浅谈辅助函数的构造及其应用

浅谈辅助函数的构造及其应用

[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．

[关键词] 中值定理；辅助函数；应用

一、 辅助函数方法的构造

利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．

1“按图索骥”法

例1 证明21()>+n n y x n

y x ⎪

⎭

⎫

⎝⎛+2()

1,,0,0>≠>>n y x y x

证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'

f

()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当

y x y x ≠>>,0,0时，有

()()⎪⎭

⎫

⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()

n

n n y x y x ⎪⎭

⎫

⎝⎛+>+221

2“逆向思维”法

例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=21

21，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()

'f f θθθ

=-

．

证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．

将()()

'f f θθθ

=-

变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ

''

f f x xf x +==可

考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F

因为()()dx x xf f ⎰=210

21，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得

()().1ξξf f =

而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()

θ

θθf f ='

3“图象”法

例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及

10≤≤t ，有

证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中211

21

,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有

()21,x x x x f y ≤≤≥

即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法

例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()3

101

1

01

61⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎰⎰⎰⎰

dt t f dz z f y f x f dy dx

证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=x

dt t f x F 0

则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1

',00,1，即()x F 是()x f 的原函数

()()()()()()

dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx x

y x

⎰⎰⎰⎰⎰=10

1

10

10

10

=()()[]()()()[]()[]()3

10

3321

0611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法

例5 证明对任意的数c b a ,,有5

2

2

2

3527⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc

证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不

多，须见多识广，经验丰富．

因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为

5

2226

22527⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，

将该不等式两边同时取对数，有5

2222

22527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考

虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面

22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

=-++=+==+==+=0

5023

'0

21

'021'2

222R z y x z z F y y

F x x F z

y x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是

()

533ln 3ln 3ln ln R R R R =++

即 2

52

2

5353333ln ⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛++=≤z

y x R xyz 两边平方得 5

2226

22527⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x

令 c z b y a x ===222,,，即得