浅谈辅助函数的构造及其应用
【最新精选】辅助函数法的构造及应用
浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用
辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。
辅助函数的构造及应用
!! 原函数积分法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过观察 分 析 ! 做积分找出适当的原函数作为辅助函 数! 将所要证明的结论中的2看成自变量 " 将含 2的因式等价 移往等式的同一侧 ! 求出其一族原 函 数 ! 令积分常数为零! 找 出所需辅助函数 B# " ’$ 例 !! 若函 数 S# 在闭区间& ’上 连 ’$满 足 下 列 条 件 % ;! F 续! 在开区间 # $内可导 ! 则在开区间# $内 至 少 存 在 一 ;! F ;! F #$ #$ 点 2! 使S $, S F <S ; " A# 2 F<; # $ F ;$ <S# 分析 ! 结论恒等变形为 S $ 将2 看 WS A# , %" 2 F<; $ F ;$ <S# S# 作 自变量 ! 在& 上做积分得 % # %! ’’ ’$ ’ ,E" < S# F<; $ F ;$ ! <S# S# " 令E , %! 令 B# E 为常数 $ ’$, S# ’$ ’ 验证 < F<; 易 知 B# 在& ’ 上连续 ! 在# $ 内可导且 B# $ " ’$ ;! F ;! F ;$ F , B# 即在开区间 # $内 B# ’$在该区间上满足 ( X 8 8 I 中值定理 ! ;! F #$ #$ 至 少存在一点2! 使S $, S F <S ; " 则 B# A# ’$即为所需 2 F<; 辅助函数 "
微积分中中值定理的证明应用是一个难点,构造辅助函数是证题常用的手段之一,本文主要介绍构造辅助函数的三种方法:作差法、观察法和不定积分法.
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
浅谈辅助函数的构造及其应用
浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。
尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。
借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。
本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。
辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。
特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。
笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。
当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。
在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。
这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧
微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。
1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。
通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。
具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。
2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。
通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。
具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。
3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。
通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。
具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。
4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。
通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。
具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。
总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。
不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。
在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。
数学分析中辅助函数的构造及其作用
数学分析中辅助函数的构造及其作用作者：杨云苏来源：《课程教育研究·中》2013年第10期【摘要】本文主要论述了在数学分析中如何构造辅助函数及辅助函数在数学分析中的应用，从而有助于提高学生分析问题与解决问题的能力。
【关键词】辅助函数构造应用【基金项目】江西省教育厅（JXJG-12-15-11）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）10-0158-02在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析，综合运用数学基本概念和原理，经过深入的思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造函数法。
构造函数的方法内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想。
使用构造函数法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有深厚坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了。
1.数学分析中如何构造辅助函数1.1 辅助函数的基本特点a.辅助函数题设中没有，结论中也不存在，构造辅助函数仅是解题的一个中间过程，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用，如我们熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明。
b.同一个命题可构造不同的辅助函数用于解题（不唯一）。
c.表面上看构造辅助函数的思路较宽广（因为不止一个），实质上，不同的辅助函数直接关系到解题的难易（可比较性），因此，构造最恰当的辅助函数是解题的关键。
1.2 构造辅助函数的基本方法1.2.1 联想分析要构造一个与所学结果有关的辅助函数，而后再运用已知条件及有关概念，推理得出所要证明的结果，通常是先从一个愿望出发，联想起某种曾经用过的方法、手段、而后借助于这些方法、手段去接近目标，或者再从这些方法和手段出发又去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直至达到我们能力所及的起点或把问题归结到一个明显成立的结论为止，因此，联想是我们构造辅助函数的关键。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学辅助函数的构造方法及应用1.极限函数构造方法：极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。
在构造极限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。
应用：a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。
b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更容易计算的形式。
2.反函数构造方法：反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。
在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自变量和因变量的位置得到反函数。
应用：a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方程的解。
b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函数的形式，从而简化计算。
3.特殊函数构造方法：特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。
应用：a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。
b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。
4.递推函数构造方法：递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。
在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。
应用：a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。
b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。
总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。
这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，构造辅助函数方法是一种常用的策略，旨在帮助我们证明一个定理或问题。
构造辅助函数是指通过引入一个新的函数，使得我们可以利用该函数的性质来简化或解决证明过程中的一些难点。
本文将介绍构造辅助函数方法的基本思想、应用场景和具体的技巧，并通过几个例子来说明其应用。
构造辅助函数的基本思想是从原问题出发，通过引入一个新的函数来构造辅助问题或中间结果，以便更好地理解原问题或证明定理。
这种方法常用于证明中的两种情况：一是证明原问题的直接方法困难或复杂，通过构造辅助函数可以转化为更容易处理的问题；二是证明中需要利用一些性质，而该性质在辅助函数中更容易得到或应用。
构造辅助函数方法的应用场景很广泛。
例如，在证明问题的存在性时，可以构造一个满足特定条件的函数，从而证明至少存在一个解。
在证明一些等式或不等式时，可以通过构造一个与原式相似的函数来得到一些有用的结论。
在证明中的归纳法中，可以构造一个递归函数来辅助归纳过程。
在证明中的反证法中，可以构造一个辅助函数来推导出矛盾，从而证明反设不成立。
具体来说，下面将介绍几个常见的构造辅助函数的技巧：1.构造函数的特性：首先观察原问题或定理的特点，然后构造一个函数，使得该函数满足一些已知条件。
通过分析该函数的性质，可以得到一些有用的结论。
例如，在证明一些整数性质时，可以构造一个多项式函数，利用多项式的性质进行推导。
2.构造递归函数：递归函数广泛应用于数学证明中的归纳法。
通过构造一个递归函数，将原问题分解为一个或多个较简单的子问题，然后证明子问题的正确性。
递归函数的构造需要注意递推关系、初始条件和边界条件的选取。
3.构造辅助问题：有时，原问题的证明比较困难，但可以通过构造一个辅助问题来简化证明过程。
辅助问题的结论与原问题相关，但在形式上更简单或更容易处理。
通过解决辅助问题，可以获得一些有用的结论或性质，从而推导出原问题的结论。
4.构造矛盾函数：反证法是数学证明中常用的一种方法。
辅助函数在高等数学中的应用
在 某 些 等 式 的 证 明 中 用 到 构造 辅 助 函 数 ，使 得 构造 的 函数 有 无穷 多解 ，从而 得到 要 证明 的结 论 。先 看下 面 的例 子 。
（ １ ）参数 变 易 法 。这 种 方 法是 指把 要 证 明 的结 论 中的 某个 参数 “ 变 易 ”为变 量 Ｘ，从 而构 造 出相 应 的辅 助 函数 。
技 术 创 新 ；５ ９
构 造 辅 助 函数 是 数 学 分 析 中解 决 问题 的一 种重 要 方 法 。通 过 构 造 辅 助 函 数 ，不 仅 反 映 了 事 物 内 部 的 数 量 特 征 和 制 约 关 系 ，揭 示 了 其 内 在 的联 系 ，而 且 在 处 理 和 解 决 问 题 时常 用 此
用观察 法或凑微分等方法表示 出原函数 （ 必要 时 ，可在等式两
端 同乘 以 非 零 的 因子 ） 为 简 便 起 见 ，可 将 积 分常 数 取 为零 ；移 项 ，使 等式 一 边 为零 ，则 等式 的 另一边 即为 所 需的 辅助 函 数 。 例２ ：设 ／ ‘ （ ｘ ） 在［ ａ ， ｂ ］ 上连 续 ，在 （ ａ ， ｂ ） 内可 导 ， ０＜ａ＜ｂ 求 证 ：在 （ 日 ， ｂ ） 内必 存 在一 点 ，使 ｆ （ ｂ ） 一 ｆ （ ａ ） ＝ （ １ ｎ 兰 ） ， （ ） 证 明 ：将 要 证 明结 论 中的 转 换 为Ｘ ，再 变形 为 ：
导 函数 的零点 ，因此可 通过不 定积分反 求出原 函作为辅 助函
数 。其 步 骤 为 ：① 将 欲 证 结 论 中的 以 或翔 换 为 Ｘ ；② 通 过 恒 等
变 形 ，将 结 论 化 为易 积 分 （ 或 容 易 消 除 导 数符 号 ）的形 式 ；③
函数 在 某 一 阶 段 是 否 有 根 ，如果 无 根 ，则 还 要 判 断 函数 的 值 域 （ 一 般 都是 正的 或 负的 ），属少 见 情况 ，这 种题 目难度 很 大 。 例４ ：求 函 数 Ｙ＝＿； 二 的 值 域 。分 析 ：看 到此 题 似 乎
微分中值定理中辅助函数的构造法与应用
定 ，将其归结 为厂（ ） ＝
（ ），
即 ２ ，’（ ）＝ （ｂ＋０）厂（ ）． 在 （口，６）中 ，有 解 ＝ 对 方 程 两边 与 相 关 积 分 ，即
Ｉ一 厂（ ）２ｘｄｘ＝（ｂ＋ｏ）一Ｉ厂 （ ）
，
厂（ ）（ｂ 一ｏ ）＝ （ｂ＋ｏ）（－厂（ｂ）－ｆ（ｏ））．
堑学 学 习 与研 究 ２０１８．３
然 有 ｏ’１
＝
．
证明 令 删 有
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
等式两边同时关于 积分 ，得
／ ｄｘ＝／ ｄｘ＝一／
ｄｘ，
叫 ＝一』 ，
ｎｌｎ Ｉ，（ ）ｌ＝一Ｉｎ Ｉ，（１一 ）Ｉ＋ｃ， 因此 ，１ｎ ｌ，（ ）Ｉ“＋ｌｎ ｌ厂（１一 ）Ｉ：ｃ， Ｉ，（ ） ｌ·Ｉ，（１一 ）Ｉ＝ ｅ ＝ｃ， ［，（ ）］ １一 ）＝±ｃ＝Ｃ． 此时 ，令 ｒ（ｘ）＝ ［，（ ）］ （１一 ），由于在 闭区间［０，１］ 上 ）连续 ，在 开 区间 （０，１）上 ，（ ）可导 ，并且 ｒ（ｏ）＝ ［ ０）］ １—０）＝Ｉｆ（１）］ １—１）＝Ｏ，根据罗尔定 理 ，则 有一个 属于 （０，１），使 Ｆ （ ）＝ ）］ 一 （ ），（１一 ）＝ ）］ （１一 ）：０， 而 属 于 （０，１） ）≠ ０ ）≠ ０，根 据上 式 ，可 以同
一 、 原 函 数 法 在 求解 极值问题时 ，微分 中值定理 的应用非 常有效 ，通 常情 况 下 ，某 个 函数 的 导 函数 的 零 点 为需 要 验 证 的 结 论 ，此 时 构 造 辅 助 函数 就 可 以 选 择 不 定 积 分 ，将 原 函数 反 求 出来 ， 具体步 骤如下所述 ： （１）用 来 替 换 需 要 证 明 的 结 论 中 的 或 Ｘ０； （２）利用恒等变换 ，将结论 向易积分 的形式进行转化 ； （３）基 于对观察法或凑微分法 的运用 ，将原函数求解出 来 ，如果题 目需要 ，等式 的两 端还可 以乘 非零 的积分 因子 ， 通常情况下 ，为 了求解方便 ，积分常数可以取为零 ； （４）移项 ，让等式一边变 为零 ，如此一来 ，非零 一边的式 子 就 成 为 辅 助 函数 ．
几种构造辅助函数的方法及应
几种构造辅助函数的方法及应构造辅助函数是在编程过程中，为了简化代码、提高可读性和可维护性而创建的功能函数。
它们通常用于处理常见的、重复的或复杂的操作，以减少重复性代码的编写和维护工作。
下面将介绍几种常见的构造辅助函数的方法及其应用。
1.检查函数参数的有效性在函数内部，可以构造一个辅助函数用于检查传递给函数的参数的有效性。
这种辅助函数可以验证参数的类型、范围和必要性，并返回一个布尔值或抛出一个异常来指示参数的有效性。
通过使用这种辅助函数，可以减少代码重复，提高代码的可读性和可维护性。
例如，考虑以下函数：```pythondef divide(a, b):if isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0:return a / belse:raise ValueError("Invalid arguments")```这里可以构造一个辅助函数来检查参数的有效性：```pythondef check_valid_args(a, b):if not (isinstance(a, int) and isinstance(b, int) and b != 0):raise ValueError("Invalid arguments")def divide(a, b):check_valid_args(a, b)return a / b```2.格式化数据```pythondef format_date(date):year = date[:4]month = date[4:6]day = date[6:]return f"{year}-{month}-{day}"```这里可以构造一个辅助函数来处理日期的格式化：```pythondef format_date(date):return f"{date[:4]}-{date[4:6]}-{date[6:]}"def format_data(data):formatted_data = []for date in data:formatted_date = format_date(date)formatted_data.append(formatted_date)return formatted_data```3.实现常用算法或数据结构为了简化代码，可以构造辅助函数来实现常用的算法或数据结构。
数学分析中辅助函数的作法与应用
数学分析中辅助函数的作法与应用摘要:辅助函数法不仅是转化数学问题的一种重要手段，而且是综合运用多种数学思维进行理论分析的具体体现.通过系统的探讨辅助函数在微分中值定理的证明、定积分不等式证明、利用函数单调性证明不等式、数值不等式证明中的作法，对相关结论进行了证明，并用多个例子论述并总结了辅助函数法在硕士研究生考试命题中的应用.理论结合实例的分析与总结，结果表明经由辅助函数法这样一种巧妙的数学变换，我们可以将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，进而提高解题的效率.关键词:辅助函数法；理论分析；定理证明；不等式证明Auxiliary function in the practice and application of mathematical analysisAbstract：Method of auxiliary function is not only a kind of transformation mathematical problems, but also is an important means of comprehensive use of mathematical thinking a theoretical analysis of the concrete embodiment of systematic discussion. Through the auxiliary function in the mid-value theorem of proof, definite integral inequality proof, using functional monotonicity proof, inequality, the numerical inequality proof of relevant conclusion practice proved, and multiple example demonstrating and summarizes the method of auxiliary function in the application of exam of master graduate student proposition. Theory of analysis and summary examples, the result shows that through the method of auxiliary function such a clever mathematical transformation, we can will generally problem into special problems, will complex problem into a simple question, thus improving the efficiency of solving problems.Key words：Method of auxiliary function; Theoretical analysis; Theorem proof; Inequality proof0 引言辅助函数是数学解题中构造的辅助手段的一种，它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数.通常情况下，我们可以利用这个函数的特性进行有关的证明或求[]1-3解.之所以要构造辅助函数，是因为通过这样一种巧妙的数学变[]4-6换，我们可以将原来不易解决的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题.在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色，而有关辅助函数的构造问题是应用微分中值定理解决问题的关键.在近几年的数学类硕士研究生考试[]7-9中，有关微分中值定理的命题屡见不鲜，而解决这类问题的关键正是有关辅助函数的构造问题.如果我们对辅助函数的构造原理有一个清晰的认识和理解，那么对于这类问题的解决无疑是种莫大的帮助.因而，探究有关辅助函数的构造及应用问题对于我们具有重要的理论意义和实用价值.本文将从四个方面探讨有关辅助函数的作法与应用问题.首先将给出微分中值定理中辅助函数的三种作法，并且对于每一种作法都将相应的给出几个例题予以应用，以便使大家不仅能够理解并掌握这种方法，而且能够饶有兴趣地继续研究其它的方法，以拓宽思维；其次将探讨定积分不等式证明中辅助函数的作法与应用问题；再次将讨论利用函数单调性证明不等式中辅助函数的作法与应用问题；最后我们讨论数值不等式证明中辅助函数的作法与应用问题.全文大体分为这四个部分，旨在对于辅助函数在数学分析中的作法与应用作一个初步的探究.1 微分中值定理中辅助函数的作法与应用在微分中值定理中，辅助函数()F x 的作法常见的有以下三种：1.1 原函数法（又称微分方程法）应用原函数法构造辅助函数的步骤如下：第一步：将欲证结论中的ξ或0x 改写为x ；第二步：通过恒等变形将欲证结论化为易消除导数符号的形式（或称为易积分形式）； 第三步：用观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子）.为简便起见，积分常数取作“0”；第四步：移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所求的辅助函数()F x .下面，首先我们以拉格朗日中值定理和柯西中值定理为例，利用原函数法来构造辅助函数()F x ，以得到这两个定理的证明.定理[]71.1.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理 设函数f 满足如下条件：（i ）在闭区间[],a b 上连续；（ii ）在开区间(),a b 内可导；则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()-()()f b f a f b aξ'=- 分析：拉格朗日中值定理的结论：=0()()()()()()()()()()()()-=0x c f b f a f b f a f f x b a b af b f a f b f a f x c x f x x b a b a ξξ=--''=−−−→⇒=----−−−→⇒+=−−−→⇒--令积分令并移项 于是得到辅助函数()-()()=()-f b f a F x f x x b a- 证明：令[]()-()()=()-,,f b f a F x f x x x a b b a ∈- 则()F x 在闭区间[],a b 上连续；在开区间(),a b 内可导；且()()()()()()-,()()()()()()-,f b f a bf a af b F a f a a b a b af b f a bf a af b F b f b b b a b a --==----==--即 ()()F a F b = 所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()-()()=()f b f a F f b aξξ''-- 故 ()-()()0f b f a f b a ξ'-=-， 即 ()-()()f b f a f b a ξ'=- 定理[]71.1.2 柯西（Cauchy ）中值定理 设函数,f g 满足如下条件：（i ）在闭区间[],a b 上都连续；（ii ）在开区间(),a b 内都可导；（iii ）(),()f x g x ''在(),a b 内不同时为零；（iv ）()()g a g b ≠；则至少存在一点(),a b ξ∈，使得 ()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 分析：柯西中值定理的结论：=0()()()()()()()()()()()()()()()()()()()+()()()()()()()()-()=0()()x c f f b f a f x f b f a g g b g a g x g b g a f b f a f b f a f x g x f x c g x g b g a g b g a f b f a f x g x g b g a ξξξ=''--=−−−→⇒=''----''−−−→⇒=−−−→⇒=---−−−→⇒-令变形积分令并移项于是得到辅助函数()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=-- 证明：令[]()()()()(),,()()f b f a F x f xg x x a b g b g a -=-∈- 则()F x 在闭区间[],a b 上都连续；在开区间(),a b 内都可导；且()()()()()()()()-(),()()()()()()()()()()()()-(),()()()()f b f a f a g b f b g a F a f a g a g b g a g b g a f b f a f a g b f b g a F b f b g b g b g a g b g a --==----==-- 即 ()()F a F b =所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()()()()()()()f b f a F fg g b g a ξξξ-'''=-- 故 ()()()()0()()f b f a f g g b g a ξξ-''-=-， 即 ()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 以上所给出的利用原函数法来构造辅助函数，以证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理，较教材中所构造的那个辅助函数更易于我们掌握运用.因为这种方法本身为我们阐明了有关这类问题辅助函数的构造原理，具有一定的科学探究性和推理性.微分中值定理在微分学中应用非常广泛，我们经常会遇到类似“至少存在一点ξ,使得(),()f f ξξ'''等满足……”的证明问[]8-10题.有关这类问题的解决常常要用到中值定理,而应用中值定理时往往需要构造出辅助函数.若辅助函数构造的巧妙适当,则问题很快便能迎刃而解;否则,我们有时会感到无从下手.以下，我们利用微分中值定理证明一些恒等式，其方法仍然是构造辅助函数.为直观地说明这种方法的巧妙性，我们以一些考研真题为例来继续讨论原函数法在构造辅助函数方面的精妙之处.例1.1.1 设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且有()()0f a f b ==.试证：至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.分析：由原结论()()0[()]0xf x f x xf x ''⇒+=⇒=于是得到辅助函数()()F x xf x =显然()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的条件证：令[]()(),,F x xf x x a b =∈则()F x 在闭区间[],a b 上连续；在开区间(),a b 内可导；且()()0,()()0F a af a F b bf b ====，即 ()()F a F b =所以函数()F x 在[],a b 上满足罗尔中值定理的三个条件于是由罗尔中值定理知，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()=0F ξ'又 ()()()F f f ξξξξ''=+故 ()()0f f ξξξ'+=例1.1.2 设函数()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上二阶可导，且1(0)(0),()02f f f '==.试证：至少存在一点10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得3()()12f f ξξξ'''=- 分析：由原结论3()()()(12)3()()(12)2()()12[()(12)]()f x f x f x x f x f x x f x f x xf x x f x ''''''''''⇒=⇒-=⇒--=-'''⇒-= 两边积分，得()(12)()f x x f x c '-=+.令0c =，并移项，得()(12)()0f x x f x '--= 于是得到辅助函数()()(12)()F x f x x f x '=--显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔中值定理的条件 证：令1()()(12)(),0,2F x f x x f x x ⎡⎤'=--∈⎢⎥⎣⎦则()F x 在闭区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续；在开区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导；且11111(0)(0)(10)(0)(0)(0)0,()()(12)()()0,22222F f f f f F f f f '''=--=-==-⨯-=-= 即 1(0)()02F F == 所以函数()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足罗尔中值定理的三个条件 于是由罗尔中值定理知，至少存在一点10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()=0F ξ' 又 ()()(12)2()()F f f f ξξξξξ'''''=---故 ()(12)3()0f f ξξξ'''--=，即 3()()12f f ξξξ'''=- 例1.1.3设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导.试证：至少存在一点(),a b ξ∈，使得()()()lnb f b f a f aξξ'-=，这里0a b << 分析：由原结论⇒()()()()1ln ln (ln )f b f a f x f x b a x x ''-=='- 于是得到辅助函数()ln g x x =显然(),()f x g x 在[],a b 上满足柯西中值定理的条件。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
一般地 ,过三点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 的二次抛物线的方程为
p ( x) =
( x - x2 ) ( x - x3 ) ( x - x3 ) ( x - x1 ) ( x - x1 ) ( x - x2 ) y + y + y ( x1 - x 2 ) ( x 1 - x 3 ) 1 ( x 2 - x3 ) ( x 2 - x1 ) 2 ( x 3 - x 1 ) ( x 3 - x 2 ) 3
对于含函数 f ( x ) 二阶导数的问题 ,若知道函数在不同的三点处的值 ,便可利用 “三点定抛物线” ,另 < ( x ) 等于 f ( x ) 与抛物线纵坐标差值来解决 。
1 (ξ ) = 例 4. 1 设 f ( x ) 在 [0 ,4 ] 上二阶可导 ,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 , f (4) = 2 ,证明存在 ξ∈(0 ,4) 使 f ″ 。 3
证明 : 作 Φ( x ) =
b
x
b
a
x
b
a
a
Φ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,由介值定理知 ,存在 ξ使Φ(ξ ) =0,
( x ) = (4 x - a - 3 b) f ′ ( x) , 又 Φ( x ) 在 ( a , b) 内可导 ,且 Φ ′
a +3b ( x) > 0 知 , x = 由f′ 是 Φ( x ) 的极小值点 , 4
ξ ξ ξ (ξ ) - ke - k ) = 0 ,即 ( e - kx f ( x ) ) ′ 上式的两端乘以 e - k 得 e - k f ′ f (ξ | x =ξ = 0 。
构造辅助函数
一、数学中的构造法所谓构造法，就是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法．主要有以下几种常用构造法：（一）、构造数学命题法1．构造等价命题如果遇到的数学问题直接证明有困难时，可构造其等价命题，并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证．2．构造辅助命题在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为根据，只要证明了辅助命题是真命题，原问题就迎刃而解．（二）、构造数学关系法由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法．微积分中值定理及其有关的证明是典型的构造函数的例子。
（三）、构造几何图形法在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷．几何证题中的辅助线，代数方程应用题中的示意图都属于这一类。
（四）、构造结论法构造结论法，就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法．有些数学命题是断言存在着具有某种性质的数学对象，或者是断言某种数学对象具有某种特定的性质，对于这种类型的数学命题，证明的关键往往是构造出符合要求的数学对象，用构造结论的办法对数学命题作出证明，称为“构造性证明” 。
（五）、构造矛盾法所谓构造矛盾法，就是首先否定原命题，再利用否定后的命题构造出一个能够明显暴露其错误的对象，从而导出矛盾，使原命题得证．（六）、构造复数法由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则，我们可以构造复数求解许多代数、几何、三角方面的问题。
（七）、构造反例法为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是构造反例的关键。
二、微分中值定理证明中的辅助函数利用微分中值定理解题时，一般要构造恰当的辅助函数，它是求解问题的关键。
微分中值定理中辅助函数的构造及应用
微分中值定理中辅助函数的构造及应用微分中值定理中辅助函数的构造及应用摘要：本文围绕数学分析微分中值定理这一章节的内容，结合作者的实际学习及应用定理的经验，介绍了在学习微分中值定理和解决一些实际问题的过程中，辅助函数的重要作用以及其广泛应用。
关键词：辅助函数微分中值定理1、构造辅助函数构造辅助函数是一种重要的数学思想方法。
无论是在初等数学还是高等数学中都具有广泛的应用。
它属于数学思想方法中的构造法。
所谓构造法，就是在数学解题中．不能直接运用逻辑推理一步—步地导出必要条件而最后得出问题的结论时。
就要跳出原来问题的圈子，从新的角度、用新的观点观察分析，别开生面地依据题设条件的特点，用已知条件中的元素为“原件”，用已知数学关系式为“支架”。
在思维中构造出一种新的数学形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题。
辅助函数是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解。
构造辅助函数是将原来的数学问题转化为容易解决的辅助函数问题。
在我们学习数学分析和应用数学分析的若干定理去解决一些数学问题的时候，经常会发现，构造一个合适的辅助函数，可以起到事半功倍的效果。
尤其是在学习微分中值定理和在利用微分中值定理的相关知识去解决一些实际问题的时候，构造合适的辅助函数就显得尤为重要了。
利用构造辅助函数来证明中值定理是辅助函数用以解决数学命题的精彩典范;通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊（特殊情况先证明），将复杂问题化为简单问题的论证思想在我们学习数学分析或者高等代数时有很深的影响。
2、构造辅助函数的方法综上所述，在微分中值定理的学习及应用的过程中，构造合适的辅助函数不仅可以便于我们理解领会，在某些实际问题的解决上，构造合适的辅助函数去进行证明和计算，往往就能够化难为易，使问题迎刃而解。
参考文献：[1]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社，1999.[2]黄先开.曹显兵.简怀玉，2009年考研数学经典讲义(理工类)，2008.[3]辅助函数在数学分析中的应用一二，张宣，西安文理学院幼儿师范学院，2009.[4]高等数学中辅助函数的构造，蔡凤仙，昭通师范高等专科学校学报，2009.K常数法。
几种构造辅助函数的方法及应用
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师X 大学数学系， 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()()θθθf f -='.证毕原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 ()()()ξξξξf ab f b a '⋅-=∍∈∃,,证明： 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-=()()x f ax b x f x'⋅-=−−→−=ξ令()()xb ax f x f -='⇒()()c x b x f a ln ln ln +-=−−→−-积分()()c x f x b a=-⇒可令 ()()()x f x b x F a-=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-=()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,, ()()()())0(0==-=a f a f a b a F a()()()0=-=b f b b b F a故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF()()()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即：亦即：()()ξξξf ab f '⋅-=证毕 2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法中值定理是微积分中的重要定理之一，它在研究函数的性质、求解方程等问题中具有广泛的应用。
利用中值定理可以构造辅助函数来解决一些复杂的问题。
本文将介绍几种构造辅助函数的方法，以帮助读者更好地理解和运用中值定理。
1.构造辅助函数的基本原理在构造辅助函数之前，首先要明确辅助函数的目的。
一般来说，构造辅助函数的目的是通过引入一个与原函数相关的函数，利用其性质来简化问题或解决问题。
辅助函数可以是原函数的导函数、导函数的导函数、原函数与导函数之间的关系函数等。
2.1导函数作为辅助函数中值定理中最常用的辅助函数是原函数的导函数。
对于一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，根据中值定理，存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
因此，我们可以构造辅助函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
当且仅当原函数$f(x)$满足中值定理的条件时，辅助函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$内的其中一点$c$处的导数等于0。
这样一来，我们就可以通过求解$g'(x)=0$来找到中值点$c$。
2.2导函数的导函数作为辅助函数类似地，我们也可以利用导函数的导函数作为辅助函数，来解决一些问题。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，则中值定理告诉我们存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
如果我们进一步假设$f'(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么根据中值定理，存在一点$d\in(a,b)$，使得$f''(d)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。
这样，我们就可以构造辅助函数$h(x)=f'(x)-f'(a)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
构造辅助函数
如何构造辅助函数在编程中，辅助函数是一种非常有用的工具，它可以帮助我们更好地组织代码，提高代码的可读性和可维护性。
一个好的辅助函数可以让我们的代码更加简洁、高效，同时也可以避免代码中的重复性工作。
本文将介绍如何构造辅助函数，帮助读者更好地理解和应用辅助函数。
一、什么是辅助函数辅助函数是指在程序中用来完成特定任务的函数，它通常不是主程序，而是被其他函数或模块所调用。
辅助函数通常用来实现一些通用的功能，比如字符串处理、文件操作、数据转换等。
二、为什么需要辅助函数在编程中，我们经常会遇到一些重复性的工作，比如字符串拼接、数据转换等。
如果每次都要手动完成这些工作，不仅效率低下，而且容易出错。
而辅助函数就是为了解决这些问题而存在的。
通过编写一个通用的辅助函数，我们可以将这些重复性的工作封装起来，让代码更加简洁、高效。
三、如何构造辅助函数1.确定函数的功能在编写辅助函数之前，我们需要先确定函数的功能。
一个好的辅助函数应该具有通用性，可以在多个场景下使用。
同时，我们也需要考虑函数的输入和输出，以及函数的返回值类型等。
例如，我们需要编写一个辅助函数用来计算两个数的和。
这个函数的输入应该是两个数字，输出应该是这两个数字的和。
2.编写函数代码在确定函数的功能之后，我们就可以开始编写函数代码了。
在编写代码时，我们需要注意以下几点：（1）函数的名称应该简洁明了，能够清晰地表达函数的功能。
（2）函数的输入和输出应该明确，可以通过注释或者函数签名来表示。
（3）函数的代码应该简洁、高效，并且易于理解。
例如，我们可以编写如下的辅助函数：```pythondef add(x, y):"""计算两个数的和:param x: 第一个数:param y: 第二个数:return: 两个数的和"""return x + y```3.测试函数代码在编写完函数代码之后，我们需要对函数进行测试，以确保函数的正确性。
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浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。