角的平分线的性质复习课程
同课异构《角的平分线的性质(第1课时)》教案 (省一等奖)
12.3 角的平分线的性质教学目标1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个角的平分线．重点难点重点：利用尺规作角的平分线．难点：角的平分线的作图方法的提炼．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？Ⅱ．导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥O B．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．受这个题的启示，我们能不能这样做：在∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．思考：这个方案可行吗？〔学生思考、讨论后，统一思想，认为可行〕议一议：以下列图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC≌△ADC〔SSS 〕．所以∠CAD=∠CAB，即射线AC 就是∠D AB 的平分线．作角的平分线的方法：：∠AOB．求作：∠AOB 的平分线．作法：〔1〕以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．〔2〕分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． 〔3〕作射线OC ，射线OC 即为所求．议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长〞这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？总结：1．去掉“大于12MN 的长〞这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．假设分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB 的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否那么两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．探索活动按以下步骤折纸1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。
角平分线的性质和判定复习
• 10．如图，已知在△ABC中，∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交 于点O，求证：AE+CD=AC．
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
证明：在△ABC中，∠B=60°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC=∠OAB=∠BAC，∠OCD=∠OCA=∠ACB， 在△OAC中，∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA） =180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣×120°=120°． ∴∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°． 在AC上截取AF=AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE=∠AOF， ∴∠AOF=60°． ∴∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°． 又∠COD=60°， ∴∠COD=∠COF． 在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴CD=CF． 又∵AF=AE， ∴AC=AF+CF=AE+CD，
• • • •
•
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=_____
• 5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交 点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于 ________
• 6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36， BC=24， • S△ABC=144则DE=______
•
思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交； 两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长 •
12.3 角平分线的性质(重难点突破)解析版
12.3 角平分线的性质（重难点）【知识点一、角的平分线及其性质】1．尺规作角平分线尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【知识点二、角平分线的判定】1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．定理的几何表述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．∴点P 在∠AOB的平分线上．2．三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．A．4B．【答案】B【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意可得DC=3，再由角平分线的性质可得CD=DH=3，即可得到答案．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∵AC=9，DC=1AC，3∴DC=3，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DH⊥AB，∴CD=DH=3，∴点D到AB的距离等于3，故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练1-1】如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB=5，△ABE的面积为15，则点E到直线AC的距离为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】设点E到直线AB的距离为ℎ，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AB，垂足分别为M，N，∵E为∠BAC平分线AP上一点，∴EM=EN，∵AB=5，△ABE的面积为15，AB×EN=15，∴12=6，∴EN=305∴EM=6，即点E到直线AC的距离为6．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离之概念．其关键要理解角平分线上一点到角两边距离相等．【变式训练1-2】如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD=2，则点P到OB的距离是（）A．1B．2C．4D．都不对【答案】B【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，即点P到边OB的距离为2．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练1-3】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线．若AC=9,CD=6，则点D到BC的距离是（）A．2B．4C．3D．6【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质得到DE=AD=3．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵AC=9,CD=6，∴AD=AC―CD=9―6=3，∵BD是△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=3，∴点D到BC的距离是3，故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确掌握性质是解题的关键．考点2：利用角平分线性质求周长例2．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB=10cm，则△DEB的周长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【答案】B【分析】先根据角平分线的性质得出DE=DC，再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADC，推出AC=AE，进而通过等量代换可得BD+DE+EB=AB=10cm．【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，∴AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AE+EB=AB=10cm，故选B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过证明Rt△ADE≌Rt△ADC推导出AC=AE．【变式训练2-1】．如图，△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．6【答案】B【分析】由△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°；∴AC⊥CD；∵AD平分∠BAC，DE⊥AB；∴DE=CD，∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质．注意角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练2-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，若BD平分∠ABC交AC 于点D，过D作DE⊥AB于点E，则△ADE的周长为（ ）cm．A．8B．10C．12D．14【答案】C【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=CD，从而可证△BDE≌△BDC(HL)，即得出BE=BC=6cm，最后可求△ADE的周长为AC+AE=12cm．【详解】∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD．又∵BD=BD，∴△BDE≌△BDC(HL)，∴BE=BC=6cm，∴AE=AB―BE=10―6=4cm，∴C△ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=8+4=12cm．故选C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质．证明C△ADE=AC+AE是解题关键．【变式训练2-3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE=2，BC=6，则△BDE的周长为（ ）A．6B．8C．10D．14【答案】B【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=DC，进而可以求出△BDE的周长；【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC，∴C△BDE=BE+DE+BD=BE+BC=2+6=8，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理；熟练运用该定理实现线段的转化是解题的关键．考点3：利用角平分线性质求面积例3．在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（）A．3B．5C．9D．12【答案】C【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得EF=DE=3，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵CE 平分∠ACB ，ED ⊥AC ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =3，∴S △BCE =12BC ⋅EF =12×6×3=9，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等．【变式训练3-1】如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，已知，BC =8，DE =2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】作EF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到EF =DE =2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，作EF ⊥BC 于F ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =2，∴△BCE 的面积=12×BC ×EF =12×8×2=8，故选C ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练3-2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，DM =DN ，若△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，则△ADE 的面积是（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25【答案】B 【分析】如图所示（见详解），过点D 作DF ⊥AB 于F ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，可证Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，同理可证Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，列方程30―x =16+x 即可求解．【详解】解：如图所示，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，∴DE =DF ，在Rt △DFM,Rt △DEN 中，DM =DN DF =DE ，∴Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，∴S △DFM =S △DEN ，在Rt △ADF,Rt △ADE 中，∠FAD =∠EAD ∠AFD =∠AED =90°AD =AD(公共边)，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，∴S △AFD =S △AED =S △ADN +S △DEN =S △ADN +S△AFM ，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，∴30―x =16+x ，解方程得，x =7，∴S △AFM =S △AEN =7，∴S△ADE=S△ADN+S△AEN=16+7=23，故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式训练3-3】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=10，BD平分∠ABC，则△BCD的面积是（）A．10B．12C．16D．20【答案】D【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到DE=DA=4，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=DA=4，×10×4=20．∴△BCD的面积=12故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及求三角形面积角，理解并掌握角平分线的性质是解题关键．考点4：判定结论是否正确例4．如图，ΔAOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE=PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB=90°―∠O，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE =PG =PF ，可判断（1）（2）正确；由∠APB =12∠EPF ，∠EPF +∠O =180°，得到∠APB =90°―12∠O ，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE ⊥OC ，PF ⊥OD ，PG ⊥AB ，∴PE =PG =PF ；故（1）正确；∴点P 在∠COD 的平分线上；故（2）正确；∵∠APB =∠APG +∠BPG =12∠EPF ，又∠EPF +∠O =180°，∴∠APB =12×(180°―∠O)=90°―12∠O ；故（3）错误；∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．【变式训练4-1】如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的∠EAC 、∠ABC 、∠ACF ，以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC =90°―∠ABD ；④BD 分∠ADC ；⑤3∠BDC =∠BAC 。
角的平分线的性质(1)
复习三角形的5个判定定理
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自
己动手做做看．
作已知角的平分线的方法
为圆心，大于1
2 MN
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1 2
吗？
．去掉“大于
2
MN
为圆心，大于
2
MN
这种作法的可行性可以通过全等三角形的哪个判定定理来证
1 2 3
3
4
3 5
6
※【变式2】在锐角△ABC中，
7
，则下列结论：①AD平分∠CDE
（
8
9。
初二数学人教版角的平分线的性质第二课时
初中数学
证明： 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
C ∴EB = FC．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
初中数学
初中数学
练习 如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA， OB上，且PD = PE，图中与∠PDA相等的角是
∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
B H
CP
作法：作∠ABC的平分线， 交AC于点P．则点P为所求． 证明：作PH⊥AB于H． A ∵∠C = 90°，∴PC⊥AC． ∴PC = PH．
PF PH，
E H
∴Rt△PDF ≌ Rt△PEH （HL） ．
B ∴∠PDF＝∠PEH.
∴∠PDA = ∠PEO．
初中数学
小结
在我们运用角的平分线的性质处理问题时： 1．熟悉定理及其对应的基本图； 2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线 是:补全基本图； 如:过角平分线上的点向角两边作垂线； 3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定 理时，不必再使用全等证明一遍这个结论．
A
BF
两组
A
HD C
PE G
角平分线的性质(复习课)
N
0
A
P
M
C B
10.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是 AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数． （1）根据角平分线性质的逆定理: 或：证△BDE≌△BDC（HL）. （2）∠DBC=27°
11.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D， AE与BD相交于点C .求证：AC＝BC．
12.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分 ∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
13.如图：在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC
的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：CF=EB
A
F C D
E
B
14.如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 求证：DE=DF
3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射 线OM上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为 （ B ） A．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ D ） A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC
5.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD 平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm， 则△DEB的周长为（ B ） A. 4cm B. 6cm C. 10cm D. 以上都不对
6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC， DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 ( B ) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
角平分线性质复习
角的平分线的性质一、知识点：1．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
图形表示：若CD平分ADB,点P是CD上一点PE AD于点E，PF BD于点F，则PE=PF。
2．角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
若PE AD于点E，PF BD于点F，PE=PF，则PD平分ADB3.角平分线的尺规作图4．三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
二、经验与提示1．角的平分线是射线，三角形的角平分下线是线段。
2．证明线段相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的性质。
3．证明角相等的方法：1）三角形全等；2）角的平分线的判定。
三、典型例题：例1：如图，DABC中C=90°，AD平分BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:DB=3:5求：D到AB的距离。
解：过D作DE AB于E。
∵AD平分BAC，DE AB，DC AC∴DE=CD∵BC=24，CD:DB=3:5∴CD=24 =9例2：如图，ACB=90°,BD平分ABC 交AC于D，DE AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.求证：AE=CF证明：∵BD平分ABC，DE AB,DC BF∴DE=DC在DADE和DFCD中∴DADE DFCD(ASA)∴AE=CF例3：如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE 相交于O(1)若DB AC,CE AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。
(2)若D，E不是垂足，是否有着这样的结论？并证明你的结论。
解：（1）∵AB=AC,AD=AE∴BE=CD∵DB AC,CE AB,∴BEO= CDO=90°在DBEO和DCDO中∴DBEO DCDO∴EO=DO∵EO AB,DO AC∴点O在A的平分线上（2）点D,E不是垂足时，（1）的结论仍然成立，连接AO在DABD和DACE中∴DABD DACE ∴B= C∵AB=AC,AD=AE∴EB=CD在DBEO和DCDO中∴DBEO DCDO∴EO=DO在DAEO和DADO中∴DAEO DADO∴EAO= DAO∴O点在A的角平分线上四、练习题1.已知，点P是DABC的角平分线AD上一点,PE AB于E,PF AC于F，则PE=________,AE=_________.点Q在DABC 内，QM BC于点M，QN BA于点N，QM=QN，则点Q在___________________________.2.已知，如图，四边形ABCD内一点P到三边AB、BC、CD的距离相等，则点P的准确位置在____________________________________.3.如果三角形内一点到三条边的距离相等，那么这点是三角形三条_________线的交点。
角平分线复习课
教学内容：角平分线性质与判定复习课教学目标：是学生复习角平分线性质定理与判定定理教学重点：角平分线性质与判定内容教学难点：角平分线性质定理与判定定理应用教学过程：一 复习提问1角平分线性质定理：角平分线上的点----------------------------------------------------------------格式：PEPD OB PE OA PD AOB oc =∴⊥⊥∠,,平分2 角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点--------------------------------------------格式：AOB oc AOB P OBPE OA PEPD PD ∠∠∴⊥⊥=平分平分线上，在点,3得到的有关结论1如图1点D 是△ABC 两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A2．如图2点D 是△ABC 两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A ．3 如图3，点E 是△ABC 一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A ．二例题1.如右图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=8，BD=5，则点D 到AB 的距离为PD E B C OA2已知：AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为及BD:CD=3已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为______度. ∠A、∠C外角的角平分线交于点P，∠APC=∠ABP=4如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。
EBDA C F3已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC2如图所示已知 △ABC 中，∠C=900，AC=BC ，AD 是∠BAC 的 角平分线.求证：AB=AC+CDCDB A5△ABC 中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DE = DF ．求∠ADC 的度数．练习及作业如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ， 求证：CF=EB 。
角平分线复习课教学设计
12.3角平分线的性质及判定复习课学习目标：1、查漏补缺，梳理回顾角平分线的性质的有关知识点；2 、熟练掌握角平 分线的性质及判定方法；3、运用角平分线的判定、性质进行计算和证明解决实际问题 。
一、复习回顾：1、角的平分线的性质：如图：用几何语言表示是：∵∴2、逆定理：如上图所示：用几何语言可表示为：∵ ∴例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′．求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC例2. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ， DE ⊥AB 于E ， AB=10求△BDE 的周长变式. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．例3. 如图，已知△ABC 的周长为15，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB 、OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝4，求△ABC 的面积。
变式.如图，BD 平分∠ABC ，DE 垂直于AB 于E 点，△ABC 的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE 的长.例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．（1） 学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．例5. 如图，AB ∥CD ，点P 到AB,BC,CD 距离都相等，则∠P=_____例6. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断D 点到AB 的距离与到AC 的距离相等，并说明理由．例7.如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例8．如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ． A B C O D。
角平分线的性质 课件
05
角平分线的习题与解析
基础习题
1 3
基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等 的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道 角平分线将一个角分为两个相等 的子角。因此，相对边被角平分 线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出 一些重要的推论，这些推论在解决几 何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平 分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平 分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于 点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线 段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于 解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建 筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用 二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、 河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实 用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来 确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。
《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
角平分线的性质(复习)
《角平分线的性质》与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． O A O B ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAA BOP专题一：三角形角平分线性质的直接应用1.如图，△ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.B2. △ABC 的∠B 外角平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在的直线距离相等.A归纳：1.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等. 2.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到三边所在直线的距离相等. 3.三角形外角平分线的交点共有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.专题二：角平分线的性质定理与判定定理的综合运用1.如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证AM平分∠DAB；(2)求证DM⊥AM.变式1：如图，在四边形ABC D中，AD BC A∥，的平分线AE交D C于E．求证：当BE∠是B∠的平分线时，有AD BC AB+=．DECBA变式2：如图，180∠，点E在AD上．∠，C E平分B C DA D∠+∠=︒，BE平分ABC①探讨线段AB、C D和B C之间的等量关系．②探讨线段BE与C E之间的位置关系．DEABC 2.针对训练如图，已知∠B＝∠E＝90°，CE=CB，AB∥CD，求证：AD＝CD.专题三：角平分线的性质与三角形全等的综合运用1.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：(1)AE=AF;(2)DA平分∠EDF.2.针对训练如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∠1＝∠2，下列结论不正确的是（）A.PD=PEB.OD=OEC. ∠DPO=∠EPOD.OD＝OP专题四：三角形角平分线性质在求三角形周长中的运用如图，△ABC中，∠C＝90°,AC=BC, AD平分∠CAB，并交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6cm，求△DEB的周长.C专题五：探究新题型在学习完角的平分线后，老师在黑板上出了这样一道题目：在四边形ABCD 中，BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证∠A+∠C=180°.B。
角平分线的性质(1) —初中数学课件PPT
∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
LOGO
如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的P平D分=线PE上的(点
到角的两边的距离相等
A D
)C
P
E B
O
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1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别， 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.
A E
D
A
C
P
Your site here
角平分线的性质
折一折
A
A D
PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边), 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
想一想： 为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
角平分线的性质和判定复习2
角平分线的性质和判定复习11.3角的平分线的性质（二）问题1：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：问题2：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 性质一：∵ ∴ 性质二：∵∴ 3.学生思考：如图所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？一、夯实基础1．如图1所示，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA ＝PB ，则∠1与∠2的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定2．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（ ）A 、12cm B 、10cm C 、14cm D 、11cm 3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A 的平分线，DE⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5． 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）． A ．AD=CP B ．△ABP ≌△CBP C ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB=∠CDB ． 6． (2007广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点7．在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC ＝8cm ，BD＝5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ． 二、细心做一做，你会成功BDＣD M A NP E图2 B 图3 图1A BCD PSS8．已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.9．如图，已知在△ABC 中，90C ∠= ，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．10． 先作图，再证明．（1①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．11.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB. 求证：DF ＝EF. 证明：∵∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ＝ （角的平分线的性质） ∵∠3＝∠1＋90°，∠4＝∠2＋90°，∴∠3＝∠4. (剩余的补充完整)12．如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．13．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠． （1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论． （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．中考链接16．（2007广东茂名）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ A ．1 B ．2 C ．3 D ．417．（2006年镇江）⑴如图，已知△ABC ，∠C ＝90°.（尺规作图，保留作图痕迹）：① 作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ； ② ②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC③ 连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和 一组相等的锐角.（不包括BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD ）答：________________________________________________．A B CD EPＭF34PDEO ABC12A EＣ参考答案夯实基础1．选A ，提示：∵AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，PA ＝PB2．2．选A ；提示：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，∠C △AED ，∴CD ＝DE ，AE ＝AC ，∴△DBE 的周长＝DE ＋EB BC ＋EB ＝AC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB ＝12cm ．3．选B ，提示：过P 作PT ⊥AC 于T ，因为PA 平分∠DAC 又PC 平分∠ACE ，PT ⊥AC ，PN ⊥BE ，∴PN ＝PT ，∴PM 4．选D ，提示：①②③④都正确． 5．A6．8，提示：根据角平分线的性质可得D 到斜边AB 7．①、②、④ 8．269．由∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，可作DE ⊥AB 于E 离是DE 的长，由角平分线的性质可知DE ＝CD ．又BC 以DE ＝CD ＝3cm ．所以D 点到直线AB 的距离是3cm ． 10．四处．提示：如图2所示：⑴作出△ABC 两内角的平分线，其交点为O 1；⑵分别作出△ABC 两外角平分线，其交点分别为O 2，O 3，O 4，故满足条件的修建点有四处，即O 1，O 2，O 3，O 4．11．因为AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF ，在Rt △DEB 与Rt △DFC 中，BD ＝CD ，DE ＝DF ，所以Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），所以∠B ＝∠C ． 12．D ∵是AB 的中点，12BD AB =∴， 2AB BC =∵，12BC AB =∴，BD BC =∴． 又∵DE AB ⊥，90C ∠= ，90C BDE ∠=∠=∴又BE BE =，Rt Rt BDE BCE △≌△（HL ）， DBE EBC ∠=∠∴，BE ∴平分ABC ∠．（1）作图略；（2）AC CE =∵，AC CE ⊥，ACE ∴△为等腰直角三角形，．45ACD ∠=∴又CD ∵平分ACB ∠．45CAE ∠=∴．ACD CAE ∠=∠∴．CD AE ∴∥． （1）AM 平分DAB ∠． 证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ．12∠=∠∵，MC CD ⊥，ME AD ⊥， ME MC =∴又MC MB =∵，ME MB =∴． MB AB ∵⊥，ME AD ⊥， ∴AM 平分DAB ∠．（2）AM DM ⊥，理由如下： 90B C ∠=∠= ∵，CD AB ∴∥（垂直于同一条直线的两条直线平行）．180CDA DAB ∠+∠= ∴（两直线平行，同旁内角互补）又112CDA ∠=∠∵，132DAB ∠=∠（角平分线定义）2123180∠+∠= ∴，1390∠+∠= ∴， 90AMD ∠= ∴．即AM DM ⊥．BB 的平分线，标出交点D ；标出点E ，连接ED ；⑵写出DE ＝DC ，∠BDE ＝∠BDC 或∠ADE ＝∠ABC ．2。
角平分线的性质复习课
角平分线的性质复习课班级： 姓名： 授课人：卢玲学习目标：1、理解并掌握角平分线的性质与判断；2、运用角平分线的性质与判断解决问题；3、培养学生的分析问题解决问题的能力。
学习重点：角平分线的性质与判断。
学习难点：运用角平分线的性质与判断解决问题学习过程：一．前置性小研究如图，有两条公路a,b 相交于点O ，小明想在两条公路中间建一个大型超市，你能帮助他在图中设计出超市的位置吗？在解决问题中，你都用到了哪些知识？(1)角平分线的作法(2)角平分线的性质(3)角平分线的判定二、典例与分析(小试牛刀 )例1 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，点D 到AB 、AC 的距离 。
.变式训练：如上图，已知AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE=CF,那么，AD 是∠BAC 的 线。
方法总结：（1）辅助线的做法：A做垂线（2）解题思路:A B 、角平分线距离相等(合作与交流)例2、如图，∠ B =∠ C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ ADC ，（1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD?请你证明你的结论。
（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？说明理由。
（3）根据题意，你还能得出其它结论吗？如果能，请你证明出你的结论。
方法总结：位置关系：A 、垂直 证角=90°B 、平行 证角相等或互补三、巩固与提高1．(基础)如图1，∠ AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥ OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.2．（基础）如图2，在△ ABC 中，∠ C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥ AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .3、（提高）如图3，在ΔABC 中，∠C=90°,沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC ，使点C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A= °4、（提高）如图4，在ΔABC 中，AD 是它的角平分线，AB=5cm,AC=3cm,三角形ABD 与三角形ACD 的面积比为：5、（提高）如图5、D 、E 、F 分别是ΔABC 的三条边上的点，CE=BF ，ΔDCE 和ΔDBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。
角平分线的复习教案
角平分线的复习教案第一章：角平分线的定义与性质1.1 角平分线的定义解释角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角度的线段。
强调角平分线只与一个角有关，不会影响其他角的大小。
1.2 角平分线的性质强调角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。
强调角平分线将角的两边分成两对相等的线段。
解释角平分线与角的对边成等腰三角形的性质。
第二章：角平分线的作图2.1 利用尺规作图法作出一个角的平分线介绍尺规作图法的基本工具：直尺和圆规。
按照步骤演示如何作出一个角的平分线。
2.2 利用角平分线作图解决实际问题给出一些实际问题，如在给定的多边形中作出某些角的平分线，让学生练习应用角平分线的性质。
第三章：角平分线与三角形的性质3.1 角平分线与等腰三角形的性质解释角平分线如何与等腰三角形的性质相联系，如角平分线将等腰三角形的底边平分。
3.2 角平分线与三角形的内心和外心的关系解释三角形内心和外心的概念，并强调角平分线与内心、外心的联系。
第四章：角平分线在几何证明中的应用4.1 利用角平分线证明线段相等给出一些证明题目，如证明角平分线将角的两边分成两对相等的线段。
4.2 利用角平分线证明角度相等给出一些证明题目，如证明角平分线上的点与角的两边成的角相等。
第五章：角平分线在实际问题中的应用5.1 利用角平分线解决面积问题给出一些实际问题，如在给定的三角形中，利用角平分线求解面积。
5.2 利用角平分线解决角度问题给出一些实际问题，如在给定的多边形中，利用角平分线求解角度。
第六章：角平分线与坐标系6.1 角平分线在直角坐标系中的性质解释角平分线在直角坐标系中的几何性质，如角平分线将角的两边在坐标系中分成的线段比例。
6.2 利用角平分线解决坐标系中的问题给出一些实际问题，如在给定的坐标系中，利用角平分线求解点到直线的距离。
第七章：角平分线与圆7.1 圆的角平分线解释圆的角平分线的概念，即从一个圆的圆心的角度出发，将这个角平分成两个相等的角度的线段。
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角的平分线的性质一.基础知识1角的平分线的性质(1) 内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(2) 书写格式如图所示，•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB••• PD= PE2. 角的平分线的判定(1) 内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.(2) 书写格式如图所示，•/ PD L OA PE L OB PD= PE•••点P在/ AOB勺角平分线上.3. 运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可.运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4•运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下:对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等. 同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.6•运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.【例6】如下图所示，三条公路丨1,丨2,丨3两两相交于A B, C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB / ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/ CAB的平分线上，且到公路l i,丨2,丨3的距离相等；同理还有/ BAC / BCA勺外角平分线的交点；/ BAC / CBA勺外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.(2)分别作出/ ACB / ABC的外角平分线的交点02,/ BAC / BCA的外角平分线的交点03,/ BAC / CBA的外角平分线的交点04;故满足条件的修建点有四处，即点01, 02, 03 04处.课堂练习一、填空题精品文档O1.1 •已知：△ ABC中，/ B=90°, / A、/ C的平分线交于点0,则/ A0C勺度数为2. ________________________________ 角平分线上的点到巨离相等；到一个角的两边距离相等的点者E在____________.3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为4 .如图，/ A0=60°, CDL 0A于D, CEL 0B于E,且CD=CE则/ D0C ________5. 如图，在△ ABC中,/ C=90°, AD 是角平分线，DE L AB 于E,且DE=3 cmBD=5 cm 贝U BC= __ m6. 如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD CB于点E、F,FGLAB,垂足为G,贝U CF FG CE CF7. 如图，已知AB CD相交于点E,/ AEC及/ AED的平分线所在的直线为PQ与MN则直线MN与PQ的关系是_________ .8. ___________________________________________________________ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到__________________________ 目等.9. 点0是厶ABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60°，则/BOCK度数为______________ .10. 在^ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32且 BD: CD=9 : 7,则D 到AB 的距离为 ______________ .、选择题 11.三角形中到三边距离相等的点是（ ）12•如图，/ 1二/2, PD 丄OA PE 丄OB 垂足分别为 D, E ,下列结论错误的是（ ）A PD= PEB 、O 亠 OEC / DPO^Z EPOD PD= OD13•如图，直线丨1, l 2, I 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A 、1处14•如图，△ ABC 中,/ C = 90°, AC= BC , E ,且A 吐6血，则厶DEB 勺周长为（第14题A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 三条中线的交点D 三条角平分线的交点AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEL AB 于A 、4 cmC 、 10 cmD 不能确定第12题13A题15 •如图，MPL NP MQ%A MNP的角平分线，MF Mp连接TQ则下列结论中不正确的是（）A、TQ= PQ B、/ MQ壬/ MQP C / QTN b 90° D / NQT^Z MQT 16•如图在厶ABC中, Z ACB=90°, BE 平分/ ABC DEL AB 于D,如果AC=3 cm17•如图，已知AB=AC, AE=AF, BE与CF交于点D,则对于下列结论：①△ ABE ACF②厶BDF^A CDE③D在Z BAC的平分线上.其中正确的是（）18. 如图，AB=AD CB=CD AC BD相交于点O,则下列结论正确的是（精品文档那么AE+DE等于（）A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cmC .①和②D .①②③A.①A. 0/=0CB.点O到AB CD的距离相等C.Z BD金/BDCD.点O到CB CD的距离相等19. A ABC中，/ C=90。
，点0为厶ABC三条角平分线的交点，ODL BC于D, OE丄AC于E, OF L AB于F,且AB=10cm BC=8cm, AC=6cm,则点O到三边AB AC BC的距离为（）A . 2cm 2cm 2cm B. 3 cm 3cm 3cm；C . 4 cm, 4cm 4cm D. 2 cm, 3cm, 5cm20. 两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）A.两个三角形全等B.如果还有一角相等，两三角形就全等C.两个三角形一定不全等D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明21. 如图，已知△ ABC中, ABAC, D是BC的中点，求证：D到AB AC的距离相等•22. 如图，已知BEX AC于E, CF L AB于F, BE、CF相交于点D,若BD=CD求证：AD平分/ BAC23. 如图，已知BE 平分/ ABC CE 平分/ ACD 且交BE 于E .求证：AE 平分/ FAC24. 如图，已知 ABAC, AD=AE, DB 与 CE 相交于 Q ⑴若 DBL AC 于 D, CEL AB 于E ,试判断QE 与QD 的大小关系.并证明你的结论.（2）若没有第（1）中的 条件，是否有这样的结论？试说明理由•25•如图，/ B=Z C=90° M 是BC 的中点，DM 平分/ ADC 求证：AM 平分/ DAB重点题型讲解1. 如图•已知在厶ABC 中，/ A 、/ B 的角平分线交于点 Q,过Q 作QP 丄BC 于P, QQ L AC 于Q ，QR 丄AB 于 R , AB=7,BC=8 AC=9.nM(2)若BO的延长线交AC于E, CO的延长线交AB于F,若/ A=60°,求证：OE=OF.2.如图.AE、BD是厶ABM的高.AE、BD交于点C,且AE=BE BD平分/ ABM .(1)求证：BC=2AD(2)求证：AB=AE+CE(3)求证：DE平分/ MDB3.如图，点M (2 , 2),将一个90 °的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正(2) 求证：CH平分/ AHE(3) 求/ CHE的度数.(用含a的式子表示)M旋转时: AD、BE交于点H,连CH.家庭作业1 角平分线上的点到___________________ 距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在2、 / AOB的平分线上一点M , M至U OA的距离为1.5 cm,贝U M到0B的距离为_______________3、如图，/ AOB=60 ° CD丄0A 于D, CEL 0B 于E,且CD=CE 则/ DOC= ____________ .4、如图，在△ABC 中，/ C=90 ° AD 是角平分线，DEL AB 于E,且DE=3 cm, BD=5 cm,则BC= ___ cm.5、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到__________________________ 相等。
6、点0是AABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60 °则/ BOC的度数为7、在△ABC 中，/ C=90 ° AD平分/ BAC交BC于D,若BC=32，且BD : CD=9 : 7,贝U D 到AB的距离为&三角形中到三边距离相等的点是（=6 cm,则A DEB的周长为（的是（A、三条边的垂直平分线的交点B三条高的交点C三条中线的交点D、三条角平分线的交点9、如图，/ 1 = 7 2, PD丄OA, PE± OB, 垂足分别为D，E,下列结论错误的是（A、PD= PEB、OD= OE C7 DPO=7 EPO D、PD= OD10、如图，直线11, 12, 13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有（A、1处B、2处C、3处D、4处11、如图，△ABC 中，7 C= 90 ° AC= BC, AD 平分/CAB 交BC于D,DE丄AB 于E, 且ABA、4 cmB、6cmC、10 cmD、不能确定第11题12、如图, MP 丄NP, MQ 为A MNP的角平分线，MT= MP,连接TQ,则下列结论中不正确A、TQ= PQB、7MQT=7 MQP1313、 如图在△ABC 中，/ ACB=90 ° BE 平分/ ABC, DE 丄 AB 于 D,如果 AC=3 cm ,那么 AE+DE 等于（）A. 2 cmB . 3 cmC . 4 cmD . 5 cm14、 如图，已知 AB=AC, AE=AF , BE 与CF 交于点 D ,则对于下列结论：① A ABE ^A ACF ; ② △BDF ^A CDE ③D 在/ BAC 的平分线上.其中正确的是（）15、△ABC中，/ C=90 °点0为△ABC 三条角平分线的交点，0D 丄BC 于D, 0E 丄AC 于E,OF 丄 AB 于 F ,且 AB=10cm , BC=8cm , AC=6cm ,则点 0 到三边 AB 、AC BC 的距离为（）第12题A .①B .②C.①和② D .①②③A . 2cm , 2cm , 2cm ; B. 3cm , 3cm , 3cm ; C. 4cm , 4cm , 4 cm ；D.2cm , 3cm , 5cm16、在 Rt A ABC 中,/ C = 90° , DE 是AB 的垂直平分线 且/ BAD ： / BAO 1 : 3,求/ B 的度数.TAB丄AD , AD=4cm,求BC 的长.18、如图11. 3—4,在厶ABC中/C=9C0,DEL BE求证：(1) DE+BD=AC(2)若AB=6cm求厶DBE的周长AC=BC AD平分.「L；.交BC于点D,19、如图11. 3—6,已知：AB=AC BD=CD f」■•汕“ .'■ 求证：DE=DF20、如图11. 3—3,在养交BC于D,若BC=10crp BD=6crp求点D到AB的距离.21、如图II . 3—7, BN是.. f 的平分线，P在BN上，D E分别在AB BC上, -m . 心、「丄圧』w都不是直角，求证：PD=PE22. 如图11. 3—10,已知0为的平分线的交点, 0E_kAC于E,若0E=2求0到AB与0到CD的距离之和.23. 如图11. 3 一II ,已知/ L • 「•/于F, BE CF相交于点D若BD=CD 求证：/ ；'小图11+3-11。