勾股定理期末复习
人教版八年级数学下册期末复习资料《勾股定理》复习题
八年级数学期末复习资料《勾股定理》期末复习题1勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c ，那____________________勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 __________1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°,若c=13，b=12，则a=________；2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，则此三角形的第三边长度为_____________3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是__________5.如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部 12米处.树折断之前有______米.6在等腰△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,则高AD 的长为________7、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________， 它是 ________（填入“真”或“假”）命题。
8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE则CD 等于_________cm.9. 在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A. a 2+b 2=c 2B.b 2+c 2=a 2C.a 2-b 2=c 2D.a 2-c 2=b 210、如果正方形ABCD 的面积为92，则对角线AC 的长度为（ ）；11．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米， 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.《勾股定理》期末复习题21．下列各组不能构成直角三角形的是（ ）A.11 12 15B. 5 5 25C.45 143 D. 1 3 22.在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积 等于( )A 108cm 2B 90cm 2C 180cm 2D 54cm 2 3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4. 如下图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F分别对应的数是_________。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理2易错专项训练习题课件新版北师大版
10
m.
1
2
3
4
5
易错点4 没有明确直角顶点，考虑不全面出错
4. 同一平面内有 A ， B ， C 三点， A ， B 两点之间的距离为
5 cm，点 C 到直线 AB 的距离为2 cm，且△ ABC 为直角三
角形，则满足上述条件的点 C 有
1
2
3
4
5
8
个.
易错点5 不证明直角直接应用其性质缺少步骤出错
5. 如图，在△ ABC 中， D 是△ ABC 内一点，连接 AD ，
BD ，且 AD ⊥ BD . 已知 AD ＝4， BD ＝3， AC ＝13，
BC ＝12.求图中阴影部分的面积.
1
2
3
4
5
解：因为 AD ⊥ BD ，
所以 AB2＝ AD2＋ BD2，
因为 AD ＝4， BD ＝3，
所以 AB ＝5.
BD － DC ＝4. 综上所述， BC 的长为14或4.
1
2
3
4
5
易错点3 求立体图形中两点之间的最短距离时无法找到正确
的展开方式出错
3. 【新考法·展开法】如图是一个长8 m，宽7 m，高5 m的
仓库，在其内的点 A 处有一只壁虎， B 处有一只蚊子，已
知 CA ＝2 m， PB ＝4 m，则壁虎沿仓库内爬到蚊子处的
1
2
3
4
5
在Rt△ ABD 中， AB ＝15， AD ＝12，由勾股定理得 BD2
＝ AB2－ AD2＝81，所以 BD ＝9.
在Rt△ ADC 中， AC ＝13， AD ＝12，由勾股定理得 DC2
＝ AC2－ AD2＝25，所以 DC ＝5.所以 BC ＝ BD ＋ DC ＝
期末复习之四(勾股定理)
X
A
2
X
E
4
4-X
B
变2
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
A点正好落在CD上，如存在确定E点位置，
（3）是否在AD上存在一点E，把矩形沿BE翻折，
如不存在请说明理由
4 D 3-X 3 E X 4-
7
X
A'
7
4
C
3
A
B
变3
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
(4）翻折矩形ABCD，使点B与点D重合，
11.如图，在△ABC中，若∠A=75°，∠C=45°， A AB=2，求AC的长
C D 12.如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中 ∠A=60°∠B=∠D=90°，AB=20m，CD=10m， A 求这块草地的面积。 D
B
B
C
E
13、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC， AD=1，AB=BC=4，CD=5，求梯形的面积。
A 1 D 4 B E 4 5 C B E C A D
14、已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4 （1）将∆ABD沿对角线BD翻折，得 ∆A‘BD，A'B交 CD于E 求：CE长 A' 3
x
E 4-x x C D
3
3
A
2 1
4
B
变1
已知：矩形ABCD中，AB=3，BC=4
(2)将矩形ABCD翻折，使AD与对角线BD重合 求：AE长
一、知识回顾：
A
B a C 直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 A 2、勾股定理逆定理： ∵ c2=a2+b2， c b ∴ ∠C= _____ 900 B a C 三角形中较小两边的平方和等于较 大的平方的三角形是直角三角形
期末复习 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(原卷版)
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。
勾股定理章末知识点复习
勾股定理知识点复习 一、知识点：1.勾股定理（1）内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么________，即直角三角形两直角边的_________等于斜边的________. 温馨提示：勾股定理只适用直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.（2）应用：已知直角三角形的任意两边，能求出第三边.基本勾股:2.勾股定理的逆定理（1）内容：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是直角三角形.（2）应用：判断某三角形是否为直角三角形或说明两条线段垂直.3. 如果两个命题的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为_________.练习：1、若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是2、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有__________________. 二、典型考点：考点一：利用勾股定理求面积求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方 （3） 阴影部分是半圆．考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边.例：如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD ⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm 。
C B A a c b AD求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
练习：1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为．2.已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是_____________.1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
第一章勾股定理期末复习 1
1.小东拿着一根长竹竿进一个宽为３米的
城门，他先横拿着进不去，又竖起来拿， 结果竹竿比城门高１米，当他把竹竿斜着 时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长 多少？ 1m
x
(x+1)
3
三、勾股定理的应用
（二）先构造，再运用
1、如图，求△ABC的面积
A
5 B
D
5
6
C
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高2m， 两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到 另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
C
2m
B
8m
D
例6、假期中，王强和同学到某海岛上去玩 探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往 东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后 又往西走3千米，在折向北走到6千米处往 东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点 A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
4
A
O D
o
A D
20.如图, 长方体的长为15cm, 宽为10cm, 高为20cm, 点B离点C 5cm, 一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点A爬到点B, 需要爬行的最短距离是多少? 25cm
5
B
C
15
A
E 20 E
20
15
A
C5
B
5 C
B
A 10
B 5 C 10 E 20 A
5 20
B C
A
1.在直角三角形ABC中, o， AB=13, CA=5, ∠C=90 12 BC= ______.
2.三角形的三边长分别是17、 8、15，这个三角形是 直角 __________三角形.
5.如图，两个正方形的面积 分别为64，49，则AC= 17 .
(完整版)精心整理勾股定理复习资料
第十八章 勾股定理 复习 定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
1、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也就是说在Rt △ABC 中，设∠C =90°，∠C 、∠A 、∠B 所对的边分别为c 、a 、b ，则c 、a 、b 满足关系a²+b²=c²。
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
注意：由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边(即斜边)的平方等于两短边(两直角边)的平方和，避免出现这样的错误：在△ABC 中，∠B =90°，则a²+b²=c²。
2、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积(拼图)证明——对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明，这是最常见的一种方法。
验证如下：现有四块直角边长为a 、b ，斜边长为c 的直角三角形纸板，请从中取出若干块拼图，证明勾股定理。
证法1：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴c ²＝4×12ab ＋(b −a)²∴c ²＝a ²＋b ²证法2：∵S 梯形＝2S 小三角形＋S 大三角形∴12(a +b )2=2×12ab +12c²∴a²+b²=c²证法3：∵S 大正方形＝4S 三角形＋S 小正方形∴(a +b )2=4×12ab +c²∴a²+b²=c²3、勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系； ａ ａ ｂ ｂｃ ｃ(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。
八年级数学勾股定理期末复习
【典例精析】 如图,将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕 点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同 方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理,请你写出验证 的过程.
【思路点拨】梯形的面积可用(上底+下底)×高× 1 来表示,或用三个直角三
2
角形△ABC,△CEF,△ACF的面积和表示,整理可得.
【方法归纳】翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.折叠前后图形的形 状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.解题时,我们常常设要求的线段 长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择 适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应 认真审题,设出正确的未知数.
圆柱侧面展开图是
()
解:选B.因圆柱的展开面为长方形,AC展开应该是两线段,且有公共点C.
2.如图,将一根长为8 cm(AB=8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面上,固定两端A和B,
然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长度为
()
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
解:选B.在Rt△ACD中,AC= 1AB=4 cm,CD=3 cm;
2
根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2=25,AD=5 cm;
同理可得BD=5 cm,
∴AD+BD=10 cm,
故拉长后橡皮筋的长度为10 cm.
考点四 勾股定理与折叠问题 【典例精析】 如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,点C落在C′的位置上. (1)若∠BFE=65°,求∠AEB的度数. (2)若AD=9 cm,AB=3 cm,求DE的长.
期末复习(二) 勾股定理
解：根据题意，得 ， .又 ， .又 ， .
（2） 的度数.
[答案] ， ， ， ， 为直角三角形， .由（1）得 为等腰直角三角形， ， .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图，高速公路的一侧有 ， 两个村庄，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求. ， ， . .又 ， ， . .
（2）求这个零件的面积.
[答案] 由（1）知 ， ，∴这个零件的面积为 .
19.（12分）给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2所示的正方体，则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在 中， 于点 ， ， ， ，则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高 ，连杆 ，灯罩 .如图2，转动 ， ，使得 成平角，且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ，求 的距离.
解：过点 作 于点 . ， ，∴四边形 为矩形. ， . ， ，
∴在 中， . 的距离为 .
勾股定理期末复习课件PPT课件
方法技巧 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题 ；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边 ，这时往往要列出方程求解．
2021/7/27
数学·人教版（R18J）
第十四章 |பைடு நூலகம்习
针对第3题训练 1．已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，
可以判定三角形是直角三角形的有_(2_)_(4_)____．
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第十四章 |复习
解：由于 a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，c2＝(n2＋1)2＝ n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2，故可以判定△ABC 是直角三角形．
考点三 勾股定理在数学中的应用
已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直 角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三
[解析] 根据勾股定理计算，625－225＝400.
2021/7/27
数学·人教版（R24J）
2021/7/27
图14－7
数学·人教版（R19J）
第十四章 |复习
2．如图14－8所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是 方格纸中的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中， 找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的点C个 数是____6____．
2021/7/27
[注意] 勾股数都是正整数． 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1)已知 直角 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、 面积的问题； (2)说明线段的平方关系问题；
期末复习勾股定理基础知识点1.6
勾股定理知识总结 一．基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
222a b c+=只是一种表现形式，不是唯一的，如若满足222acb+=，是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理的证明4：勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等勾股定理练习 一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：__________。
勾股定理期末复习课件(公开课)
勾股定理
1：勾股定理的验证 2：求第三边 3：求斜边上的高 4：求面积 1：勾股数 2：逆定理(给出三边长度判断直角三角形）
第 一 章 股 股 定 理
勾股定理 逆定理
勾股定理 应用
1：折叠问题 2：最短路径问题
勾股定理： 如果用a,b,c表示直角三角形的两个直角边和斜 边，那么a2+b2=c2 B 变形： 2 2
例1：如图，已知圆柱体底面直径为2cm，高为4cm （1）求一只蚂蚁从A点到F点的距离。 （2）如果蚂蚁从A点到CG边中点H，求蚂蚁爬行的距 离。
F
●
H
A
例2、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到
对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长 为多少？
D1 A1 D A 4
．
C S3 A S1
S2 B
图3
变式1．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最 大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是_______
变式2：如图4，分别以Rt
ABC三边为边向外作三个 半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、
例1：在△ABC中， a : b : c 1:1: 确切形状是_____________。
2
，那么△ABC的
例2：如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13， 求四边形ABCD的面积.
例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm，• 长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处 （折痕为AE） D A (1)求BF的长； (2)求EC的长。
勾股定理总复习
勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（C为斜边最长，c＞a，c＞b ）注释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。
（3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2，a2=c2－b2， b2=c2－a23.图形解释：4.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数成为勾股数.例如：（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）注释：勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。
知识点一：已知两边求第三边1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边①若a＝5，b＝12，则c＝________；②若c＝41，a＝40，则b＝________；③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________ ,a：b：c＝ .2. 在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
5. 如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3，则AB的长是多少?总结：在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。
【同步训练一】1. 在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)若∠A=30°，a=1，则c=________,b=_________；(4)若∠A=45°，a=1，则c=________,b=_________2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________．3．已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是________________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB= 。
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6．如图，将一根长 24 cm的筷子，置于
底面直径为 5 cm，高为 12 cm的圆柱形 水杯中，设筷子露在杯外的长度为h cm， 则h的取值范围是________.
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7.在Rt△ABC中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则 BC=____
题型一：勾股定理的验证与证明
F C
6.如图，一个直立的火柴盒 倒下来就可以证明勾股定理， 请你根据图形，设计一种证 明方法.
D A
G
E
F
B
C
D a A
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G c b E
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B
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题型一：勾股定理的验证与证明
7.（2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制 了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1—1）.图 1—2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成. 记图1—2中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面 积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，则S2的值是———.
DA=DE，则AD的取值范围是
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16.（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为
一边，在△ABC外部作等腰直角三角 形 ACD ，则线段BD的长为_____
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17. (2011重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截 面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B
他们仅仅少了_____ 步路（2步为
lm），却踩伤了花草.
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5.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个 全等的直角三角形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形
中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数
学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是______.
地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.
A.10m B.11m C.12m D.13m
9.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角
形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木33㎝
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C.44㎝
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D.55㎝
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【选择题】
10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正
19. （2011贵州贵阳）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3， ∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
A
C
30° P
B
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选择题
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填空题
1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为____ 2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为____ 3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为____ 4.如图，学校有一长方形花圃，长4m， 宽3m。，有极少数人为了避开拐角走 捷径，在花圃内走出了一条“路”，
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题型一：勾股定理的验证与证明
[证明]
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知识拓展
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【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论
2.如图，直线
l 上有三个正方形a、b、c若a和c的
E D a A 上一页 B C 下一页F b c l
面积分别为5和11，则b的面积为多少？
E D C B
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F
A
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G
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12.（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴 趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角
三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股
图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°， 点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长
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题型一：勾股定理的验证与证明
5.如图，已知∠A＝∠B＝
90°且△AED≌△BCE，A、
D a c b E B C
E、B在同一直线上.根据此图
A
证明勾股定理.
先证明△DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个 三角形面积之和得(a+b)2＝2× ab+ c2, ∴a2+b2＝c2.
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b c A
a B
∴a2+b2＝c2.
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题型一：勾股定理的验证与证明
D C
4.如图，是由四个全等的
Rt△拼成的图形，你能用它
证明勾股定理吗？
a
c b B
由S大正方形＝4SRt△+S小正方形， A 得 (a+b)2＝4× ab+c2 ∴a2+b2＝c2.
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八年级数学（上册）• 北师大版
期末复习—勾股定理
新星学校 八年级数学组 王仁政制作
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参考答案：用数方格的方法或用面积公式计 题型一：勾股定理的验证与证明 b
算三个正方形面积，得出S1+S2＝S3，从而
得到：AB2+BC2＝AC2. 1.如图，每个小正方形的边 长是1，图中三个正方形的面 积分别是S1、S2、S3，则它
A
积分别是S1、S2、S3，则它 们的面积关系是————— ，直角△ABC的三边的
S1 B S2
S3
C
关系是—————————
.
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题型一：勾股定理的验证与证明
3.如图，是由四个全等的
Rt△拼成的图形，你能用它
D C
证明勾股定理吗？
由S大正方形＝4SRt△+S小正方形，得 c2＝4× ab+(b－a)2
8.已知：如图，在Rt△ABC中，
∠B=90°，D、E分别是边AB、AC的 中点，DE=4，AC=10，则 AB=_________
A E C
D B
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9.已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为___
cm时,这三条线段能组成一个直角三角形
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则
10 3
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题型一：勾股定理的验证与证明
8.（2010 湖北孝感）[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定 理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利 c 用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系” b c c a （勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进 a b a b 行第一次“谈话”的语言。 图2 图1 [定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字 及符号语言叙述）； [尝试证明] 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以 a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
c=_____；（2）b=8，c=17 ，则S△ABC = ______.
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11．（2010辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角 三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰
Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等
腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边 长是 __________．
参考答案：先证两直角三角形全等，
得FE＝BC，从而得正方形b的面积为16. 返回目录
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【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论
3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形， 探究Sa、Sb和Sc之间的关系.
F B
E
c a b
C A
D
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【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论
）
【选择题】
A
D
B
C
上一页 下一页
E
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【选择题】
C D
b
C a c
A
E
B
A
B
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【选择题】
17. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围 的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m. 按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到 三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是 （ ） A2m B.3m C.6m D.9m
确的是（
）
B. 三角形的周长为25
A. 第三边一定为10
C. 三角形的面积为48
D. 第三边可能为10
11．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，
那么这个直角三角形的周长为（
A . 27cm B. 30cm
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）
C. 40cm
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D. 48cm
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【选择题】
12．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是