人教版高中数学选修4-5全册课堂学案7-绝对值不等式(学生版)

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含绝对值的不等式(选修4-5)学案

不等式选讲(一)绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c . 自主梳理1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：(1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≥0，－f x ，f x <0，去掉绝对值符号． (2)利用等价不等式：|f (x )|≤g (x )⇔－g (x )≤f (x )≤g (x )；|f (x )|≥g (x )⇔f (x )≤－g (x )或f (x )≥g (x )．(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义；(2)____________________；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．(1)定理：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当____________时，等号成立．(2)重要绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即|a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0；|a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0；|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0.同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0. 自我检测1．(2010·江西)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x的解集是( ) A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)2．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x ＋2|＋|x －3|≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≤5C ．a >5D ．a ≥54．若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．5．(2009·福建)解不等式|2x －1|<|x |＋1.探究点一解绝对值不等式例1解下列不等式：(1)1<|x－2|≤3；(2)|2x＋5|>7＋x；(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.探究点二绝对值不等式的恒成立问题例2(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若f (x )>a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．探究点三绝对值三角不等式定理的应用例3 “|x －A |<ε2，且|y －A |<ε2”是“|x －y |<ε”(x ，y ，A ，ε∈R )的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式迁移3 (1)求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最大值；(2)求函数y ＝|x －3|＋|x ＋2|的最小值．转化与化归思想的应用例 (10分)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178. 多角度审题第(1)问|f (x )|≤54⇔－54≤f (x )≤54，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f (x )|≤54；二是证明－54≤f (x )≤54亦可．第(2)问实质上是已知f (x )的最大值为178，求a 的值．由于x ∈[－1,1]，f (x )是关于x 的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x 值在不在区间[－1,1]上．【答题模板】证明 (1)方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.[3分]∴若|a |≤1，则|f (x )|≤54.[5分] 方法二设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x .∵－1≤x ≤1，∴当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；[1分] 当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．[2分]∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54；[3分] g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.[4分] ∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.[5分] (2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件， ∴a ≠0.[6分]又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1.故f (1)和f (－1)均不是最大值，[7分]∴f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得， ∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0－1<－12a <1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，[9分] 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－12a ＝－2或a ＝－18， ∴a ＝－2.即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.[10分] 【突破思维障碍】由于|a |≤1，f (x )的表达式中有两项含有a ，要想利用条件|a |≤1，必须合并含a 的项，从而找到解题思路；另外，由于x 的最高次数为2，而a 的最高次数为1，把ax 2＋x －a 看作关于a 的函数更简单，这两种方法中，对a 的合并都是很关键的一步．【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中，如果不合并含a 的项，就无法正确应用条件|a |≤1，从而导致出错或证不出；方法二也需要先合并含a 的项后，才容易把f (x )看作g (a )．解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．课后检测(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式|x 2－x |<2的解集为( )A ．(－1,2)B ．(－1,1)C ．(－2,1)D ．(－2,2)2．(2011·郑州期末)设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．若不等式|8x ＋9|<7和不等式ax 2＋bx >2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为( )A ．a ＝－8，b ＝－10B ．a ＝－4，b ＝－9C ．a ＝－1，b ＝9D ．a ＝－1，b ＝25．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >3B ．－1<a <3C ．－1<a <2D ．1<a <3二、填空题(每小题4分，共12分)6．给出以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23.其中所有正确命题的序号是________________． 7．(2010·陕西)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．8．(2011·深圳模拟)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________________________________________________________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010·福建)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．10．(12分)(2009·辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．。

人教版2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式复习课学案新人教A版选修4_5

第一讲不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)．(6)开方：如果a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a1＋a2＋…＋an n ≥na1a2…an .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( ) A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2答案 B解析由a 2＋a ＜0知，a ≠0，故有a ＜－a 2＜0,0＜a 2＜－a .故选B. 类型二基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d .证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d·3错误!＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式．跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值为________．答案 3解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin2x sin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos2x ＋8sin2x 2sin xcos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0. 故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三含绝对值的不等式的解法例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．方法二分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅；当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3，即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a ＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a≥2a·4a＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若错误!≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ≤0时，不合题意．又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞c b .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解方法一原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－ba ＞－1C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b ；②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab ＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x ＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a答案 D解析－b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b ；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由错误!无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由错误!得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．二、填空题6．若对任意x >0，xx2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞解析令f (x )＝x x2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x ≥2， ∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x2－y2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析因为x ⊗y ＝x2－y2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y2－x22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x2－y2xy ＋4y2－x22xy ＝x2＋2y22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________．答案 {x |－13≤x ≤13}解析当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3，解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3，解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32， ①⎩⎪⎨⎪⎧ x≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ，由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12；当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23；当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x≤23. (2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32，若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值．解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3，∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a2＋b22＋b2＋c22＋a2＋c22＋2. ∵a2＋b22≥ab ，b2＋c22≥bc ，a2＋c22≥ac ， ∴a2＋b22＋b2＋c22＋a2＋c22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a2＋b22＋b2＋c22＋a2＋c22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。

人教版数学高二A版选修4-5学案绝对值三角不等式导学案

1.2.1.绝对值三角不等式学习目标1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1 不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中“＝”成立的条件是怎样的？探究2 你能给出定理2的几何解释吗？探究3．|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |及|a |＋|b |分别具有什么关系？例1 (1)以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．变式练习1．(1)若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式：①|x lg nn ＋1|＜5|lg nn ＋1|；②|x |lg n n ＋1＜5lg nn ＋1；③x lg nn ＋1＜5|lg nn ＋1|；④|x |lg n n ＋1＜5|lg nn ＋1|.其中，能够成立的有________．(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是()A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n例2 已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.变式练习2．若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．例3已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．变式练习3．(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；(2)求函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值．参考答案探究1 【提示】不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.探究2 【提示】在数轴上，a ，b ，c 的对应的点分别为A ，B ，C .当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；当点B 不在点A ，C 之间时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.探究3 【提示】 |a |－|b |≤|a ＋b |，|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |．例1 [解析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a ||a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确；|y |＞3，∴1|y |＜103. 又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确； ⎝⎛⎭⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |. ∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确． (2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0，∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |.∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1. 即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件．当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0，必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件．故所求为：|a |>|b |. 答案：(1)A (2)|a |＞|b |变式练习1 解析：(1)∵0＜n n ＋1＜1.∴lg n n ＋1＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg n n ＋1＜0，④成立． (2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n . 例2[解析] ①若|a |＞|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边 ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．变式练习2证明：|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1<1＋2|a |＋1＝2(|a |＋1)．例3[解析] |a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|1|≤2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab ≥0，则|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②若ab ＜0，则|a |＋|b |＝|a －b |≤16.而当11,244,a b a b ++=⎧⎨++=-⎩即a ＝8，b ＝－8时，|a |＋|b |取得最大值，且|a |＋|b |＝|a －b |＝16.变式练习3．解：(1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴y max＝4，y min＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝|x－3|－|x＋1|＝4,1,22,13,4, 3.xx xx<-⎧⎪--≤≤⎨⎪->⎩∴－4≤y≤4.∴y max＝4，y min＝－4.(2)|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，∴y min＝1.。

人教A版数学高二选修4-5教案绝对值不等式的解法

1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、课时安排 1课时三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程（一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．（三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．法二作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}．规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3，由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1，所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}．题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【精彩点拨】解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]．法二当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10，因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1，故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立．题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ，所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5，根据函数f (x )的图象可知，原不等式的解集为 (－∞，5)．（四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。

人教版高中数学选修4-5全册课堂学案10-绝对值不等式的解法(三)(学生版)

精讲点拨
1.含参的绝对值不等式问题.
例 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等式恒成立；求实数a的取值范围.
例2 已知函数，设，且当时，，求的取值范围.
合作探究
问题：若函数的最小值为3，则实数的值为多少？
当堂巩固
已知函数，若的解集包含，求的取值范围.
作业布置
课时作业
总结与反思
请同学们看看这节课的学习目标是否都已达到？你还有什么疑惑？并将你整理归纳的重点写下来.
第一将绝对值不等式的解法（三）
班级：姓名：编号：10
学习目标
掌握含参绝对值不等式问题的求解方法.
重点
含参绝对值不等式问题的求解.
难点
含参绝对值不等式与恒成立、存在性问题的联系.
自主学习
自学内容：
复习回顾绝对值三角不等式及绝对值不等式的解法.
自学反馈：
设关于的不等式： .当为何值时，这个不等式的解集为 .

人教新课标版数学高二-数学(人教A)选修4-5学案绝对值不等式

1.2.1绝对值不等式☆学习目标：1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用☻知识情景：定理3 如果,,a b c R+∈, 那么33a b cabc++≥, 当且仅当a b c==时, 等号成立.定理3的国语表述:推论：对于n个正数12,,,na a a, 它们的即当且仅当a b c==时,等号成立.探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义.☻建构新知：1．绝对值的定义：a R∀∈，||a⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：⑴实数a的绝对值||a，表示数轴上坐标为a的点A⑵∀两个实数,a b，它们在数轴上对应的点分别为,A B，那么||a b-的几何意义是例1 设函数()14f x x x=+--．()1解不等式()2f x>；()2求函数()y f x=的最值．2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系.①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b ,则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有||||||a b a b ++ 它的几何意义就是:定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当时, 等号成立.☆案例学习：例2、 ⑴已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+，⑵已知0,,x a y b εεε>-<-<，求证：23235x y a b ε+--<。

人教版高中数学选修4-5第一讲第二节绝对值不等式教案2绝对值不等式的解法(3)

绝对值不等式一．知识要点：1．解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。

||a|─|b||≤|a+b|≤|a|+|b|;||a|─|b||≤|a─b|≤|a|+|b|;并指出等号条件。

3．(1).|f(x)|<g(x)⇔─g(x)<f(x)<g(x); (2).|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<─g(x). （无论g(x)是否为正）。

二．典型例题：1．解不等式|x 2─4x+2|≥x/2;解：x ≥4或4177-≤x ≤4177+或x ≤1/2. 2．解不等式|432-x x |≤1. 解：两种方法：讨论符号和去平方绝对值。

3．解不等式||x+3|─|x─3||>3.解：两种方法：方法1：分区间去绝对值：(1)⎩⎨⎧>-++--<3|)3()3(|3x x x ⇒x<─3; (2)⎩⎨⎧>-++≤≤-3|)3()3(|33x x x ⇒3/2<x ≤3或─3≤x<─3/2 ; (3)⎩⎨⎧>>363x ⇒x>3 ∴ 原不等式的解为x<─3/2或x>3/2.方法2：用平方法脱去绝对值：两边平方：(|x+3|─|x─3|)2>9,即2x 2+9>2|x 2─9|;两边再平方分解因式得：x 2>9/4⇒x<─3/2或x>3/2.例4：解不等式|x 2─3|x|─3|≤1.解：─1≤x 2─3|x|─3≤1⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--0|2||3||04||3||22x x x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤2173||4||x x ∴ 原不等式的解是：2173+≤x ≤4或─4≤x ≤2173-- 小结：本题由于运用了x ∈R 时，x 2=|x|2从而避免了一场大规模的讨论。

例5：求使不等式|x─4|+|x─3|<a 有解的a 的取值范围。

人教课标版高中数学选修4-5《含绝对值不等式的解法》教学设计

1.4 课时4 含绝对值不等式的解法一、教学目标（一）核心素养充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想. （二）学习目标1.理解并掌握a x <和a x >型不等式的解法。

2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想.3.能解常见的含绝对值不等式。

（三）学习重点含绝对值不等式的解法（四）学习难点理解并运用含绝对值不等式的解法二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第19页，填空：||1x <⇔ ，||1x >⇔ ；分别有怎样的几何意义？（2）想一想：解含绝对值不等式的最基本的思想方法是什么？【答案】零点分段法，对绝对值进行讨论. 2．预习自测（1）代数式|+2|x 的几何意义是表示 . 【知识点】绝对值的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】代数式|+2|x 的几何意义是表示数轴上的一点到-2所对应的点的距离【思路点拨】注意绝对值的几何意义【答案】数轴上的一点到-2所对应的点的距离．（2）不等式||2x ≤的解集是（）A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．[2,2]-【知识点】绝对值的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】||2x ≤表示数轴上的一点到0所对应的点的距离不大于2，所以22x -≤≤ 【思路点拨】注意绝对值的几何意义【答案】D ．（3）不等式|4||6|2x x -+-≥的解集为（） A ．(,4]-∞ B ．[6,)+∞ C ．R D ．(,4]6,)-∞+∞【知识点】绝对值三角不等式【解题过程】|4||6||(4)6|2y x x x x =-+-≥---=（），所以不等式恒成立. 【思路点拨】注意绝对值三角不等式的应用【答案】C (二)课堂设计 1.知识回顾（1）绝对值的意义。

选修4-5绝对值不等式学案

1．2．1绝对值不等式
【学习目标】：1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用【学习难点】：绝对值三角不等式【课前自主学习】：阅读教材P 6-7,并填空。

1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩
2、10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A
20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，
那么||a b -的几何意义是
3. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系.
①0a b ⋅>时,如下列图, 容易得：||
||||a b a b ++.
②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||
||||a b a b ++.
③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++.
综上,得
【问题发现】：
【问题导学，练习跟踪】：
【知识点一】
1、已知.6
,4a y a
x << 求证：a y x <-32。

2、已知 2,2c b y c a
x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+。

【知识点二】
3、设函数()14f x x x =+--．
()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．
4、对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是；
5、若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是
本课小结：。

高中数学人教A版选修4-5学案 §1.2.1绝对值基本不等式

选修4-5学案 1.2.1绝对值不等式姓名 ☆学习目标： 1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握; 2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用 ☻知识情景：1．定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.2. 定理2(基本不等式) 如果+∈R b a ,,那么2a b +≥当且仅当a b =时, 等号成立.讨论: 10. 你能解析基本不等式的几何意义吗?20. 怎样用语言表述基本不等式?30. 在应用基本不等式求最值时要注意什么?推论10. 两个正数的算术平均数2b a +, 几何平均数ab ,平方平均数 , 调和平均数b a ab +2，从小到大的排列是:3.定理3 如果,,a b c R +∈,那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时, 等号成立. 定理3的国语表述: 推论10. 对于n 个正数12,,,n a a a , 它们的即当且仅当a b c ==时, 等号成立.☆探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要打的意义.☻建构新知：1．绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ，那么||a b -的几何意义是例1 设函数()14f x x x =+--．()1解不等式()2f x >；()2求函数()y f x =的最值．2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系.①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理 1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量,a b ,a b + 构成三角形, 因此有||||||a b a b ++ 它的几何意义就是:定理1的证明:定理 2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当时, 等号成立.☆案例学习：例2 （1）,a b R ∈证明b a b a -≥+，（2）已知 2,2cb yc a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+。

高二数学(人教版)选修4-5教案：第02课时含有绝对值的不等式的解法

课题：第02课时含有绝对值的不等式的解法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。

下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。

主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型。

设a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是}|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。

a - 图1-1 a如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型。

设a 为正数。

根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是{|x a x >或a x -<}它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。

如图1-2所示。

–a a图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

二、典型例题：例1、解不等式213+<-x x 。

例2、解不等式x x ->-213。

方法1：分域讨论★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？）例3、解不等式52312≥-++x x 。

例4、解不等式512≥-+-x x 。

解本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。

原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5。

人教版高中数学选修4-5 教案【第03课时】含有绝对值的不等式的证明

课题：第03课时含有绝对值的不等式的证明目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b ba b a请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b ba b a可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。

因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。

我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。

在0<a 时，等号不成立）。

同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。

二、典型例题：例1、证明（1）b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+。

证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(（2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

所以，b a b a -≥+。

例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。

例3、证明 c b c a b a -+-≤-。

思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。

人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》教案

《绝对值不等式的解法（一）》教学设计课题绝对值不等式解法（一）课型新授课教者课时1课时教学目标知识与技能：（1）理解绝对值的几何意义.（2）掌握cbaxcbax≥+≤+,型不等式的解法.过程与方法：通过绝对值的几何意义来理解绝对值不等式的解法，体会数形结合的思想方法和分类讨论的思想方法。

培养学生观察、分析、类比、概括的能力.情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，鼓励学生大胆探索，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。

教材分析解绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解，而去绝对值的方法主要有绝对值几何意义观察、分类讨论法、平方法、图象法。

本节主要学习利用绝对值几何意义观察的方法，即运用绝对值不等式的几何意义及数形结合、整体代换等思想来去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解。

学情分析学生已经具备一定的不等式知识基础，之前学习的不等式的性质与不等式组的解法为本节学习做了铺垫。

在能力方面已经初步具备了数形结合思想，分类讨论思想以及化归等数学思想，通过教师的引导能够探究得出绝对值不等式的解法，能够发现从特殊到一般的规律。

重点难点重点：型不等式的解法和axax><难点: 去掉绝对值符号的等价转化教学方法启发引导，合作探究，小组讨论教具多媒体环节教学过程师生活动设计意图引入制造一个模具，长度设计尺寸为16毫米，上下偏差不超过0.01毫米，设实际长度是x毫米，那么x在什么范围时，模具长度合格？引出绝对值不等式01.016≤-x教师提出问题，学生回答明确研究绝对值不等式的必要性复习引入1.绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=,,xxxxx2.绝对值不等式的几何意义：举例：|-1|,|1|教师引导，学生思考回答问题以旧引新，启发学生发现不等式的多种解法新知探究新知探究探究1.不等式1<x的解集方法一：利用绝对值的几何意义观察：不等式1<x的解集表示到原点的距离小于1的点的集合所以，不等式1<x的解集为{}11<<-xx方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论①当0≥x时，原不等式可化为1<x10<≤∴x②当0<x时，原不等式可化为1<-x，即1->x-1<<∴x综合①②得，原不等式的解集为{}11<<-xx方法三：两边同时平方去掉绝对值符号对原不等式两边平方得12<x解得11-<<x所以，不等式1<x的解集为{}11<<-xx方法四：利用函数图象观察从函数观点，不等式1<x的解集表示函数xy=的图象位于函数1=y的图象下方的x的取值范围。

人教版高三数学选修4-51.3《绝对值不等式的解法》教学设计

§1．3.1绝对值的不等式解法第一课时教学设计【一】教学内容分析《绝对值不等式的解法》选自人教B 版高中数学4-5不等式选讲的第一章第三节，授课内容是本节的第一课时：(0)ax b c ax b c c +<+>>与型不等式的解法.本节课以不等式的性质和一元一次不等式一元二次不等式的解法为基础，同时也为学习双绝对值不等式提供了条件，既保证了本章知识的完整性又保证了知识的连贯性，它在全册书中起着承前启后的作用。

在高考中也是重点考查内容之一，并且在实际生活中有着广泛应用，同时也是培养学生数学核心素养的良好题材。

【二】教学目标（1）知识与技能：理解并掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 等三个类型不等式的解法（2）过程与方法：了解数形结合，分类讨论的思想，整体代换以及转化的思想，培养学生的数学思维能力，计算能力，数学建模能力。

（3）情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索勇于创新的精神，增强合作意识。

重点：()()0x a x a a <>>或的解法， ()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与型不等式的解法.难点：如何引导学生处理含绝对值的不等式变换的等价性问题的技巧. 类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪。

【三】学情分析学生在初中已经学习了绝对值的定义、绝对值的几何意义、|x|=a(a>0)的方程以及一元一次不等式的解法，在高中阶段又学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法等，他们已经具备解不等式的一些基本方法和技能，认知能力上也上了一个层次，尤其听课学生是一所省级示范高中的学生，所以对知识的理解上应没有困难。

所以对于教材我进行了大胆的处理，在教材原有知识的基础上又拓展了一类题型，力求激发学生思维的矛盾点，从而在课堂中得到最大的收获。

【四】教学策略分析问题是数学的心脏，所以本节课以问题为中心，通过一题多变、一题多解层层展开，构建出三种不同的绝对值不等式模型。

人教A版选修4-5 绝对值不等式第1课时学案

1．绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义．3．三个实数的绝对值不等式及应用．1．绝对值的几何意义(1)实数a 的绝对值|a |表示数轴上坐标为____的点A 到______的距离．(2)对于任意两个实数a ，b ，设它们在数轴上的对应点分别为A ，B ，那么|a －b |的几何意义是数轴上A ，B 两点之间的______，即线段AB 的______．(1)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，当a>0时，0，当a ＝0时，－a ，当a<0时.(2)对任意实数a ，都有|a |＝a2.(3)实数积和商的绝对值运算法则：|ab |＝|a |×|b |，|a b |＝|a||b|(b ≠0)． 2．绝对值三角不等式(1)如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当________时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a ，b 换成向量a ，b ，当向量a ，b 不共线时，由向量加法的三角形法则，向量a ＋b ，a ，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |，它的几何意义是______________．【做一做】若|x －a |＜h ，|y －a |＜k ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |＜2hB ．|x －y |＜2kC ．|x －y |＜h ＋kD ．|x －y |＜|h －k |3．三个实数的绝对值不等式如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当__________时，等号成立．答案：1．(1)a 原点(2)距离长度2．(1)ab ≥0(2)三角形两边之和大于第三边【做一做】 C |x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|＜h＋k.3．(a－b)(b－c)≥01．对绝对值三角不等式的理解剖析：绝对值三角不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab＞0，ab＜0，ab＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数符号的各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．对绝对值三角不等式几何意义的理解剖析：用向量a，b替换实数a，b时，问题就从一维扩展到二维，当向量a，b不共线时，a＋b，a，b构成三角形，有|a＋b|＜|a|＋|b|.当向量a，b共线时，a，b同向(相当于ab≥0)时，|a＋b|＝|a|＋|b|；a，b异向(相当于ab＜0)时，|a＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆定理，并应用定理解题．绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.我们较为常用的形式是|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，但有些学生就会误认为只能如此，而实质上，|a＋b|是不小于||a|－|b||的，|a|－|b|不一定是正数，当然，这需对绝对值不等式有更深的理解，从而使放缩的“尺度”更为准确．题型一绝对值三角不等式的性质【例1】若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式：①|x lg n n ＋1|＜5|lg n n ＋1|； ②|x |lg n n ＋1＜5lg n n ＋1； ③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|； ④|x |lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|. 其中，能够成立的有______．反思：判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．题型二用绝对值三角不等式的性质证明不等式【例2】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：|a x ＋b x2|＜2. 分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．|a |，|b |和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题的信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．题型三绝对值三角不等式的综合应用【例3】已知函数f (x )＝lg x2－x ＋1x2＋1. (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并给出证明．(2)若t ∈R ，求证：lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310. 分析：(1)借助定义判别f (x )的单调性；(2)利用绝对值三角不等式解决．反思：此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形．在应用绝对值不等式放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这是关键所在．答案：【例1】 ④ ∵0＜n n ＋1＜1，∴lg n n ＋1＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③，而|x |lg n n ＋1＜0，故④成立．【例2】证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |，∴|a x ＋b x2|≤|a x |＋|b x2|＝|a||x|＋|b||x|2＜|x||x|＋|x|2|x|2＝2. ∴|a x ＋b x2|＜2. 故原不等式成立．【例3】解：(1)f (x )在[－1,1]上是减函数．证明：令u ＝x2－x ＋1x2＋1＝1－x x2＋1. 取－1≤x 1＜x 2≤1.则u 1－u 2＝错误!，∵|x 1|≤1，|x 2|≤1，x 1＜x 2，∴u 1－u 2＞0，即u 1＞u 2.由u ＞0，lg u 1＞lg u 2，得f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在[－1,1]上是减函数．(2)∵|t －16|－|t ＋16| ≤|(t －16)－(t ＋16)|＝13. |t ＋16|－|t －16| ≤|t ＋16－(t －16)|＝13， ∴－13≤|t －16|－|t ＋16|≤13. 由(1)的结论，有f (13)≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤f (－13)．而f (13)＝lg 710，f (－13)＝lg 1310， ∴lg 710≤f (|t －16|－|t ＋16|)≤lg 1310.1．设ab ＞0，下面四个不等式①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的是( )A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④2．已知实数a ，b 满足ab ＜0，则下列不等式成立的是( )A ．|a ＋b |＞|a －b |B ．|a ＋b |＜|a －b |C ．|a －b |＜||a |－|b ||D ．|a －b |＜|a |＋|b |3．不等式≥1成立的充要条件是________．4．设|a |≤1，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，证明|f (x )|≤.答案：1．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号．∴|a ＋b |＝|a |＋|b |.∴①④正确．2．B3．|a |＞|b | ≥1≥0(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0. 而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.4．证明：|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－x 2＋|x |＝≤，即|f (x )|≤.。

人教版数学高二A版选修4-5学案绝对值不等式的解法导学案

1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≤c.3．能利用绝对值不等式解决实际问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究探究1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？探究2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？探究3 怎样解|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式？【例1】解下列不等式： (1)|x －1|≤2； (2)|2x －1|<2－3x ； (3)3≤|x －2|<4； (4)|x ＋2|>|x －1|； (5)⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x .【变式训练1】解下列不等式：(1)|3－2x|－4≥0；(2)2<|3x－1|<3；(3)|x2－1|>3；(4)(1＋x)(1－|x|)>0；(5)|2x－1|<x.【例2】解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.【变式训练2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.【例3】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【变式训练3】解不等式|2x＋3|<a＋1(a∈R)．参考答案探究1【提示】 |x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)．探究2【提示】可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．探究3【提示】求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集．【例1】【解】 (1)∵|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2⇔－1≤x ≤3， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<2－3x ，2x －1>3x －2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <35，x <1⇒x <35.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <35.(3)3≤|x －2|<4⇔3≤x －2<4或－4<x －2≤－3. 即5≤x <6或－2<x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或5≤x <6}．(4)|x ＋2|>|x －1|⇔(x ＋2)2>(x －1)2⇔x 2＋4x ＋4>x 2－2x ＋1⇔6x >－3，即x >－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12.(5)方法1：分类讨论求解． (ⅰ)当2x <0时，即x <0.∵⎪⎪⎪⎪x 2－12≥0对任意x ∈R 恒成立， ∴⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x 恒成立． ∴x <0是原不等式的解． (ⅱ)当2x ＝0时，即x ＝0. ∵⎪⎪⎪⎪x 2－12＝⎪⎪⎪⎪0－12＝12>0， ∴x ＝0是原不等式的解． (ⅲ)当2x >0时，即x >0.⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x .由x 2－12>2x ，得x <2－62或x >2＋62.由x 2－12<－2x ，得－2－62<x <－2＋62.综合x >0知，x >2＋62或0<x <－2＋62是原不等式的解．综上所述，原不等式的解集是{x |x <0}∪{x |x ＝0}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2＋62∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <－2＋62，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 方法2：直接去绝对值求解．⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x ，即2x 2－4x －1>0或2x 2＋4x －1<0. 由2x 2－4x －1>0，得x <1－62或x >1＋62. 由2x 2＋4x －1<0，得－1－62<x <－1＋62. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 【变式训练1】解 (1)|3－2x |－4≥0⇔|2x －3|≥4⇔2x －3≥4或2x －3≤－4⇔2x ≥7或2x ≤－1⇔x ≥72或x ≤－12.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥72.(2)2<|3x －1|<3⇔2<3x －1<3或－3<3x －1<－2⇔3<3x <4或－2<3x <－1 ⇔1<x <43或－23<x <－13.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <－13或1<x <43.(3)|x 2－1|>3⇔x 2－1>3或x 2－1<－3 ⇔x 2>4或x 2<－2(无解) ⇔|x |>2⇔x >2或x <－2.所以原不等式的解集为{x |x <－2或x >2}．(4)(1＋x )(1－|x |)>0⇔0(1)(1)0x x x ≥⎧⎨+->⎩或0(1)(1)0x x x <⎧⎨++>⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ≠－1⇔0≤x <1，或x <0，且x ≠－1⇔x <1，且x ≠－1.所以原不等式的解集为{x |x <1，且x ≠－1}．(5)|2x －1|<x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<x ，2x －1>－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >13⇔13<x <1. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1. 【例2】解不等式|x ＋3|＋|x －3|>8. 【解】解法一：当x ≤－3时，原不等式可化为－(x ＋3)－x ＋3>8，即x <－4，此时，不等式的解为x <－4. 当－3<x <3时，原不等式可化为 x ＋3－x ＋3>8，此时不等式无解．当x ≥3时，原不等式可化为 x ＋3＋x －3>8，即x >4. 此时不等式的解为x >4.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法二：如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为6，因此区间[－3,3]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧存在一点A 1，使得A 1到A ，B 的距离之和为8，即|A 1A |＋|A 1B |＝8，设点A 1对应的数为x ，则有－3－x ＋3－x ＝8，∴x ＝－4.同理，设点B 的右侧存在一点B 1，使|B 1B |＋|B 1A |＝8，设点B 1对应的数为x ，则有x －(－3)＋x －3＝8，∴x ＝4.从数轴上可以看到，A 1与B 1之间的点到A 、B 的距离之和都小于8，而点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于8.所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法三：原不等式可转化为|x ＋3|＋|x －3|－8>0，构造函数y ＝|x ＋3|＋|x －3|－8，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －8 x ≤－3，－2 －3<x <3，2x －8 x ≥3.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－4,4.由图象可知，当x <－4或x >4时，y >0，即|x ＋3|＋|x －3|－8>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．【变式训练2】解不等式|3x －2|＋|x －1|>3.解 (1)当x ≤23时，原不等式化为2－3x ＋1－x >3，即3－4x >3，∴x <0.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤23，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为{x |x <0}．(2)当23<x <1时，原不等式化为3x －2＋1－x >3，即2x >4，∴x >2.又∵23<x <1，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，原不等式化为3x －2＋x －1>3，即4x >6，∴x >32.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.由(1)、(2)、(3)知，原不等式解集为{x |x <0或x >32}．【例3】设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，将此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【变式训练3】解不等式|2x ＋3|<a ＋1(a ∈R)．解因为a ∈R ，故分以下两种情况讨论：(1)当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅.(2)当a ＋1>0，即a >－1时，原不等式可变为－a －1<2x ＋3<a ＋1.所以－a ＋42<x <a －22.综上可知，当a >－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－a ＋42，a －22；当a ≤－1时，原不等式的解集为∅.。

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第一讲理解绝对值的几何意义；
2．能利用绝对值的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
重点
绝对值三角不等式的应用
难点
绝对值三角不等式的理解与证明
自主学习
自学内容：
阅读课本11-14页的内容.
当堂巩固
1.设ab>0，下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b| ；
④|a＋b|>|a|－|b|.其中正确的是()
A．①②B． ①③C．①④D．②④
2.若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
自学反馈：
当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈________.
精讲点拨
1．能利用绝对值的几何意义证明以下不等式；
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2.会利用绝对值不等式证明其它不等式.
例1说出下列不等式等号成立的条件：
(1)|a|＋|b|≥ |a＋b|；
作业布置
课时作业
总结与反思
请同学们看看这节课的学习目标是否都已达到？你还有什么疑惑？并将你整理归纳的重点写下来.
(2)|a|－|b|≤|a＋b|；
(3)|a－c| ≤|a－b|＋|b－c|.
例2 已知，求证：
合作探究
问题：两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第和第处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？