圣维南原理证明

有限元圣维南原理简述

圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。因此，圣维南原理中“原理”二字，圣维南原理（Saint-Venant ’s Principle ）表述如下：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

圣维南原理是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题，在此通过ANSYS 软件工具，进行该原理的证明。

2. ANSYS 证明

当物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，也可以应用圣维南原理得到用用的解答。例如，图1，2 所示构建的右端是固定端，则在该构件的右端，有边界条件()0,()0s s u u v v ====。这就是说，右端固定端的面力，静力等效于经过右端截面形心的力F 。结果仍然应该是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差是可以不计的。

考虑到在ANSYS 中建立约束条件的可行性，采用具有代表性的进行建模分析。

图1

图2

1) 创建有限元模型——柱形构件

为便于在两端面中心加载，选用四面体单元类型。由于ANSYS的单元类型是在不断发展和改进的，同样功能的单元，编号大的往往意味着在某些方面有优化或者增强。在ANSYS 15.0中，选用Solid-Tet-10 node 187单元类型。

根据常用材料属性表，选用弹性较好较为常用的低碳钢，弹性模量取EX=2.0E11，泊松比PRXY=0.25。为满足小边界条件，使L>>h，创建一个长、宽、高分别为1m，0.01m，0.01m的长方体，并对其进行自由网格划分，SmatSize 取6。建模及网格划分结果如下图3所示

图3 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分

2、施加载荷并求解。

低碳钢的屈服极限为207MPa，取安全系数S=2时，计算可得，在不发生塑性变形的前提下，在断面可施加的最大力为：

Fmax=

62

*/(207*10*0.01/2)10.35

s A S N KN σ==

1）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上沿X方向的F=5KN的集中力作用，求解。约束及载荷施加结果如图4所示。

图4 集中力及约束施加结果

2）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=5e7N的均布载荷作用，求解。约束及载荷施加结果如图5所示。

图5 均布载荷及约束施加结果

3、查看分析结果。

1）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，各节点X 方向位移图以及位移分布变化曲线。如下图所示。

图6 集中力下各节点X方向位移图

图7均布载荷下各节点X方向位移图

2）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。如下图所示。

图8集中力下所得平均应力分布图

图9均布载荷下所得平均应力分布图

图10均布载荷下所得平均应力分布图

在ANSYS后处理中，基于两端面中心的1117号节点和1122号节点，建立贯穿柱形构件中线的路径，并分别将X方向位移数值和平均应力数值映射到所创建的路径上。数值列表及分布曲线如下所示：

图11集中力下各节点处位移分布变化曲线

图12均布载荷下各节点处位移分布变化曲线

图13集中力下各节点处平均应力分布变化曲线

图14均布载荷下各节点处平均应力分布变化曲线

3) 基于其他有限元模型

同样道理，亦可建立满足一定长宽比的基本的圆柱、圆锥构件等，原理过程与柱形构建一致，在此不复赘述。

三、分析与总结

由图可知，所创建柱形构件在受到集中力及与其等效的均布载荷作用下，

其绝大部分平均应力数值均处于5000Pa左右，而且各节点处应力分布变化情况也基本一致，只在添加约束及受力端面处有明显变化。

故此矩形截面直杆两端受等效应力的实例结果，即验证了圣维南原理的正确性：作用在物体一端（次要边界或是小边界）的荷载，如果只改变应力分布而不改变合成，那么就只会显著改变该端附近的应力，在距离端部较远处相差甚微。

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