人教A版《平面向量的运算》优秀PPT1
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训练题
1. ［2019·兰州一中高一期末］已知平面向量a，b的夹角为 2 ，|a|＝1， 3 |b|＝2，则a·（a+b）＝（ C） A.3 B.2 C.0 D.1+ 3
2. ［2019·辽宁本溪市高级中学高一检测］已知|a|＝5，|b|＝2，向量a
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常考题型 一 平面向量数量积的计算 1.向量数量积的基本计算 例1 已知|a|＝6，|b|＝5，当：
（1）a∥b； （2）a⊥b； （3）a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
人教A版《平面向量的运算》优秀PPT1
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
Байду номын сангаас
3．向量的数量积的几何意义 设两个非零向量 a，b，它们的夹角为θ.
(1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ .
(2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． [点睛] (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可 以写成a|a·b| . (2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可 为零．
4
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【解析】 由DE＝2EF，可得 DE ＝2EF ， EF ＝ 1 DE ， 2
6.2.4 向量的数量积
学习目标
1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理 意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
重点：平面向量的数量积的概念及其应用. 难点：对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量 积的应用.
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【解】 （1）当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30； 若a与b反向，则θ＝180°， a·b＝|a||b|cos 180°＝-6×5＝-30. （2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0. （3）当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5× 1 ＝15.
a·b (4)cos θ＝ |a||b| . (5)|a·b|≤ |a||b|. [点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要 证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非 零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
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4．向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量， θ为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b| ， 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b| . (3)a·a＝ |a|2或|a|＝ a·a＝ a2.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ b·a (交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)
＝
a·(λb)
(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c 均为非零 向量，且 a·c＝b·c，但得不到 a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b，b·c 是数量积，是实数，不是向量， 所以(a·b)·c 与向量 c 共线，a·(b·c)与向量 a 共线，因此，(a·b)·c ＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
与b的夹角θ＝60°，求（a+2b）·（a-3b）. 解：因为|a|＝5，|b|＝2，向量a与b的夹角θ＝60°， ∴ a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5×2× 1 ＝5，
2
∴ （a+2b）·（a-3b）＝a2-a·b-6b2＝25-5-24＝-4， 故（a+2b）·（a-3b）＝-4.
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2.几何图形中的数量积 例2 ［2019·广东深圳市高级中学高三模拟］已知△ABC是
边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中 点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 AF ·BC 的 值为 （ ）
A.- 5 B.11 C. 1 D. 1
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已知条件
向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为θ
定义 记法
a 与 b 的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝|a||b|cos θ
(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为 0.
[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向 量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符 号由夹角的余弦值来决定．
1．向量的夹角 条件
知识梳理 两个 非向零量 a 和 b
产生 过程
范围 特殊 情况
作向量―O →A ＝a，―O →B ＝b，则
∠A叫O做B向量 a
与 b 的夹角
0°≤θ≤180°
θ＝0°
a 与 b 同向
θ＝90°
a 与 b 垂，直记作 a⊥b
θ＝180°
a 与 b 反向
2．向量数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
2
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【提示】 平面向量数量积的计算方法 （1）定义法 利用定义中的公式a·b＝|a||b|cos θ求数量积. （2）利用运算律转化法 根据数量积的运算律，由（a+b）·（c+d）＝a·c+a·d+b·c+b·d可得 如下运算公式： （a+b）·（a-b）＝|a|2-|b|2；（a+b）2＝|a|2+2a·b+|b|2； （a-b）2＝|a|2-2a·b+|b|2. （3）利用向量的线性运算转化法 涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将 未知向量转化为已知向量求解.
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训练题
1. ［2019·兰州一中高一期末］已知平面向量a，b的夹角为 2 ，|a|＝1， 3 |b|＝2，则a·（a+b）＝（ C） A.3 B.2 C.0 D.1+ 3
2. ［2019·辽宁本溪市高级中学高一检测］已知|a|＝5，|b|＝2，向量a
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常考题型 一 平面向量数量积的计算 1.向量数量积的基本计算 例1 已知|a|＝6，|b|＝5，当：
（1）a∥b； （2）a⊥b； （3）a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
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(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
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3．向量的数量积的几何意义 设两个非零向量 a，b，它们的夹角为θ.
(1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ .
(2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． [点睛] (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可 以写成a|a·b| . (2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可 为零．
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【解析】 由DE＝2EF，可得 DE ＝2EF ， EF ＝ 1 DE ， 2
6.2.4 向量的数量积
学习目标
1.通过物理中功等实例，理解平面向量的数量积的概念及其物理 意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
重点：平面向量的数量积的概念及其应用. 难点：对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量 积的应用.
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【解】 （1）当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30； 若a与b反向，则θ＝180°， a·b＝|a||b|cos 180°＝-6×5＝-30. （2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos 90°＝0. （3）当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5× 1 ＝15.
a·b (4)cos θ＝ |a||b| . (5)|a·b|≤ |a||b|. [点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要 证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非 零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
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4．向量数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量， θ为 a 与 b 的夹角． (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b| ， 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b| . (3)a·a＝ |a|2或|a|＝ a·a＝ a2.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ b·a (交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)
＝
a·(λb)
(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若 a，b，c 均为非零 向量，且 a·c＝b·c，但得不到 a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b，b·c 是数量积，是实数，不是向量， 所以(a·b)·c 与向量 c 共线，a·(b·c)与向量 a 共线，因此，(a·b)·c ＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
与b的夹角θ＝60°，求（a+2b）·（a-3b）. 解：因为|a|＝5，|b|＝2，向量a与b的夹角θ＝60°， ∴ a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5×2× 1 ＝5，
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∴ （a+2b）·（a-3b）＝a2-a·b-6b2＝25-5-24＝-4， 故（a+2b）·（a-3b）＝-4.
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2.几何图形中的数量积 例2 ［2019·广东深圳市高级中学高三模拟］已知△ABC是
边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中 点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则 AF ·BC 的 值为 （ ）
A.- 5 B.11 C. 1 D. 1
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已知条件
向量 a，b 是非零向量，它们的夹角为θ
定义 记法
a 与 b 的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝|a||b|cos θ
(2)规定：零向量与任一向量的数量积均为 0.
[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向 量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符 号由夹角的余弦值来决定．
1．向量的夹角 条件
知识梳理 两个 非向零量 a 和 b
产生 过程
范围 特殊 情况
作向量―O →A ＝a，―O →B ＝b，则
∠A叫O做B向量 a
与 b 的夹角
0°≤θ≤180°
θ＝0°
a 与 b 同向
θ＝90°
a 与 b 垂，直记作 a⊥b
θ＝180°
a 与 b 反向
2．向量数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
2
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【提示】 平面向量数量积的计算方法 （1）定义法 利用定义中的公式a·b＝|a||b|cos θ求数量积. （2）利用运算律转化法 根据数量积的运算律，由（a+b）·（c+d）＝a·c+a·d+b·c+b·d可得 如下运算公式： （a+b）·（a-b）＝|a|2-|b|2；（a+b）2＝|a|2+2a·b+|b|2； （a-b）2＝|a|2-2a·b+|b|2. （3）利用向量的线性运算转化法 涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将 未知向量转化为已知向量求解.