f行列式的计算
（完整版）行列式的计算方法（课堂讲解版）
（完整版）⾏列式的计算⽅法（课堂讲解版）计算n 阶⾏列式的若⼲⽅法举例n 阶⾏列式的计算⽅法很多，除⾮零元素较少时可利⽤定义计算（①按照某⼀列或某⼀⾏展开②完全展开式）外，更多的是利⽤⾏列式的性质计算，特别要注意观察所求题⽬的特点，灵活选⽤⽅法，值得注意的是，同⼀个⾏列式，有时会有不同的求解⽅法。
下⾯介绍⼏种常⽤的⽅法，并举例说明。
1．利⽤⾏列式定义直接计算例计算⾏列式 001002001000000n D n n=-LLMM M M L L解 D n 中不为零的项⽤⼀般形式表⽰为 112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利⽤⾏列式的性质计算例：⼀个n 阶⾏列式n ij D a =的元素满⾜,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称⾏列式，证明：奇数阶反对称⾏列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故⾏列式D n 可表⽰为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L，由⾏列式的性质A A '=，1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因⽽得D n = 0.3．化为三⾓形⾏列式若能把⼀个⾏列式经过适当变换化为三⾓形，其结果为⾏列式主对⾓线上元素的乘积。
第一章行列式第一讲
（2）消去变换法：通过行列的加减使大部分元素变为零，然后进行计算。 例：计算 1 2 3 n x 1 2 n 1 D得
1 x 0 0 D 0 x 1 1 x 0 0 x 1 1 x 0 x 1 x x 1 1 1 1 1 1
a00
a00
....
a00
1 1 1 1 k 1 k .... a1k x1 a1k x2 a1k xn1 k k 0 k 0 k 0 D .... .... .... . n 1 n 1 n 1 n 1 k n 1 k .... an1k xnn 1 k an1k x1 an1k x2 k 0 k 0 k 0 1 1 x1 x2 n 1 ai0 .... .... i0 x1n 1 x2n 1 .... .... .... 1 xn n 1 a (x x ) . i i 0 j 0 1 j i n i .... xnn 1
令右下角的元素1=x+(1-x)将行列式表示为两个行列式之和得
1 x 1 1 0 1 x 0 0 1 x D 0 0 0 x x x
0 1 x 1 1 0 0 1 x 0 0 0 1 x 0 1 x 0 0 0 0 x 1 x x x x
的第i列，则有
三、行列式的计算
（1）提公因子法：将行列式某行(列)的公因子提出来，再进行计算。 例：计算
线性代数课件1-5~1-6行列式的性质与计算
a11 a1i a1 j a1n a21 a2 i a2 j a2 j an1 ani anj anj
a11 ka1 j a1 j a1n a21 ka2 j a2 j a2 j an1 kanj anj anj
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， a11 a12 a1n 则此行列式为零. 证明 设行列式为 D 互换相同的两行，有
D D
D0
1 7 5 6 6 2 0
6 6 2
a21 a22 b1 b1 b2 b2 a n1 a n 2 ann bn bn a2 n
4 0 0
r4 2 r5
3 0 0 0
5
0 0 0 1 4 0 0 0
0 0 2 0 3 0 5 0 0
0 r 3r 0 0 2 5 1 0 0 3 0 1 2 5 0 0
r2 r1
0 16 2 7
0 16 2 7
r3 4r2 0 2 1 1 D 0 8 4 6 r4 8r2 0 0 8 10 0 16 2 7 0 0 10 15
0 2 1 1
1
3
1
2
1 3 1
2
1 3 1 2 5 r4 r3 0 2 1 1 2 8 5 40. 4 2 0 0 8 10 5 0 0 0 2
a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in a11 ai1 a12 a1n a i 2 a in
k 0. ka i 1 ka i 2 ka in a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
行列式的计算方法
行列式的若干计算方法摘 要 归纳总结行列式的计算方法,并举例说明它们的应用. 关键词 行列式;初等变换;计算方法;化简 中图分类号 O175The number of calculation method of determinantAbstract :Summarized determinant method of calculation, and examples of their application. Keywords:Determinant; elementary transformation; calculation methods; simplification.引言行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法.1 定义法根据行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑我们可以利用定义直接计算行列式,其中11()n j j j τ是11n j j j 的逆序数.例1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则 12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （1）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.例2 计算行列式12312341345121221n n n n D n n n -=--.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n -列乘-1加到第n 列,第2n -列乘-1加到第1n -列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.解 12312341345121221n n n n D n n n -=--1111121111311111111n n n n -=--111111000201000nn n n -=---120001000120001nn n n n n +++-=--- 000001(1)00002n nn n n n---=- (1)(2)21(1)(1)2n n n n n ---=- (1)12(1)(1)2n n n n n --+=-.问题推广在例2中1,2,,n ,这n 个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式111111111111111111112(1)23234(1)(3)(2)a a d a d a n d a nd a d a d a d a nd a D a d a d a d a a d a n da a da n da n d+++-+++++=+++++-++-+-1111(1)2(1)(1)(1)a d d d d a d d d d n d a d d d n d d a n d n d d dd+-=+-+-- 12(1)000a ddd d d ndd ndn d nd -=---1(1)02(1)000d n da nnd ndd ndn dnd -+++-=---(1)(2)121(1)()()(1)n n n d n d a nd nn----=+++--(1)(2)1112((1))1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--. 如果将例2中的数11a =，1d =代入(1)(2)1112((1)1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--结论显然成立.3加边法利用行列式按行（列）展开的性质把n 阶行列式通过加行（列）变成与之相等的1n +阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =.（1）首行首列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =121112121222121000n n n n n nna a a a a a a a a a a a =.（2）首行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=111213121222321230001n n n na a a aa a a aa a a a=.（3）末行首列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1111212212223313231000nnna a a aa a a aa a a a=.（4）末行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1112131212223231323330001a a a aa a a aa a a a=.例3计算123123123123(0)nnnnx a a a aa x a a aD a a x a a xa a a x a++=+≠+.解1212121212(1)(1)1nnnnn n na a ax a a aa x a aDa a aa a x a+⨯+++=+将第一行乘(1)-加到其余各行上去,得12(1)(1)11001001000100nn na a axxx+⨯+--=--将第2列,,第n列分别乘1x,全都加到第一列,得121(1)(1)100000000000nk n k n n a a a a x x x x=+⨯++=∑1111(1)n nnn n k k k k x a x x a x -===+=+∑∑.加边法是将原行列式中添加适当的行(列),构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.4降阶法n 阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即1(1,2,,)nij ij j D a A i n ===∑ 或 1(1,2,,)nij ij i D a A j n ===∑.行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例4 计算1301301411210110D =. 解 130109110220011D -=-9111220110-=⨯-21421-==-.注意 对于一般的n 阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.5递推法递推法是根据行列式的结构利用n 阶行列式的性质,把给定的行列式n D 用与n D 有相同形式的1n D -阶行列式表示出来,然后将1n D -阶行列式再用与1n D -有相同形式的2n D -阶行列式表示出来,这样一直做下去直到n D 被有相同形式2D 的表示出来,这样n D 可被易计算的2D 表示出来,故可达到计算n D 的目的.例50001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++证明11,n n n D αβαβ++-=-其中αβ≠分析 此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知n D 与1n D -具有相同的结构.因此可考虑用递推法证明.证明 把行列式n D 按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-于是有递推关系式12()n n n D D D αβαβ--=+-或 112()n n n n D D D D αβα----=- 类似有1223()n n n n D D D D αβα-----=-3221()D D D D αβα-=-. 由于1()D αβ=+ 22()D αβαβ=+-因而221()()n nn n D D αβαβαβααββ--⎡⎤-=+--+=⎣⎦.若 0α= 时 n n D β= 若 0α≠ 时 11()n nn nn D D βααα--=+利用计算递推,得1212112()()()()()n n n n nn n nn n D D D D βββββααααααααα-----=+=++==+++21()()n βββααα=++++=1111()11n n n nβαβαβααβα+++--=-- 所以 11()n n n D αβαβαβ++-=≠-.若αβ=时,从 21()()1n n D n βββααα=++++=+得到(1)n n D n α=+故 11(1)n n n n D n αβαβαβααβ++⎧-≠⎪-=⎨⎪+=⎩当 当 .6析因法基本方法:如果行列式D 中有一些元素是变量x 的多项式,那么将行列式D 当作一个多项式()f x 然后对行列式施行某些变换,求出()f x 互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ,根据多项式相等的定义,比较()f x 与()g x 的某一项的系数,求出c 值,便可求得()D cg x =.例6 计算行列式221123122323152319x D x -=-分析 这是一个关于x 的4次多项式,在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积解 令()f x =221123122323152319x D x -=-则()f x 是关于x 的4次多项式,由行列式的性质当1,2x x =±=±时()0f x ≡.因此()f x 有四个一次因式(1),(1),(2),(2)x x x x -+-+.()g x (1)(1)(2)(2)x x x x =-⋅+⋅-⋅+于是 ()f x (1)(1)(2)(a x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅+.比较D 中4x 的系数,得3a =-()D f x ==3(1)(1)(2)(2)x x x x -⋅-⋅+⋅-⋅+.注意 找一次因式时因该先观察,若行列式是关于x 的n 次多项式就相应的找n 个一次因式（重因式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数n 相应的找n 个一次因式.7利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.例8 计算如下行列式的值123123123123n n n n n a a a a a a a a M a a a a a a a a λλλλ++=++.解n b bM bb=+123123123123n nn na a a a a a a a a a a a aa a a 因为行列式b bbb的特征值为,,,b b b ,行列式123123123123n nn na a a a a a a a a a a a a a a a 的特征值为1,0,,0ni i a =∑.所以n M 的特征值为1,,,ni i b a b b =+∑.由行列式的特征值与行列式的关系式知11()nn n i i M b a b -==+∑.8对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法.例9 计算n 阶行列式00010011n D αβαβαβαβαβαβ++=++.解 按第1行展开,得12()n n n D D D αβαβ--=+-即 112()n n n n D D D D αβα----=- 由此递推,即得 1n n n D D αβ--=因为n D 中α于β对称,又有 1n n n D D βα--=αβ≠当 时,从上式两边消去1n D -,得11n n n D αβαβ++-=- αβ=当 时,112()(1)n n n n n n n D D D n βββββββ---=+=++==+.与例题5作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法.因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性.9数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性. 基本方法1) 先计算1,2,3n =时行列式的值. 2) 观察1,2,3D D D 的值猜想出n D 的值. 3)用数学归纳法证明.例10 计算行列式0001001n a b ab a b ab D ab++=+.解：因为 221a b D a b a b -=+=-33222a b D a ab b a b-=++=-所以，猜想 11n n n a b D a b++-=- . (1)证明 当1n =时,(1)式显然成立.设1n k ≤-时,(1)式显然成立,则n k =时(1)00000()1k k a bab a b ab D a b ab -++=++ (1)000001k a b ab ab ababa b -++-+12()k k a b D abD --=+-11()k k k k a b a b a b ab a b a b ----=+---11k k a b a b++-=-∴当n k =时(1)式也成立,从而得证.即 11n n n a b D a b++-=-.注意 一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.11范德蒙行列式范德蒙行列式1232222123111111231111nn n i j j i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算.例11 计算1n -阶行列式1n D -131313222222223333336n n n n n n n n n nn n n n ---------=----.解 用加边法将行列式化为范德蒙行列式131311321111102222222033333360n n n n n n n D n n n n n n n n -------=-------132132132111112222233333n n nn nn n n n n n ---=1221221221111112222!133331n n n n n n n n n n n------= 221(2)(3)212212211111112222!(1)133331n n n n n n n n n nn n n ---+-+++----=- (1)(2)(1)(2)12211(1)!()(1)(!)n n n n n i j nk n i j k -----≤<≤==--=-∏∏12利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四种特殊情形01)nn nn mm mnmmA ABC B =⋅; 2)nn nm nn mm mmA C AB B =⋅;3)(1)nnmn nn mm mm mnA AB BC =-⋅ ; 4)(1)0nm nn mn nn mmmmC A A B B =-⋅.故可将已知行列式选取适当地行列,化成上述四种特殊情形计算. 例12 计算n 阶行列式n a a a ab D b bλαββββαβββββα=. 解 n D =0000aaaabλαββββααββααβ----(1)(2)0000n aaaab n λαββββαβαβ-+-=--00(1)00(2)0n b n αβλααβαβαβ---=⋅+--[]2(2)(1)()n n ab n λαλβαβ-=+---⋅-.n 阶行列式的计算,证明方法较多,不同的题目用到不同的计算方法,同样的题目有时也可以用到不同方法,至于选择哪一种要视具体题目而定.但是更重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成.。
第1 讲 行列式的计算 - 清华大学出版社
an 2 ann
a1n
a2 n ann
.
等式右边的行列式称为左边行列式 D 的转置，记作 D T . 所以 D T D . 性质 2 行列式的某两行（列）元素成比例，则行列式为零. 性质 3 如果行列式中有一行（列）的每个元素都是两个数的和，则行列式 可拆成两个行列式的和. 即
ai1 ain ai1 ka j1 ain ka jn . an1 ann an1 ann
3. 行列式的展开定理
(1) 余子式，代数余子式
在 n 阶行列式中，将元素 aij 所在的行与列上的元素划去，其余元素按照原 来 的 相 对 位 置 构 成 的 n 1 阶 行 列 式 ， 称 为 元 素 aij 的 余 子 式 ， 记 作 M ij .
1 2 . 2
行和与列和均不相等，但第 1 行（列）中不含 的两个元素之一为
0，可直接按对角线方法计算.
1
解
0 2
0 2 1 2 ( 1)( 1) 4( 1) 4( 1) ( 3)( 3). 2
2
考研线性代数选讲
a11
a1n
a11 a1n
a11 a1n
cin .
bi1 ci1 bin cin bi1 an1 ann
bin ci1
an1 ann
an1 ann
性质 4
行列式的两行（列）互换，行列式变号.
(1) (2) (3) (4)
AB A B (其中 B 为 n 阶方阵)； 1 A1 A （其中 A 可逆） ； A O A O A C A B ， (5) O B C B O B
行列式加减法计算公式
行列式加减法计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵所对应的一个数。
行列式的加减法是对两个行列式进行运算，得到一个新的行列式的过程。
在实际问题中，行列式的加减法计算公式有很多应用，可以帮助我们解决复杂的线性代数问题。
在本文中，我们将详细介绍行列式的加减法计算公式及其应用。
一、行列式的定义二、行列式的加法计算公式1. 行列式的加法性质：两个行列式相加，等于这两个行列式的每一个元素相加。
对于两个3阶方阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]和B=[-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]，则有|A+B|=|1+(-1) 2+(-2) 3+(-3)||4+(-4) 5+(-5) 6+(-6)||7+(-7) 8+(-8) 9+(-9)|=|-1 0 0||-1 0 0||0 0 0|=02. 行列式的减法计算公式：利用行列式的减法性质，可以通过每一个元素相减，得到新的行列式的值。
行列式的加减法计算公式在解决线性代数问题中有着广泛的应用。
其中包括以下几个方面：1. 解线性方程组：通过解线性方程组，可以利用行列式的加减法计算公式快速求解未知数的值，简化计算步骤。
2. 求逆矩阵：通过行列式的加减法计算公式，可以求解方阵的逆矩阵，从而用于矩阵的运算。
行列式的加减法计算公式是线性代数中的重要内容，通过掌握行列式的加减法计算公式，可以帮助我们解决复杂的线性代数问题，提高计算效率。
希望本文对读者有所帮助，欢迎阅读。
第二篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，在矩阵运算中占有非常重要的地位。
行列式的定义是一个数学函数，它将一个方阵映射到一个实数上。
同时，行列式也是线性代数中用于解不定方程组、判断矩阵是否可逆、计算面积和体积等问题的工具之一。
在行列式的运算中，加减法是其中一项重要的操作。
下面就让我们来学习一下行列式的加减法计算公式。
首先，我们先来回顾一下行列式的定义和性质。
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
第一章行列式的计算
1
a2 a3
x
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
４ 例4
用降阶法计算, 按一行（列）展开 计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解 将 的第2、、行都加到第 行，并从第 行中 34 1 1 D4
提取公因子a b c d，得
1
1
1 1
b a d c , D4 ( a b c d ) c d a b d c b a
例
这是一个关于三个未知 a , b, c的线性方程组. 数 D 20 0, D1 40,
D2 60,
D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
已知四阶行列式D的第一行元素依次是1,3,0，-2，第二行
对应元素的代数余子式依次是8，ｋ,-7,10，求ｋ．
解
a11 A21 a12 A22 a13 A23 a14 A24 0
1 8 3k 0 (7) (2) 10 0
k 4
2 ( Dn 2 Dn 3 )
n
)2 ] ( ) [(
2
n 2 ( D2 D1 ) n
(Dn 2 n 1 ) n Dn Dn 1 2 Dn 2 n 1 n
行列式地计算技巧与方法总结材料
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1•行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法2.12.2利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3•行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4.几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2“爪”字型行列式4.3“么”字型行列式4.4“两线”型行列式4.5“三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5.行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式标准实用=0.1.2行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变•即an a 12 a 1nana 21a n1a 21a 22 a 2na 12a 22a n2a n1a n2a nna 1na 2na nn性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式•即a 11 a 12 a 1 na11a12a1nka i1ka i2 ka ink a i1ai2aina n1a n2a nnan1an2ann性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的 和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列） 一样•即a 12 Ka ina iiMa n1b 2 C 2K b n C n M M a n2Ka nna 11 a 12K a1n M MM M b 1 b 2K b n M MM Ma n1 a n2Ka nna 11 a 12K a1n M M M Mq C2 K C n M MM M a n1 a n2Ka nn性质4 如果行列式中有两行 那么行列式为零•即a 11 a 12 a 1 na 11 a 12 a 1 na i1a i2a ina i 1 a i2a inkka i1 ka i2 ka ina i1 a i2 a ina n1 a n2a nna n1a n2a nn（或列）对应元素相同或成比例，标准实用性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na ii ca ki a i2 ca k2 a in Ca kn a i1 a i2 a ina ki a k2 a kn a k1 a k2 a kna n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号•即a11 a12 a1n a11 a12 a1 na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn =-a i1 a i2 a ina n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零•即a1 ,n-1 a1 na11 a120 0 0 0 0a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.标准实用主对角线下方的元素与第一行元素对应相同， 故用第一行的 1例1计算行列式解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4! 24项,但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少•具体的说，展开式中的项的一般形式是a 1j 1 a 2 j 2 a 3j 3 a 4 j 4•显然，女口果j 14，那么31j 10，从而这个项就等于零.因此只须考虑 j 1 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 3 2, j 41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a 14a 23a 32a 41，而43216，所以此项取正号•故2.2利用行列式的性质43211 &14&23&32&41 24.即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a 11 a 12a 13 a 1na 110 0 0 a 22a 23a 2na 21a 220 00 a 33 a 3na 11 a 22a nn,a 31 a 32a 33a nna n1 a n2 a n3a nn例2计算行列式D na 1 a 1b 1 a 2 a n a 1a 2a nb n解析：观察行列式的特点,a 2 a n a 11a 22a nn•倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 •••（n 1）行上去，可得2.2.2连加法D n 1这类行列式的特征是行列式某行（或列）a ib iMa2加上其余各行a nb n（或列）后，使该行（或列）均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.例3计算行列式D n 解: x1mX1 x2mX2X nX nX n mni 1 nX i m X2 i 1X i m X2 m ni 1 X i m X2X1D nX nX n1 X2 X n 1 X2 X n n 1 X2 m X n n 0 m 0 X i m X i m1 i 11 X2 X n m 0 0 mX nnn 1m X i mi 12.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，解：从最后一行开始每行减去上一行，有1 2 3 n 1 n1 2 3 n 1 n11 1 1 12 0 0 0 2 D n1 1 1 1 12 2 00 21 11111 1 1111 2 3 1 0 0 2n 21 1 01 1 1 1 02.2.4逐行相加减n 行的和全相同，但却为零•用连加法明显不行，这是我们可以解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:这种方法叫滚动消去法. 122 1例4计算行列式D n 3 23 n 1 n2 n 2 n 11 n 3 n2 n 2n 2 21n n 12n对于有些行列式，虽然前a 1a 1 0a 2 a 2 例5计算行列式D0 0 a s0 0 01110 0 0 0 0a n a n1 1尝试用逐行相加减的方法.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开例6 解行列式D n解：按最后一行展开，得2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k 1 k n -1个行.由这k行兀素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.即D M 1A1 M2A2 M n A n，其中A i是子式M i对应的代数余子式.a ia2a3a n2n n 1 a1a2a n 1n 1 a1a2an .a n a n 2 a2 a1n 1 n 2D n a1x a2x a n 1XB nnC nn2.4升阶法算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子 升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一 般行列的位置.例7解行列式D nA nn 0C nn B nnA nn ?B nn .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得D nn 1 ab就是把n阶行列式增加一行一列变成 n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计,那么0,这样就达到简化计算的效果.（n 1） 110 1 00 0 1 D0 0 0 0 0n 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法0 1 11 0 1例8 解行列式D=1 1 01 1 11 1 11 1 1 1 1 1 0 1 1 01阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D1 1 1 1 1 1 0 1 1 0再将第一行的1倍加到其他各行，得:1 1 1 1 1 0 1 0 1D=1 1 0 0 0 0 1 0 0 1从第二列开始，每列乘以1加到第一列，得:1 1 0 0 0 01 0 0 1解：使行列式D 变成n去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0例9计算行列式D n 0 1 2 cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos解:用数学归纳法证明当n 1 时，D i coscos 1 2当n2 时，D2i 2cos 2C0S 1 C0S2猜想，D n cosn由上可知，当n 1，n 2时,结论成立•假设当n k时,结论成立•即：D k cosk .现证当n k 1时，结论也成立cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0当n k 1时，D k 1 0 1 2cos0 00 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos 将D k i按最后一行展开，得cos 1 0 01 2cos 1 0D k 1k 1 k 11 ?2cos 0 1 2cos 00 0 0 2coscos k1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.即：D n cosn2.6递推法 技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.① 若0，则特征方程有两个不等根，则 D n Ax ； 1 Bx ； 1 ② 若0,则特征方程有重根 X 1 X 2，则D n A nB x ； 1在①②中，A ,B 均为待定系数，可令 n 1, n 2求出.因为D k所以cos2cos2cos2 cos D kcoskcos k cos cosk cos sin k sin ,2 cos D k D k 12 cos cosk cosk cos sin k sincosk cossin k sin这就证明了当9 5 °°°°°4 95 °°°°° 4 9 5 °°°例1° 计算行列式D n°°°° 4 9 5°°°°° 49解：按第一列展开，得D n 9D n 1 2°D n 2 •即D n9 D n i 2° D n2 °.作特征方程2x 9x 2°°.解得X i 4, X2 5.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B .解得A 16,B 25 ,所以D n 5n 14n1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2例题解析1 a1a2 0 0 01 1 a2a3 0 0例11 计算行列式D n 0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 a1 a2 0 0 01 0 1 82 a3 0 0D n 0 0 1 1 a30 00 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n3232 1 33333n 113n3n31 0 3232133333n 3n3n上面第一个行列式的值为所以D n 1 31 1 321a3a33n11 31 D n 1 .这个式子在对于任何n n都成立, 因此有D n 1 aQ na11 32D n 2 a1 a〔a2ii1 3j.j 13.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦, 3n3nn 13132 3n这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.322例题解析1 1 1X1 X2 X n2 2 2 例12 求行列式D nX1 X2 X nn 2 n 2 n 2治X2 X nn n nX1 X2 X n 值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1X1 X2 X n X2 2 2 2X1 X2 X n Xf Xn 2 n 2 n 2 n 2X1 X2 X n Xn 1 n 1 n 1 n 1X1 X2 X n Xn n n nX1 X2 X n X将f x按第n 1列展开，得f x A,n 1 A；n 1其中，x 的系数为A n,n 1 又根据范德蒙德行列式的结果知f x x X-! 由上式可求得x n 1的系数为n 1X A n,n 1X n1A n 1,n 1xn n 1 ——1 D n D n解：虽然D n不是范德蒙德行列式, 但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出D n的X x2X X n X i X j .1 j i nx1x2x n x i x j.1 j i n故有D n X i X2 X n X i X j .1 j i n3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1，2，n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2 n .故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式.3.3.2例题解析例13 若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n,贝UA 可逆A 0 1 2 n 0 i 0 i 1,2 n .即A可逆当且仅当它的特征值全不为零.4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念a 11a 2i a 22 a 3i a 32a 33a n1a n2 a n3 a nn故称为"三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,4.2.2计算方法方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.a i1a i2 a i3 a i na 22a 23 a 2n 形如a 33a 3na nna iia i2a i3a i na ii0 0 a 22a 23 a 2na 2ia 220 0 0 a 33 a 3na ii a 22 a nn，a 3i a 32a 33a nna ni a n2 a n3a nna ii a 22a nn .这样的行列式，形状像个三角形,4.2 “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如a 。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)（一）行列式的定义及相关公式 (2)(二)n级行列式的性质: (4)二、行列式的计算 (6)（一)行列式的基本计算方法 (6)1、定义法: (6)2、三角形法： (7)3、降阶法: (12)4、换元法： (14)5、递推法: (15)6、数学归纳法： (16)7、目标行列式法： (18)（二)行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，是高等数学的一个基本的概念。
行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具，进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质,介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法，如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法.辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等,并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics。
行列式的计算方法
行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的计算方法汇总1
行列式的计算方法汇总方法1 化三角形法12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)20020000101(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n nn n n n nn n nnn n nn n n n n n n n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。
[2]从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k k w n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<< 设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式 110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅ 从而有： 又例1中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例1与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u -∴-=++++-=--∴=- 1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏ 而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n kk n n nn n n D f f w f w n n n w w wn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏ 从而有：(-1)与例1的答案一致。
行列式计算7种技巧7种手段
行列式计算7种技巧7种手段行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212nn n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212nn n nn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面11121111212122122122212222112112...nn n n nnnn n n nnn n nna a a a a a ab b b b a a a a a a a a b b b b b a a a b b b =技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112112121212122121t t tn t t n n nt t tn t t tn n n nn n n nn n n nntn a a a a a a a a a b b b b b c c c c b a a a a a a a a a c c +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112121212112212t t tnn n s s sn s s sn t t tn n n nnn n n t nt tn a a a a a a a a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积11111111111111111111000m m n m mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.7种手段: 【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学1212121112121222()1212(1)n n nnn p p p p p np p p p n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A =[ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c *p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn ii i nna a a a a a a ==∏ ,112122112000nii i n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零手段4:若行列式中有两行( 列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f jc c g kd d h l=手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f jc g kd h l=手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f jc kc g kd kd h l=手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn i j n i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥>≥---=-∏三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值: 习题1:12114318--- 解答:121141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--[手段1]习题2:0000000000b f d a c e解答: 123412341234()12341234123433112432400000(1)0000004,3,1,4,2,()(3142)3,00000(1)00000p p p p p p p p p p p p b f d a a a a a cep p p p p p p p b f d a a a a abcda ceτττ=-=======-=-∑观察行列式中元素的位置及由级排列中各数不能相等知因此[手段2]习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-[技巧5,手段4]习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:412213141423333333333333333333333333333313331333133300133300133300133300000ii x x x x x x c c x x x x xx x r r x x x x r r x x xx r r xx x x r r xx x x x=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑[技巧2,技巧3,技巧5,手段3]习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏[技巧7,手段1,手段6]习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------- 解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)aa a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==[技巧2,手段7]习题7: 1221100001000000001nn n x x x xa a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)00011,,,,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n D x D xD a x x D xD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:[技巧7,手段3]习题8: ()a b a bc d c d其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)0()()()n n n n nn n D n n n n n n a b c d abDab c d cdD Dad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得[技巧2,技巧6]。
行列式算法
行列式算法行列式(matrix)：由n行或n列的元素所构成的方阵。
是矩阵的一种，它既是一个乘法运算，又是一个加法运算。
行列式可以写成数学公式： C=A|B|C|D|E|F|G|H，其中A、 B、 C为行、列号， D、 E、F为它们的值。
行列式的值等于每个元素乘以其行列式的值，即所有行列式相乘的积。
如果行列式的值是0，则称这个行列式为零行列式，也称为单元格矩阵。
1、行式(row-column matrix)：每个非零元素的取值范围都是该行(row)或该列(column)所在的单元格的元素之和。
2、列式(column-row matrix)：每个非零元素的取值范围都是这两个单元格所在的行和列。
3、矩阵(matrix)：有行(列)的数据元素排成的一个数据表示。
是由一些具有特定关系的数据元素按照一定规律组成的表示，它具有对应的一个或多个行列式。
4、阵列(array)：相互不交或相交的一组数据元素排成的一个数据表示。
是由若干相同元素排成的一个数据表示。
因此，在上面三种情况下，只要把某个列看作是行，另外的列就看作是列式。
行列式有许多性质和计算方法，这里仅举例介绍行列式算法。
比较三个列之间的大小时，前两个列之间的大小比较容易处理，这时采用如下方法计算：第一行是第一列，第二行是第二列，第三行是第三列，则行列式=A^2+B^2+C^2-A-B-C；例如，将A=3^2和B=3^3，C=6^3两列合并，得到A=1^2+1^3+2^2+3^2+3^3= 8，而B=3^2+3^3+2^2+1^3+3^2=20。
可见，列式中A、 B、 C的值的乘积相当于A、 B、 C本身的乘积，因此行列式算法与排序算法是基本类似的。
当然，最后一步的计算需要进行行列互换，并且适当选择B值。
计算行列式算法：第一步： B=A；第二步： B=B；第三步： B=C。
三种方法依次交替使用，最终结果就是行列式值。
但是，有一点必须说明：行列式计算和列式计算都属于“二进制”运算，这意味着，运算顺序和“二进制”运算是一样的，即，任何两个“二进制”值都能相互转化，但是，运算的结果并不完全一样。
行列式的计算
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。
2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。
浅谈行列式的计算方法
浅谈行列式的计算方法作者：王莉来源：《科教导刊》2010年第18期摘要行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值,文章通过几个简单的例子,介绍了计算行列式的几种方法,并指明了用几种计算方法时所需要的条件,以及在求解的过程中,需要根据行列式的特点选择适当的方法,以便简化计算。
关键词行列式计算方法简化计算中图分类号:O17文献标识码:A在大学一年级《高等代数》课程中,我们学习了行列式。
行列式是代数学中一个重要内容,它在解线性方程组、求逆矩阵、求矩阵的特征值中占有不可替代的地位,在大学线性代数课程中,行列式在代数学的其他内容的学习中起着重要的计算工具的作用,但行列式的计算也是一个很麻烦的问题,n阶行列式一共有 n!项 ,计算它就需要做 n!(n一1)个乘法,当 n较大时,n!是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,但它有着一定的规律性和技巧性。
根据我们所学的各种行列式的特点,我归纳了几种行列式的常用的计算方法。
1 化行列式为三角形根据定义我们可以得到,上(下)三角形行列式、对角形行列式的值都等于主对角线上元素之积。
因此可以利用行列式的性质将行列式化为上(下)三角形行列式计算。
即:化行列式为三角形是将原行列式为上(下)之后,再进行计算的一种方法。
应用行列式的性质,构造出元素“0”是化三角形对角形行列式的关键。
具体方法如下:以ri表示行列式的第i行,ci表示第i列,通过①交换第i,j两行或列,记作rirj或cicj②第i行或i列乘以数k,记作ri(k)或ci(k)③数k乘以第i行或i列加到第j行或j列上,记作rj+ri(k)或cj+ci(k)三步对行列式或进行变形,化为三角形行列式。
例1.1 计算下列行列式解:原则上,每个行列式都可以利用行列式的性质化为三角形行列式。
各类行列式
行列式的题型题法大全专题讲座一、行列式的基础题型与题法【例1】求极限230123sin 2lim1111sin cos 1101x x x x x x L x x →=+-解：应用罗毕达法则223230123100123000123123sin 2sin 2cos 10002lim lim401111111111sin cos 1cos sin 01sin cos 1100101101000101x x x x xx x xx x x x x x x L x x x x x x →→++====-++-++--- ●同步练习：()()23221236026xx x F x x x F x x x '=⇒= 【例2】行列式的分解方法和重要结论设n 阶同型矩阵，()()(); ij ij ij ij A a B b A B a b ==⇒+=+，而行列式只是就某一列分解，所以，A B +应当是2n 个行列式之和，即A B A B +≠+。
以我们经常遇到三阶行列式的特征值问题举例如下：()()()111213111213212223212223313233313233131211232221333231111(112)1212111113212331332000000000000000000000000a a a a a a E A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλλ-------=---=------------=+-+-+------+----()()()()11121112111213212221222122233132313231323312221221222000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλ-------+--+--+----------其中，()111表示取被展开的行列式中的各列的第一子列，余类推。
线性代数论行列式的计算方法
论行列式的计算方法摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。
关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。
方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n nn D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)20020000101(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n nn n n n nn n nnn n nn n n n n n n n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。
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2 1 00 0 0 1 2 10 0 0 0 1 20 0 0 Dn 0 0 02 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 2
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拆元法
计算行列式
将行列式的一行(列)分成两个数的和
x a a a a x a a a a x a a a a x
n阶行列式的计算
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主要有如下几种方法
行列式定义法 化三角形法 按行列展开法 综合法 递推法 消去化零法 拆元法
加边法 数学归纳法 利用线性方程组的解 利用递推方程组 乘以已知行列式 利用拉普拉斯定理 特征值法
注意观察行列式特点, 如行(列)和为常数
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递推法
求n阶三对角行列式的值
0 0
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x y y y xy y y y xy 0 y y z x y y zx x y y zx xy y y z z x y 0 z x y 0 zx x y z z zx 0 z zx 0 0 zx
0
0
1 0
0
0
0
1 0
0
0
Dn
0
0
0 0
0
0
0 1
0
0
00
1
通常这样的行列式, n阶和n-1阶形状相同
一定要计算1阶,2阶,3阶的情况 得到递推公式
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消去法
求n阶三对角线型行列式的值
x a a a 0 0
a x a a xa 0
(x a) 来自 a 2a
0
a a x a 2a x a
n1
n
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x a aa a x a a a a a a a a x
xaa 0a 0a
a
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x a a a xaa a a
a x a a 0a x a
a
a
a
0a
a a
a a a x 0a a x xa a a a a a
0 x a a x a
0 a a a a a
0 a x a a x
常见于证明题,想办法得到递推公式
1 1 11
x1
x2
x3 xn
Dn x12 x22 x32 xn2
(xi x j )
1 jin
x n1 1
x n1 2
x n1 3
x n1 n
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利用递推方程组
求n阶行列式的值
x y yy z x yy z z xy z z zx
xy 0 0 0 y zx xy 0 0 y
0 zx xy 0 y
0 0 0 xy y 0 0 0 zx xy
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总结
对于n阶行列式,尝试求出n=1,2,3,4,5的情况 注意观察行列式的特点: 1. 处理箭形或者三角形行列式 2. 各行各列的和为常数 3. 各行或者各列存在相似的比例关系,或者有某种重复出现 的情况 4. 行列式有递推的情况 5. 行列式分成小块
a
xa a a
a a x
xa 0 0 0 a a a a
a x a a a x a a
a a a a a a
a a a x a a a x
x a a
a a a
a x a
0 x a 2a
(x a)
a a a x 0 0 0 x
n1
n
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加边法
计算行列式(爪型行列式)
通常这样的行列式行(列)有重复出现的元素
b a1 a2
a3 an
a1 b a2 a3 an
a1
a2 b a3 an (b 0)
a1
a2
a3 b an
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数学归纳法
证明范得蒙得（Vandermonde)行列式