09-4静电场的环路定理和电势
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
电势的物理意义
1 dq dU
4 0 r
1 dq
U 4 0 r
三种典型的电荷分布情况 ：
U
1
4 0
dV
r
U
1
4 0
dS
r
1 dl
U 4 0 r
上午9时11分
14
4、电势的计算方法：
1）由定义来求 : ( 电场分布已知或容易得到 )
"0" v v
U A = A E gdl
A q0E • dl q0E • dl q0E • dl
c
b
acb
bda
q0E • dl q0E • dl 0
a
d
acb
adb
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
Q q0 0 E • dl 0
上午9时11分
4
在静电场中，电场强度的环流恒为零。
上午9时11分
28
(
i
j
k
)
x y z
r E gradu u
物理意义：电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法
线方向的变化率，它的方向沿等势面法线方向且指向电势增大
的方向。
求场强的三种方法: 1、由电荷分布及叠加原理计算。 2、由高斯定理计算。 3、场强与电势梯度的关系。
解∶由高斯定理得：
1Q
E内 0 E外 4 0 r 2 1）对球内的一点P，其电势为:
U
v v Edl
v E
d
rv
p
p
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
高二物理竞赛课件：静电场的环路定理、电势
q E 4πε0r 2
(r R)
r1 R
球体内的电场：
r2
ΦE
E 4πr2
1 ε0
4
q πR3
4 3
πr 3
1 ε0
qr 3 R3
3
E
qr 4πε0 R3
ρ 3ε0
r
(r R)
E
q
E连续
q
ρ 4 πR3
为电荷体密度。
oR
r
3
(3) 无限长均匀带电圆柱体的电场
（λ、R）：
电场具有轴对称分布。
➢ 静电场为保守场，静电场力质3
电势能、电势：
静电场为保守场，因而可引入电势能的概念：
静电场力对试探电荷q0所作的功等于q0电势能增量
的负值。
Q
APQ q0 E dl (WQ WP ) ΔW
P
APQ>0时，q0电势能减少； APQ<0时，q0电势能增加。
E
2 0
σ S
E
讨论：两块无限大带等量异号电荷的平行平面间的 电场分布。
+σ −σ
+σ −σ
AB
AB
两板外： E0
两板间：
E
0
习题习9-2题9 ：一电荷体密度为ρ的均匀带电球体，r为球心
指向球内一点的位矢，球内挖一球形空腔，求空腔 内的场强。
均匀带电球E体内ρ的r 电场分布:（P.159式9.4-7) 3ε0
荷由P移到Q时，电场力所作的功。
将电荷由P点移到Q点时电场力所作的功为： Q
APQ q E dl q( U P UQ )
P
➢ 电场中某点的电势能（电势）的值是相对的，而 两点间的电势能差（电势差）是绝对的，与零点的 选择无关。电势的零点也可选在其它地方。
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
静电场的环路定理
V
1 4πε0
dq r
4 静电场力的功计算
WAB EPA EPB q(VA VB )
例、如图所示，已知边长为a的正方形顶点 上有四个电量均为q的点电荷，求：
①正方形中心O点的电势Uo。
②将试验电荷q0从无穷远处移到正方形中
心O点时，电场力所作的功。 q
q
q
UO 4 4 0 ( 2a / 2)
解
dVP
1 4πε0
dq r
1
VP 4πε0r dq
dq
q
r
R
4πε0r q
xo x
Px
4πε0 x2 R2
例2 真空中有一电荷为Q、半径为R的
均匀带电球面. 试求 （1）球面外任意点A的电势； （2）球面内任意点B的电势.
oB
R
rB
A r
rA
0 r R
解
E
Q
4ε0r 2
rR
（1）r R
E dl
B
A E dl
B
EpB E
VB
电势零点的选取：
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EVpBB
E
3. 电势差
B
U AB VA VB
E dl
a
O
q
q
A
q0
(U
UO
)
4
4
qq0 0 ( 2a
/
2)
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L, a
高二物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
dr
b
rb
dl
dr
E
r
q ra a q0
Aab
dA
rb ra
q0
E
dl
q0q
4 π0
rb dr r ra 2
q0q ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
b
rb
dl
dr
E
结论: 当检验电荷 q0 在电场中从 a 移到 b 点时, 电场力做的功 A 只与
r
q0 的始末位置有关, 与路径无关.
原子物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
2、点电荷系的电势
E Ei
i
VP E dl Ei dl
P
iP
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
P
E1
VP
VPi
i
i
qi （代数和）
4 π 0ri
点电荷系电场中某点的电势，等于各个点电荷单独存 在时在该点电势的代数和，此即电势叠加原理。
电势定义：
Va
Wa q0
零点 E dl
a
③电势是相对于电势零点而言的，电势零点选择方法：
有限大小带电体通常以无穷远处为电势零点，实际问 题中也常选取大地、电器外壳或某公共点为电势零点.
地球是一个带负电的大导体, 取地球为电势零点与取无穷远处
为电势零点是一致的.
④电势高低的判断:沿着电场线方向,电势降低 (dV E d l )
L
q0
E
dl
0
q0 0,
E dl 0
L
静电场的环路定理：静电场的电场强度沿任意闭合回路
的积分(称为静电场的环流)等于零。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
静电场的环路定律与电势
E dl
Q 4π 0 r
dl dr
1）公式
r
r
ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
dr
Q 4π 0 r
2）说明：
①Q含符号，
■ ②∞为电势零点。 14
（2）点电荷系的场
1）公式
P 0 P 0 E dl Ei dl Ei dl
a b
1）定义：静电场中a、b两点的电势差等于电场 力把单位正电荷从a点移到b所做的功。■ 11
2）说明： ①若求任意点的电势，则需选一电势零点 ， 如选b点为电势零点，则 a点的电势：
a E dl
a
b
②积分路径为连接a、b两点的任意路径。
③电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题 方便而定，参考点不同电势不同。■
dq
ra
结论： 电场力的功与路径无关，只与始末位置及试 验电荷的电量有关。 对闭合路径，A=?
F dl q 0 E dl 0
■
5
2、静电场力的功的特点： 只与始末位置及试验电荷的电量有关，而与具 体的路径无关。
｛静电场是保守力场。
F d l 0
§4.4 静电场的环路定理 和电势(electric potential) 4.4.1静电场的保守性 4.4.2静电场的环路定理
4.4.3电势(electric potential)
4.4.4由电势求电场强度
1
4.4.1静电场的保守性
1、静电场力的功 （电荷q0在电场中移动时静电场力所做的功） 1）点电荷激发的场：
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
静电场的环路定理 电势
E2
B
AAB q0
A i 1
n n qq 1 B 1 Ei dl qo Ei dl 0 i ( ) A rAi rBi i 1 4πε0 i 1
试探电荷在任何静电场中移动时, 电场力所做的功只与试探 3 电荷的电量及路径的起点和终点的位置有关, 而与路径无关 .
0
13
[ 例1] 均匀带电球面场中电势分布（
q ， R）
q
由高斯定理
o R
E
P r
E
E
0 qr 3 4 0 r
(r R) (r R)
r
o
R
令 V 0 沿径向积分 1 面外 2
r
qr dr V外 E 外 dr 3 4 0 r P r 1 4 0 r r q
AAB W (WB WA ) WA WB
若取 B点 : WB 0
AAB
B
A
B F dl q0 E dl
A
A WA
"0"
q0 在 A 点处的电势能：W A
AA"0" q0
A
E dl
1）电势能零点的选取是任意的, 一般视问题方便而定, 通常参 考点不同 ,电势能不同。对于有限带电体，一般选无限远为势 能零点 , 实际应用中或研究电路问题时常取大地、仪器外壳等 为势能零点；对于无限大带电体，常取有限远为势能零点； 2）电势能是属于系统的 (电场 + 试验电荷) 5
21
a
E dr
6
2、电势
WA q0
WA A q0
" 0"
静电场的环路定理 电势及其与场强关系PPT课件
b
由电势差定义
Uab
b
E dl
a
b a
q
4 0r 2
dr
q
4 0
(1 a
1) b
第27页/共30页
例题 在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个 点电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）O点的电势；（2）把试探电荷q0从无穷远处移到 O点时电场力所作的功；（3）电势能的改变。
➢ 电势有相对性，需要选择零点(常取地球、仪器 外壳、无穷远处等为电势零点)；
➢ 电势的单位：V. [能量单位eV的由来] 第7页/共30页
电势差（电压）:
Uba
Ub Ua
rb E(r ) dr
ra
（电势差与电势零点的选择无关。）
二、电势的计算:
1、点电荷的电势: (以无穷远处为0)
U (r )
E dl
零点
步骤： (1)先求场强分布; (2)选择合适的路径; (3)计算积分.
[当带电体为无限大时，只能用该方法计算]
2）电势叠加法: 已知源电荷分布(有限尺寸)时,各源的电势标量叠加
U (r ) 1
Qi
40 i r ri
1 (r)dV 40 V r r
第10页/共30页
例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。 (已知：R、q )
U q
4 0r
均限匀长带直电线无U (a)
2 0
ln
a r
典型电场的场强
(应用高斯定理)
均匀带电 E 0
球面内
球面
E
q
4 0
r r3
球面外
均匀带电无 限长直线
E
2 0
r r2
静电场的环路定理电势能等势面场强与电势的关系PPT课件
LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
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P
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
A
( E1 E 2 E n ) d l
VB VD q 4 0 R q 4 0 3 R q 4 0 R q 4 0 R 0
+q A
R
R
B
q
–q O
R
D
6 0 R
W BD q U BD
q 6 0 R
例1 电偶极子电场的电势 根据电势的叠加原理
y
P ( x, y )
电势能是标量 电势能的单位：焦耳J 电势能是属于由带电体q0和产生静电场 E 的带 电体组成的系统所共有的
W eA q0
与试验电荷无关，只取决于电场的性质
四 电势
VA
WeA q0
(0)
E dl
A
单位：J/C，称为伏特（V），即1V＝1J/C 电势是空间位置的标量函数
4 π
r
第二种计算电势的方法：
电场强度的线积分法 Va 电体的电场强度
( 0)
E dl
a
利用电场强度的线积分法求电势首先要求出带
由于电场强度的线积分与路径无关，一般选取
最简单的积分路径
使积分路径沿电场强度的方向 球对称带电体选径向 轴对称带电体选垂直于轴线
如果从场点到电势零点的积分路径中，电场强度
E
R
Q
在 r<R 的区域
R V E1 d r E 2 d r r R Q Q dr 2 R 4 r 4 0 R 0
O
均匀带电球面内各点的电势都 相等，等于球面上的电势
V
Q 4 π 0R
V 1 r
V外
V内
Q 4 π 0r Q
V V ( x, y , z )
电势是相对量，与电势零点的选择有关 电势零点的选择可以任意选择，以处理问题方便为宜
关于电势零点选择的几点注意问题：
在同一问题中电势零点的选择总是选得和电势能 零点一致
W eA
(0) A
(0) q 0 E d l q 0 E d l q 0V A
P
x
O
该圆环的面积 dS 2 π rdr
该圆环的电量 dq 2 π rdr 利用圆环的电势结果
dV dq 4 π 0 x r
2 2
R
r
dr
rdr
2 0 x
2
r
2
P点的电势是圆盘上所有圆环在该点 电势的代数和
V
x
P
R
rd r
2 0 x
2
x
r
2
0
O
2 0
五 电势的计算
点电荷电场的电势 q ˆ E er 2 4 π 0r 取无穷远作为电势零点
E
r
q0
dl
dr
V
q 4 π 0r
V
2
r
ˆ er dl
dr q
qdr 4 π 0r
2
r
4 π 0r
取无穷远作为电势零点
V
q 4 π 0r
在正电荷形成的电场中，任 一点的电势均为正，且离点 电荷越远的点，电势越低
V0 Q 4 0 R
qQ 4 0 R
Q
R
O
W O q (V V O )
例3 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面 密度为。 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 x 处的电势 将圆盘分割成无限多个以O为同心带电圆 环，任取一半径为r，宽度为dr的圆环
A A
静电场的电场线不可能是闭合曲线 ——静电场是无旋场
保守力做的功等于其势能增量的负值 B F 保 d r ( E pB E pA ) E p
A
静电力是保守力，所以电荷在静电场有电势能 静电场力对电荷做的功就等于电荷电势能增量的负值
W AB
B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
1
E
A1 B
A2 B场强的线积分与积分路径无关 E dr E dr 0 E dl
A1 B B2A
E dl 0
在静电场中，电场强度 E 沿 任意闭合路径的线积分为零
由于电场强度的线积分与积分路径无关，只取决 于积分的始末位置，因此可以选取计算最简单的 积分路径 沿电场强度的方向 B B E dl E dl Ed
rb
B
Qq
4 π 0
(
1 rA
1 rB
ra
Q
电荷在静电场中移动，电场力 所做的功只与电荷的电量以及 始末位置有关，而与路径无关
——静电力是保守力
静电力做功与路径无关——
二 静电场的环路定理
A1 B
q0 E dr E dr
A2B
q0 E dr
A
2
E 2 π 0r e
o
方向垂直于带电直线
E
r
如果仍然选无限远作为电势零点
V
E dl
r
2 π 0r
dr
r
2 π0
ln
r
电势趋向于无 穷大，无意义
选距离带电直线为r0处的A点作为电势零点 距离带电直线为r的P点的电势 A V E dl
在静电场中把试验电荷q0从A点移动到B点，静电场 力做的功就等于该电荷在AB两点电势能增量的负值
三 电势能
W AB
B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
W eA
令 W eB 0
(0) A
q0 E dl
电荷在电场中某一点的电势能在量值上等于把电 荷从该点移到零势能点时电场力所做的功
0
dl
r
R
由于不论dl选在环上 什么位置，r值不变
V
4
q 4 0 r
1
dl
0
4 0 r
q
r
dl
2 R
2
V
4
0
R x
2
填空题10 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电 Q，设无穷远处为电势零点，则圆心O点的处的电势V0 = ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到 圆心O点，则电场力做功W= 。
电荷连续分布的带电体电场的电势
把电荷连续分布的带电体分成 无限多个电荷元dq，每个电荷 元都可以看成是点电荷 根据电势的叠加原理 qi dq V 4 π 0 ri 4 π 0r
r d q
P
注意：仅当取无穷远作为电势零点才能按照上式计算 由于对电势的积分是代数积分，这比场强的矢量 积分要容易的多
例2 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上，求圆 环轴线上距环心为x处点P的电势 dl 在带电圆环上任取一线
r R x
2 2
R
元dl，该线元带电量 q dl dq dl 2 R 该线元在P点产生的电势
dV
1 4
0
dl
r
dl
r R x
2 2
dV
1 4
R
2
r
dr
(
R
rdr x x
2 2
0
r
2
2 0
R
x)
第一种计算电势的方法： 利用电势叠加原理和点电荷电势公式
q 选无限远处 点电荷电势 V 为电势零点 4 π 0r
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
A
( E1 E 2 E n ) d l
VB VD q 4 0 R q 4 0 3 R q 4 0 R q 4 0 R 0
+q A
R
R
B
q
–q O
R
D
6 0 R
W BD q U BD
q 6 0 R
例1 电偶极子电场的电势 根据电势的叠加原理
y
P ( x, y )
电势能是标量 电势能的单位：焦耳J 电势能是属于由带电体q0和产生静电场 E 的带 电体组成的系统所共有的
W eA q0
与试验电荷无关，只取决于电场的性质
四 电势
VA
WeA q0
(0)
E dl
A
单位：J/C，称为伏特（V），即1V＝1J/C 电势是空间位置的标量函数
4 π
r
第二种计算电势的方法：
电场强度的线积分法 Va 电体的电场强度
( 0)
E dl
a
利用电场强度的线积分法求电势首先要求出带
由于电场强度的线积分与路径无关，一般选取
最简单的积分路径
使积分路径沿电场强度的方向 球对称带电体选径向 轴对称带电体选垂直于轴线
如果从场点到电势零点的积分路径中，电场强度
E
R
Q
在 r<R 的区域
R V E1 d r E 2 d r r R Q Q dr 2 R 4 r 4 0 R 0
O
均匀带电球面内各点的电势都 相等，等于球面上的电势
V
Q 4 π 0R
V 1 r
V外
V内
Q 4 π 0r Q
V V ( x, y , z )
电势是相对量，与电势零点的选择有关 电势零点的选择可以任意选择，以处理问题方便为宜
关于电势零点选择的几点注意问题：
在同一问题中电势零点的选择总是选得和电势能 零点一致
W eA
(0) A
(0) q 0 E d l q 0 E d l q 0V A
P
x
O
该圆环的面积 dS 2 π rdr
该圆环的电量 dq 2 π rdr 利用圆环的电势结果
dV dq 4 π 0 x r
2 2
R
r
dr
rdr
2 0 x
2
r
2
P点的电势是圆盘上所有圆环在该点 电势的代数和
V
x
P
R
rd r
2 0 x
2
x
r
2
0
O
2 0
五 电势的计算
点电荷电场的电势 q ˆ E er 2 4 π 0r 取无穷远作为电势零点
E
r
q0
dl
dr
V
q 4 π 0r
V
2
r
ˆ er dl
dr q
qdr 4 π 0r
2
r
4 π 0r
取无穷远作为电势零点
V
q 4 π 0r
在正电荷形成的电场中，任 一点的电势均为正，且离点 电荷越远的点，电势越低
V0 Q 4 0 R
qQ 4 0 R
Q
R
O
W O q (V V O )
例3 有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面 密度为。 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点 x 处的电势 将圆盘分割成无限多个以O为同心带电圆 环，任取一半径为r，宽度为dr的圆环
A A
静电场的电场线不可能是闭合曲线 ——静电场是无旋场
保守力做的功等于其势能增量的负值 B F 保 d r ( E pB E pA ) E p
A
静电力是保守力，所以电荷在静电场有电势能 静电场力对电荷做的功就等于电荷电势能增量的负值
W AB
B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
1
E
A1 B
A2 B场强的线积分与积分路径无关 E dr E dr 0 E dl
A1 B B2A
E dl 0
在静电场中，电场强度 E 沿 任意闭合路径的线积分为零
由于电场强度的线积分与积分路径无关，只取决 于积分的始末位置，因此可以选取计算最简单的 积分路径 沿电场强度的方向 B B E dl E dl Ed
rb
B
4 π 0
(
1 rA
1 rB
ra
Q
电荷在静电场中移动，电场力 所做的功只与电荷的电量以及 始末位置有关，而与路径无关
——静电力是保守力
静电力做功与路径无关——
二 静电场的环路定理
A1 B
q0 E dr E dr
A2B
q0 E dr
A
2
E 2 π 0r e
o
方向垂直于带电直线
E
r
如果仍然选无限远作为电势零点
V
E dl
r
2 π 0r
dr
r
2 π0
ln
r
电势趋向于无 穷大，无意义
选距离带电直线为r0处的A点作为电势零点 距离带电直线为r的P点的电势 A V E dl
在静电场中把试验电荷q0从A点移动到B点，静电场 力做的功就等于该电荷在AB两点电势能增量的负值
三 电势能
W AB
B A
q 0 E d l (W e B W e A ) W e
W eA
令 W eB 0
(0) A
q0 E dl
电荷在电场中某一点的电势能在量值上等于把电 荷从该点移到零势能点时电场力所做的功
0
dl
r
R
由于不论dl选在环上 什么位置，r值不变
V
4
q 4 0 r
1
dl
0
4 0 r
q
r
dl
2 R
2
V
4
0
R x
2
填空题10 真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电 Q，设无穷远处为电势零点，则圆心O点的处的电势V0 = ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到 圆心O点，则电场力做功W= 。
电荷连续分布的带电体电场的电势
把电荷连续分布的带电体分成 无限多个电荷元dq，每个电荷 元都可以看成是点电荷 根据电势的叠加原理 qi dq V 4 π 0 ri 4 π 0r
r d q
P
注意：仅当取无穷远作为电势零点才能按照上式计算 由于对电势的积分是代数积分，这比场强的矢量 积分要容易的多
例2 正电荷q均匀分布在半径为R的细圆环上，求圆 环轴线上距环心为x处点P的电势 dl 在带电圆环上任取一线
r R x
2 2
R
元dl，该线元带电量 q dl dq dl 2 R 该线元在P点产生的电势
dV
1 4
0
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dl
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2 2
dV
1 4
R
2
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(
R
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2 2
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r
2
2 0
R
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第一种计算电势的方法： 利用电势叠加原理和点电荷电势公式
q 选无限远处 点电荷电势 V 为电势零点 4 π 0r