）设法把PA、PB、PC相对集中，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，问题得以解决．（2）根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根据全等三角形的对应边、对应角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数．解答：解：如图2．∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．∴BP=BE，PC=AE，∴∠BPE=∠BEP=45°．又PA：PB：PC=1：2：3，∴AE2=AP2+PE2，∴∠APE=90°，∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．故答案是：135°；（1）如图3，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，△APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．（2）如图3．∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，∴△PCM是等边三角形，∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°．∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，∴∠APM=60°，∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°．∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于60°、65°、55°．故答案是：60°、65°、55°．在正方形ABCD中 PA=1 PB=2 PC=3 P在正方形内部试求角APB的度数三角形旋转问题：在正方形ABCD中，PA=1，PB=2，PC=3，P在正方形内部试求∠APB的度数.解：将△ABP旋转至△CBP'，△BPP'是等腰直角三角形,∠BPP'=45.△PP'C中，PP'=2√2，P'C=AP=1,PC=3,所以△PP'C是直角三角形，∠APB=∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45+90=135教材6题：如图，四边形ABCD是直角梯形，且AB＝BC，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求梯形ABCD的面积．DCABEFMN 图①教材7题：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 分别是BC 上两点，若∠EAF =45°，试推断BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并说明理由.教材8题：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.教材9题：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：EF 2=BE 2+CF 2.教材10题：（2008天津）已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在∠ACE 的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=；（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．CABE MN 图②CBBCA。
勾股定理拓展与拔高
勾股定理拓展与拔尖一、 知识结构定理： a 2 b 2c 2直角三角形的性质 :勾股定理勾股应用 :主要用于计算定理直角三角形的判别方法 ::若三角形的三边满足 a 2 b 2 c 2 则它是一个直角三角形 .二 . 知识点回顾1、勾股定理的应用： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形（1） 先确定最大边（如 c ）（2） 验证 c 2 与 a 2 b 2 是否具有相等关系（3） 若 c 2 = a 2 b 2 ，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a 2 b 2 则△ ABC 不是直角三角形。
3. 勾股数： 满足 a 2 b 2 = c 2 的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5； （2）5， 12，13； （3） 6，8， 10；（4）8，15，17 （5）7，24， 25 （ 6） 9, 40, 41三．典型题剖析： 针对训练、延伸训练考点一 证明三角形是直角三角形11、 在正方形 ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 BC 上一点，且EC= 4BC ，求证：EFA=90 .A DFB E C针对训练： 1、已知：在△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是a 、b 、c ，满足 a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c. 试判断△ ABC 的形状 .考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC 中，底边 BC＝ 20， D 为 AB 上一点， CD＝ 16， BD＝ 12，求△ ABC 的周长。
针对训练： 1、 .已知：如图，四边形ABCD ， AD ∥ BC， AB=4 ， BC=6 ， CD=5 ， AD=3.求：四边形ABCD 的面积 .考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=5，在 CD上任取一点E，连接 BE，将△ BCE沿 BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点 F 处，则CE的长为．针对训练： 1、如图，在矩形ABCD 中， BC=6 ， CD=3 ，将△BCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 C1处， BC1交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为（）A．3B．C． 5D．考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形 ABCD 为长方形，上部是以 AB 为直径的半圆，其中 AD ＝2.3 m ，AB ＝2 m ，现有一辆装满货物的大卡车，高 2.5 m ，宽 1.6 m ，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板 ABCD ，长为 10 ㎝，宽为 4 ㎝，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A、D 重合 )并在 AD 上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 .②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF 与DC的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 ㎝？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由 .针对训练： 1观察下列图形，回答问题：问题（ 1）：若图①中的△ DEF 为直角三角形，正方形P 的面积为9，正方形 Q 的面积为 15 ，则正方形M 的面积为。
勾股定理拓展与提高(4)
4．已知：如图，△ABC中， AB=26，BC=25，AC=17，
求S△ABC。
A
204 B
C
课后练习
1.在Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB于
D,∠A=60°,CD= 3 ,
AB= 4 .
2.在Rt△ABC 中,∠C=90°,S△ABC=30，c=13, 且a＜b,则a= 5 ,b= 12 .
2．△ABC中，若
∠A:∠B:∠C=3:2:1，AC= 2 c3m，
则∠A= 度9，0
∠B= 60 度,∠C= 30 度，
BC= 4 ，S△ABC= 2 3 。
3．△ABC中,∠C=90°,AB=4，
BC= 2 3 ,CD⊥AB于D，则
AC= 2 ,CD= 3 ,BD= 3 ,
AD= 1 ,S△ABC= 2 3 .
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形 的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提 高综合应用能力。
⑷强化训练
例习题分析
例1（补充）1．已知：在
Rt△ABC中，∠C=90°， C CD⊥AB于D，∠A=60°，
CD= 3 ，
求线段AB的长。 B
DA
方法：数形结合,正确标图,将条件反应 到图形中,充分利用图形的功能和性质.
3．已知：如图，在△ABC中，
∠B=30°,∠C=45°，
AC= 2 2 ，
求（1）AB的长； AB=4
；
（2）S△ABC。
A
S△ABC =2+ 2 3
B
C
4．在数轴上画出表示
－ 5, 2 5 的点。
5．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，D在CB的延长线上。
求证：⑴AD2－AB2=BD·CD
第四讲勾股定理的应用拓展提高
第4讲 勾股定理的应用 2
也许成功属于善于记录的人，而不属于善于记忆的人。
1．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm ，则正方形1的边长为__________cm.
变式：如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=（ ） A 3.65 B 2.42 C 2.44 D 2.65
2、已知数
3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数的平方是另外两个数的积，这个数是 ．
3、已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，则以z y x 、、为三边的三角形是 三角形。
变式：若ABC ∆的三边长c b a 、、满足条件c b a c b a 262410338222++=+++，试判断ABC ∆的形状。
4、已知71=+x
x ，求下列各式的值： （1）221x
x +； （2）x x 1-； 5、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于
ABCD ，AE=a,AF=b,且3
2=EFGH S 正方形。
求：a b -的值。
6、如图，△ABC 中，AB=10,BC=9,AC=17，求△ABC 的面积。
7.如图，四边形ABCD 中，︒=∠60DAB ，
︒=∠=∠90D B ，BC=1，CD=2，求对角线AC 的长。
H
G F
C B。
勾股定理复习与提升
01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物 体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以 确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光 的传播路径、折射率和反射率等参数，以 确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁 波的传播方向、幅度和相位等参数，以确 保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三 角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角 三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们 有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与 假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在 等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相 等。
高考数学中的勾股定理及其扩展应用
高考数学中的勾股定理及其扩展应用在数学领域中，勾股定理是最为著名的定理之一。
这个定理也被称作毕达哥拉斯定理，在数学教育中被广泛地使用。
在高中数学中，勾股定理是必学的知识之一。
这篇文章将探讨高考数学中的勾股定理及其扩展应用。
勾股定理的基本原理是什么？勾股定理是一个简单而又经典的数学定理，它是数学中三角函数、几何和代数的基础，被广泛应用于实际问题的解决中。
从根本上来说，勾股定理表明了三角形中三条边与其对应角之间的关系。
在具体的数学表达式上，勾股定理可以被描述为：$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $其中a、b、c是表示直角三角形的三条边长的变量，c表示斜边的长度。
勾股定理如何应用于高考数学？在高考数学中，勾股定理是必须学习掌握的知识之一。
首先，它是基于三角形基础定理中最重要的一条，这个基础定理也是高中数学学习的核心。
除此之外，勾股定理还被用于测量和计算几何的问题。
例如，如果数学家需要测量一座房屋的高度，可以利用勾股定理在地上和房屋之间建立一个直角三角形。
另外，对于计算几何学生来说，勾股定理还将被用于寻找平行线、点到直线的距离以及验证等等问题。
勾股定理在数学领域的更广泛应用尽管勾股定理经常被用于高考数学和实际问题的解决中，还有一些更深入的应用。
例如，勾股定理可以用于证明多个数学问题，如以下两个例子：1. 三角形的相似性质三角形是代数和几何学的基础。
勾股定理的应用可以帮助学生证明三角形相似的定理。
例如，如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
勾股定理可以帮助用于证明这个乘法的等式。
2. 圆的特性勾股定理也可以被用于研究圆的特性。
圆可以被认为是一种非常特殊的三角形，其中两个半径相等的边缘形成一个直角。
因此勾股定理可以被应用于获得圆的特性及推导式子。
总结：勾股定理是高中数学学习中的重点，但它也有广泛的应用于实际问题的解决中和数学领域的其他学科中。
当然，学习这个定理需要一定的时间和精力，但掌握它可以引领学生开发更深层次数学问题的解决技巧。
勾股定理拓展提高
勾股定理拓展与提高一、基础要点回顾：1、直角三角形中，两锐角______。
反过来，在三角形中，有两个锐角______，那么这个三角形是直角三角形。
如图1，Rt △ABC 中，∠A+∠B=_____。
反过来，△ABC 中，如果∠A+∠B=______，那么△ABC 是Rt △。
2、直角三角形中，300的锐角所对的直角边等于斜边的______。
反过来，直角三角形中，有一直角边等于斜边的______，那么这条直角边所对的锐角是300。
如图1，Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，则AB BC _____=。
反过来，Rt △ABC 中，∠C=900，AB BC _____=，则∠A=300。
3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______。
反过来，在三角形中，如果一边上的中线等于这边的_______，那么这边所对的角是直角。
如图，Rt △ABC 中，CD 是AB 边的中线，则AB CD _____= 反过来，如果△ABC 中，CD 是AB 边的中线，且，AB CD _____=那么△ABC 是Rt △。
4、勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于___________。
如图3，Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ， 那么，____________________。
5、勾股定理的逆定理：三角形中，如果两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
如图3，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，如果22c b a =+， 那么，____________________ 二、应用举例：例1、如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =15°，CD ⊥AB 于D ，AC 边的垂直平分线交AB 于E ，那么AE ∶ED 等于( ) A ．1∶1 B ．1∶2 C ．3∶2 D ．2∶3变式练习1：A图1A图2A图3ABEDAC1、如下图，一块直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =．现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm2、如图，折叠长方形的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长3、如图矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与B 重合，那么折叠后DE 的长和CF 的长分别是多少？例2、如图，C 是AB 上一点，BC =2AC =2 cm ，以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 与等边△BCE ，则DE 长为( )变式练习2：1、如图，四边形ABCD ，已知∠A=90°，AB=3，BC=12，CD=13，DA=4。
八年级数学上册第1章勾股定理拔高练勾股定理的应用新版北师大版
1. [2024襄阳襄州区阶段练习]我国古代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦
图”.如图是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成的，记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，
正方形 MNKT 的面积分别为 S1， S2， S3， 若EF ＝6，则 S1＋ S2＋ S3的值是( D )
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因为在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝6， BC ＝10， 所以 AC ＝8， CQ ＝ AB ＝ AD ＝6. 所以 PB ＝ AC ＝ AI ＝8. 所以 IP ＝8＋6＋8＝22， DQ ＝6＋8＋6＝20. 所以长方形 KLMJ 的面积＝22×20＝440.
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3. 【问题探究】(1)如图①，在锐角三角形 ABC 中，分别以 AB ， AC 为边向外作等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三 角形 ACD ，使 AE ＝ AB ， AD ＝ AC ，∠ BAE ＝∠ CAD ＝90°，连接 BD ， CE ，请判断 BD 与 CE 的数量关系，并说明理由；
( B) A.拨：如图，延长 AB 交 KL 于 P ，延长 AC 交 LM 于 Q ， 由题意得，∠ BAC ＝∠ BPF ＝∠ FBC ＝90°， BC ＝BF ， 所以∠ ABC ＋∠ ACB ＝90°＝∠ PBF ＋∠ ABC . 所以∠ ACB ＝∠ PBF . 所以△ ABC ≌△ PFB (AAS).所以 PB ＝ AC . 同理可得△ ABC ≌△ QCG . 所以 CQ ＝ AB .
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解： BD ＝ CE . 理由如下： 因为∠ CAD ＝∠ BAE ＝90°， 所以∠ BAD ＝∠ EAC ＝90°＋∠ BAC . 因为 AB ＝ AE ， AD ＝ AC ， 所以△ ABD ≌△ AEC (SAS). 所以 BD ＝ CE .
八年级数学-勾股定理的证明及拓展
八年级数学勾股定理的证明及其延伸1. 说明勾股定理是数学中一个重要知识。
虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。
所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。
本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。
2. 勾股定理的证明命题：在直角三角形中，a 、b 为直角边长，c 为斜边边长，则有222c b a =+。
勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。
如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形（a 、b 为直角边长，c 为斜边边长）拼出2个图形： 图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的（它们的边长都是a+b ），而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等（都等于蓝色正方形面积减去4个红色三角形的面积）。
而左边图形中白色部分的面积是22b a +，右边图形中白色部分的面积是2c ，所以222c b a =+。
3. 圆与三角形在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。
如图3，以BC 为直径做圆，圆心为BC 的中点O 。
在圆上任取一点A ，则三角形ABC 为直角三角形，其中∠A=90°。
如图4，同样做圆。
如果A 点在圆外，则∠A 为锐角。
可以这样来证明：连接AO ，和圆交与点D 。
容易得到∠BAC<∠BDC ，而∠BDC=90°，故∠A<90°。
如图5，同样做圆。
如果A 点在圆内，则∠A 为钝角。
可以这样来证明：连接OA ，并延长和圆交与点D 。
容易得到∠BAC>∠BDC ，而∠BDC=90°，故∠A>90°。
综合起来，我们可以得到如下命题：命题：在三角形ABC 中，以BC 为直径、BC 的中心点为圆心做圆，如果A 在圆上，则∠A=90°；如果A 在圆外，则∠A<90°；如果A 在圆内，则∠A>90°。
创新思维之勾股定理拓展——数学勾股定理创新教案
创新思维之勾股定理拓展——数学勾股定理创新教案数学勾股定理创新教案作为数学中的经典定理之一，勾股定理一直以来都受到人们的关注和研究。
而在现代社会中，创新思维也越来越被重视，因为它不仅可以帮助我们更好地解决问题，还能带来更多的创新思路和方式。
本文将着重讲述如何通过创新思维来拓展勾股定理，并提出一份创新教案，以帮助学生更好地掌握数学知识、拓展思维方式。
一、勾股定理简介勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于直角边两边平方和的定理。
具体而言，就是“直角三角形中，斜边平方等于直角边两边平方和”。
勾股定理被广泛应用于各个领域，在数学中尤为重要，它被认为是中学学的基础。
因此，在教学过程中，老师需要认真授课，并让学生掌握这个定理。
二、勾股定理的拓展在教学过程中，对于勾股定理的拓展，我们首先需要考虑的是它的应用。
勾股定理的应用非常广泛，比如对于斜率的求解和空间坐标系的计算等等。
因此，我们可以对其应用进行拓展。
1.勾股定理求解斜率对于勾股定理，我们可以通过它来求解斜率。
在以直角三角形的一条直角边为x轴，另一条直角边为y轴，斜边为一条直线的情况下，我们可以得到下面这条公式：斜率= 直角边 y / 直角边 x = a / b据此，我们也可以将勾股定理中的 a 和 b 认为是直角边，将 c 认为是斜线，这样我们便可以用勾股定理来解决斜率问题了。
2.勾股定理求解平均数在勾股定理的基础上，我们还可以利用它来求解平均数。
在直角三角形中，我们可以得到如下公式：( a + b + c ) / 3 = ( a^2 + b^2 + c^2 ) / ( 2a + 2b + 2c )根据勾股定理，可得：c^2 = a^2 + b^2带入公式，可得出：( a + b + sqrt( a^2 + b^2 ) ) / 3 = ( a^2 + b^2 + a^2 +b^2 ) / ( 2a + 2b + 2sqrt( a^2 + b^2 ) )简化上述式子可得：( 2ab + 2sqrt( a^2 + b^2 ) ) / ( 3(a+b) )根据此公式，我们也可以利用勾股定理来求解平均数，进一步拓宽了它的应用范围。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理) 拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练
习
试卷简介:本试卷为卢老师八年级线下班第一讲的测试卷，在看卢老师的课程之前，先用这套试卷来检验一下自己，共一道题，为常考题型：拱桥问题，这里的易错点有两个，一是拱桥半径找错；二是不知如何比较
学习建议:先回顾一下教材中勾股定理这一章节的知识
一、解答题(共1道，每道100分)
1.一辆卡车装满货物后，高4米，宽
2.8米，这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
答案：能通过
解题思路：解：∵卡车在隧道中间位置能通过的可能性最大
∴如图，O为EF的中点，OE=1.4m，OG为圆的半径，OG=2m
在直角△OEG中
∵（4-2.6）²=1.4²=1.96，2.04>1.96
∴在相同宽度下隧道的高度高于卡车的高度，卡车能通过该隧道
易错点：一、半径找错；二、比较完，下结论的时候出错试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。
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勾股定理拓展与拔高勾股定理拓展与拔尖二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c2与a2b2是否具有相等关系（3）若c2= a2b2，则△ ABC是以/ C为直角的直角三角形；若c2工a2b2 则厶ABC不是直角三角形。
3.勾股数：满足a2b2= c2的三个正整数，称为勾股数如（1）3, 4, 5; （2）5, 12，13; （3）6, 8, 10; （4）8, 15, 17 （5）7, 24, 25 （6）9, 40, 41三.典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点,1且EC= 4 BC,求证：EFA=90 .FE针对训练：1、已知：在厶ABC中，/ A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c试判断△ ABC的形状.考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ ABC中，底边BC= 20, 为AB 上A 一点，CD = 16, BD = 12, 求厶ABC的周长。
针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD , AD II BC, AB=4, BC=6, CD=5, AD=3.求：四边形ABCD的面积. yA考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABC冲，AB=3 BC=5在CD上任取一点E，连接BE将厶BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6 , CD=3，将ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1考点四勾股定理的卡车通过大门问例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以的半圆，其中AD = 2.3 m，AB = 2 m，现有一辆装满货物的大卡车，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由.题AB为直径高 2.5C考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10 cm,宽为4 cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合）并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF 与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1 ）:若图①中的△ DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。
问题（2 ）:如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是 ____________________ ；（用图中字母表示）问题（3）:如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆,请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积.考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD —AB , BC垂直AB ,垂足分别为A、B, AD=24 千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm •（结果保留n）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（A . 5cmB . 5.4cm C. 6.1cm D . 7cm/rXIzZ7考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：（1）（3，4，5）, （6，8，10）..... 3n,4n,5n （n 是正整数）⑵（5, 12, 13）, （7 , 24, 25）, （9 , 40, 41）……⑶（8 , 15, 17）, （12 , 35, 37）……⑷m2—n2,2mn,m2+ n2（m、n均是正整数，m>n）简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1. 一个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是（）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为102 •已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或253•下列各组数中，以a, b, c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5, b=2, c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6, b=8, c=10D、a=3,b=4,c=53•三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）A.等边三角形；B. 钝角三角形；C. 直角三角形；D. 锐角三角形•4、一个三角形的三边的长分别是3, 4, 5,则这个三角形最长边上的高是（）A. 4B. 10C.5D. 123 2 55.已知Rt△ ABC中，/ C=90，若a+b=14cm c=10cm 贝U Rt△ ABC的面积是（）2 2 2 2A、24cmB、36cmC、48cmD、60cm6.直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm,则它的面积为（）。
2 2 2 2A. 12cmB. 6cmC. 8 cmD. 9cm7.等腰三角形底边上的高为6,周长为36,则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、328.Rt△一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、90D、不能确定9 .已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。
A、600米B 、800米C 、1000米 D 、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1.下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（）A. 13、16、19 B . 17、21、23 C . 18、24、36 D . 12、35、372.有长度为9cm 12cm 15cm 36cm 39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个3 .在△ ABC中, AB=12cm BC=16cm AC=20cm 贝U S^BC为（）6.有下面的判断:2 2 2 ③ 若△ ABC 中, a -b 二c ,则厶ABC 是直角三角形2④ 若△ ABC 是直角三角形，贝U（a +b ）（a - b ）= c。
以上判断正确的有（ ） A. 4个 B . 3个9 .在△ ABC 中，女口 AB=2BC 且/ B=2/ 人，则厶 ABC >(A.锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 10 .如图是一个边长为 60cm 的立方体ABC —EFGH —只甲虫在菱 EF 上且距F 点10cm 的P 处, 它要爬到顶点D,需要爬行的最近距离是（ ）2A. 96cm B . 120 cm 2 2C. 160 cmD. 200 cm 24 •若线段a 、b 、c 能组成直角三角形, 则它们的比可以是（A. 1 : 2 : 4 B . 1 : 3 : 5 CD . 5 : 12 : 13 5 •若直角三角形的两直角边的长分别是 10cm 24cm 则斜边上的高为（17cm240 C . 13 cm D 12013 cm2 2①厶 ABC 中, a b则厶ABC 不是直角三角形 ② 厶ABC 是直角三角形，/ 2 2 2C=90°,贝U a b =c o7. Rt △ ABC 的两边长分别是 积是（） 3和4,若一个正方形的边长是厶ABC 的第三边,则这个正方形的面 A. 25 B . 7 C .12 D . 25 或 7 8.—个三角形的三边之比是 3 : 4 : 5,则这个三角形三边上的高之比是（A. 20 ： 15 ： 12 B . 3 : 4 : 5 C . 5 : 4 : 3D . 10 : 8 : 2 D .不能确定11 .D.不确定若厶ABC中，/ A=2Z B=3/ C,则此三角形的形状为（）A . 锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .无法确定12.如图，△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ BAC DEL AB于E,下面等式错误的是（）A.2 2 1 2 AC2+DC2=AD2B. AD2—DE2=AE2 C. AD2=DE2+AC2D BD_ B E=4BC。