角的平分线的性质复习课程

角的平分线的性质一.基础知识

1角的平分线的性质

(1) 内容

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

(2) 书写格式

如图所示，

•••点P在/ AOB勺角平分线上，PD丄OA PEL OB

••• PD= PE

2. 角的平分线的判定

(1) 内容

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

(2) 书写格式

如图所示，

•/ PD L OA PE L OB PD= PE

•••点P在/ AOB勺角平分线上.

3. 运用角的平分线的性质解决实际问题

运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离.

在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等

的点的位置，只要作出角的平分线即可.

运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过

程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法.

4•运用角的平分线的判定解决实际问题

在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型（角的平分线）•然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.

解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线

的性质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.

5•综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题

角的平分线的性质和判定的关系如下:

对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和

“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据.

析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的

点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等. 同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.

6•运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题

在实际问题中，确定位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的问题，常常用到角的平分线的性质来解决.尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相

等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法.

三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出

其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点.

三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等.

三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.

【例6】如下图所示，三条公路丨1,丨2,丨3两两相交于A B, C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找

出来吗？

解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；/ ACB / ABC的外

角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在/ CAB的平分线上，且到公路l i,丨2,丨3的距离相等；同理还有/ BAC / BCA勺外角平分线的交点；/ BAC / CBA勺外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个.

(2)分别作出/ ACB / ABC的外角平分线的交点02,/ BAC / BCA的外角平分线的交点03,/ BAC / CBA的外角平分线的交点04;故满足条件的修建点有四处，即点01, 02, 03 04处.

课堂练习

一、填空题

精品文档

O1.

1 •已知：△ ABC中，/ B=90°, / A、/ C的平分线交于点0,则/ A0C勺度数为

2. ________________________________ 角平分线上的点到巨离相等；到一个角的两边距离相等的

点者E在____________.

3. / A0B的平分线上一点M , M到0A的距离为1.5 cm,则M到0B的距离为

4 .如图，/ A0=60°, CDL 0A于D, CEL 0B于E,且CD=CE则/ D0C ________

5. 如图，在△ ABC中,/ C=90°, AD 是角平分线，DE L AB 于E,且DE=3 cm

BD=5 cm 贝U BC= __ m

6. 如图，CD为Rt△ ABC斜边上的高，/ BAC的平分线分别交CD CB于点E、F,

FGLAB,垂足为G,贝U CF FG CE CF

7. 如图，已知AB CD相交于点E,/ AEC及/ AED的平分线所在的直线为PQ与

MN则直线MN与PQ的关系是_________ .

8. ___________________________________________________________ 三角

形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到__________________________ 目等.

9. 点0是厶ABC内一点，且点0到三边的距离相等，/ A=60°，则/BOCK度数

为______________ .

10. 在^ABC 中，/ C=90°, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D,若 BC=32且 BD: CD=9 : 7,

则D 到AB 的距离为 ______________ .

、选择题 11.

三角形中到三边距离相等的点是（ ）

12•如图，/ 1二/2, PD 丄OA PE 丄OB 垂足分别为 D, E ,下列结论错误的是

（ ）

A PD= PE

B 、O 亠 OE

C / DPO^Z EPO

D PD= OD

13•如图，直线丨1, l 2, I 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（

A 、1处

14•如图，△ ABC 中,/ C = 90°, AC= BC , E ,且A 吐6血，则厶DEB 勺周长为（

第14题

A 、三条边的垂直平分线的交点

B 、三条高的交点

C 三条中线的交点

D 三条角平分线的交点

AD 平分/ CAB 交 BC 于 D, DEL AB 于

A 、4 cm

C 、 10 cm

D 不能确定

第12题

1

3

A

题