抛物线焦点弦问题

抛物线焦点弦问题

河北省武安市第一中学郅武强

抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一．弦长问题：

例斜率为1的直线经过抛物线

24y x =的焦点，与抛物线相交A .B两点，求线段AB 的长。

分析：

利用弦长公式12

d x =-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运

根据抛物线的定义，11

AF x =+同理 21

BF x =+

于是得

122

AB AF BF x x =+=++

由题已知

{

21

4y x y x

=-=消去y 得2

610x x -+=

故126x x += ∴628

AB =+= 注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：12AB x x p =++或

12AB y y p

=++。

二. 通径最短问题：

例：已知抛物线的标准方程为2

2y px =，直线l 过焦点，和抛物线交与A.B 两点，求

AB 的最小值并求直线方程。

解：①如果直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为

2p

x =

2A B p =

②如果斜率存在，不妨设斜率为k ，则直线的方程为(

2p y k x =-，与抛物线方程联立方程组得

22( 2y px

p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222

(2 04k p k x k p p x -++=

若0k ≠ 则222

440k p p ∆=+>

1222p

x x p k +=+

则

1222222p p AB x x p p p p k k =++=+

+=+

当k →∞时 AB

最小即min 2AB p = 此时 2p

x =

三．两个定值问题：

例：过抛物线2

2y px =的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为1x 、2x 、1y 、2y ，求证：2

114p x y =

，212y y p =-。

证明：①联立22( 2y px p y k x ==-⎧⎨⎩消去y 得22222

(2 0(0

4k p k x k p p x k -++=≠

2

124p x x =

同理消去y 可得 2

12y y p =-；

②斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；

③斜率不存在时，2

114p x y = ，2

12y y p =-同样是定值；从上所述：2

114p x y =，2

12y y p =-

四．一个特殊直角问题：

过抛物线2

2(0 y px P =>的焦点F 的直线与抛物线交与A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线

的准线上的射影分别是1A ，1B 求证：1190A FB ︒

∠=。

设A 坐标为（1x ，1y ）B 坐标为（2x ，2y ）

11(, 2p A y - ，12(,

2p B y -

12(, FB P y =- , 12(, FB P y =-

2

1212F A F A P y y ⋅=+ 又由上题可知 120FA FA ⋅= ，212y y P =- 。五．线段AB 为定长中点到y 轴的最小距离问题

例：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2

y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求

点M 到y 轴的最小距离。

解：抛物线焦点1(,0 4F , 准线

1

:4l x =-

，设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ，设点00(, M x y 则

111111( 22AA BB AA BB AB +=

+≥ 又

1014MM x =+

3AB = ∴01342x +≥，所以

5

4x ≥，

即0x 的最小值是5

4

∴点M 到y 轴的最小距离是5

4，当且仅当AB 过点F

是取得最小距离。

六．一条特殊的平行线

例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P 、Q, 经过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ，求证：直线MQ 平行于抛物线的对称轴。

设抛物线的标准方程为22y px =，设P 、Q 的坐标为

11(, x y ，22(, x y

则PO 的直线坐标为

11(, 22Py P x -- 又2112y x p = 带入M 的纵坐标 2112

111222Py Py P y y x y p -=-=-=

又2

2

1212P y y P y y -=-⇒=⇒

M 的坐标为02y y = 故直线ＭＱ平行于抛物线的对称轴。

七．一个特殊圆

例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。证明：设抛物线的方程为 2

2y px =，则焦点(,0 2P F ，

准线2P

x =-

，设以过焦点Ｆ的弦ＡＢ为直径的圆的

圆心Ｍ，Ａ、Ｂ、Ｍ在准线l 上的射影分别是

1A 、1B 、1M 则11AA BB AF BF AB

+=+=

又

111

2AA BB MM +=

∴

11