三向应力状态的广义胡克定律-叠加法= 3

铸
铁
脆性材料扭转时为什么沿45º 螺旋面断开？
横力弯曲
* Fs S z I zb
My IZ
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即 应力的点的概念 。
直杆拉伸
F F
k

k k
F

{
p cos cos2
cos sin sin 2 2
确定正应力极值
σy ) (σ x 2 sin2α 0 0 τ x ycos2α 0 2τ α 0 2
设α＝α0 时，上式值为零，即 ( x y ) sin 20 2 xy cos20 0 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
即α＝α0 时，切应力为零
tan2 0
2 xy
tan 2 0 tan2 （ / 2 - 0） 设（ / 2 0 ) 0
2 xy
x y
x y
则 0 0 / 2
由上式可以确定出两个相互垂直的平面（，分 别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2
1 2 2 x y 1 2 2
所以，最大和最小正应力分别为（三角函数推导得）
max x y


x
2 y 4 xy 2
2.正负号规则
y
x

yx
xy
正应力wenku.baidu.com拉为正；压为负
x
y
a
a
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
x
xy
α
yx
n
x
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
y
t
3. 正应力极值和方向
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 d 2 ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
a
n
n
0
dA xy (dAcos ) sin x (dAcos ) cos yx (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
xy
x
y
2 2 xy 60 40 60 40 cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2 9.02 MPa x x y sin 2 xy cos 2 2 60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
S平面
F
S平面
F 2 Fl Mz 4
l/2
l/2
5 4 3 2 1
2
1
1
2
2
3
3
7-2 二向应力状态分析-解析法
（三个主应力中有两个不为零的状态）
1.斜截面上的应力
y
x

yx
xy
x α
a
n
x
y
xy
a
dA
yx
y
t
t
F
n
0
F 0
列平衡方程
F
x α
z
z
zy yz
2
zx
x
x
xz
3
xy yx
y
y
1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用
1, 2 , 3
表示，并且
1 2 3
该单元体称为主应力单元体。
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零
（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
第七章 应力和应变分析 强度理论

7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6
应力状态的概念 二向应力状态分析-解析法 二向应力状态分析-n图解法 三向应力状态 广义胡克定律 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出 铸 铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
2 y 4 xy 2
min
x
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
y
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
利用三角函数公式
{
1 cos (1 cos 2 ) 2 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2
2
2 sin cos sin 2
并注意到 yx xy 化简得
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
解：（1） 斜面上的应力 x y x y cos 2 xy sin 2
58.3MPa
（2）主应力、主平面
y
xy

x y x y 2 2 max ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 min xy 2 2
p sin
k
p
直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
l
S平面
T
y
1 4
S
T
F a
1
z
2 3
x Mz
Fa

F
s

σ
T Wt
Mz Wz
T Wt
3
σ Mz Wz
M
Fl
上图中1、3等边缘点切应力为0