导数运算公式的逆用
导数公式逆用中的函数构造
导数公式逆用中的函数构造在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在其中一点的变化率。
导数的计算通常使用导数公式，而逆用中的函数构造则是根据已知的导数来构造一个原函数。
在导数公式逆用中的函数构造中，我们可以利用已知的导数来求解原函数。
由于求导是一个线性运算，即导数函数具有加法和乘法性质，我们可以运用这些性质来构造原函数。
首先，我们考虑一些基本的导数公式，如常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
这些导数公式是我们构造原函数的基础。
1.常数函数的导数是0，即如果f(x)=C，其中C是一个常数，那么f'(x)=0。
因此，我们可以使用常数函数来构造原函数。
2. 幂函数的导数是幂次减一后乘以原函数的系数，即如果f(x) = Cx^n，其中C和n是常数，那么f'(x) = Cnx^(n-1)。
利用这个性质，我们可以通过已知的导数来构造原函数。
3.指数函数的导数是指数函数自身乘以原函数的系数，即如果f(x)=Ce^x，其中C是常数，那么f'(x)=Ce^x。
同样地，我们可以通过已知的导数构造指数函数的原函数。
4. 对数函数的导数是倒数函数除以原函数的系数，即如果f(x) = Cln(x)，其中C是常数，那么f'(x) = C/x。
我们可以运用这个性质来构造对数函数的原函数。
5. 三角函数的导数可以通过三角函数的定义公式和三角函数的相关性质来求解。
例如，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)，tan(x)的导数是sec^2(x)等。
通过对这些导数公式的熟悉，我们可以构造出原函数。
除了使用基本的导数公式之外，我们还可以运用导数的加法性质和乘法性质来构造原函数。
1.导数的加法性质：如果f(x)和g(x)分别是两个函数的导数，那么f(x)+g(x)是两个函数的和的导数。
通过这个性质，我们可以将已知的导数分解为几个已知导数的和，然后分别构造出原函数，最后求和即可。
求导公式的逆用
解：设 F(x)
g(x) ex
f
(
x) ex
1
则
F
'
(
x)
g'(x)ex g(x)ex e2x
0
F ( x)在R上单调递增
由
f (x) 2019 e x
1得
f
(
x) ex
1
2019
，又
F
(0)
f
(0) e0
1
2019
不等式为 F(x) F(0) x 0 不等式解集为(0, )
课堂练习
1.设函数 f (x) 的导函数为 f ' (x) ，且在 R 上 2 f (x) xf ' (x) 0 恒成立，则 f (1) ， 2019 f ( 2019) ，2020 f ( 2020) 的大小关系为 2. f (x) 是定义在 R 上的函数，其导数为 f ' (x) ，且满足 f ' (x) 2 f (x) ， 则有（ ） A. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) B。 e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) C. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) D. e4038 f (2019) f (0), f (2019) e4038 f (0) 3.设 f (x) 是定义在 R 上的函数，其导函数为 f ' (x) ，若 f (x) f ' (x) 1 ， 且 f (0) 2019则不等式 ex f (x) ex 2018 的解集为
F (x)在（- ，0）上单调递减，在（0， ）上单调递增
例谈导数运算法则的逆向应用
例谈导数运算法则的逆向应用————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：例谈导数运算法则的逆向应用-中学数学论文例谈导数运算法则的逆向应用江苏昆山中学陆增宏近年来，导数在高考中所处的位置越来越重要，导数的应用很广，而导数的运算是基础，这就要求学生必须熟练掌握导数四则运算法则。
逆向运用导数运算法则解题，不仅能使学生进一步巩固对运算法则的理解，而且还能培养学生的数学思维品质，提高学生的数学解题能力。
一、逆向运用乘法运算法则例1：设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为。
析：由f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，得[f（x）g（x）]′＞0令F（x）=f（x）g（x）。
则F（x）在（-∞，0）上是单调增函数又因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以F（x）是奇函数，所以F（-3）=-F（3）=0借助于F（x）的草图即得不等式f（x）g（x）＜0的解集为{x|x＜-3，或0＜x＜3}。
二、逆向运用除法运算法则三、逆向运用加减法运算法则例3：f（x）的定义域为R，f（-1）=-6，对于任意x∈R，导函数f′（x）＞2恒成立，则不等式f（x）＜2x-4的解集为析：由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x+4＜0令F（x）=f（x）-2x+4，则F′（x）=f′（x）-2＞0所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数又F（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0所以由f（x）＜2x-4得F（x）＜0，F（x）＜F（-1），x＜-1所以不等式（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
事实上，本题也可以这样考虑：由导函数f′（x）＞2恒成立，得f′（x）-2＞0，从而有[f（x）-2x]′＞0，令F（x）=f（x）-2x，则F′（x）＞0，所以F（x）在（-∞，+∞）上是增函数，又F（-1）=f（-1）-2×（-1）=-4，所以由f（x）＜2x-4，得f（x）-2x＜-4，即F（x）＜F（-1），所以x＜-1，不等式f（x）＜2x-4的解集为{x|x＜-1}。
导数反推原函数公式
导数反推原函数公式在这个过程中，我们首先需要理解导数和原函数的关系。
导数可以理解为一个函数的变化率，它告诉我们函数在每个点上的斜率（即切线的斜率），也就是函数变化的速度。
而原函数则是函数的积分，可以理解为对导数的逆运算。
对于一个函数f(x)来说，如果它在一些区间上存在原函数F(x)，那么F'(x)=f(x)。
也就是说，F'(x)就是f(x)的导数。
因此，导数反推原函数的公式就是根据这个关系而来的。
下面可以通过一个具体的例子来说明导数反推原函数的过程。
假设我们要求函数f(x)=x²的原函数。
我们可以首先确定f(x)的导数是多少，然后根据导数的定义反推原函数。
首先，对于f(x)=x²，我们可以直接使用求导法则得到它的导函数。
f'(x)=2x根据导数反推原函数的公式，我们需要反求F(x)，使得F'(x)=f(x)。
也就是要找到F(x)，使得F'(x)=2x。
我们可以根据求导的逆运算来进行求解。
对于导数为2x的函数F(x)，可以通过积分来得到它的原函数。
∫2x dx = x² + C其中C是一个常数，表示积分常数。
因为对于同一个函数而言，不同的原函数只相差一个常数项。
因此，我们可以将其简化为：F(x)=x²+C这就是原函数f(x)=x²的一个解，即F(x)=x²+C。
在这个过程中，我们通过求导的逆运算（即积分）反推出了f(x)的原函数。
通过这个简单的例子，我们可以看出导数反推原函数的过程。
具体而言，我们需要先确定函数的导数，然后通过求导的逆运算（即积分）来反推出原函数的表达式。
需要注意的是，积分过程中由于不知道原函数F(x)与常数项C之间的具体关系，因此我们需要加入一个常数项C，来表示任意的常数解。
对于更复杂的函数，我们同样可以使用导数反推原函数的方法来求解。
但是由于导数和原函数的关系比较复杂，这个过程可能会比较繁琐。
反向求导公式
反向求导公式反向求导是微积分中的一个重要概念，它是指在已知函数的导函数的情况下，求出原函数。
在求导过程中，我们经常使用一些常用的导函数公式，这些公式可以帮助我们求出原函数。
而在反向求导中，我们需要根据这些公式的逆过程，即反过来应用这些公式，从而求出原函数。
下面是一些常用的反向求导公式：1. 反向求导基本公式：- 公式1：求导前的函数是x的n次方函数，导数是nx^(n-1)。
那么反向求导时，如果函数的导数是nx^(n-1)，那么函数原本就是x的n次方函数。
- 公式2：求导前的函数是常数函数，导数是0。
那么反向求导时，如果函数的导数是0，那么函数原本就是常数函数。
2. 反向求导与数学运算的关系：- 公式3：求导前的函数是两个函数的和，导数是这两个函数的导数的和。
那么反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的和，那么函数原本就是两个函数的和。
- 公式4：求导前的函数是两个函数的乘积，导数是这两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数。
反向求导时，如果函数的导数是两个函数的导数的乘积再加上其中一个函数乘以另一个函数的导数，那么函数原本就是两个函数的乘积。
- 公式5：求导前的函数是两个函数的商，导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方。
反向求导时，如果函数的导数是这两个函数的导数的差再除以第二个函数的平方，那么函数原本就是两个函数的商。
3. 反向求导与复合函数的关系：- 公式6：如果已知函数f(x) = g(h(x))，那么反向求导时，可以使用链式法则，将导数f'(x)表示为g'(h(x)) * h'(x)。
这些公式是反向求导的基本工具，通过这些公式可以帮助我们求出原函数。
在实际应用中，我们常常根据具体的函数形式和导数的特点，灵活运用这些公式来求解问题。
总结起来，反向求导就是通过已知导数求出原函数的过程。
通过应用一些常用的反向求导公式，我们可以更加方便地求解原函数。
逆用求导数公式解题
逆用求导公式构造新函数，确定构造出新函数的性质常见的构造函数方法有如下几种： (1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f '＋)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； ②对于不等式)(x f '－)(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式)(x f '>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式)(x f 'g (x )＋f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式)(x f 'g (x )－f (x ))(x g '>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)．(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式x )(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式x )(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x (x ≠0)；③对于不等式x )(x f '＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式x )(x f '－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)；⑤对于不等式)(x f '＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式)(x f '－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x ；⑦对于不等式)(x f '＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑧对于不等式)(x f '－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；⑨对于不等式f (x )＋)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑩对于不等式f (x )－)(x f 'tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑪对于不等式)(x f '－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑫对于不等式)(x f '＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．1．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b << 解：构造()()F x xf x =，且()F x 为偶函数，()()()F x xf x f x ''=+，由()()()()()000f x xf x f x F x f x xxx''+'+>⇒>⇒>，∴0x >，()0F x '>，函数()F x 在()0,+∞单调递增，12a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()22b F F =-=，()1ln ln 22c F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a c b << 2．已知()'f x 是函数()()0f x x R x ∈≠且的导函数，当0x >时 ，()()'0xf x f x -<成立，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 构造()()f x F x x=,()()()20xf x f x F x x'-'=<,()F x ∴单调递减，()0.22a F =，()20.2b F =，()2log 5c F =，c a b <<，选C3.定义在上R上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，xx f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：构造221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，由)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴x x -≤1，即21≤x优解：根据经验判断，所解的不等式一定是)1()(x g x g ->，这样就不需要复杂的变形结合)(x g 的单调性快速得出答案。
利用求导法则构造函数
利用求导法则构造函数近年高考试卷中常出现一种客观题，考查导数运算法则的逆用、变形应用能力。
这种题目的背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)”等特征式，旨在考查学生对导数运算法则的掌握程度。
解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题。
本文结合实例介绍此类问题的几种常见形式及相应解法。
常用的构造函数有：1.和与积联系：如f(x)+xf'(x)，构造xf(x)；2xf(x)+x^2f'(x)，构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，同样构造x^2f(x)；3f(x)+xf'(x)，构造x^3f(x)；………；nf(x)+xf'(x)，构造x^n f(x)；f'(x)+f(x)，构造e^xf(x)等等。
2.减法与商联系：如xf'(x)-f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x；x^2f'(x)-2f(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^2；xf'(x)-nf(x)>0，构造F(x)=f(x)/x^n；f'(x)-f(x)，构造F(x)=f(x)/e^x；2xe^xf'(x)-2f(x)，构造F(x)=f(x)/(2xe^x)等等。
在构造函数时，有时候不唯一，关键是要合理构造函数。
给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。
一种常见形式是巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数。
当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f'(x)±g'(x)”时，不妨联想、逆用“f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]'”，构造可导函数y=f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题。
导数与微分互为逆运算
导数与微分互为逆运算
在高等数学中，微积分和求导数是一对相关联的基本概念。
求导
数指的是求函数在某一点处的斜率，即在此点处函数变化速率；而微
积分则是用几何或者分析方法去研究函数的变化规律。
它们之间有着
密切的关系。
微分和导数可以互相转换，也就是说，可以用求导数的方法求出
微分，也可以利用微分的公式求出导数，而且微分和导数互为逆运算，可以彼此抵消。
我们可以用实际例子来解释，如果现在有一个函数
y=f(x)，此时这个函数的一阶导数是多少，用微分运算即可求出导数，做法是：在函数中，把f(x)按x进行展开变化，然后把相应的函数项
积分，最后得到f(x)的微分。
由此可见，微分和导数依存于同一个基
础函数当中，所以彼此之间可以互抵消，即完成了微分和导数的互为
逆运算。
另一方面，微分和导数的关系还体现在对称性上。
假设现在有一
个函数，当把函数的自变量变为原来的相反数时，函数中的峰和谷就
会发生变化。
我们在这种情况下，利用微分和求导数，可以把原函数
中新变得的峰和谷还原回去，这也证明了，微分和求导数互为逆运算。
总之，求导数和微分是高等数学的基本概念，它们之间有着密切
的关系，可以完成互相转换，进而互为逆运算，使得通过求导数或者
微分，可以研究函数在某一点处的斜率，并且能够分析函数变化规律。
导数和积分公式
导数和积分公式导数和积分是微积分的两个重要概念，在数学中起着至关重要的作用。
它们不仅仅是理论上的概念，更是实际问题求解中不可或缺的工具。
本文旨在以生动、全面、有指导意义的方式介绍导数和积分的公式及其应用。
一、导数的公式及应用：导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点的瞬时变化速率。
它有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在某一点x=a的导数记作 f'(a)，也可以用 dy/dx 或 df(x)/dx 表示。
2. 导数的表达式为f'(x) = lim (x→a) (f(x) - f(a))/(x -a)。
3. 常见函数的导数公式：① 若 f(x) = ax^n （a为常数，n为正整数），则 f'(x) = anx^(n-1)。
② 若 f(x) = e^x，则 f'(x) = e^x。
③ 若 f(x) = sinx，则 f'(x) = cosx。
④ 若 f(x) = cosx，则 f'(x) = -sinx。
⑤ 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
导数的应用非常广泛，例如：1. 求函数的最大值和最小值：在函数的导数为零或不存在的点处，可能存在极值点。
2. 描述物体运动：导数可以反映物体的速度和加速度，常用于描述运动物体的位置、速度和加速度之间的关系。
3. 经济学中的边际分析：导数可以用于分析经济中的边际成本、边际收益等问题。
二、积分的公式及应用：积分是导数的逆运算，表示函数区间上的累积变化量。
它也有几种常见的表达方式：1. 函数f(x)在区间[a, b]上的积分记作∫(a to b) f(x)dx。
2. 不定积分的表达式为∫f(x)dx + C，其中C为常数。
3. 常见函数的积分公式：① 若 f(x) = x^n （n不等于-1），则∫f(x)dx = (1/(n +1))x^(n + 1)。
② 若 f(x) = e^x，则∫f(x)dx = e^x。
导数运算逆构造
f ′( x) − nf ( x)
f ( x) ′ f ′( x) − nf ( x)
构造
enx
=
enx
f ′( x) + 2xf ( x)
构造 e= x2 f ( x)′ ex2 f ′( x) + 2xf ( x)
( ) f ′( x) + f ( x) ⋅ g ( x) ， 构造 f ( x) ⋅ eg(x) ′ = ( f ′( x) + f ( x) ⋅ g ( x))eg(x) ，
x
设 F= ( x) f ( x) − ln x ，则 F= ′( x) f ′( x) − 1 ，
x
所以当 x > 0 时， F′( x) < 0 ， F ( x) 在 (0, +∞) 上为减函数，
f (2x −1) > ln (2x −1) +1 ，则 f (2x −1) − ln (2x −1) > 1 =1 − ln1，即 F (2x −1) > F (1) ，
= 构造 cos2 x = cos3 x
cos2 x
3. 单调性的应用 （1）比较函数值大小 （2）解不等式 （3）求函数的最值及函数取值范围
4.
3
越努力，越幸运！
二、典型例题
猿辅导癞蛤蟆阿呆有收获的学数学
【题型 1 f ( x) ± g ( x)′ =f ′( x) ± g′( x) 】
例1. （1）设 f ( x), g ( x) 在 [a,b] 上连续，在区间 (a,b) 上可导，且满足 f ′( x) < g′( x) ，则当 a < x < b 时，
又 f ( x) > 2x + 4 ，等价于 f ( x) − 2x − 4 > 0 ．
利用导数运算法则构造函数含详解
利用导数运算法则构造函数✬导数的常见构造类型1. 对于()()x g x f ''>，可构造()()()x g x f x h -=注：遇到()()0'≠>a a x f 导函数大于某种非零常数（若0=a 则无需构造），则可构造()()ax x f x h -=2. 对于()()0''>+x g x f ，可构造()()()x g x f x h +=3. 对于()()0'>+x f x f ，可构造()()x f e x h x =4. 对于()()x f x f >'（或()()0'>-x f x f ），可构造()()xex f x h = 5. 对于()()0'>+x f x xf ，可构造()()x xf x h = 6. 对于()()0'>-x f x xf ，可构造()()x x f x h =7. 对于()()x nf x f +'形式，可构造()()x f e x F nx = 8. 对于()()x nf x f -'形式，可构造()()nx ex f x F =✬典型例题：类型1：和差导数公式逆用： 例1. 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+解：构造)()()(x g x f x F -=，0)()()(>'-'='x g x f x F ， )(x F 为增函数，)()()(b F x F a F << )()()()()()(b g b f x g x f a g a f -<-<-， ∴()()()()f x g b g x f b +>+，选D 类型2，积的导数公式逆用：例 2.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由()()f x xf x x '+<，0x <得： [()]0xf x x '<<，令()()F x xf x =，则当0x <时，()0F x '<， 即()F x 在(,0)-∞是减函数，(2014)+=F x (2014)(2014)x f x ++ ，(2)(2)(2)F f -=--，由题意：(2014)F x +＞(2)F -又()F x 在(,0)-∞是减函数，∴20142x +<-，即2016x <-，故选C类型3，商的导数公式逆用：当出现导数差的形式是，可以考虑商的导数 例3．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 当0x >时，有2()()0xf x f x x'->成立，则不等式0)(>x f 的解集是 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞解：由当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立, 知函数x x f x F )()(=的导函数0)()()(2>-'='x x f x f x x F 在),0(+∞上恒成立, 所以函数xx f x F )()(=在),0(+∞上是增函数,又因为函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以函数xx f x F )()(=是定义域上的偶函数,且由0)1(=f 得0)1()1(==-F F ,由此可得函数xx f x F )()(=的大致图象为:由图可知不等式0)(>x f 的解集是),1()0,1(+∞⋃-. 故选A.例4．若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定 【答案】C解：构造函数x ex f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ； 即函数)(x g 在R 上为增函数， 则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 类型4，构造组合函数形式例 5. 定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，x x f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(， 可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴x x -≤1，即21≤x ✬好题训练 一、单选题1．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()102f x f x '+>，且有()112f =，则()122x f x e->的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．()2,+∞2．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．(,0)(0,)-∞+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(0,)+∞D ．(3,)+∞3．已知函数()f x 是(0,)+∞上的可导函数，且()()0f x f x x'+>，则（ ） A ．(3)(2)f f > B ．(3)(2)f f < C ．3(3)2(2)f f >D ．3(3)2(2)f f <4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有()()2xf x e f x -=，当0x >时()()0f x f x '+<，若()()211211a a e f a e f a -+-≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．(][),12,-∞-⋃+∞C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]1,2-5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若()()f x f x '<，且()2f x +是偶函数，()20174f =，则不等式()40xef x e ->的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．(),e -∞C ．()0,+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2021e (2021)(0)f f -<，2021(2021)e (0)f f < B ．2021e (2021)(0)f f -<，2021(2021)e (0)f f >C ．2021e (2021)(0)f f ->，2021(2021)e (0)f f >D ．2021e (2021)(0)f f ->，2021(2021)e (0)f f <7．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意的x R ∈，都有()()1f x f x '->．且()2022f x -为奇函数，则不等式()2021e 1x f x ->的解集为（ ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞8．函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意R x ∈，()()1f x f x +'>，则不等式()e e 1x xf x >+⋅的解集为（ ）A ．{} |0x x >B ．{}|0x x <C ．{|1x x <-或}1x >D ．{|1x x <-或}01x <<9．已知函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()13f x '<，则()233x f x <+的解集为（ ） A ．{}1x x <-B ．{1x x <-或}1x >C ．{}1x x >D ．{}0x x <10．定义在R 上的奇函数()f x 的图象光滑连续不断，其导函数为()f x '，对任意正实数x 恒有()()2xf x f x >-'，若()()2g x x f x =，则不等式()()23log 110g x g ⎡⎤-+-<⎣⎦的解集是（ ）A ．()0,2B ．()2,2-C ．()3,2-D ．()()2,11,2--⋃11．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，(ln 2)(ln 2)b f =⋅，2211loglog 88c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>12．已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,,2332ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭13．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，有22()()f x xf x x +'>，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)0f =，当0x ≠时，2()()f x f x x '>，则不等式()0f x <的解集为（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(2,0)(2,)-+∞ C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,0)(0,2)-15．已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 16．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(),2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<18．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（ ） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞D ．()2,+∞19．已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e=，则()f x >）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞20．已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，满足：()(1)()0x x e f x e f x ++'>，且1(1)2f =，则不等式1()2(1)x e f x e +>+的解集为（ ） A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．(),1-∞-D ．()1,+∞21．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1x f f x '+>，()()6f x f x ''=-，()31f =，()65f =，则不等式()ln 210f x x ++<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()0,3C ．()1,3D ．()3,622．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,3)D ．(3,6)23．已知函数()y f x =对于任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B 34f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()023f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭24．已知定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()tan ()0f x x f x '+⋅>，则（ ）A 063ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 063ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 064ππ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 046ππ⎛⎫⎛⎫-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25．已知在定义在R 上的函数()f x 满足()()62sin 0f x f x x x ---+=，且0x ≥时，()3cos f x x '≥-恒成立，则不等式()π3ππ6224f x f x x x ⎛⎫⎛⎫≥--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ） A ．π0,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭26．已知函数()y f x =对任意的(0,)x π∈满足()cos ()sin f x x f x x '>（其中()f x '为函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 63f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，'()()ln 20f x f x +<，则下列不等关系成立的是（ ） A ．2(1)(0)f f > B ．2(2)(1)f f > C ．2(0)(1)f f >-D ．()23log 32(1)f f <28．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭）A ．()6063e,+∞ B ．()20220,eC ．()8088e,+∞ D ．()80880,e29．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()0f x xf x '+>恒成立，若()0.30.322a f =，()()log 2log 2b f ππ=，2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>30．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(,2019)-∞- B ．(2023,2019)-- C ．(2023)-∞-, D ．(2019,0)-二、多选题31．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,+∞32．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，对于任意,()0x ∈+∞，都有()ln ()0x xf x f x '+>，则使不等式1()ln 1f x x x+>成立的x 的值可以为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．333．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2(32)()x x f x x f x '+<+恒成立，则必有（ ） A ．(3)20(1)f f >B ．(2)6(1)f f <C ．13(1)162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．(3)3(2)f f <34．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x <<-′对()0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．()()1f f ππ< B ．()()1f f ππ> C ．()()21142f f <+ D ．()()21142f f +< 35．已知函数()f x 的定义域、值域都是()0,∞+，且满足()()12f x f x '<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若()1e f =，则()322e f > B ．()()23f f <C ．()()3224f f >D ．181176e 43f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、双空题36．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()1f x f x '>-，()06f =，则函数()()5x xg x e f x e =--在R 上单调递_______（填“增”或“减”)；不等式()5x xe f x e >+(其中e 为自然对数的底数）的解集是_______.37．设()f x '是奇函数()f x 的导函数，()23f -=-，且对任意x ∈R 都有()2f x '<，则()2f =_________，使得()e 2e 1x xf <-成立的x 的取值范围是_________．四、填空题38．已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x +'>其中()f x '是()f x 的导函数，设()0a f =，()2ln2b f =，()e 1c f =，,,a b c 的大小关系是________．39．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()xf x f x '<，若(ln 4)(3)(1),,ln 43f f a f b c ===，则,,a b c 的大小关系为_________． 40．已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，则不等式()210x f f x x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为___________. 41．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是___________. 42．若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3x f x e >的解集为________________．43．若()f x 是定义在R 上函数，且(2)y f x =-的图形关于直线2x =对称，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(3)0f -=，则不等式()0f x >的解集为___________.答案第1页，共24页参考答案1．B 【分析】构造函数()()2xF x f x e =⋅，利用导数，结合已知条件判断()F x 的单调性，由此化简不等式()122xf x e ->并求得其解集. 【详解】设()()2x F x f x e =⋅，则()()()()()222110 22x x xF x f x e f x e e f x f x ⎡⎤'''=⋅+⋅=+>⎢⎥⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()112f =，所以()()11221112F f e e =⋅=．又()122xf x e->等价于()12212x f x e e ⋅>，即()()1F x F >，所以1x >，即所求不等式的解集为()1,+∞． 故选：B 2．C 【分析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，求导结合题干条件可证明()g x 在R 上单调递增，又(0)0g =，故()0(0)0g x g x >=⇒>，即得解 【详解】令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+-> 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0(0)0g x g x >=⇒>， 即不等式的解集是(0,)+∞ 故选：C 3．C 【分析】由已知构造函数()()g x xf x =，求导，由导函数的符号得出所令函数的单调性，从而可得选项. 【详解】 解：因为()()0f x f x x'+>，所以当0x >时，有()()0xf x f x '+>， 令()()g x xf x =，则当0x >时，()'()()>0g x xf x f x '=+，所以()g x 在()0+∞，上单调递增，所以()()3>2g g ，即3(3)2(2)f f >， 故选：C. 4．C 【分析】令()()x g x e f x =，由已知得()()xg x e f x =在区间()0,∞+单调递减， ()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，由此可将不等式等价转化为211a a -≥+，求解即可. 【详解】解：令()()x g x e f x =，则当0x >时，()()()0x g x e f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，所以()()x g x e f x =在区间()0,∞+单调递减，又()()()()()()2x x x xg x e f x e e f x e f x g x ---=-===，所以()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，又()()211211a a ef a e f a -+-≤+，即()()211g a g a -≤+，所以211a a -≥+，即()()22211a a -≥+，得0a ≤或2a ≥， 故选：C. 5．A 【分析】由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()2f x +是偶函数可得()f x 是周期为4的周期函数，令()()x f x g x e=，然后利用()g x 的单调性可解出不等式. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()2f x +是偶函数， 所以()()()4f x f x f x +=-=，即()f x 是周期为4的周期函数， 所以()()201714f f ==， 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，因为()()f x f x '<，所以()0g x '<， 所以()g x 在R 上单调递减，由()40xef x e ->可得()4x f x ee>，即()()41g x g e>=，所以1x <，故选：A. 6．B 【分析】 令()()e xf xg x =，x ∈R 并求导函数，根据已知可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】令()()e x f x g x =，x ∈R ，则()()()e xf x f xg x ''-=，x R ∀∈，均有()()f x f x '<，()g x ∴在R 上单调递增，(2021)(0)(2021)g g g ∴-<<，可得：2021e (2021)(0)f f -<，2021(2021)e (0)f f >．故选：B. 7．A 【分析】根据题意构造()()1e xf x F x -=，结合已知条件，讨论其单调性，再将不等式()2021e 1x f x ->转化为()F x 的不等式，即可利用单调性求解.【详解】根据题意，构造()()1exf x F x -=，则()()1xf x F x e =+，且''()()1()0exf x f x F x -+=<，故()F x 在R 上单调递减； 又()2022f x -为R 上的奇函数，故可得()020220f -=，即()02022f =，则()02021F =.则不等式()2021e 1x f x ->等价于()()20210F x F >=， 又因为()F x 是R 上的单调减函数，故解得0x <. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数的单调性以及利用函数单调性求解不等式；本题中，根据()()1f x f x '->以及题意，构造()()1e xf x F x -=是解决问题的关键，属中等偏上题. 8．A 【分析】构造函数()()e e x xg x f x =⋅-，结合已知条件可得()0g x '>恒成立，可得()g x 为R 上的减函数，再由()01g =，从而将不等式转换为()()0g x g >，根据单调性即可求解. 【详解】构造函数()()e e x xg x f x =⋅-，因为()()()e e e x x xx f x f x g '=⋅+-'⋅()()e e e e 0x x x x f x f x +--=⎡⎤⎣⎦='>，所以()()e e x xg x f x =⋅-为R 上的增函数．又因为()()000e 0e 1g f -⋅==，所以原不等式转化为()e e 1x xf x ->，即()()0g x g >，解得0x >.所以原不等式的解集为{}|0x x >， 故选：A. 9．C 【分析】构造函数()()233x g x f x =--，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论. 【详解】解：设()()233x g x f x =--，则函数()g x 的导函数()()13g x f x ''=-，f x 的导函数()13f x '<，()()103g x f x ''∴=-<，则函数()g x 单调递减，()11f =，()()1211033g f ∴=--=，则不等式()233x f x <+，等价为()0g x <， 即()()1g x g <， 则1x >，即()233x f x <+的解集为{}1x x >， 故选：C. 10．D 【分析】分析函数()g x 的奇偶性，利用导数分析函数()g x 在R 上的单调性，将所求不等式变形为()()23log 11g x g ⎡⎤-<⎣⎦，可得出()23log 11x -<，解此不等式即可. 【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，则()()2g x x f x =的定义域为R ，且()()()()22g x x f x x f x g x -=-=-=-，所以，函数()g x 为奇函数，且()00g =，对任意正实数x 恒有()()()22xf x f x f x >-=-'，即()()20xf x f x '+>，则()()()()()2220g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，故函数()g x 在(),0∞-上也为增函数， 因为函数()g x 在R 上连续，故函数()g x 在R 上为增函数，由()()23log 110g x g ⎡⎤-+-<⎣⎦得()()()23log 111g x g g ⎡⎤-<--=⎣⎦，所以，()23log 11x -<，故有2013x <-<，解得21x -<<-或12x <<.故选：D. 11．D 【分析】构造函数()()g x x f x =⋅，利用奇函数的定义得函数()g x 是偶函数，再利用导数研究函数的单调性，结合0.621ln 212log 8<-<<，再利用单调性比较大小得结论. 【详解】解：因为函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x =--，且在R 上是连续函数，所以函数()f x 是奇函数，不妨令()()g x x f x =⋅，则()()()()g x x f x x f x g x -=-⋅-=⋅=，所以()g x 是偶函数， 则''()()()g x f x x f x =+⋅，因为当(,0)x ∈-∞时，()'()0f x xf x +<成立， 所以()g x 在(,0)x ∈-∞上单调递减，又因为()g x 在R 上是连续函数，且是偶函数，所以()g x 在()0+∞，上单调递增， 则()0.62a g =，(ln 2)b g =，2211loglog 88c g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0.621>，0ln 21<<，()21log 33>08-=--=，所以0.621ln 212log 8<-<<，所以c a b >>，故选：D. 12．A 【分析】 先构造函数()()cos f x g x x=，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式. 【详解】因为偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()cos f x g x x=，则()()()()cos cos f x f x g x x x--==-，即()g x 也是偶函数.当02x π<<时，根据题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xg x x'+'=<，则()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，而函数为偶函数，则()g x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.于是，()()3()2cos 3cos 3cos 3f f x f x f xg x g x ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭<⇔<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,,233222x x x πππππππ⎧>⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒∈--⋃⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-<<⎪⎩. 故选：A. 13．A 【分析】利用22(()0)f xf x x x '>+≥，构造出()()2g x x f x =，会得到()g x 在R 上单调递增，再将待解不等式的形式变成和()g x 相关的形式即可. 【详解】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上奇函数对()g x 求导，得[]()2()()g x f x x x xf '=+'，而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增 不等式()()()22018+2018420x f x f ++-<()()()22018+201842x f x f +<--，又()f x 是奇函数，则()()()22018+201842x f x f +<，即()()20182g x g +<所以20182x +<，解得2016x <-，即(,2016)x ∈-∞-. 故选：A. 14．A 【分析】根据题意，构造出函数()()2f x g x x=，则()0()0f x g x <⇔<，进而结合题意求得答案.【详解】设()()2f x g x x=，则()0()0f x g x <⇔<，()()()()()24322f x x xf x xf x f x g x x x ''⋅--'==，若x >0，由2()()()2()0f x f x xf x f x x ''>⇒->，则()0g x '>，即()()2f x g x x =在()0,∞+上单调递增.因为()f x 是R 上的奇函数，(2)0f =，容易判断，()()2f x g x x =在R 上是奇函数，且(2)0=g ，则函数()g x 在(),0-∞上单调递增，且(2)0g -=，所以()0<g x 的解集为：(,2)(0,2)-∞-⋃.于是()0f x <的解集为：(,2)(0,2)-∞-⋃. 故选：A. 15．D 【分析】 令()()g x lnxf x =对函数求导可得到函数()g x 单调递减，再结合()10g =，和()f x 的奇偶性，通过分析得到当0x >，()0f x <，0x <，()0f x >，故不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩，求解即可.【详解】 令()()g x lnxf x =，则1()()()0g x f x lnx f x x'=+'<， 故函数()g x 单调递减，定义域为()0,∞+，g （1）0=，01x ∴<<时，()0>g x ；1x <时，()0<g x ．01x <<时，0lnx <；1x >时，0lnx >．∴当0x >，1x ≠时，()0f x <，又f（1）0<．∴当0x >，()0f x <，又()f x 为奇函数， ∴当0x <，()0f x >．不等式(1)()0x f x -⋅<等价于()10x f x >⎧⎨<⎩或()10x f x <⎧⎨>⎩解得1x >或者0x < 故答案为：D.【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案. 【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---， 记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数， 又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---， 即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a， 故选：D. 17．B 【分析】 根据()()0f x f x x'+<构造函数()()g x xf x =，利用函数()g x 的奇偶性、单调性比较大小． 【详解】解：令函数()()g x xf x =，因为定义域为R 的()y f x =是奇函数，所以函数()g x 为偶函数；()()()g x f x xf x ''=+，当0x >时，因为()()0f x f x x '+<，所以()()0xf x f x x'+<，所以()()0xf x f x '+<，即()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上为减函数，()()()()222111(),2(2)22,ln (ln )ln ln 3ln 3333333a f g b f g g c f g g g ⎛⎫⎛⎫===--=-====-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为2ln 323<<，所以()()2ln 323g g g ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即a c b >>.18．A 【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数法结合条件，得到()g x 在R 上单调递减,利用单调性可得答案. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A 19．D 【分析】构造函数2()e ()x g x f x =，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于()g x 的不等式，再利用单调性得解集． 【详解】设2()e ()x g x f x =，则221()e ()()2x x g x f x e f x ''=+，因为1()()02f x f x '+>，所以()0g x '>，所以()g x 是R 上的增函数，(2)e (2)1g f ==，不等式()f x >2e ()1xf x >，即()(2)g x g >，所以2x >， 故选：D ． 20．D 【分析】构造函数()()1()xg x e f x =+，利用导数求得()g x 的单调性，由此求得不等式1()2(1)x e f x e +>+的解集. 【详解】令()()1()x g x e f x =+，则()()()1()0x xg x e f x e f x =+'+>'，所以()g x 在R 上单调递增，不等式()1()21x e f x e +>+可化为()11()2x e e f x ++>， 而1(1)2f =，则1(1)(1)(1)2e g ef +=+=，即()()1g x g >， 所以1x >，即不等式解集为(1,)+∞. 故选：D 21．A 【分析】 构造函数()1(),xf xg x e+=得到()g x 也是R 上的单调递增函数.，分析得到函数()f x 关于点(3,1)对称.由()ln 210f x x ++<得到(ln )(0)g x g <，即得解. 【详解】 构造函数()1()()1(),()0x xf x f x f xg x g x e e '+--'==>， 所以()g x 也是R 上的单调递增函数.因为()()6f x f x ''=-，所以()'f x 关于直线3x =对称，所以12()(6),()(6)f x dx f x dx f x c f x c ''=-∴+=--+⎰⎰，（12,c c 为常数），21()(6)f x f x c c ∴+-=-，令3x =，所以21212(3),(3)2c c f c c f -=-∴=. 因为()31f =，所以212,c c -=所以()(6)2f x f x +-=，所以函数()f x 关于点(3,1)对称. 由(3)1,(6)5f f ==得到(0)3f =-，因为()()ln ln 210ln 122x f x x f x x e ++<∴+<-=-，， 所以()ln ln 12xf x e +<-， 所以031(ln )2(0)g x g e -+<-==， 所以(ln )(0)g x g <， 所以ln 0,01x x <∴<<. 故选：A22．A 【分析】 令()()1xf xg x e +=，根据因为()()1f x f x '>+，得到()0g x '>，得出函数()g x 为R 上的单调递增函数，由题设条件，令0x =，求得()02g =-，把不等式转化为()()0g x g <，结合单调性，即可求解. 【详解】令()()1x f x g x e +=，可得()()()()11x xf x f x f xg x e e ''+--⎛⎫'== ⎪⎝⎭， 因为()()1f x f x '>+，可得()()10f x f x '-->，所以()0g x '>，所以函数()g x 为R 上的单调递增函数， 由不等式()210x f x e ++<，可得()12x f x e +<-， 所以()12xf x e +<-，即()2g x <- 因为()(6)2f x f x +-=，令0x =，可得(0)(6)2f f +=，又因为(6)5f =，可得(0)3f =-，所以()()00102f g e+==- 所以不等式等价于()()0g x g <，由函数()g x 为R 上的单调递增函数，所以0x <，即不等式的解集为(,0)-∞. 故选：A. 23．C 【分析】 可构造函数()()cos f x g x x=，由已知可证()g x 在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭单增，再分别代值检验选项合理性即可 【详解】 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin 0cos f x x f g x x xx'+='>，则()g x 在,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭单增， 对A ，()04cos0cos 4f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，化简得()04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故A 错；对B ，34cos cos 34f f ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错； 对C ，43cos cos 43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ，()03cos0cos 3f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭<⎛⎫⎪⎝⎭，化简得()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 错， 故选：C 24．B 【分析】 令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到()g x 是奇函数，单调递增，再利用函数的单调性和奇偶性分析判断得解. 【详解】因为()tan ()0f x x f x '+⋅>，所以()sin ()0,cos xf x f x x'+⋅> cos ()sin ()0x f x x f x '∴⋅+⋅>，令()()cos f x g x x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()2cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x'⋅+⋅'=>， 所以()g x 单调递增， 所以()()()()cos()cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为奇函数，(0)0g =，所以6430cos cos cos643f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<<<，即0643πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A ，C 错误；63ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以063ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()f x 为奇函数，所以063ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；64ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭064ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为()f x 为奇函数，所以046ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 错误． 故选：B 25．B 【分析】结合已知不等式，构造新函数()()3sin g x f x x x =-+，结合单调性及奇偶性，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，当0x ≥时，()3cos f x x '≥-恒成立，即()3cos 0f x x '-+≥恒成立， 又由()()62sin 0f x f x x x ---+=，可得()3sin ()3sin f x x x f x x x -+=-+-， 令()()3sin g x f x x x =-+，可得()()g x g x -=-，则函数()g x 为偶函数， 且当0x ≥时，()g x 单调递增，结合偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，由()36224f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫≥--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得到()3sin 3()sin()222f x x x f x x x πππ⎛⎫-+≥---+- ⎪⎝⎭，即()()2g x g x π≥-，所以2x x π≥-，解得4x π≥，即不等式的解集为,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：B. 26．D 【分析】令()()cos g x f x x =，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可． 【详解】解：令()()cos g x f x x =，(0,)x π∈ 故()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=->，故()g x 在(0,)π递增，所以()()36g g ππ>，可得1()()236f f ππ63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确；故选：D ． 27．D 【分析】根据题意构造函数()()2x h x f x =，利用导数研究函数的单调性，根据单调性结合2log 31>即可求解.【详解】设()()2x h x f x =，则()()()()()22ln 22ln 2xx x h x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，又()()ln 20f x f x '+<，20x >，所以()0h x '<，所以()h x 在(),-∞+∞上单调递减，由10>可得2(1)(0)f f >，故A 错； 由21>可得22(2)2(1)f f <，即2(2)(1)f f <，故B 错； 由01>-可得012(0)2(1)f f -<-，即2(0)(1)f f <-，故C 错； 因为2log 31>，所以()()2log 31h h <，得()()23log 321f f <，故D 正确. 故选：D 28．D 【分析】 由题设()()xf x F x e =，由已知得函数()F x 在R 上单调递增，且1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，根据函数的单调性建立不等式可得选项. 【详解】 由题可设()()ex f x F x =，因为()()0f x f x '->， 则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ．故选：D. 29．C 【分析】设()()g x xf x =，由奇偶性定义知()g x 为偶函数，结合导数和偶函数性质可确定()g x 在()0,∞+上单调递减，由指数和对数函数单调性可确定0.32log 42log 20π>>>，结合偶函数性质和单调性可得()()0.321log 22log4g g g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，由此可得大小关系. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为定义在R 上的偶函数； 当(),0x ∈-∞时，()()()0g x f x xf x ''=+>，()g x ∴在(),0-∞上单调递增， 由偶函数性质可知：()g x 在()0,∞+上单调递减，0.32log 4221log 20π=>>>>，()()()0.32log 22log 4g g g π∴>>，又()()2221log 4log 4log 4g g g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()0.321log 22log4g g g π⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭， 即b a c >>. 故选：C. 30．A 【分析】构造函数2()()g x x f x =，然后结合已知可判断()g x 的单调性及奇偶性，从而可求． 【详解】解：设2()()g x x f x =，由()f x 为奇函数，可得22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-， 故()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，202()()f x xf x x '>>+，()[2()()]0g x x f x xf x ''∴=+>，()g x 单调递增，根据奇函数的对称性可知，()g x 在R 上单调递增， 则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<可转化为()2(2021)(2021)4(2)42x f x f f ++<--=，即()()20212g x g +<，20212x ∴+<即2019x <-，即(),2019x ∈-∞-．故选：A 31．AB 【分析】首先根据已知条件构造函数()()f xg x x=，利用其导数得到()g x 的单调性，然后结合()f x 奇函数，将不等式()0f x >转化为()·0x g x >求解. 【详解】解：设()()f xg x x=， 则()()()2''xf x f x g x x -=，当0x >时总有()()'xf x f x <成立， 即当0x >时， ()'g x <0恒成立，∴当0x >时，函数()()f xg x x =为减函数， 又()()()()f x f x g x g x xx---===--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，又()()1101f g --==-，所以不等式()0f x >等价于()·0x g x >， 即()00x g x >⎧⎨>⎩或()0x g x <⎧⎨<⎩， 即01x <<或1x <-，所以()0f x > 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃． 故选：AB ． 32．CD 【分析】构造函数1()()ln 1g x f x x x=+-，由导数确定其单调性，再由单调性解不等式，确定正确选项． 【详解】令1()()ln 1g x f x x x=+-，所以()2()1()ln f x g x f x x x x''=++， 因为()ln ()0xf x x f x x'+>，210x >，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，可得()0>g x 的解集为(1,)+∞. 故选：CD. 33．BD 【分析】首先根据条件构造函数()()32f x g x x x=+，0x >，根据()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<得到()g x 在()0,∞+上单调递减，从而得到()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，再化简即可得到答案. 【详解】由()()()()232x x f x x f x +'+<及0x >，得()()()()32232x x f x x x f x +'+<.设函数()()32f xg x x x =+，0x >， 则()()()()()()322232320f x x x f x x x g x xx+-'+'+=<， 所以()g x 在()0,∞+上单调递减，从而()()()11232g g g g ⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，即()()()112323212368f f f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>>>，所以()()3181f f <，()()261f f <，()131162f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()()332f f <.故选：BD 34．AD 【分析】。
求导公式的逆用范文
求导公式的逆用范文求导公式的逆用指的是如何根据函数的导数，来推导出函数本身。
在微积分中，这个过程被称为积分，即求导的逆运算。
求导公式的逆用是微积分中一个重要的内容，它使得我们能够通过函数的导数来还原出函数本身。
本文将介绍求导公式的逆用的基本思想和方法。
求导公式的逆用可以分为两个部分：不定积分和定积分。
不定积分可以用来找到函数的原函数，也可以看作是求导的逆运算。
定积分则可以用来计算函数在一些区间上的面积。
这两个部分在求导公式的逆用中是相互关联的，具有重要的意义。
一、不定积分不定积分是求导的逆运算。
如果函数F(x)在区间[a, b]上的导函数是f(x)，即F'(x)=f(x)，那么F(x)就是f(x)在[a, b]上的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。
不定积分的结果是一个函数，表示在一些变量上积分得到的函数。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以求它的不定积分。
根据求导的逆运算，应该找到一个函数F(x)，使得F'(x)=x^2、根据指数幂的求导规则，可以得到F(x)=(1/3)x^3+C，其中C为常数。
因此，∫x^2dx=(1/3)x^3+C。
不定积分的具体计算方法是先找到函数F(x)，然后在F(x)后面加上一个常数C。
这里的常数C是为了表示在不同函数中的不定积分结果。
二、定积分定积分是求函数在一个区间上的面积。
以函数f(x)为例，若它在[a, b]上连续，那么在[a, b]上的定积分可以定义为∫[a,b] f(x)dx，表示f(x)在[a, b]上的面积。
定积分可以用来计算曲线下的面积、计算物体的质量等。
求定积分的方法有很多，其中最常用的方法是牛顿-莱布尼兹公式，也称为基本积分公式。
根据这个公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a, b] f(x)dx=F(b)-F(a)。
也就是说，通过求函数的原函数，我们可以求出它在一些区间上的定积分。
例如，对于函数f(x)=x^2，在区间[1, 2]上的定积分可以表示为∫[1,2]x^2dx。
函数积求导法则的逆用技巧
２ ０ １ ３年 １月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０Ｌ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ Ｉ ． １ ６ ， ＮＯ ． １ Ｊ ａ ｎ ．，２ ０ １ ３
函数 积 求 导 法则 的逆 用 技 巧
吴 琳 聪 ，刘 桂 梅 ，莫 国 良
级 本 科 在读 ． Ｅｍａ ｉ ｌ ： ３ ０ ８ ０ ５ １ １ １ ＠ｅ ｍａ ｉ ｌ ． Ｚ Ｕ Ｃ Ｃ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
Ｆ （ ｃ ）一 ｅ ｃ Ｉ ｆ（ ｃ ） ＋ｆ （ ｃ ） ］一 ０ ，
因为 ｅ ≠ ０ ， 故 必有 － 厂 （ ｃ ） ＋ｆ （ ｃ ）一 ０ ，
因 此
专 ｅ ＋ ｃ ） ．
注１ 这 是不 套用 一 阶线性微 分方 程求 解公求微 分方 程 Ｙ ＋Ｐ（ ｘ ） ｙ— Ｑ（ ） 的通 解．
解 只 要能设 法 找到 函数 （ ） ， 使
Ｐ（ ｚ）＝ ，
（ ｚ ）一 ｅ Ｊ ‘ ＝ ＝ ＝ｅ ，
ｅ ｅ
故 可取
Ｆ（ ｚ）一 ｅ Ｘ ｆ（ ｘ） ．
可 得
ｕ（ ｘ） ｙ ＋ （ ｚ） 一
证 明 设 Ｘ 和Ｘ 。 （ ｚ ＜ｚ ｚ ） 是厂 （ ）的两 个零 点， 由上分 析所设 ， 可 得
Ｆ（ ｘ １ ）一 Ｆ（ ｚ２ ）一 ０ ．
［ （ ） ］ 一 Ｑ（ ） （ ｚ ） ，
利用 积 分 即得 通解
收 稿 日期 ： ２ ０ ０ ９ — ０ ８ — ３ ０ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ － ２ ５
根 据 罗尔定 理 ， 存 在 Ｃ∈ （ ｚ ， ｚ 。 ） ， 使
导数的逆运算技巧
导数的逆运算技巧
导数的逆运算技巧是反求原函数或者反求方程的过程，也称为求解微分方程的方法。
下面介绍几种常见的导数的逆运算技巧。
1. 反向应用常见导数公式：
常见的导数公式包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数规则。
当已知函数的导数，可以反向应用这些导数公式来求解原函数。
2. 积分运算：
导数与积分是互为逆运算的关系，因此可以通过积分运算来进行导数的逆运算。
具体而言，如果已知函数f(x) 的导数为g(x)，那么原函数F(x) 可以通过积分运算得到：F(x) = ∫g(x) dx + C，其中C 是积分常数。
3. 分部积分法：
对于一个函数乘以另一个函数的积分，可以通过分部积分法将其转化为更容易求解的形式。
分部积分法公式为：∫u dv = uv - ∫v du。
选择合适的u 和dv 并进行积分运算，可以反向求解出原函数。
4. 反函数法：
若已知函数f(x) 的导数，且该函数在某个区间内是严格单调连续的，那么
可以应用反函数法来求解原函数。
具体步骤是先求出导函数f'(x) 的反函数，再对其进行求导得到原函数的导数。
5. 递归运算：
对于一些特定的函数组合形式，可以应用递归运算来求解导数的逆运算。
例如，对于连续多次求导的情况，可以通过递归地进行积分操作来求解原函数。
导数的逆运算往往需要结合具体的问题与函数特性来选择适当的方法。
同时，求解导数的逆运算也可能存在多个解或无解的情况，需要在具体问题中进行验证和判断。
不定积分与求导数或微分互为逆运算
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
9
4.2.2 基本积分表
例3 解
求
∫
2
(3 x − 1) 2 dx ．
∫ =∫
(3 x − 1) 2 dx = (3 x 2 − 23 x + 1)dx
3
∫
x dx − 2
∫
3
xdx + dx
∫
3 5 3 4 = x3 − x3 + x + C ． 5 2
10
4.2.2 基本积分表
∫
2
∫
∫
∫
∫
13
2
2
(sin x)′ = cos x；
2
6
4.2.2 基本积分表
10.
∫
∫
1 dx (arcsin x)′ = = arcsin x + C ； ； 2 2 1− x 1− x
1 1 ′= (arctan x) ； 11. 1 + x 2 dx = arctan x + C ； 1+ x2
7
4.2.2 基本积分表
(cos x)′ = −sin x；
5
4.2.2 基本积分表
7. cos xdx = sin x + C ；
2
∫ 8. ∫ sec xdx = tan x + C ； (tan x)′ = sec x； (cot 9. ∫ csc xdx = − cot x + C ； x)′ = −csc x；
4.2.1 不定积分的性质
性质1 性质1 运算． 运算．
不定积分与求导数或微分互为逆
∫ ∫ (2) ∫ F ′( x)dx = F ( x) + 1) [ f ( x)dx]′ = f ( x) 或 d[ f ( x)dx] = f ( x)dx ．
逆用导数运算法则构造函数
逆用导数运算法则构造函数
逆用导数运算法则是一种重要的数学工具，用于求取不可逆的连续函数的微分。
它基于因果回路法则和经典极限定理，用于识别函数的极限行为，并将其与这个函数的导数联系起来。
根据该原理，对于某一可导函数y=f(x)，与其作导数的函数
x=f^(-1)(y)，即为该函数的逆回路。
首先，设定函数y=f(x)，首先解析出f(x)的单就导数：
dy/dx = d/dx( f(x) )
随后，反过来解析f^(-1)(y)的导数表达式：
dy/dx = [d/dy (f^(-1)(y)]^(-1)
最终，将前面的式子代入后\面的式子，即可求出逆函数f^(-1)(y)的单就导数：
[d/dx (f(x))]^(-1)= d/dy (f^(-1)(y))
利用上述原理，在计算不可逆函数求解时可以极大简化程序。
当求解单变量函
数极限时，可以利用该方法实现函数及其导数之间的联系；在多变量函数中也可以利用逆用导数运算法则求解无穷小量函数的极限，并保证极限的正确性。
另外，该方法还有助于计算变换型的不可逆函数，比如圆弧长和曲率及其关联
的函数；利用逆用导数运算法则，可以求出曲率和其它函数的极限，从而获得所需的曲线。
此外，拉格朗日也利用该方法来计算多变量函数系统的极小量，以便求出极大值和极小值。
总而言之，逆用导数运算法则为计算不可逆的连续函数的微分和拉格朗日多变
量函数的极小量提供了一种有用的数学解决方案，应用于居里变换和极大极小值问题上，其直观的数学思想为解决数学紧张问题提供了可靠的帮助。
逆用函数求导公式--------构造法解题
逆用函数求导公式--------构造法解题数学试题的呈现方式，是数学公式逆用形式，如两角和与差的三角公式逆用，可以用辅助角公式解决，线性规划的目标函数，常见的有截距，距离，斜率公式的形式，，求定积分的运算就是导数公式的逆用寻找原函数，两个函数和差积商的导数公式逆用，可以通过构造新函数来解决。
本文通过对导数公式的逆用，构造新函数，并结合函数的单调性，奇偶性来解决不等式问题。
背景知识：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．典型例题：类型一：和差导数公式逆用：例1. 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+解：构造)()()(x g x f x F -=，0)()()(>'-'='x g x f x F ，)(x F 为增函数，)()()(b F x F a F <<)()()()()()(b g b f x g x f a g a f -<-<-，∴()()()()f x g b g x f b +>+，选D 类型二，积的导数公式逆用：9.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0<x 时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且0)1(=g .则不等式0)()(<x g x f 的解集是_________解：)()()(x g x f x F =，0)()()()()(>'+'='x g x f x g x f x F ，)(x F 为增函数，)(x F 为奇函数，0)3(=g ，0)1(=F ，结合)(x F 的图象可得0)(<x F 的解集为)1,0()1,(⋃--∞7．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由()()f x xf x x '+<，0x <得： [()]0xf x x '<<，令()()F x xf x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，(2014)+=F x (2014)(2014)x f x ++ ，(2)(2)(2)F f -=--，由题意：(2014)F x +＞(2)F -又()F x 在(,0)-∞是减函数，∴20142x +<-，即2016x <-，故选C设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()(>'+x f x x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为 ．解： 令)()(x xf x h =，因为0)()(>'+x f x x f ，=')(x h 0)]([>'x f x ，)(x h 在定义域上递增函数，所以)1(1)1(122-->++x f x x f x ，1≥x ，∴112->+x x ，2<x ，解集为)2,1[8．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x x f x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由22()()f x xf x x '+>，0x <得：232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，令2()()F x x f x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，2(2014)(2014)(2014)F x x f x +=++ ，(2)4(2)F f -=-，(2014)(2)0F x F +-->，()F x 在(,0)-∞是减函数，所以由(2014)(2)F x F +>-得，20142x +<-，即2016x <-，故选C类型三，商的导数公式逆用：当出现导数差的形式是，可以考虑商的导数例1．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 当0x >时，有2()()0xf x f x x'->成立，则不等式0)(>x f 的解集是A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞解：由当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立,知函数xx f x F )()(=的导函数0)()()(2>-'='x x f x f x x F 在),0(+∞上恒成立,所以函数x x f x F )()(=在),0(+∞上是增函数,又因为函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以函数xx f x F )()(=是定义域上的偶函数,且由0)1(=f 得0)1()1(==-F F ,由此可得函数xx f x F )()(=的大致图象为: 由图可知不等式0)(>x f 的解集是),1()0,1(+∞⋃-.故选A.例2．函数)(x f 是R 上的可导函数,0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x =+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0解：方法一：构造函数)()(x xf x F =，)()()(x f x x f x F +'='，()()0f x f x x '+>，0)(>'xx F ，当0>x 时，0)(>'x F ，)(x F 为增函数，当0<x 时，故可得0)(<'x F ，)(x F 为减函数，0)0(=F ,0)(≥x F ，1()()g x f x x =+xx F x x xf 1)(1)(+=+=无零点 方法二：由于函数g(x)＝f(x)+1x，可得x≠0，因而 g （x ）的零点跟 xg （x ）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg （x ）=xf （x ）+1 的零点．由于当x≠0时，f ′(x)+()f x x＞0，①当x ＞0时，(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x '+＞0，所以()xg x 在（0，+∞）上是单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴当x ∈（0，+∞）时，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，因此()xg x =()1xf x +在（0，+∞）上没有零点．②当x ＜0时，由于(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x'+＜0， 故函数()xg x 在（-∞，0）上是递减函数，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，故函数()xg x 在（-∞，0）上无零点．综上可得，函g(x)＝f(x)+1x 在R 上的零点个数为0.上的函数，其中()f x 的导函数为'()f x ，满足．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f ><．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <>解：由'()()f x f x <，知0)()()()()()(2<-'=-'='x x x x ex f x f e e x f e x f x F ，故函数是定义在R 上的减函数，),0()2(F F <∴即)0()2(202f e f e e <⇒<，同理可得)0()2012()0(2012201202012f e f ef e f <⇒<）（，故选B例4设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，)()(x f x f >',且1)3(=f ,解不等式3)(->x e x f解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，)3()(g x g >，∴3>x例5．若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定【答案】C解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 例6．若不等式定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数是()()(),tan f x f x f x x ''<⋅且恒有成立，则A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由()()sin 'cos x f x f x x <，得()()'sin cos 0f x x f x x ->，构造函数()sin f x y x =，则()()2'sin cos 'sin f x x f x x y x-=0>，函数()sin f x y x =为增函数，由63ππ<，则63sin sin 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 例7(周考22)14．已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则)(x f 在R 上的零点个数为 A.1 B.3 C. 5 D .1或3 导函数，不分段 0<x ，)()()(222x f x x f x x xf >'+ 由()()2 ') (f x xf x xf x +<两边同乘x 可得，)()()(222x f x x f x x xf <'+，则可得)(])([22x f x x f x >',构造函数x e x f x x F )()(2=，0)(])([)(22>-'='xe xf x x f x x F ，函数x e x f x x F )()(2=为增函数，当0<x ，0)0()(=<F x F ,02>x ex ， 0)(<x f ，)(x f 为奇函数，)(x f 零点个数为1例8)(x f 是定义在上R 的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1(2<-'+x xf x f x ，则不等式0)(>x f 的解集为 解：1)()(2+=x x f x F ，0)1()(2)()1()(222<+-'+='x x xf x f x x F ，)(x F 为减函数，)(x F 为奇函数，0)1(=-f0)1(=-F ,结合)(x F 的图象可得不等式0)(>x f 的解集为)1,0()1,(⋃--∞6．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有( )A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤解：由()()0x f x f x '+≤可得()()x f x f x '≤-，因为(0,)x ∈+∞且()0f x ≥，所以()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减或()f x 为非负的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0f x '=时，()f x 才为常数函数），当()f x 在(0,)+∞单调递减时，由0a b <<可得()()0f a f b >≥，再由不等式性质中的可乘性可得()()bf a af b >；当()f x 为非负常数函数时，()()0f a f b =≥，所以()()af b bf a ≤（当且仅当()0((0,))f x x =∈+∞时，等号成立），综上可知，选A.方法二：由()()0xf x f x '+≤，即[()]0xf x '≤，设()()F x x f x =，则()0F x '≤，所以()F x 在(0,)+∞单调递减或()F x 为恒大于零的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0F x '=时，()F x 才为常数函数），当()F x 在(0,)+∞单调递减时，由a b <，可得()()F a F b >即()()af a bf b >；当()F x 为恒大于零的常数函数时，()()F a F b =即()()af a bf b =，根据不等式传递性，)()()()(b af b bf a af a bf ≥≥≥ 方法三：构造函数x x f x F )()(=，2)()()(xx f x f x x F -'='，由()()xf x f x '≤-得，2)()()(x x f x f x x F -'='0)()(2≤--≤x x f x f ，)(x F 为单调减函数或常函数，由a b <可得()()af b bf a ≤时，()'()'()f x f x xf x +<恒A D ．c b a <<解：构造函数1)(-=x x F ，=')(x F 0)1()(]1[2>--='-x x f x ,)(x F 为单调增函数， 12)2(-=f a ,13)3(-=f b ,12)12(--=f c ，由3212<<-，可得c a b <<，选A类型四，构造组合函数形式例1 定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，x x f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴ x x -≤1，即21≤x 例2定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0>x 时，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数的取值范围是的_________解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0>x 时，0)()(>-'='x x f x g ，)(x g 为增函数，a a f a f 22)()2(-≥--，可得2221)()2(21)2(a a f a a f -≥---，即)1()(x g x g -≥∴ )()2(a g a g ≥-，a a ≥-2，即1≤a例3定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足1)()(>'+x f x f 4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为_________解：构造函数x x e x f e x F -=)()(，=')(x F )1)()(()()(-+'=-+'x f x f e e x f e x f e x x x x ,)(x F 为R 单调增函数， 3)0(=F ,原不等式等价于)0()(F x F >,∴解集为),0(+∞。
微积分重要公式
微积分重要公式微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和积累的数学方法。
微积分有许多重要的公式，这些公式在各种数学和科学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些微积分中的重要公式，并探讨它们的用途和意义。
1. 导数的定义公式导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h。
这个公式告诉我们，导数是函数在无穷小变化下的极限。
导数的概念和公式在物理学、经济学等领域具有重要的应用，如速度、加速度、边际效应等。
2. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中的重要工具，它们描述了导数在加减乘除运算中的性质。
这些法则包括常数法则、幂法则、和法则、差法则和乘法法则。
通过这些法则，我们可以计算出复杂函数的导数，进而研究函数的性质和变化规律。
3. 不定积分的定义公式不定积分是微积分中的另一个基本概念，它是导数的逆运算。
不定积分的定义公式为：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。
不定积分的概念和公式在求解曲线下的面积、求解定积分和解微分方程等问题中起着重要的作用。
4. 定积分的定义公式定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的积累效应。
定积分的定义公式为：∫[a,b]f(x)dx = lim(n->∞)Σf(xi)Δx，其中[a,b]是积分区间，f(x)是被积函数，Δx是区间的等分长度。
定积分的概念和公式在求解曲线下的面积、计算物体的质量和体积等问题中有广泛的应用。
5. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一条重要定理，它将不定积分和定积分联系起来。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数。
这个公式告诉我们，定积分可以通过不定积分来计算，进一步简化了积分的计算过程。
逆导数—导数的新算法
逆导数—导数的新算法
八个公式：
y=c(c为常数）y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x；
y=sinx y'=cosx；
y=cosx y'=-sinx；
y=tanx y'=1/cos^2x；
y=cotx y'=-1/sin^2x。
导数（derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量δx时，函数输出值的增量δy与自变量增量δx的比值在δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）／dx。
导数就是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数叙述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和值域都就是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质就是通过音速的概念对函数展开局部的线性迫近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都存有导数，一个函数也不一定在所有的点上都存有导数。
若某函数在某一点导数存有，则表示其在这一点可微，否则称作不容Auron。
然而，可微的函数一定已连续；不已连续的函数一定不容Auron。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
莱布尼茨公式逆用
莱布尼茨公式逆用莱布尼茨公式是微积分中的一条重要公式，用于求解函数的n阶导数。
然而，我们也可以将莱布尼茨公式逆用，即通过已知函数的n 阶导数来还原出原函数。
在微积分中，我们经常需要求解函数的导数，从而可以得到函数的变化率、极值点和曲线的特性等信息。
而莱布尼茨公式为我们提供了一种便捷的方法来求解函数的n阶导数。
莱布尼茨公式可以表示为：(d^n)/(dx^n) [f(x)g(x)] = Σ(C(n,k) * (d^k)/(dx^k)[f(x)] * (d^(n-k))/(dx^(n-k))[g(x)])。
这个公式的意义就在于，通过对函数f(x)和g(x)的n阶导数进行组合，就可以得到函数f(x)g(x)的n阶导数。
这对于求解复杂函数的导数是非常有用的。
然而，我们也可以将莱布尼茨公式逆用，即通过已知函数的n阶导数来还原出原函数。
这在实际问题中经常会遇到，因为有时候我们只能得到函数的导数，而无法直接得到函数本身。
以一个简单的例子来说明逆用莱布尼茨公式的过程。
假设我们已知函数f(x)的二阶导数f''(x)，我们希望求解函数f(x)。
根据莱布尼茨公式，我们可以得到：f''(x) = (d^2)/(dx^2)[f(x)] = Σ(C(2,k) * (d^k)/(dx^k)[f(x)] * (d^(2-k))/(dx^(2-k))[1])。
由于1的导数等于0，所以上式可以简化为：f''(x) = C(2,0) * f(x) * 1 + C(2,1) * f'(x) * 0 + C(2,2) * 0 * 1。
化简后得到：f''(x) = 2 * f(x)。
这样，我们就得到了关于f(x)的一个微分方程f''(x) = 2 * f(x)。
通过求解这个微分方程，我们就可以得到函数f(x)。
逆用莱布尼茨公式的过程实际上是一个微分方程的求解过程，可以通过常微分方程的解法来完成。