三个正数的均值不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
高二数学人选修课件三个正数的算术几何平均数
几何平均数与均值不等式 的关系
均值不等式是几何平均数性质的一个推广， 它表明任意n个正数的算术平均数总是大于 等于它们的几何平均数。同时，几何平均数 也可以作为均值不等式取等条件的一个特例
。
04
算术几何平均不等式
不等式的形式与性质
形式
对于任意三个正数a, b, c，有 (a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)，其中等号成 立当且仅当a=b=c。
算术平均数是指一组数的和除以 这组数的个数，而几何平均数是
指一组数的乘积的n次方根。
性质
对于任意一组正数，其算术平均数 总是大于等于几何平均数，当且仅 当这组数全部相等时取等号。
应用
在比较不同数据集的平均水平时， 算术平均数更常用，但在涉及增长 率、复利等问题时，几何平均数更 为合适。
算术几何平均不等式与均值不等式的联系
应用举例
例1
证明
例2
证明
已知a、b、c为三个正数， 且a+b+c=1，求证： (a+1)(b+1)(c+1)≥8(1a)(1-b)(1-c)。
由已知条件得a+b+c=1，则 (a+1)、(b+1)、(c+1)分别 为a、b、c与1的算术平均数 。根据算术几何平均不等式 ，有(a+1)、(b+1)、 (c+1)≥3³√(a+1)(b+1)(c+1 )。同理可得(1-a)、(1-b)、 (1-c)的算术平均数也大于等 于其几何平均数。将两不等 式相乘并化简即得所证不等 式。
三个正数的算术平均数满足均值不等 式，即(a+b+c)/3 ≥ ³√(abc)。当且 仅当a=b=c时，等号成立。
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正 数，会有怎样的不等式成立呢？
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以 aba1babbba1b3，
当且仅当(a-b)=b= b
1 a
b
时等号成立.
答案:3
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜ x＜ 1 ) 的最大值.
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
3 3abcabc
111
3
a2b2c2 .
3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式
B．3
C.523 5
D．4
3 2
解析：y＝3x＋
1 2x2
＝
3x 2
＋
3x 2
＋
1 2x2
≥3
3
33 1 2x·2x·2x2
＝
3 3
98＝323 9.
当且仅当32x＝21x2，即x＝ 3 13时，等号成立． 答案：A
3．设x＞0，则y＝x＋x42的最小值为(
)
ห้องสมุดไป่ตู้
A．2
B．2 2
C．3 2
D．3
解析：y＝x＋x42＝x2＋x2＋x42≥3· 3 x2·x2·x42＝3， 当且仅当x2＝x42时取“＝”号． 答案：D
(3)如果a，b，c∈R＋，那么abc≤
a＋b＋c 3
3
，当且
仅当a＝b＝c时，等号成立．( )
(4)如果a1，a2，a3，…，an都是实数．那么a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理3，只有在a，b，c都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如a＝1，b＝－1，c＝－3，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
解：设切去的正方形的边长为x，无盖盒子的容积为V， 则V＝(a－2x)2x＝14(a－2x)(a－2x)·4x≤14 （a－2x）＋（3 a－2x）＋4x3＝22a73， 当因且此仅V取当最a－大2值x＝22a473x，，即x＝a6时，等号成立． 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的16 时，盒子的容积最大．
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
均值不等式
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
均值不等式
⑦向量形式的柯西不等式：,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k αβ=时，等号成⑧排序不等式（排序原理）：()22b c a b R ++≥∈，（当且仅当a b c ==...a ≤≤≤,...,c 是b知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)12,33y x x x =+>-。
变式练习：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即t=时,4259y t t≥⨯+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
变式练习(1) 231,(0)x x y x x++=>技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
例：求函数2254x y x +=+的值域。
解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a 2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
高中数学人教A版选修4-5第一讲 一 3.三个正数的算术—几何平均不等式 课件
当且仅当x－a＝x－1 a2即x＝a＋1时，取等号．
∴2x＋x－1 a2的最小值为3＋2a. 由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.
答案：2
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 证明：∵a，b，c∈R＋， ∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
6．若a>2，b>3，则a＋b＋a－21b－3的最小值为________．
解析：a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0. 则a＋b＋a－21b－3＝(a－2)＋(b－3)＋a－21b－3＋5
3 ≥3
a－2×b－3×a－21b－3＋5＝8.
当且仅当a－2＝b－3＝
解析：设圆柱半径h＝πr2·6－2 4r＝πr2(3－2r)≤πr＋r＋33－2r3＝π. 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．
答案：B
5．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为 ________.
解析：∵0<x<1，∴1－x>0. 故3 2x1－x1－x ≤2x＋1－x3＋1－x＝23. ∴x(1－x)2≤247当且仅当x＝13时取等号. 答案：247
解：∵6＝x＋3y＋4z＝
x 2
＋
x 2
＋y＋y＋y＋
4z≥66 x2y3z， ∴x2x3z≤1当x2＝y＝4z时，取“＝”. ∴x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.
10．有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的 三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无 盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的 三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？ 解：剪下的三个全等的四边形如图所示，设A1F1＝ x，则AF1＝ 3x， ∴A1B1＝F1F2＝36－2 3x. ∴V＝ 43(36－2 3x)2·x ＝32 3(6 3－x)(6 3－x)·2x.
教学设计 三个正数的均值不等式教学设计
尽可能的 让学生进 行类比、 猜 想， 学生猜 想的结果 可能会很 多， 可一一 让学生展 示交流。
1
定理：如果 a, b, c R+，那么有
ab b c 时，等号成立。 这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式 注： １、 若三个正数的积是一个常数， 那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的和有最小值。 2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时， 它们的积有最大值。 事实上，基本不等式可以推广到一般的情形： 即：n 个正数的算术—几何平均不等式：
目标
过程与方法
情感态度与价值观 教学重点 教材分析 学法 指导 教学方法 教具 教学设计 教学难点
在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方 式进行学习。 教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行 教学。 电脑,多媒体课件等 设计意图 师生活动 请学生 作答。
3
一、复习引入： 基本不等式：如果 a, b 0 那么
ab ab 2
当且仅当 a b 时成立 二、讲授新课 思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关 系，这个不等式能否推广呢？例如，对于 3 个正数，会有怎样的不 等式成立？ 类比基本不等式的形式，我们猜想： 对于 3 个正数 a, b, c, 可能有： 如果 a, b, c R+，那么有
复习旧知 识，让学 生容易进 入新课的 学习。 使学生在 已有知识 和经验的 基础上， 探 索 新 知。 引导学生 进 行 类 比、 猜想， 得出一般 的结论。
学生回 顾，并回 答。
abc 3 abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立。
证明： （课堂内不作要求，有兴趣的同学可以在课外研究。 ）
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明（实用版）目录1.引言2.三个正数的均值不等式的定义和表述3.证明过程a.使用柯西不等式进行证明b.使用权和均值不等式进行证明4.结论5.总结正文1.引言在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它应用于各种实际问题中，如求解最值问题、概率论等。
在本文中，我们将讨论如何证明三个正数的均值不等式。
在开始证明之前，我们需要先了解均值不等式的定义和表述。
2.三个正数的均值不等式的定义和表述三个正数的均值不等式是指：对于任意三个正数 a、b、c，有(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。
换句话说，三个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
3.证明过程为了证明这个不等式，我们可以使用两种方法：柯西不等式和权和均值不等式。
a.使用柯西不等式进行证明根据柯西不等式，对于任意实数 a1、a2、a3 和 b1、b2、b3，有 (a1b1 + a2b2 + a3b3)^2 <= (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)。
取a1 = a2 = a3 = 1，b1 = b2 = b3 = 1，我们可以得到 (1+1+1)(1+1+1) <= (1^2 + 1^2 + 1^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)，即 9 <= 9，这个不等式显然成立。
然后我们考虑将不等式中的 a、b、c 替换为 1/a、1/b、1/c，得到 (1/a + 1/b + 1/c)^2 <= (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(1 + 1 + 1)，即 (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。
因此，我们证明了三个正数的均值不等式。
b.使用权和均值不等式进行证明根据权和均值不等式，对于任意正数 a、b、c 和正实数 x、y、z，有 (ax+by+cz)/(x+y+z) >= (a^x + b^y + c^z)^(1/(x+y+z))。
教学案：3.4三个正数的算术—几何平均数
课题
三元基本不等式
主导人
审核人
上课教师
上课班级
上课时间
教学目标
1．理解掌握三元基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题，能类比推理得到n元基本不等式.
2．如何将问题转化出积为定值，或和为定值.
3．进一步掌握类比推理、演绎推理等方法与途径.
教学重点
1．基本不等式成立时的三个限制条件（即一正、二定、三相等）.
复习
（一）二元基本不等式的内容和研究方法：
重要不等式：若 ，则 （当且仅当 时取“=”）.
1.指出定理的适用范围： ;
2.强调取“=”的条件： ;
基本不等式：若 ，则 （当且仅当 时取“=”）.
1.这个不等式的适用范围为 ;
2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数;
3.利用此不等式时一定要注意条件：一正二定三相等！有一个条件达不到就不能取得最值.
渗透研究事物的途径和方法
前后贯串
形成整体认知结构
二、例题选讲（应用）
（问题2.1）以上不等式可用于解决哪些问题呢？
【板书】1.证明不等式（从代数结构——数运算角度：和与积的相互转化，可用于含和积不等式的证明）.
例1.已知 ，求证： .
设置意图：综合运用三元基本不等式，培养学生的转化化归能力.
分析引导：（问题1）式中有几个字母？结构如何？
二、自编题
根据基本不等式的“一个不等式，二种思想，三个注意”编写5道难度适中的解答题，并给出方法，相互交流点评：
教后感
分析：根据题设条件建立 与 的关系式 将它代入
得到以 为自变量， 为因变量的函数关系式
用算术——几何不等式求函数的最值 获得问题的解
三次均值不等式证明
三次均值不等式证明三次均值不等式证明是一种数学证明方法，它用来证明一个特定的关系或函数的最小值。
该证明以三次均值作为其中心思想，将这一表达式的最小值的证明分解为三个部分。
首先，我们介绍三次均值不等式的定义：对于任意的整数n>=2，任意的整数a1，a2，…，an，以及任意的正数c1，c2，…，cn，当存在一个c使得c1 + c2 + … + cn = c时，有：c(a1 + a2 + … + an) >= (c1a1 + c2a2 + … + cnan)简单来说，就是如果c1+c2+…+cn=c，则有：c*(a1+a2+…+an) >= (c1*a1+c2*a2+…+cn*an)。
也就是说，c1*a1+c2*a2+…+cn*an 的最小值是c*(a1+a2+…+an)。
其次，我们来看看如何用三次均值不等式证明函数f(x)的最小值。
假设f(x)是一个定义在区间[a,b]上的函数，要求证明在[a,b]内，f(x)的最小值是M。
首先，我们令f(x)=c1*a1+c2*a2+...+cn*an，其中c1,c2,...,cn是常数，a1,a2,...,an是函数f(x)在区间[a,b]上的不同值。
根据三次均值不等式，我们有：M <= c1*a1+c2*a2+...+cn*an （1）然后，我们考虑将函数f(x)在区间[a,b]上的不同值用一些中间值代替，比如t0，t1，t2，…，tn-1，tn，令：f(x) = t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn令c1=c2=…=cn=1，则有：M <= t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn （2）最后，我们用三次均值不等式对（2）进行处理，令：t0 = (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n由此，我们有：M <= (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n + t1 + t2+ … + tn-1 + tn根据三次均值不等式，我们有：M <= [(t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n] * n即：M <= t1 + t2 + … + tn-1 + tn此时，我们已经证明了函数f(x)在区间[a,b]上的最小值是M。
均值不等式
与2的大小关系, b a
a
b
a b
b a
能得到什么结论?
请说明理由.
练习
1、已知a、b、c都是正数，求证： （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 4 2 2、若 a为任意实数，试比较 a 3 2 与4 a 3 的大小关系.
3、已知 a 3, 求证： a 7; a 3
2
2
求 a 1 b 的最大值。
2
如果 a , b都是正数，那么
2 1 1 a b
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时，等号成立
2 1 1 a b
2
称为 a , b的调和平均数
a b 2
2
称为 a , b的平方平均数
a b 2 ab , a b 2 ab
2 2
ab (
ab 2
) ,(
2
ab 2
)
2
a b
2
2
2
当且仅当a=b时，等号成立
不等式 y x (1 3 x )( 0 x ) 的最大值是 (
3
1
B )
A．
4 243
B．
1 12
C．
1 64
D．
1 72
已知 log 2 ( x y ) log 2 x log 2 y , 则 x y 的取值范围是
ab ab 定理 如果a,b是正数, 那么 2
(当且仅当a b时取“”号)
其中
ab 2
称为正数a,b的算术平均数
ab 称为正数a,b的几何平均数
所以基本不等式也称为均值不等式
思考：如何证明？
均值不等式
均值不等式不等式知识清单如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a b a b++≥（当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ⑴3322a b a b ab ++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++--- 可推出3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,0a b c a b c ==++=或时取等); ⑶如果a ,b ,c ∈{x |x（当且仅当a =b =c 3.绝对值不等式：1231a b a b a a a a a --+++⑴≤≤⑵≤例1、已知x,y (1)如果xy 是定值；(2)如果x+y 是定值S ，那么当x=y 时，和xy 有最小值214S ；例2、已知a,b,c,d 都是正数，求证(4a a abcd ≥b+cd)(c+bd)例3、若a,b,c 都是正数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++练习：若a,b,c 都是正数，a+b+c=1,求证：1119abc++≥作 业:1、若,a R ∈下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．111a +< C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2、若,x R -∈则1y xx=+（ ）A. 有最大值-2B. 有最小值2C. 有最小值-2D. 无最值 3、1sin ,(0,]y x x π=+∈最小值是（ ）A ．4、若x>0,5、当0,4x >6、若lg lg x +21y+x的最小值是______,此时x=________7、若x,y,z xyz8、若a,b,c 都是正数，a+b+c=1,求证：6b c c a a b abc+++++≥9、直角三角形的周长为定值c,求它的面积的最大值；（2）例1、 如图：用篱笆围一块面积为502m 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时篱笆墙长多少米？例2、(1)求11(0)x y x x +=+≥的最小值，并求相应的x 的值，(2) 24(0)y x x x=+>的最小值，并求相应的x 的值，例33m ，池两边每平方造价150元，练习：(1) 求函数y =(2) 求函数y =(3) 求函数52)y x x =<<的最大值；作业：1、若,,xy R ∈且x+y=5,则33x y +的最小值（ ） A ．4 B ． ． D ．50250m xm x m2、已知m+n=1,m>n>0,则m,n,2mn,22m n +中最大的一个是（ ） A ． n B ．m C ． 2mn D ．22m n +3、若lo g 1,01,01,x y aa x y ⋅=<<<≤<且log a则xy 的最值情况（ ）A ．无最大值也无最小值B ．有最大值但无最小值C ．有最小值但无最大值D ．有最大值也有最小值4、如果圆柱轴截面的周长为定值1，那么圆柱体积最大值为_________5、若x>6时，函数1,6y x x =++当x=____时，函数有___值是_____6、若a,b 都是正数，a+b =1,求证：1125()4a b ab++≥；7、求2y =的最小值；8、交通部门规定：在此地段内的车距d (m)正比于车速且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长为s(m),9、若,(0,),x y ∈+∞。
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利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
图：
通过例题了解知识的简单运用。
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则
当且仅当即当时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边
课题
§4.5.1三个正数的算术—几何平均不等式
授课时间
2008.05.29
授课班级
高二（4)班
课型
新课
授课人
张美莲
知识与技能
1掌握三个正数的算术—几何平均不等式及其推广
2会利用三个正数的算术—几何平均不等式求解最值
过程与方法
在学生已知的基础上，通过观察、猜想和师生共同探讨并证明三个正数的算术—几何平均不等式，并掌握一些利用不等式求最值的应用
情感态度与价值观
培养学生分析转化的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。
教材分析
教学重点
三个正数的算术—几何平均不等式
教学难点
三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用
学法
指导
在学习中学生采用“自主探索---合作交流---问题解决”的小组方式进行学习。
教学方法
教学中采用“问题情境----引导思考----解释、应用”的模式进行教学。
教具
电脑,多媒体课件等
三、教学设想
设计意图
师生活动
一、复习引入
基本不等式：如果 那么
当且仅当 时成立
复习旧知识，让学生容易进入新课的学习。
请学生作答。
二、讲授新课
思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？
使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。
学生回顾，并回答。
类比基本不等式的形式，我们猜想：
对于个正数 可能有：
如果 R+，那么有 ，
当且仅当 时，等号成立。
知识储备：和的立方公式：
立方和公式：
证明：
所以 当且仅当 时，等号成立。
引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线平行的判断
对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到
定理：如果 R+，那么有 ，
思考题：
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。
五、布置作业
巩固深化
学生课后独立完成。
六、板书设计
§4.5.1三个正数的算术—几何平均不等式
定理：
注意点：
例1
例2
练习：
教学反馈：学生在运用均值不等式解题时，不能很好地同时注意到“一正二定三相等”这三个缺一不可的条件，所以往往要出错，有时甚至没有思路，不懂得如何拆分，构造我们所需的三个条件，需——若求和式的最小值，其积必须为定值;若求积式的最大值，其和必须为定值
c)取等号条件——各项能否相等
引导学生观察课件进行探究性学习，总结出两直线垂直的判断
学生思考，教师引导。
变式训练：
（）
A、6B、C、9D、12
引导学生观察、猜想，并证明，提高学生的探究能力
总结出： 的前提条件为：“两直线斜率都存在”。