三向应力状态的广义胡克定律-叠加法= 3
秦飞编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律 2
9.1 应力状态
(1)单元体与应力状态
应力是比较特殊的量（张量）：
• 哪一点？
应力
要明确
• 在哪一个面上（面的方位）？ • 面的哪个方向？
过一点不同方向面上应力的集合称为这一点的应力状态。 通常用包围该点的正六面体—单元体(element volume)的 各个面上的应力表示该点的应力状态。
α =60˚斜截面上的应力为
x y
2 x y
x y
2
cos 2 xy sin 2 16.3MPa
2
sin 2 xy cos 2 3.66MPa
25
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.2 二向应力状态分析
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
Stress Analysis and Generalized
Hook’s Law
第9章 应力状态分析与广义胡克定律
9.1 应力状态
9.2 二向应力状态分析
9.3 三向应力状态分析简介
9.4 广义胡克定律
*9.5 由测点处的正应变确定应力状态
秦飞 编著《材料力学》 第9章 应力状态分析与广义胡克定律
8
9.1 应力状态
例题9–2
解：该悬臂梁承受扭矩、剪力和弯矩,由 内力图，固定端截面内力分别为
T Me
FS F
M Fl
A点处的单元体如图所示，单元体上各应力的大 小为 M 32Fl T 16M e A A Wz πd 3 W πd 3
材料力学常用的基本公式
1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算8 刚度校核9 压杆稳定性校核10 动荷载11 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmaxmax t max t max max σσ≤=y I z t max c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max 5、斜弯曲[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件１、 拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EALN EANL L d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)PAB MAB A BqL LLEI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEI ML f B 22=EI PL f B 33= EIqL f B 84=EIML B3=θ,EI MLA 6=θEIPL A B 162==θθEIqL A B 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==ii i EI L M 22∑=()⎰EIdx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i 三、应力状态与强度理论１、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450 ４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥LL最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x Eμσσε-= )(1x y y Eμσσε-= )(y x z Eσσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s sn σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx y x+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE= ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式iLμλ=p2p σπλE=ba s s σλ-=五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh123hb 323maxd y I W z z π==()43132απ-D62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。
广义虎克定律
dy
1
dz dx V1 (1 1 2 3 )dxdydz
K
1 2 V1 V 1 2 3 = e 1 2 3 E V E = 1 2 3 K m 3(1 2 ) 3
min 20MPa
20MPa
1 40MPa
max
2 20MPa
1 3
2
3 20MPa
40 20 30MPa 2
2001年长安大学
3、三向应力状态的体积应变
变形前体积：
2
V dxdydz
3
变形后三个棱边为：
dx 1dx，dy 2 dy，dz 3dz
ห้องสมุดไป่ตู้
E 1 ' 2 —— 2 方向的线应变 即：Y方向的线应变 E
' 3
' 1
1
—— 1 方向的线应变 即：X方向的线应变
1
E
——
3 方向的线应变 即：Z方向的线应变
2
1
3
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E
8.5.2 复杂应力状态的变形比能
2
dy dx
dz
u
1
1 2 2 2 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 1 1 2 2 3 3 2
u uv u f
体 积 改 变 比 能 形 状 改 变 比 能
2 2
2
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa, =0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩.
材料力学弹性力学有限元课程学习思路步骤
材料力学弹性力学有限元课程学习思路步骤解决问题的思路和步骤（基本方程）根据胡克定律(Hooke's law)，在弹性限度内，材料的应力与应变成线性关系。
在处理具体的杆件问题时，根据材料性质和变形情况的不同，可将问题分为三类：①线弹性问题。
在杆变形很小，而且材料服从胡克定律的前提下,对杆列出的所有方程都是线性方程,相应的问题就称为线性问题。
对这类问题可使用叠加原理，即为求杆件在多种外力共同作用下的变形(或内力)，可先分别求出各外力单独作用下杆件的变形(或内力)，然后将这些变形（或内力）叠加，从而得到最终结果。
②几何非线性问题。
若杆件变形较大，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在变形后的几何形状的基础上进求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15 个函数。
从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。
但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。
所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。
直角坐标系下的弹性力学的基本方程为：有限元方法（FEM）的理论基础是变分原理和加权余量法。
仍然遵从平衡方程、几何方程、本构方程、协调方程，其解满足应力边界条件、位移边界条件。
其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
行分析。
这样，力和变形之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
③物理非线性问题。
在这类问题中，材料内的变形和内力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。
在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
解决这类问题可利用卡氏第一定理、克罗蒂－恩盖塞定理或采用单位载荷法等。
三向应力状态的广义胡克定律-叠加法= 3
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面
y
xy
x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？
横力弯曲
* Fs S z I zb
My IZ
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即 应力的点的概念 。
直杆拉伸
F F
k
k k
F
{
p cos cos2
cos sin sin 2 2
0 15.5 主应力 1 方向：
.5 主应力 3 方向：0 105
（3）主应力单元体：
y
3
xy
1
x
15 .5
纯剪切应力状态
tg 2 0 2 xy
（x、y方向正应力为0）
x y
或
0 45
135
2
3
max x y x y 2 xy 2 2 min
2 2
1
3
1
3
y x
x
E
1 1 1 2 3 E
3 1 2 1 = ( ) + ( ) + ( ) E E E
三向应力
z
s z s 30 s 120 ) （
我们应该把X，Y，Z理解 成任意三个垂直的方向
特例（主单元体）
s
2
s3
s1
s
2
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 s 2 ) (s s 1 )
s1
1 2 3
1 E 1 E 1 E (s 1 0 )
xy
2 xy
x y
例： 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、
2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
x cos i y sin i
2 2
i
xy
sin i cos i
i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。
2
co s 2
xy
2
sin 2
x y
2
sin 2
y
xy
2
co s 2
2 s x s t
2
s
s x s
s x s
2
y
cos 2 t xy sin 2
y
sin 2 t xy cos 2
二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle）
1） x1 方 向 的 线 应 变 ； .沿 2）x1 y 1角 的 剪 应 变 。 .
dx
f ( x , y , z , xy , ) g ( x , y , z , xy , )
y1
y
x1
dy
材料力学公式汇总
σ −σ y 2 2 σ max σ x + σ y = ± ( x ) + τ xy ; σ min 2 2
tg2α p =
−2τ xy
σ x −σ y
３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角
τ max = ± (
min
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy =±
σ max − σ min
(8) 刚度条件：待考察点的位移不超过允许值
2
三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力 σ x +σ y σ x −σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α τ α = sin 2α + τ xy cos 2α 2 2 2 注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面 外法线重合的角度为正(-π≤α≤π). ２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
λ ≥ λp ;
σ cr =
π 2E ; λ2
Pcr =
π 2 EI min
(μL )2
λp ≥ λ ≥ λs ; σ cr = a − bλ
λ ≤ λs ;
“ σ cr ”= σ s 或
σb
π 2E ; σp
于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i =
Iz A
λ=
μL
3
Θ=
σ +σ2 +σ3 1 − 2μ E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ); K = ;σ = 1 ; σ = KΘ E 3(1 − 2μ ) 3
σ eq 2 = σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]; [σ ] =
§7-4各向同性材料的应力、应变关系一、广义胡克定律
σy
解： （1）求应变εx, εy ,εz 根据广义胡克定律：
σx
O
= ε x
1 E
(σ
x
−
µσ
y
)
=
1 200 ×
109
(160
×
106
+
0.25
×
40
×
106
)
=
8.5 ×10−4
εy
=1 E
(σ
y
−
µσ x )
= 200
1 ×
109
(−40 × 106
−
0.25×160×106 )
=−4 × 10−4
例: 刚性块D=5.001cm凹座，内放d=5cm刚性
圆柱体，F=300kN, E=200GPa, µ = 0.3,无摩擦，
求圆柱体主应力。
解：
σ3
=− F A
=− π30×05×012043
=−153MPa
F
设圆柱体胀满凹座
ε2 = (5.001− 5) 5= 0.0002
由对称性，可设 σ1 = σ2 = −q
(2) 坐标系转动30o，求 ε γ 30, 30/120
解：（ii）由应力转轴公式
σ= 30
σx
+σ y
2
+
σx
−σ
2
y
cos 2 × 30
−τ x
sin 2 × 30
= 160 − 40 + 160 + 40 cos 60 = 110MPa
2
2
（应力单位：MPa）
τ 30
σ
x
−σ
2
y
三向应力状态简介4广义胡克定律5
三、应力状态的研究方法
取单元体 1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
2
1 3 2
3 1
每个面上应力均匀分布
任意一对平行平面上的应力相等 2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体
3、主平面 4、主应力 说明:
切应力为零的截面 主平面上的正应力
重要结论：
(1) 同一面上不同点的应力各不相同;
(2) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
一点的应力状态
过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力 状态。
二、研究应力状态的目的
1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 有助于理解和解释某些破坏现象 例如
为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？
(2)当x<y 时 ， 0 是x与min之间的夹角
3. 最大切应力
令
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
x y d 2[ cos 2 x sin 2 ] 0 d 2
F
t
0
dA ( x dAcos )cos
( x dA cos )sin ( y dA sin )sin ( y dA sin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
不难看出
90 x y
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
广义胡克定律
§10.4 空间应力状态与广义胡克定律一、空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态,也称为三向应力状态.本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下,单元体的最大正应力和最大剪应力.先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况,如图10-16<a>所示.该斜面上的应力σ、τ与σ1无关,只由主应力σ2、σ3决定.于是,可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力.同理,在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ,也可分别由〔σ1、σ3〕或〔σ1、σ2〕确定的应力圆来表示.这样作出的3个应力圆称作三向应力圆,如图10-16〔d〕所示.当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D.D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力.由于D点的确定比较复杂且不常用,在此不作进一步介绍.图10-16 空间应力状态与其应力圆二、最大、最小正应力和最大剪应力从图10-16<d>看出,在三个应力圆中,由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆,又称极限应力圆.画阴影线的部分内,横坐标的极大值为Al点,而极小值为B1点,因此,单元体正应力的极值为：σmax=σ1,σmin=σ3单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间.而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标,即等于该应力圆半径：Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上,此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力,所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行,且与σ1和σ3主平面交450.三、广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时,已经知道了在线弹性范围内,应力与应变成线性关系,满足胡克定律 E σε= 〔a 〕此外,轴向变形还将引起横向尺寸的变化,横向线应变根据材料的泊松比可得出：'E σεμεμ=-=- 〔b 〕在纯剪切的情况下,根据实验结果,在剪应力不超过剪切比例极限时,剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律,即G τγ= 或 G τγ= 〔c 〕对于复杂受力情况,描述物体一点的应力状态,通常需要9个应力分量,如图10.1所示.根据剪应力互等定律,τxy =－τyx ,τxz =－τzx ,τyz =－τzy ,因而,在这9个应力分量中只有6个是独立的.这种情况可以看成是三组单向应力〔图10-17〕和三组纯剪切的组合.对于各向同性材料,在线弹性范围内,处于小变形时,线应变只与正应力有关,与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关,与正应力无关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因此,求线应变时,可不考虑剪应力的影响,求剪应变时不考虑正应力的影响.于是只要利用〔a 〕、〔b 〕、〔c 〕三式求出与各个应力分量对应的应变分量,然后进行叠加即可.图10-17 应力分解如在正应力σx 单独作用时<图10-17<b>>,单元体在x 方向的线应变xxx E σε=；在σy 单独作用时<图10-17<c>>,单元体在x 方向的线应变为：yxy E σεμ=-；在σz 单独作用时<图10-17 <d>>,单元体在x 方向的线应变为zxz E σεμ=-；在σx 、σy 、σz 共同作用下,单元体在x 方向的线应变为：同理,可求出单元体在y 和z 方向的线应变εy 和εz.最后得 1()y y z x E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 〔10-9〕对于剪应变与剪应力之间,由于剪应变只与剪应力有关,并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变,而不会影响其它方向上的剪应变.因而仍然是〔c 〕式所表示的关系.这样,在xy 、yz 、zx 三个面内的剪应变分别是12(1)yz yz yz G E μγττ+== 〔10-10〕公式〔10-9〕和〔10-10〕就是三向应力状态时的广义胡克定律.当单元体的六个面是主平面时,使x 、y 、z 的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,这时有广义胡克定律化为：[]22311()E εσμσσ=-+ 〔10-11〕ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致,称为一点处的主应变.三个主应变按代数值的大小排列,ε1 ≥ ε2 ≥ε3,其中,ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值.四、 体积应变单位体积的改变称为体积应变〔体应变〕.图10-18所示的主单元体,边长分别是dx 、dy 和dz.在3个互相垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3.单元体变形前的体积为: v = dxdydz ;变形后的体积为：v 1=〔dx +ε1dx><dy +ε2dy><dz+ε3dz>则体积应变为：略去高阶微量,得 123θεεε=++ 〔10-12〕将广义胡克定律式<10-11>代入上式,得到以应力表示的体积应变图10-18 主应力单12312312()E μθεεεσσσ-=++=++ 〔10-13〕令 1231()3m σσσσ=++ 〔10-14〕则 3(12)m m E K μσσθ-== 〔10-15〕式中：3(12)E K μ=-称为体积弹性模量,σm 称为平均主应力.公式〔10-15〕表明,体积应变θ与平均主应力σm 成正比,即体积胡克定律.单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关,至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响.若将图10-19〔a 〕中所示单元体分解为〔b 〕和〔c 〕两种情况的叠加,在〔c 〕图中,由于各面上的主应力为平均主应力,该单元体各边长按相同比例伸长或缩短,所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变.在图〔b 〕中,三个主应力之和为零,由式〔10-13〕可得其体积应变θ也为零,表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变.由此可知,图〔a 〕所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变.五、 复杂应力状态下的弹性变形比能弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下,在单位体积内储存的变形能.在单向应力状态下,当应力σ与应变ε满足线性关系时,根据外力功和应变能在数值上相等的关系,导出变形比能的计算公式为图10-19 单元体应力的组合在复杂应力状态下的单元体的变形比能为将将广义胡克定律<10.11>式代入上式,经过整理后得出：22212312233112()2E σσσμσσσσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦ 〔10-16〕 式〔10-16〕就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式.由于单元体的变形包括体积改变和形状改变,所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合.式中：u θ为体积改变比能,d u 为形状改变比能.对于图〔10-19〔c 〕〕中的单元体,各面上的正应力为：1231()3m σσσσ==++,将σm 代入式〔10-16〕得体积改变比能： 212312()6E μσσσ-=++ 〔10-17〕形状改变比能：2221223311[()()()]6E μσσσσσσ+=-+-+- 〔10-18〕 例10-7 如图10-20所示钢梁,在梁的A 点处测得线应变640010,x ε-=⨯612010,y ε-=-⨯ 试求：A 点处沿x 、y 方向的正应力和z 方向的线应变.已知弹性模量E=200GPa,泊松比μ=0.3.图10-20 钢梁上某点A 的位置解：因为A 点的单元体上σz=0,该单元体处于平面应力状态,将εx 、εy 、E 、μ代入公式〔10-9〕,得解得：σx=80MPa,σy=0再由。
三向应力状态的广义胡克定律讲解学习
r3
(NM)2(T)2 AW W
r4
(NM)20.7(5T)2
AW
W
ay
iz2 yP
az
iy 2 zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分 2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组
合
Q(x)
变
Q(x)
形
的
变 杆内总变形能:
形UN 2(x)d xT2(x)d xM 2(x)d
2 2 X 1 2 X 2 2 X 2 X 3 2 P 0
3 3 X 1 3 X 2 2 3 X 3 3 P 0
当对称结构上受对称荷载作用时,在对称截面 上,只有对称内力，反对称内力等于零。
当对称结构上受反对称荷载作用时，在对称截 面上只有反对称内力，对称内力等于零。
能
l 2EA l2GPI l 2EI
Pi
U i
卡氏第二定理：
Q(x) Q(x)
Pi
U i
li
M(x)i EI
M(x)i P
dix
li
T(x)i GpI
T(x)i P
dix
li
N(x)i N(x)i EiA P
dix
莫 弯曲: 尔
l MxE MIxd x
积 拉、压:
分 公
扭转：
n
(2) 根据 max ,选择相应的临界应力 公式, 计算临界应力或临界力.
(3) 进行稳定计算或利用稳定条件,进 行稳定校核.
My
IZ
QS Z
IZb
强度 条件
max
Nmax Amin
jy
jy
max
Tmax WP
04-9.5 广义胡克定律
大连理工大学 王博
广义胡克定律
广义胡克定律
各向同性材料；应力不超过材料的比例极限胡克定律成立
1. 纵向线应变与横向线应变
x y
x
E x
x
E
y
z
x
x
E
σx
ν —— 泊松比 x
2. 三向应力状态的广义胡克定律
——叠加法
σ2
σ1
1
1 E
1
2
3
σ3
2
1 E
2
3
1
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
3. 应变第一不变量
x
y
z
1 2
E
x y z
常数
4. 主线应变
1
1 E
1
2
3
2
1 E
2
3
1
பைடு நூலகம்
ε1 ≥ε2 ≥ε3
3
1 E
3
1
2
5. 三个弹性常数之间的关系
G
E
21
6. 最大切应变
γmax =ε1 －ε3
45°
σ1＝τ
1 ， 2 0 ， 3 ，
1 2 E
x y z
1 2 E
1
2
3
1 2 0 0
E
纯剪切状态下单元体无体积改变，只有形状改变
例2
Me
Me
K 45°
d
σ3＝–τ
45°
K τ
σ1＝τ
已知 d , E, ν, ε45 , 求Me 解：1. 应力状态分析
过程装备基础填空
（1）力的内效应是力使材料发生变形的效应。
（2）对物体的位移起限制作用的周围物体称为约束称为约束（3）材料的许用应力是指人为规定的应力上限许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力（4）梁按约束条件一般分为三种基本类型，即：柔性、光滑面、铰链约束（5）钢中的有害杂质主要是___S、P _。
（6）公式σ=E*ε叫做胡克定律它表示的是应力与应变之间的关系。
（7）16MnR的含义是低合金容器用钢。
（8）压力容器的公称直径，当采用钢板卷制时，其数值等于_内径_；当直接采用无缝钢管制作时，其数值等于__钢管的公称直径___。
容器进行压力试验的目的是什么？常用的试验方法有哪两种？答：检验容器的整体安全性液压实验、气压实验剪切构件的受力与变形特点是什么？答受两个大小相等、方向相反、距离很小的力，变形为相邻表面错动平面弯曲的梁将产生什么变形？答：弯曲材料许用应力的选取要考虑哪几个因素？答：材料、设计温度、厚度范围简述压力容器的基本组成。
答：筒体、封头及零部件简述外压圆筒的分类。
答：长圆筒、短圆筒、刚性圆筒1．内压圆筒开椭圆孔时，其长轴应与轴线平行。
（×）2．设计压力为4MPa的容器为高压容器（×）3．容器的名义厚度与计算厚度的差值是壁厚附加量。
（×）4．受内压作用的容器必须按强度计算进行壁厚设计。
（√）5．一常压塔最大压应力应发生在安装检修时的设备迎风侧。
（×）6．在补强圈上开有一个M10的小螺纹孔。
（√）7．压力容器无论制造完毕后或检修完毕后，必须进行压力试验。
（√）8．边缘应力具有自限性和局限性。
（√）9．当焊缝系数一定时，探伤比例随焊缝系数的增加而减小。
（×）10．容器的强度反映了外压容器抵抗失稳的能力。
（×）11．压力容器的设计寿命是从腐蚀裕量中体现出来（√）12．法兰密封中，法兰的刚度与强度具有同等重要的意义。
（×）13．当材质与压力一定时，壁厚大容器的应力总是比壁厚小容器应力（×）14．塔的最大质量出现在其水压试验时（√）15．塔的稳定性计算也可用计算法进行计算。
三向应力
2
x y
2
x y
2
s in 2
xy
c o s 2
2
x y
2
s in 2
至此，完成了应变规律的研究，即：
2
c o s 2
xy
s in 2
(A) (B)
2
x y
2
xy
c o s 2
2
2
x y
2
x y
*
*
xy
sin
2
显 然 ， ( )即 为 直 角 x 1 y 1角 度 改 变 ， 而 这 一 角 度 改 变 也 就 是 剪 应 变 。 所 以
*
2 ( x y ) c o s s in
xy
s in
2
将上式略作改变便可以写为
1 2 3
y
(s 1 s 3 )
3
30
E
s 3
(s
2
s 1 )
30
1 E
s 30 s 120 s z ) （
30
x
120
1 E
1 E
s 120 s 30 s z ) （
z
微分线段的线应变为
d (l ) ds
xy
d x s in
x d x co s
ds
y d y sin
应力张量的概念及其应用
1。应力张量及其不变量
已经学过的数学量： 标量：温度、密度、能量等 矢量：速度、加速度、位移、力等
在材料力学中学到的应力和应变的表示： 在三维空间，每维空间有三个分量， 一个要用九个分量表示。
1。应力张量及其不变量
引入张量：
0阶张量：30＝1 1阶张量：31＝3 2阶张量：32＝9 3阶张量：33＝27
31 11
( ) 1
2
ii kk
ik ki
11 12 13 J 3 21 22 23 ij
31 32 33
原设l为一个主应力，可以证明方程(9)有3个 实根，则是三个主应力，用1, 2, 3 表示。
若用主应力表示J1, J2, J3 : J1 1＋2＋3
J 2 (12＋23＋31 )
2、应变能密度(Strain-Energy Density)
v
dW dV
1 2
(11
2
2
3 3
)(dxdydz
)
(dxdydz)
1 2
(
1 1
2
2
3
3
)
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
3、体积改变能密度与形状改变能密度
2
2
1
+
1
3
3
令
1 3
(
1
2
3)
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
应力和应变是二阶张量
1。应力张量及其不变量
二、一点的应力状态表示
用二阶张量在x, y, z 坐标系表示
yxxx
xy yy
xz yz
zx zy zz
或写成：
xx yx
xy yy
三向应力圆及广义虎克
σx
III
III σI 2
σ II3 σ1
σ3 1
这样， 这样，单元体上与主应力之一平行的各 个斜截面上的正应力和剪应力， 个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力 圆圆周上各点的坐标来表示。 圆圆周上各点的坐标来表示。
τ
σ3
σ2
σ1 σ
三向应力状态 特例分析
三向应力状态 的应力圆
在三组特殊方向面中都有各自的面内 最大切应力, 最大切应力,即：
1）绕Z轴旋转，使τxy、τyx为零； ） 轴旋转， 为零； 轴旋转 2）绕X轴旋转，使τyz、τzy为零； ） 轴旋转， 为零； 轴旋转 3）绕Y轴旋转，使τxz、τzx为零； ） 轴旋转， 为零； 轴旋转
主单元体： 主单元体：六个平面都是主平面
σ2
σ1
σ3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力 若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:
σ3 σ1 σ1
σ2
σ3
σ2
τ
σ3
σ2
σ1 σ
同理， 的各个斜截面上， 同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆 圆周上各点的坐标。 圆周上各点的坐标。
σ2
σ1
σ3
σ1
σ3
σ2
τ
σ3
σ2
σ1 σ
的各个斜截面上， 在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。 的坐标。
§ 8 －4
三向应力状态下的应力圆 三向应力状态下的应力圆
一般三向应力状态单元体如图。 一般三向应力状态单元体如图。 一般平面应力状态下， 一般平面应力状态下，通过旋转单元体都可以 使其成为主单元体。 使其成为主单元体。 一般三向应力状态单元体，通过旋转， 一般三向应力状态单元体，通过旋转，也可以使 其成为主单元体。 其成为主单元体。
广义胡克定律
解:
MA
F 2
0.25
FSA
F 2
σA
MA Iz
yA
50.8MPa
A
FSA Sz*A Izd
68.8MPa
()
yA ,Iz ,d 查表得出
S
* zA
为图示面积对中性轴z的静矩
σ0 σA 50.8
σ90 σ y 0
ε0
σ0 E
ε90
σ0
E
z A
h/4
A = 50.8
A
A = 68.8
F
90° 45°
σmin
2
(σx
2
σ y )2
τ
2 x
41.4MPa 21.4MPa
1 41.4 2 0 3 21.4
ε1
1 E
(σ1
μσ3 )
2.4 104
ε2
E
(σ1
σ3 )
3 105
ε3
1 E
(σ3
μσ1 )
1.7 104
（2）A点处的线应变 x , y , z
σx 20 σ y σz 0
xy x
3.主应力-主应变的关系（Principal stress-principal strain relation）
已知 1,2,3; 1,2,3为主应变
ε1
1 E [σ1
μ(σ2
σ3 )]
ε2
1 E
[σ2
μ(σ3
σ1 )]
ε3
1 E
[σ3
μ(σ1
σ2 )]
二向应力状态下(in plane stress-state)设 3 = 0
σ1 σ3 τ xy σ2 0
三向应力状态的广义胡克定律
1 11X1 12 X 2 13X3 1P 0 2 21X1 22 X 2 X 23X3 2P 0 3 31X1 32 X 2 33X3 3P 0
当对称结构上受对称荷载作用时,在对称截面 上,只有对称内力，反对称内力等于零。
AW
W
ay
iz2 yP
az
i
2 y
zP
1、中性轴不能将横截面分为两部分
2、截面核心的形状受截面外边界控制
3、中性轴和力的作用点分别在截面形心两侧
组
合
Q(x)
变
Q(x)
形
的
变 杆内总变形能:
形U
N 2 (x) dx
T 2 (x)dx
M 2 (x) dx
能
l 2EA
l 2GIP
z
E
x
y
G
y
y
z
x x
1 1 （ 2 3）
1 3
1（[
2
1
）2
2
2
3
2
3
1
2
]
r
r
莫尔强度理论：
1
[ t ] [ c ]
M x
EI
dx
积 拉、压: 分 公 扭转：
n N i N i li
i 1
EAi
T xT x dx
l
GI p
式
l
组合变形的圆截面杆
应力状态-广义虎克定律
2 31.23MPa
3 51.23 MPa
微元内的最大切应力
max
1 3
2
55.6MPa
1、求下列单元体的三个主应力
TSINGHUA UNIVERSITY
30 40 30
50 40
2、求下列单元体的三个主应力
TSINGHUA UNIVERSITY
1 3 3 1 2 E
3
3、广义胡克定律的一般形式
z
zx
x
xz
zy yz
xy yx
y
1 x [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E yz zx xy yz zx xy G G G
60MPa
TSINGHUA UNIVERSITY
＝
x
1 2 2 x 4 xy 0 2 2
2 1 2 2 x 4 xy 0 2
＝
x
x=－20 MPa，xy=－40 MPa。
20 106 1 2 2
A
M
h
P B
b
11、等截面圆轴的直径为D＝40毫米，材料的弹性模量 为E＝200GPａ，泊松比μ＝0.25。测定A点与轴线成 ±45o角的线应变分别为ε45＝-146×10－6，ε-45＝ 446×10－6。求外载荷P、M；如果构件的许用应力 为[σ]＝120MPａ，校核强度。
TSINGHUA UNIVERSITY
2
TSINGHUA UNIVERSITY
2
广义胡克定律
广义胡克定律强度理论[ 知识回顾 ]1、轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）x E x横向变形xy xE2）纯剪切G[ 导入新课 ]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[ 新课教学 ]精品文档广义胡克定律强度理论一、广义胡克定律（ Generalized Hooke Law ）1、主应力单元体－叠加法小变形，线弹性范围内，符合叠加原理只在1作用下： 1 方向11 E只在2作用下： 1 方向112方向由 1、2、3 共同作用引起的应变E只在3作用下： 1 方向13111E即11123E同理：12231E31312 E2、非主应力单元体可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。
x y z 1E1E1Exyz(((y z )xyz x)yzx y )zx1G1G1Gxyyzzx3、体积应变精品文档单元体，边长分别为 dx 、 dy 和 dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1 、 2和3。
变形前单元体的体积为V dxdydz变形后，三个棱边的长度变为dx 1dx (1 1 )dxdy 2dy (1 2 ) dydz3dz(13 ) dz由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为V 1 (11 )(12 )(13 )dxdydz将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得V 1 (1123 )dxdydz于是，单元体单位体积的改变为V 1 VV1 2 3称为体积应变（或体应变） 。
它描述了构件内一点的体积变化程度。
5、体积应变与应力的关系将广义虎克定律（ 8-22 ）代入上式，得到以应力表示的体积应变3(12)1 2 3 m123 )E3K123(12E式中KE12 )3(1m123 )(3K 称为体积弹性模量，m 是三个主应力的平均值。
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1 2 2 x y 1 2 2
所以，最大和最小正应力分别为（三角函数推导得）
max x y
x
2 y 4 xy 2
即α＝α0 时，切应力为零
tan2 0
2 xy
tan 2 0 tan2 （ / 2 - 0） 设（ / 2 0 ) 0
2 xy
x y
x y
则 0 0 / 2
由上式可以确定出两个相互垂直的平面（，分 别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。
利用三角函数公式
{
1 cos (1 cos 2 ) 2 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
并注意到 yx xy 化简得
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
z
z
zy yz
2
zx
x
x
xz
3
xy yx
y
y
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用
1, 2 , 3
表示，并且
1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零
（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
p sin
k
p
直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
l
S平面
T
y
1 4
S
T
F a
1
z
2 3
x Mz
Fa
F
s
σ
T Wt
Mz Wz
T Wt
3
σ Mz Wz
M
Fl
上图中1、3等边缘点切应力为0
a
n
n
0
dA xy (dAcos ) sin x (dAcos ) cos yx (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
S平面
F
S平面
F 2 Fl Mz 4
l/2
l/2
5 4 3 2 1
2
1
1
2
2
3
3
7-2 二向应力状态分析-解析法
（三个主应力中有两个不为零的状态）
1.斜截面上的应力
y
x
yx
xy
x α
a
n
x
y
xy
a
dA
yx
y
t
t
F
n
0
F 0
列平衡方程
F
x α
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面
y
xy
x y x y 2 2 max ( ) x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
确定正应力极值
σy ) (σ x 2 sin2α 0 0 τ x ycos2α 0 2τ α 0 2
设α＝α0 时，上式值为零，即 ( x y ) sin 20 2 xy cos20 0 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
xy
x
y
2 2 xy 60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2 9.02 MPa x x y sin 2 xy cos 2 2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
2 y 4 xy 2
min
x
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
y
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
2.正负号规则
y
x
yx
xy
正应力：拉为正；压为负
x
y
a
a
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
x
xy
α
yx
n
x
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
y
t
3. 正应力极值和方向
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 d 2 ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
第七章 应力和应变分析 强度理论
7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6
应力状态的概念 二向应力状态分析-解析法 二向应力状态分析-n图解法 三向应力状态 广义胡克定律 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出 铸 铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？
横力弯曲
* Fs S z I zb
My IZ
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即 应力的点的概念 。
直杆拉伸
F F
k
k k
F
{
p cos cos2
cos sin sin 2 2