有关三角函数的实际应用题

一垒！！呈丝旦呈翌
ｓｉｎ（４５。＋口）。
过。ＰＱ边上的点Ｂ作对边的垂线段ＢＥ，
则。么ＥＢＣ一１８０。一。ＺＰＢＥ一。ＺＰＢＡ 一１８０。一９０。一（４５。＋口） 一４５。一口。
Ｒ＋）有公共点的情形． 例３ 如图３，一块正 方形钢板的四个角上有伤 痕，现要求把它截成一个
较小的正方形钢板，面积 等于原来的８０％，问应怎 样截割？
则∥刮２＋等－ｚ一寺∞鲫， ３∥＿１８２＋等＋２．１８‘寺∞刚・
消去ｃ。ｓ口得ｚ２一簧，
则
作两切线的夹角口，填——■兰丁・
ＨＰ一（１＋孥／面）（ｍ）．
Ｐ Ｃ
Ｘ
（２）运用正弦定理，填￣／２１海里． ３．当矩形有两对边垂直于扇形的弦ＡＢ
Ｃ
１
Ｈ
Ｈ
时，可求得矩形面积的最大值为掣ｖ厂可ｃｍｚ；
当矩形有两对边垂直于扇形的一边ｏＡ时，易 求矩形面积的最大值为２００ｃｍ２．总之，矩形的
（Ｃ）２４０。
）． （Ｄ）３００。
ＢＤ—ＡＢ．ｃｏｔ６０。一三三婴／了（ｍ）．
叉圆为么ＣＢＤ—ＺＮＢｃ＋‘ＮＢＤ
一６０。＋６０。一１２０。，
（２）假定现在的时间是１２点整，再过ｔ小 时，分针和时针第一次重合，则￡一（
）．
则由余弦定理求得
ＣＤ一￣／ＢＣ２＋ＢＤ２—２・ＢＣ・ＢＤ・ｃｏｓ
１２０。
（Ａ）警（Ｂ）笺（ｃ）蓑
２．填空题 （１）一滚珠轴承过珠
心截面的圆环的内、外半
（Ｄ）誓
一半厄（ｍ）．
由于船从Ｃ到Ｄ的航行时间是１０分钟，
径分别是，．与ｒ＋ｄ，滚珠 的直径是ｄ，且这轴承最多 可放行颗滚珠，则，ｌ等于 的整数部分．
图６
即÷小时，则此船的速度是
ＣＤ÷÷一２０００￣／３９（ｍ／ｈ）
一２￣／３９（ｋｍ／ｈ）．
（２）甲船自港Ａ沿南１５。东的方向航行， 此时乙船位于Ａ南４５。西的方向，且距Ａ港７ 海里，且乙船正驶向Ａ港．已知甲、乙两船的 航速之比为２：１，则两船的最近距离等于 ３．将一块圆心角为１２０。、半径为２０ｃｍ的 扇形ＡｏＢ铁皮裁出一块矩形，要求其中两对 边要么垂直于扇形的弦ＡＢ，要么垂直于边 ｏＡ．求矩形的最大面积． ４．为测算敌方阵地两目标Ａ、Ｂ之间的距
为ｄｍ，依题意得 ｊ，一４０・（２・ＡＤ・ｄ）＋１０・（ＡＢ・ｄ）＋
５０・（ｃＤ・ｄ），
蠡一８・ＡＤ＋ＡＢ＋５・ｃＤ 一爵南＋丢ｃ・＋等劣，＋专ｃ・一簧髫，
则
是不经济的，因为其配图只有一个角有伤痕， 则宜保留一个无伤痕直角为小正方形的一内 角进行截割． 例４
（第一届北京市
尸
一３＋２．车署乒（ｏ＜臼＜等）．
曰
一２・Ｓ△栅一ＩＡＢ Ｉ・ＩｏＨｌ，则
。ｉｎ口＿．．．一—＝＝丝三兰些兰一．
￣／（ｚ２＋口２）（ｚ２＋６２）
说明 如图１，以线段ＡＢ为弦的动圆当 与直线。日相切于点Ｄ时，么ＡｏＢ最大． 例２ 某村欲建造一段横断面为等腰梯 形的封闭式引水槽，已知水槽两侧面、上底 面、下底面每ｍ２的造价分别是４０元、１０元、５０ 元，水槽深ｏ．５ｍ，横断面面积为Ｏ．２５ｍ２．如何 设计才使得建造该水槽的总造价最省？
ｃｏｓ口＋／了ｓｉｎ口一２，
即 即
Ａ、Ｄ，则ＡＤ一３￣／２ ｍ．当平板车开始拐弯
Ｚ
ｓｉｎ（口＋罢）一１
Ｏ
（ｏ＜曰＜詈），
时，将两顶点Ｐ、Ｑ紧贴通道外沿滑动，此时设 直线ＡＤ与平板车两长边分别相交于Ｂ、Ｃ两 点．设么ＡＱＰ一口（０。＜护＜９０。），
则 ＡＱ＝ＰＱ・ｃｏｓ口一４ｃｏｓ口．
日一要．于是
志一一／ｉ，
［范例精讲］ 例１ （１９８６年全国高考题改编题）在幻 灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕，其上、下 边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方 ｄｍ、６ｍ（口＞６）．问幻灯机头距墙面多远时对 于屏幕的上下视角（影响图像清晰度的重要 因素）最大？这个最大视角是多少？ 解法１ 如图１，设幻 爿 灯机头。距墙面距离。日 一ｚｍ，过Ｈ垂直于地面的 直线与屏幕上下边缘的交 点依次是Ａ与Ｂ，则ＡＨ
图ｌＯ
图１１
最大面积等于掣／了ｃｍｚ．
一Ｖ
／＿＝■
４．Ｂｃ—ｃＤ・揣
ｊ‘爵ｉ而
ｓｉｎ ７５。
７．如图１１添加辅助线，设么ＣＰＢ一 。么ＤＡＢ一口（ｏ。＜口＜９０。），则点Ｃ到直线ＡＢ
的距离
＾一ＣＰ・ｓｉｎ口
Ｓｌｎ／Ｌａ上Ｊ
一（Ｏ．５＋Ｏ．３×ｃｏｓ口＋Ｏ．５×ｃｏｔ口）ｓｉｎ口 一Ｏ．５×￣／２ ｓｉｎ（曰＋４５。）＋Ｏ．１５×ｓｉｎ
万方数据
２００１年第１１期
则
中学数学
３５
ｃＤ一丢（１一搿）， …‘ｖ
“
解得差兰弓一ｔａｎ口一４士／丙
（舍去负值）． 答：将正方形钢板每边如图３顺次分成两 段之比为（４＋￣／１５）：１，宜以这四个分点为 小正方形钢板的顶点进行截割． 说明
与此例类似的课本复习题的截割
ＡＢ一吉（１＋等翳）．
设建造水槽的总造价为ｙ元、水槽的长度
４５。、６０。、３０。．又量得ＡＢ一６ｍ、ＢＣ一１８ｍ，求 ＨＰ． 令
则 则
一１咖・（４＋３・与群）．
愚一 ２一ｓｉｎ口
ｃｏｓ口
’
ｓｉｎ口＋五・ｃｏｓ口一２，
／Ｆ干面≥２，
惫≥／了＞ｏ．
当 当
解得
日一３０。时，
愚。。一√３．
ｃＤ一１０／ｉｋｍ时，修筑公路ＢＤ
才使由Ａ到Ｂ的运费最省．
６．如图１０添加辅助线， 设
解
设岛Ｂ的正北方
向一点为Ⅳ，该船７时５５ 分、８时５分的位置依次为
Ｃ、Ｄ，作两矩形ＡＢＣＥ与 ＡＢＤＦ，则四点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｎ
图５
共面，且么ⅣＢＣ一６０。，
［参考练习］ １．选择题
（１）发电厂发出的电是三相交流电．它的
么ＥＡＣ一３０。，。＜ＮＢＤ一６０。，么ＦＡＤ一６０。．
（１）由于平行线的内错角相等， 则。么ＡＣＢ一。么ＥＡＣ一３０。，
ｕ
ＪＶ
一口ｍ、ＢＨ一６ｍ． 设 图ｌ 么Ａｏ日一口、么ＢＤＨ—ｐ， 则幻灯机头对屏幕的上下视角为口一口一卢．
则ｔａｎ口一ｔａｎ（口一ｐ）一≠竿罨三篙
旦一生 ｚ ｔ １＋旦．鱼
ｚ Ｚ
由于ｔａｎ口一导，ｔａｎ卢一睾，且口＞６＞ｏ，
则
Ｂｃ—ＡＤ一云去刁，
图２
ｎ一６
ｚ＋生 Ｚ
ＡＢ—ｃＤ＋２ＡＥ—ｃＤ＋著导号， 那么 丢一ｓ横薪剪一丢（ＡＢ＋ｃＤ）・丢 一丢（２・ｃＤ＋誓劣），
７．一仓库房门的宽度
为１ｍ、厚度为ｏ．３ｍ．现有
Ｃ
Ｐ日ｌ—ｚ，么ＡｌＢｌＨｌ一口，
一根拐角钢材，其最大水
平截面图的宽度为Ｏ．５ｍ．
，“０４
则Ａｔ日－一ｚ，Ｂ－Ｈ－一寺，
ｃ。日。一厂可ｚ，
问能否将这根拐角钢材移
进仓库？
图９
简答与提示 １．（１）用检验法，或用单位圆，选（Ｃ）． （２）３６０。・ｚ一３０。・￡一３６０。，选（Ａ）． ２．（１）考虑过圆环中心向滚珠截面圆所 ａｒｃｓｍ万ｊ＿Ｚ
三根导线上的电流强度分别是时间ｆ的函数：
，＾一ｊｓｉｎ叫ｆ，ＪＢ—Ｊｓｉｎ（硼￡＋１２０。）， 厶一Ａｉｎ（硼ｆ＋咖．若，＾＋Ｊ口＋ｊｃ—Ｏ，
。ＺＡＤＢ一么ＦＡＤ一６０。．
又因为么：ＡＢＣ一。￡ＡＢＤ一９０。， 则ＢＣ—ＡＢ・ｃｏｔ３０。一１０００￣／３（ｍ），
且ｏ。≤妒＜３６０。，则Ｐ的值等于（
（Ａ）６０。 （Ｂ）１８０。
￣／１３
（２）延长ＣＤ与Ｂ岛的正西方向相交于一
点Ｐ，设船沿ＣＤ方向从Ｄ到Ｐ的所需时间为 ｆ．在△ＢＣＤ中，运用正弦定理得
ｓｉｎ么肋ｃ—ｓｉｎ么ＤＢｃ×器
一ｉｎｌ２一赣
９
一ｉ焉。 ２√３９
则ｓｉｎ么ＢＰＤ—ｓｉｎ（么ＢＤｃ一３０。）一—考＝． 在△ＢＰＤ中运用正弦定理得
离，在我方阵地两哨所Ｃ、Ｄ测得么ＡＣＢ一 ７５。，。么ＡＤＢ一４５。，么ＡＤＣ一３０。，么ＢＣＤ—
空间图形来图示题意与辅助解答，其解题流
≤—冬三坠一掣． ２√ｚ．堑
２√幻
其中‘‘≤’’取“一，’的充要条件是。一譬即ｚ一
厶石．则（ｔａｎ口）。。一掣（ｏ＜口＜昙）．
２￣／口６
６
又因为
厂（口）一ｔａｎ口在（ｏ，芸）内是增函数，
则当ｚ一￣／，＝石（ｍ）时，钆。一ａｒｃｔａｎ！ｊ兰．
２￣／ｎ６
答：幻灯机头距墙面￣／口６ｍ时对于屏幕
图３
则Ｂｃ一丽岛一丽南．
于是 ＡＣ—ＡＢ＋且ｅ
一垒！ｉ里皇！旦！堡 一ｓｉｎ（４５。＋口）
如图３，设原正方形与其内接小正
解
方形的相交边的一个夹角为口，且设小正方形 的边长为ｎ，则原正方形的边长等于口ｓｉｎ口＋ 口ｃｏｓ口．依题意得
一２厅・甓考搿
一２￣／２・（ｓｉｎ口＋ｃｏｓ口） 一４ｓｉｎ（口＋４５。）
＋五百暑而
詈一８。％一丽百西岛
≤４＜３￣／２一ＡＤ．
因此，当口一４５。时，ＡＣ的最大值４仍然 小于ＡＤ的长度．
则÷一ｓｉｎ
万方数据
２口一篇．
１
答：该平板车能够推过拐角． 说明 若让平板车内侧一边处处滑过顶
６
中学数学
２００１年第１１期
点Ｄ，也可解答此例． 例５ 海岛Ｂ上有座海拔１０００米的山， 山顶Ａ处建有观察站．上午７时５５分测得一 轮船在岛Ｂ的北６０。东处，俯角３０。；８时５分 测得该船在岛Ｂ的北６０。西处，俯角为６０６． （１）此船的速度是多少？（２）如果此船的航向 与速度保持不变，它何时到达岛Ｂ的正西方？
ｓｌｎ∥
令
贝４
走一掣，
Ｚ
高中数学知识应用竞赛试 题改编题）如图４，某厂的
ｃｏｓ口＋志・ｓｉｎ口一２，
一段直角通道宽３ｍ，现有 一个载重平板车的长为 ４ｍ、宽为２ｍ，问该平板车 能否推过拐角？ 解