新人教A版必修二第四章《圆与方程》word练习题
人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
高中数学人教A版必修二第四章《 圆与方程》word阶段质量检测
圆与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1． 直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( )A ．相交或相切B ．相交或相离C ．相切D ．相交解析：选D 圆C 的圆心(0,0)到直线y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12k k 2＋1.因为d 2＝14k 2k 2＋1＜14＜1，所以直线与圆相交，或由直线经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在圆内，故相交．2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )． A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0.解得m >－12.3． 空间直角坐标系中，已知A (2,3,5)，B (3,1,4)，则A ，B 两点间的距离为( ) A ．6 B. 6 C.30D.42解析：选B |AB |＝3－22＋1－32＋4－52＝ 6.4．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1 答案：C5．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：选B 化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)， |O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5＜r 1＋r 2，又r 2－r 1＜5，所以两圆相交．6．自点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长为( )A. 5 B ．3 C.10D ．5解析：选B 点A 到圆心距离为10，切线长为l ＝10－1＝3.7．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3D ．－33或3 3解析：选 C 圆的方程变形为(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m |3＋1＝3⇒|3＋m |＝23⇒m ＝3或m ＝－33，故选C.8．圆心在x 轴上，半径长为 2，且过点(－2,1)的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．x 2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋3)2＋y 2＝2D ．(x ＋1)2＋y 2＝2或(x ＋3)2＋y 2＝2 解析：选D 设圆心坐标为(a,0)，则由题意知a ＋22＋0－12＝2，解得a ＝－1或a ＝－3，故圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2或(x ＋3)2＋y 2＝2.9．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2.依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.10．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为2 2.则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6D ．0或4解析：选D 圆心(a,0)到直线x －y ＝2的距离d ＝|a －2|2，则(2)2＋(|a －2|2)2＝22，解得a ＝0或4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．在如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )12．(2019·北京高考)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________． 解析：如图所示，|CO |＝2，圆心C (0,2)到直线y ＝x 的距离|CM |＝|0－2|2＝2，所以弦长为2|OM |＝24－2＝2 2.答案：2 213．设A 为圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上一动点，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为________．解析：圆心到直线的距离d ＝|2－2－5|2＝522，则A 到直线x －y －5＝0的最大距离为522＋1. 答案：522＋114．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，由条件知PM ⊥PN ，且PM ，PN 的斜率肯定存在，故k PM ·k PN ＝－1， 即y －0x ＋2·y －0x －2＝－1，x 2＋y 2＝4. 又当P 、M 、N 三点共线时，不能构成三角形，所以x ≠±2， 即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． 答案：x 2＋y 2＝4(x ≠±2)三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)求圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切，在x 轴上截得的弦长为42的圆的方程．解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，|a |＝r ，b 2＋8＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3，所以圆的方程为(x－3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.16．(本小题满分12分)已知正方体的棱长为a ，过B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、E 两点之间的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示， 则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ， 所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3，所以在Rt △BEB 1中，|BE |＝33a . 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ， 得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3， 所以点F 的坐标为(2a 3，2a3，0)，则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a3)．由两点间的距离公式，得 |AE |＝a －2a 32＋0－2a32＋0－a32＝63a ， 所以A 、E 两点之间的距离是63a . 17．(本小题满分12分)一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．18．(本小题满分14分)(2019·淮安高二检测)已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知MP ＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解得m ＝0或m ＝45，故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得k ＝－1或k ＝－17，故所求直线CD 的方程为：x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.。
高中数学第四章圆与方程检测试题含解析新人教A版必修2
第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。
高中数学新课标人教A版必修二第四章 圆与方程同步经典习题
4.1.2圆的一般方程基础达标1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝02．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()．A．D＝E B．D＝FC．E＝F D．D＝E＝F3．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A 的轨迹方程是()．A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)4．已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心为________．6．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0则x2＋y2的最大值是________．7．(1)定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点M 的轨迹．(2)如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．能力提升8．(天津高一检测)设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线且|P A|＝1，则P点的轨迹方程是()．A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x9．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．10．自点A(4，0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()．A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称2．设z是任意实数，相应的点P(2，2，z)运动的轨迹是()．A．一个平面B．一条直线C．一个圆D．一个球3．(吉林高一检测)若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()．A．7 B．－7 C．－1 D．14．已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________．5．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的交点O的坐标是________．6．(北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是________．7．四面体P－ABC是一个正方体截下的一角，且满足|P A|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c，建立如图所示的空间直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标．能力提升8．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz 上的射影的坐标为()．A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确的叙述是________．10．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．的距离的最大值和最小值．的标准方程为(x－3)2＋y2＝4. 能力提升在平面内转动，15＝0也相切，求圆C的方y＝x截得的弦长为27，交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在r1－r2＝1.答案 1x2＋y2＝5的公共弦长为________．②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，|－3|3 22________．关于原点的对称点坐标是(2，0，3)．，|PC|，DD1的长度为单位轴，从而建立起一个空间直角坐标系O－xyz.一只小蚂请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么x＝________．＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－为坐标原点，分别以AB，0，0)，设B(a，0，0)，。
数学人教版必修2(A) 第四章 圆与方程 综合练习
第四章 圆与方程 综合练习一、 选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C 〔2，2〕，半径为2的圆，那么a 、b 、c 的值依次为〔A 〕2、4、4； 〔B 〕-2、4、4； 〔C 〕2、-4、4； 〔D 〕2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为〔 〕 (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，那么a 的取值X 围是〔 〕(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，那么切线长为〔 〕 (A) 5(B) 3 (C) 10 (D) 55.M (-2,0), N (2,0), 那么以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )(A) 222=+y x (B) 422=+y x(C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，那么a 的值为A 、1，-1B 、2，-2C 、1D 、-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，假设切点在第三象限，那么该直线的方程是A 、x y 3=B 、x y 3-=C 、x y 33=D 、x y 33-= 8.过点A 〔1，-1〕、B 〔-1，1〕且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是A 、(x-3)2+(y+1)2=4B 、(x+3)2+(y-1)2=4C 、(x-1)2+(y-1)2=4D 、(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是A 、6πB 、4πC 、3πD 、2π 10．M 〔x 0，y 0〕为圆x 2+y 2=a 2〔a>0〕内异于圆心的一点，那么直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是〔 〕A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕11.以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为.12.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，那么A 到直线05=--y x 的最大距离为______.13.过点P(-1,6)且与圆4)2()3(22=-++y x 相切的直线方程是________________.14.过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为.15.过原点O 作圆x 2+y 2-8x=0的弦OA 。
2018-2019数学同步新课标导学人教A版必修二通用版练习：第四章 圆与方程4.1.2 Word版含解析
第四章 4.14.1.2A 级基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是导学号09024937( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析]圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)．2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为导学号09025184( A )A ．12，－4B ．－12，4C ．12，4D ．－12，－4[解析]由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心 ∴错误!，解得错误!．3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为导学号09024939( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析]由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2．方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0． 故选A ． 4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是导学号09024940( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析]将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2 ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为导学号09024941( C )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0[解析]化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a|2＝22，∴a ＝2或0．6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是导学号09024942( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析]圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0__.导学号09024943 [解析]只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.导学号09024944[解析]设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0．三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.导学号09024945[解析]解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D2＋E2－4F ＝5|m －2|．解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点 当m ≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|．10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.导学号09024946 [解析]解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3．故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1) 半径r ＝|MA |＝5∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5．B 级素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过导学号09024947( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba >0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为导学号09024948( B )A ．52B ．102C ．152D ．202[解析]圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM|2－|ME|2＝2错误!＝2错误!.从而四边形ABCD 的面积为错误!|AC ||BD |＝错误!×2错误!×2错误!＝10错误!．3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是导学号09024949( D ) A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[解析]化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为导学号09024950( B )A ．5B ．5C ．25D ．10[解析]由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1) 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5． 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__.导学号09024951[解析]由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2．6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x2＋y2的最大值是导学号09024952[解析]关键是搞清式子x2＋y2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x2＋y2＝错误!，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．C 级能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.导学号09024953[解析]设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 2＋y 2＝4 两式相减得x 21－x 2＋y 21－y 2＝0所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0． 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y1－y2x1－x2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x1＋x22，y ＝y1＋y22，y －1x ＝y1－y2x1－x2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③． 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14．2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.导学号09024954 (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析](1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1．(2)r ＝12错误!＝－7m2＋6m ＋1＝错误!．∴0＜r ≤477．(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m2－1．消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4．故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。
人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 复习参考题》_7
章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝06．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.2549．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．18． 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ， 且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最 小的圆的方程．答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4317．解 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即3为所求m 的值．19．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1， 消去m 得x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交； 当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
新课标人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》课后训练题(含精品解析)
新课标人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》课后训练题1.1.圆x2＋y2＋x－3y－＝0的半径是________________【答案】2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而可得结果.【详解】将圆的一般，化为标准方程为，可得圆的半径,故答案为2.【点睛】本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及根据圆的标准方程求圆的半径，属于简单题.2.2.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是_________【答案】【解析】【分析】由不等式，即可得结果.【详解】在圆内，所以，,,，故答案为.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.3.3.直线5x＋12y－8＝0和圆(x－1)2＋(y＋3)2＝8的位置关系是_______________【答案】相离．【解析】【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较即可得结果.【详解】由可得，圆的圆心坐标为，圆的半径为，到直线的距离为，因为，所以直线与圆的位置关系是相离．故答案为相离.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，利用判别式来解答.4.4.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为_____________【答案】x2＋y2－4x＝0.【解析】设圆心坐标为,则圆方程为:(x−a)2+y2=4,根据点到直线的距离公式,得,解得a=2或(舍去),所以圆C的方程为:(x−2)2+y2=4,整理为一般方程为:.5.5.能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为( )A. 2B.C. 3D. 3【答案】C【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3，列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程，可得圆心为，半径为2，根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线的距离为1，由可得，经验证，，符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质，意在考查数形结合思想的应用，属于中档题.6.6.若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围为___________________【答案】λ>1或【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的条件可得，从而可得结果.【详解】根据二元二次方程表示圆的条件可得，，化为解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.7.7.直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＋2x＝0只在第二象限有公共点，则k的取值范围是___________【答案】【解析】【分析】先作出圆的图象，再由直线过定点，根据两者交点只在第二象限，结合图象可得结论.【详解】画出直线与圆的图象，如图所示：直线与圆相切时，直线过时，，直线与圆只在第二象限有公共点，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题、点到直线距离公式的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题.8.8.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为____【答案】6.【解析】试题分析：将圆的方程变形为，可知圆心，半径．圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为．故C正确．考点：1点到线的距离；2圆的简单性质．【思路点睛】本题主要考查圆上的点到线的距离的最大最小值问题，难度一般．圆上的点为动点，到圆心的距离均等于半径，所以应将圆上的动点到定直线的距离问题先转化为圆心到定直线的距离的问题．由数形结合分析可知圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为．9.9.两圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线的条数为____条【答案】3【解析】试题分析：圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0可变为，圆心为，半径为；圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0可变为，圆心为，半径为；所以，，所以两圆相切；所以与两圆都相切的直线有3条.故选B.考点：圆与圆的位置关系.10.10.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是__________【答案】【解析】【分析】设圆心关于直线对称点，根据垂直和中点在对称轴上这两个条件列方程求出的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆的标准方程.【详解】圆圆心为，半径等于1，设圆心关于直线对称点，则有，且，解得，故点，由于对称圆的半径与圆的半径相等，故圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.11.11.已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程___________________________【答案】x2＋y2＝16【解析】【分析】设，由化简即可得结果.【详解】设，因为到定点的距离等于到的距离的2倍，所以，化简可得，故答案为.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、两点间的距离公式，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求的轨迹方程的.12.12.过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m 的距离为________【答案】4【解析】【分析】判断在圆上，求出直线的斜率，确定出切线的斜率，求出的方程，得出，根据直线与直线平行，利用平行线的距离公式求出与的距离即可.【详解】将代入圆方程左边得：，左边=右边，即在圆上，直线的斜率为，切线的斜率为，即直线的方程为，整理得：，直线与直线平行，，即，直线方程为，即，直线与的距离为，故答案为4.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与直线的位置关系以及两平行线的距离公式，属于中档题.对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.13.13.圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是_______【答案】相交．【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程后，分别找出两圆心坐标和两半径与，然后利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离，比较与与和与差的大小，即可得到两圆的位置关系.【详解】由圆与圆，分别得到标准方程和，则两圆坐标分别为和，半径分别为，则两圆心之间的距离，则，即，故两圆的位置关系是相交，故答案为相交.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题.若两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.14.14.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是_____【答案】a<1.【解析】【分析】根据二元二次方程能够表示圆的充要条件，得到关于的一元二次不等式，解不等式即可得到结果.【详解】方程表示圆，，化为，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题. 二元二次方程表示圆的充要条件是：.15.15.以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为___________【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝9【解析】【分析】根据点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，可得圆的半径，再由圆的标准方程，即可得到满足条件的圆的方程.【详解】因为圆以点(为圆心且与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径,即，所求圆的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题是利用方法②解答的.16.16.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______【答案】m<．【解析】由D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m<.17.17.若圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1，2)的最短弦所在直线l的方程是_________【答案】x－2y＋3＝0．【解析】【分析】由圆的几何性质可得圆心与点的连线与垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条件及点斜式求解即可.【详解】将圆的一般方程化成标准方程为，所以,由题意知，过点的最短弦所在的直线应与垂直，所以,由，得,所以直线的方程为，即,故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.18.18.过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是_____【答案】【解析】【分析】设直线方程为,由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆方程。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第四章《圆的标准方程》练习题(含答案)
第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<42．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．23．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝04．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 25．圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为()A.10 B．2C. 2 D．1二、填空题6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．8．已知点P(1，－5)，则该点与圆x2＋y2＝25的位置关系是______________．三、解答题9．求经过A(－1，4)，B(3，2)两点且圆心在y轴上的圆的方程．B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝02．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．3．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．参考答案第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<4解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.答案：A2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，所以d＝|－25|32＋42＝5.答案：A3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.即a2＋b2＝r2.答案：B4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 2解析：圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x －y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a ＞0)．若点M (6，9)在圆上，则a 的值为( ) A.10B ．2 C. 2 D ．1解析：因为点M 在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a 2，又由a ＞0，可得a ＝10.答案：A二、填空题6．已知两圆C 1：(x －5)2＋(y －3)2＝9和C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C 1(5，3)，C 2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C 1C 2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝20.8．已知点P (1，－5)，则该点与圆x 2＋y 2＝25的位置关系是______________．解析：由于12＋(－5)2＝26＞25，故点P (1，－5)在圆的外部． 答案：在圆的外部三、解答题9．求经过A (－1，4)，B (3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一 设圆心坐标为(a ，b )．因为圆心在y 轴上，所以a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.因为该圆过A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（4－b ）2＝r 2，32＋（2－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二 因为线段AB 的中点坐标为(1，3)，k AB ＝2－43－（－1）＝－12， 所以弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.所以点(0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r ＝10，所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝1.B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x＋y－2＝0.答案：A2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．解析：因为点(－2，1)关于原点的对称点为(2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝13．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．解：如图，在坐标系内作出曲线y＝4－x2(半圆)．当直线y＝x＋b与半圆y＝4－x2相切时，|b|2＝2，所以b＝2 2.当直线y＝x＋b过(2，0)时，b＝－2.直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2 2.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点，所以截距b的取值范围为：[－2，22]．。
人教A版高中数学必修二第四章 圆与方程练习题(含答案)
高中数学必修二 圆与方程练习题一、选择题１. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A.B. C. D.2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B.C. D.3. 圆上的点到直线的距离最大值是（ ） A. B. C. D.4. 将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 5. 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）A. 条B. 条C. 条D. 条6. 圆在点处的切线方程为（ ） A.B. C. D.二、填空题1. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是 . .2. 由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方为 .3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程 为 .(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x 012222=+--+y x y x 2=-y x 221+221+221+20x y λ-+=x 122240x y x y ++-=λ37-或2-或80或101或11(1,2)A 1(3,1)B 212340422=-+x y x )3,1(P 023=-+y x 043=-+y x 043=+-y x 023=+-y x (1,0)P -032422=+-++y x y x y P 221x y +=,PA PB 0,,60A B APB ∠=P 270x y --=C y (0,4),(0,2)A B --C４. 已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________.5. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________.三、解答题1. 点在直线上，求的最小值.2. 求以为直径两端点的圆的方程.3. 求过点和且与直线相切的圆的方程.4. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.高中数学必修二 圆与方程练习题答案()4322=+-y x kx y =,P Q OQ OP ⋅P 0843=++y x ,PA PB 012222=+--+y x y x ,A B C PACB (),P a b 01=++y x 22222+--+b a b a (1,2),(5,6)A B --()1,2A ()1,10B 012=--y x C y 03=-y x x y =72C一、选择题1. A 关于原点得，则得2. A 设圆心为，则3. B 圆心为4. A 直线沿轴向左平移个单位得圆的圆心为5. B 两圆相交，外公切线有两条6. D的在点处的切线方程为 二、填空题1. 点在圆上，即切线为 2.3.圆心既在线段的垂直平分线即，又在 上，即圆心为，4. 设切线为，则5. 当垂直于已知直线时，四边形的面积最小三、解答题1.到直线的距离而，.2. 解：得3.解：圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则，得，而(,)x y (0,0)P (,)x y --22(2)()5x y -++-=(1,0)C ,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-max (1,1),1,1C r d ==20x y λ-+=x 1220x y λ-++=22240x y x y ++-=(1,2),3,7C r d λλ-====-=或2224x y -+=（）)3,1(P (12)(2)4x --=1(1,0)P -032422=+-++y x y x 10x y -+=224x y +=2OP =22(2)(3)5x y -++=AB 3y =-270x y --=(2,3)-r =5OT 25OP OQ OT ⋅==CP PACB (1,1)01=++y x d ==min 2=(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+=2244170x y x y +-+-=AB 6y =(,6)a r 222()(6)x a y r -+-=222(1)(106)a r -+-=r =.4. 解：设圆心为半径为，令而，或22(13)(1)16,3,5a a a r --+===22(3)(6)20x y ∴-+-=(3,),t t 3r t=d ==22222,927,1r d t t t =--==±22(3)(1)9x y ∴-+-=22(3)(1)9x y +++=。
高一数学人教A版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.1.2 Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．圆＋－＋＋＝(＜)的周长等于( )．π．－π．－π．π解析：由已知得，圆的标准方程为(－)＋(＋)＝，∵＜，∴半径＝－，∴圆的周长为－π.答案：．如果方程＋＋＋＋＝(＋－＞)所表示的曲线关于直线＝对称，则必有( )．＝．＝．＝＝．＝解析：由已知＋－＞，可知方程＋＋＋＋＝表示的曲线为圆．若圆关于＝对称，则知该圆的圆心在直线＝上，则必有＝.答案：．已知圆的方程为＋－＋＋＝，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )．－＋＝．－－＝．＋－＝．＋＋＝解析：由已知得圆心(，－)，且圆心不在直线－＋＝－－＝＋－＝上，而在直线＋＋＝上，故该圆的一条直径所在直线的方程为＋＋＝.答案：．若圆＋－－＝的圆心到直线－＋＝的距离为，则的值为( )．－或或．－或．或解析：把圆＋－－＝化为标准方程为(－)＋(－)＝，故此圆圆心为()，圆心到直线－＋＝的距离为，则＝，解得＝，或＝.故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．若是经过点(－)和圆＋＋－＋＝的圆心的直线，则在轴上的截距是．解析：圆心(－)，则直线的斜率＝＝－，所以直线的方程是－＝－(＋)，即＝－－，所以在轴上的截距是－.答案：－．若方程＋＋＋＋＝表示以(，－)为圆心，为半径的圆，则＝.解析：由已知－＝，－＝－，所以＝－，＝，又因为半径为，即＝，＝，解之，得＝.答案：．若方程＋－＋＋－＝表示一个圆，则实数的取值范围是．解析：由方程＋－＋＋－＝，可知＝－，＝，＝－，由＋－＞，得＋－＋＞，即(－)＞，所以≠.答案：≠三、解答题(每小题分，共分)．求圆心在直线＝上，且经过点(－)，(，－)的圆的一般方程．解析：设圆的方程为＋＋＋＋＝，则圆心是，由题意知，(\\(－()＝－()，－＋＋＝，＋－＋＝，))解得＝＝－，＝－，即所求圆的一般方程是＋－－－＝.．求一个动点在圆＋＝上移动时，它与定点()连线的中点的轨迹方程．解析：设点的坐标是(，)，点的坐标是(，)．由于点的坐标为()且是线段的中点，所以＝，＝，于是有＝－，＝.因为点在圆＋＝上移动，所以点的坐标满足方程＋＝，则(－)＋＝，整理得＋＝.所以点的轨迹方程为＋＝.。
人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程4.1 圆的方程习题(1)
圆与方程单元练习题一．选择题1．已知A(－4，－5)、B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝1162．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离是()A.12 B.32C．1 D. 33．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是() A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝04．直线x－y－4＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系()A．相交B．相切C．相交且过圆心D．相离5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是() A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．过点P(2,3)引圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的切线，其方程是()A．x＝2 B．12x－5y＋9＝0C．5x－12y＋26＝0 D．x＝2和12x－5y－9＝07．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为() A．9 B．8 C．5 D．28．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为() A．相交B．外切C．内切D．外离9．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝010．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是() A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2511．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)连线段PQ中点的轨迹方程是() A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝112．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．23 C. 3D ．1二、填空题 13．圆x 2＋2x ＋y 2＝0关于y 轴对称的圆的一般方程是________．14．已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________．15．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方 程是16．两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为 三、解答题17.已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程； （2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．18．(10分)求经过点P (3,1)且与圆x 2＋y 2＝9相切的直线方程．19．已知直线l ：y ＝2x －2，圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0，请判断直线l 与圆C 的位置关系，若相交，则求直线l 被圆C 所截的线段长．20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0，（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
2018-2019数学人教A版必修二通用版练习：第四章 圆与方程4.2.2 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.2A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是导学号09025009(B)A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25．2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为导学号09025010(A)A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0．解法二：直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A．3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是导学号09025011(B)A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b ＋5＝0．4．(2018·泰安一中高一检测)设r>0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16可能导学号09025191(C)A．相离B．相交C．内切或内含或相交D．外切或外离[解析]∵两圆圆心坐标为(1，－3)，(0,0)，∴两圆的圆心的距离为(0－1)2＋(0＋3)2＝10<4，半径分别为4，r，∴当|4－r|<10<4＋r时，两圆相交，当4－r＝10时，两圆相切，当4－r <10时，两圆内含，故选C ．5．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝导学号 09025013( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 2[解析] 设一个交点P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0∵两切线互相垂直∴y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，∴3y 0－4x 0＝－16． ∴r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，∴r ＝3．6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为导学号 09025014( D )A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36[解析] 半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则a ＝6，再由b 2＋32＝5可以解得b ＝±4，故所求圆的方程为(x －6)2＋(y ±4)2＝36．二、填空题7．圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是__相交__. 导学号 09025015[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．8．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__1__. 导学号 09025016[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线y ＝1a 的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1．三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.导学号 09025017[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0．再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)． ∵所求圆以公共弦为直径∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25．解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))．∵圆心C 在公共弦所在直线上 ∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0解得λ＝12．∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0．10．(2018·寿光现代中学高一检测)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，满足以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.导学号 09025192[解析] 设直线l 的方程为y ＝x ＋b则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0， 消元得2x 2＋(2b ＋2)x ＋b 2＋4b －4＝0． 设此方程两根为x 1，x 2 则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1＋x 2＝－(b ＋1) x 1x 2＝b 2＋4b －42．以AB 为直径的圆过原点O ∴k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－1．∴x1x2＋y1y2＝0∴x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0∴b2＋3b－4＝0∴b＝－4或b＝1．又Δ＝(2b＋2)2－8(b2＋4b－4)经检验当b＝－4或b＝1时满足Δ>0．∴存在这样的直线l为y＝x－4或y＝x＋1．B级素养提升一、选择题1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为导学号09025019(D)A．4 B．42－1C．22－2 D．2[解析]∵|CC′|＝5＜R－r＝7∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r＝2．2．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为导学号09025020(A)A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0[解析]以线段OM为直径的圆的方程为x2＋y2－4x＋y＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x－y－4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是导学号09025021(C)A．－1 B．2C．3 D．0[解析]两点A，B关于直线x－y＋c＝0对称，k AB＝－4m－1＝－1．∴m＝5，线段AB的中点(3,1)在直线x－y＋c＝0上∴c＝－2，∴m＋c＝3．4．(2016·山东文)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是导学号09025022(B) A．内切B．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题5．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是__外切__.导学号 09025023[解析] ∵点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，∴a 2＋b 2＝4． 又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1 圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a,0)，半径r 2＝1 则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2 ∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．6．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__(x －2)2＋(y －2)2＝2__.导学号 09025024[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2．C 级 能力拔高1．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.导学号 09025025[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．2．(2018·沂水一中高一期末)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4my ＋4m 2＝0，圆C 1：x 2＋y 2＝25，直线l ：3x －4y －15＝0.导学号 09025193(1)求圆C 1：x 2＋y 2＝25被直线l 截得的弦长；(2)当m 为何值时，圆C 与圆C 1的公共弦平行于直线l ；(3)是否存在m ，使得圆C 被直线l 所截的弦AB 中点到点P (2,0)距离等于弦AB 长度的一半？若存在，求圆C 的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为圆C 1：x 2＋y 2＝25的圆心O 坐标为(0,0)，半径为5，则圆心O 到直线l ：3x －4y －15＝0的距离为d ＝155＝3 所以直线l 被圆C 1：x 2＋y 2＝25截得的弦长为252－32＝8． (2)圆C 与圆C 1的公共弦直线为2x －4my －4m 2－25＝0 因为该弦平行于直线l ：3x －4y －15＝0所以32＝4m 4≠4m 2＋2515，得m ＝23．经检验符合题意，所以m ＝23．(3)假设这样的实数m 存在．设弦AB 中点为M ，由已知得|AB |＝2|PM | 即|AM |＝|BM |＝|PM |所以点P (2,0)在以弦AB 为直径的圆上．设以弦AB 为直径的圆方程为：x 2＋y 2－2x ＋4my ＋4m 2＋λ(3x －4y －15)＝0 则⎩⎪⎨⎪⎧22－2×2＋4m 2＋λ(3×2－15)＝03×2－3λ2－4×4λ－4m 2－15＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－9λ＝016m －25λ－24＝0消去λ得：100m 2－144m ＋216＝0,25m 2－36m ＋54＝0 因为Δ＝362－4×25×54＝36(36－25×6)<0 所以方程25m 2－36m ＋54＝0无实数根 所以，假设不成立，即这样的圆不存在．。
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第四章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.下面表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（）B. 2个D. 4个x + y+ m= 0表示圆，则实数)1A. mv厂 1C. m>3.已知空间两点 P1(— 1,3,5), P2(2,4,— 3),则IPRI等于( )A. 74B. 3. 10C. 14D. 534.圆x2 + y2 + 2x— 4y= 0的圆心坐标和半径分别是_( )A . (1,— 2), 5B . (1,— 2), 5C . (— 1,2),5D . (— 1,2), 55.圆心为(1 , — 1),半径为2的圆的方程是()A . (x— 1)2 + (y+ 1)2= 2B . (x+ 1)2 + (y — 1)2= 4C . (x+ 1)2 + (y —1)2= 2D . (x— 1)2 + (y+ 1)2 = 46.直线I: x — y= 1与圆C： x2 + y2— 4x= 0的位置关系是( )A .相离 B.相切A. 1个C. 3个2 .若方程x2+y2m的取值范围为B. mv 0D. m< 1C .相交 D.无法确定7.当点P在圆x2+ y2 = 1上变动时，它与定点 Q(3,0)连线段PQ 中点的轨迹方程是（）A . （x+ 3）2 + y2=4B . (x— 3)2 + y2= 1C. （2x— 3）2 + 4y2 = 1D. （2x + 3）2 + 电=18.（2011〜2012北京东城区高三期末检测）直线I过点（—4,0）,且与圆（x+ 1）2 + （y — 2）2 = 25交于A, B两点，如果|AB| = 8,那么直线I 的方程为（）A . 5x+ 12y + 20= 0B . 5x— 12y + 20= 0 或 x+ 4 = 0C. 5x— 12y+ 20= 0D . 5x+ 12y+ 20= 0 或 x+ 4 = 09 .一束光线从点A(— 1,1)发出，并经过x轴反射，至U达圆(x—2)2 + (y— 3)2= 1上一点的最短路程是( )A . 4 B. 5C. 3 2 — 1D. 2 610. （2012 •东卷）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+ 4y— 5= 0 与圆x2 + y2 = 4相交于A, B两点，则弦AB的长等于（）A . 3 3B . 2 3C. 3 D . 111.方程-.：4— x2= lg x的根的个数是（）A . 0B . 1C . 2 D.无法确定12.过点M(1,2)的直线I与圆C: (x— 2)2 + y2= 9交于A、B两点， C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程为()A . x= 1B . y = 1C . x— y+ 1 = 0D . x — 2y + 3= 0二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13.点P(3,4,5)关于原点的对称点是_______ .14.已知△ ABC 的三个顶点为 A(1,— 2,5), B(— 1,0,1), C(3, —4,5),则边BC上的中线长为__________ .15.已知圆 C: (x— 1)2 + (y+ 2)2=4,点 P(0,5)，则过 P 作圆 C 的切线有且只有 _______ 条.16.与直线 x+ y — 2= 0 和曲线 x2+ y2— 12x— 12y + 54= 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 ________ .三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)求经过点P(3,1)且与圆x2+ y2 = 9相切的直线方程.［分析］提示一：将点P(3,1)代入圆的方程得32+ 12= 10>9，所以点P在圆外，可设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质，由点到直线的距离公式列出含k的方程，由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.提示二：直线与圆相切，就是直线与圆有唯一公共点，于是将两曲线方程联立所得的方程组有唯一解，从而方程判别式△二0,由此解得k值，然后回代所设切线方程即可.18.（本题满分12分）（2011〜2012宁波高一检测）如图，正方体ABCD — A1B1CQ1的棱长为a, M为BD〔的中点，N在凡®上，且RNI =引NG|，试求MN的长.19.（本小题满分12分）已知实数x、y满足方程（x— 3）2 + （y— 3）2 =6，求x + y的最大值和最小值.20.（本题满分12分）已知直线11： x — y— 1 = 0,直线12: 4x+ 3y + 14= 0,直线13: 3x+4y+ 10= 0,求圆心在直线11上，与直线12相切，截直线13所得的弦长为6的圆的方程.［分析］设出圆心坐标和半径，利用圆的几何性质求解.21.（本题满分12分）已知圆C: x2+y2+ 2x—4y + 1 = 0, O为坐标原点，动点P在圆C夕卜，过P作圆C的切线，设切点为M.（1）若点P运动到（1,3）处，求此时切线I的方程；⑵求满足条件|PM| = |PO|的点P的轨迹方程.［分析］（1）对切线的斜率是否存在分类讨论；（2）设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程.22.（本题满分 12分）已知圆 P:（x— a）2 + （y— b）2= r2（r 工0）,满足: ①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3: 1.求在满足条件①②的所有圆中，使代数式 a2— b2— 2b + 4取得最小值时，圆的方程.［分析］根据条件可以判断出圆P被x轴截得的劣弧的圆心角为90°建立起r, a, b 之间的方程组，然后解出相应的 a, b, r 间的 关系，最后借助于一元二次函数解决.详解答案1［答案］C［解析］根据空间直角坐标系的规定可知(1)(2)(4)都正确，⑶中,Oy 轴的正向应为负向，二选 C.2［答案］A1［解析］(—1)2 + 12 — 4m>0,二 mv ㊁，故选 A.3［答案］A［解析］P 1P 2匸'—1 — 2 2+ 3 — 4 2+ 5+ 3 2= . 74.4［答案］D［解析］圆的方程化为标准方程为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5,则圆心是(—1,2),半径为5.5［答案］D［解析］由圆的标准方程得圆的方程为(x — 1)2 + (y+ 1)2= 4.6［答案］C［解析］圆C 的圆心为C(2,0)，半径为2,圆心C 到直线I 的距离d = |2迈1匚¥<2，所以圆与直线相交.7［答案］C［解析］设PQ 中点坐标为(x, y),贝S P(2x — 3,2y)代入x 2 + y 2= 1得(2x — 3)2 + 4y 2 = 1,故选 C.8［答案］D［解析］由题意，得圆心C( — 1,2),半径r = 5,当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x+ 4= 0,解方程组圆C 的交点坐标是(—4,— 2)和(一4,6),则|AB|= 8,即x+ 4= 0符合 题意；当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= k(x+ 4)，即kx5 5则直线I 的方程为—Tj-^x —y + 4X (—12)= 0,即 5x+ 12y + 20= 0.9［答案］A2 ,所以225 —鼻—]2= 8,解得k= — g, x+1 2+ y — 2 2 = 25, x+ 4= 0,x= — 4, 得 y=- 2 x= — 4, 或 y=6, 即此时与 —y+ 4k= 0,圆心C 到直线I 的距离d =%+纳=养+1 '又AB 1［解析］点A 关于x 轴的对称点是A' (— 1,— 1),圆心C(2,3), 半径r= 1,则 |A‘ C|=」—1 — 2 2+ — 1 — 3 2 = 5，则最短路程是|A‘ C|— r =5— 1 = 4.10［答案］B［解析］圆x 2+ y 2= 4的圆心0(0,0)到直线3x + 4y — 5= 0的距离d=551= 1,弦 AB 的长|AB| = 2 r 2— d 2= 2 3.11［答案］B［解析］设f(x) =「. 4— x, g(x) = lg x,则方程根的个数就是f(x)与 g(x)两个函数图象交点的个数.如图所示，在同一平面直角坐标系中 画出这两个函数的图象. 程仅有1个根.12［答案］D［解析］当CM 丄I ，即弦长最短时，/ ACB 最小,1…k | k cM = — 1,…k | = 2•••I 的方程为：x — 2y+ 3= 0.［点评］过。
C 内一点M 作直线l 与。
C 交于A 、B 两点，则弦 AB 的长最短？弦AB 对的劣弧最短？弦对的圆心角最小？圆心到直 线I 的距离最大？ CM 丄l?弦AB 的中点为M ，故以上各种说法反映 的是同一个问题.13［答案］(—3,— 4,— 5)［解析］T 点P(3,4,5)与P‘ (x, y, z)的中点为坐标原点，• P'点的坐标为(一3,— 4,— 5).14［答案］2［解析］ BC 的中点为 D(1 , - 2,3),则|AD| =''1- 1 2+ — 2+ 2 2+ 5-3 2 = 2.15［答案］2所以方［解析］由 C(1,— 2), r = 2,则 |PC|= 12 + — 2-5 2= 5 2>r = 2,•••点P 在圆C 外，.••过P 作圆C 的切线有两条.16［答案］(x — 2)2 + (y- 2)2 = 2［解析］V© A ： (x-6)2 + (y-6)2 = 18 的圆心 A(6,6)，半径 r i =3 2,V A 到l 的距离5 2,•所求圆B 的直径2a= 2 2，即a = 2.n — 6设B(m, n)，则由BA 丄l 得一；=1,m — 6又V B 到I 距离为逗，•阳黑-2|=厲解出 m= 2, n= 2.故其方程为(x- 2)2 + (y- 2)2 = 2.17［解析］解法一：当过点P 的切线斜率存在时，设所求切线的 斜率为k,由点斜式可得切线方程为 y — 1 = k(x-3)，即kx-y-3k+1 = 0,4故所求切线方程为一3x-y + 4+ 1 = 0, 即卩4x+ 3y- 15= 0.当过点P 的切线斜率不存在时，方程为x= 3,也满足条件. 故所求圆的切线方程为4x+ 3y- 15= 0或x = 3.解法二：设切线方程为y —1 = k(x — 3),y — 1 = k x — 3 ,将方程组y 2 2，消去y 并整理得 lx 2+ y 2= 9(k 2 + 1)x 2 - 2k(3k- 1)x + 9k 2- 6k-8= 0.因为直线与圆相切，• △= 0,即［—2k(3k- 1)］2- 4(k 2 + 1)(9k 2- 6k- 8)= 0.4解得k=- 3.所以切线方程为4x + 3y- 15= 0.又过点P(3,1)与x 轴垂直的直线x= 3也与圆相切，故所求圆的切线方程为4x+ 3y- 15= 0或x = 3.4=3,解得 k=-3.［点评］若点在圆外，所求切线有两条，特别注意当直线斜率不 存在时的情况，不要漏解.18［解析］以D 为原点建立如图所示坐标系，则 B(a, a,0), A i (a,O, a), C i (O, a, a), D i (O,O, a).由于M 为BD i 的中点，所以M(|, a, a)，取A i C i 中点O i ，则 a a 、O i （2，2，a ）,因为|A i N|= 3|NC i |,所以N 为O i C i 的中点, 故 N& |a, a ）. 由两点间的距离公式可得：a a 2 a 3 2 a 2 2-4 + 2— 4a + 2 — a 19［解析］设 x+ y= t,则直线 y= — x+1 与圆(x — 3)2 + (y — 3)2= 6 有公共点••• |3+2-U <V6,- 6 — 2/3<t<6+ 2逸因此x+ y 最小值为6— 2 3，最大值为6+ 2 3.20［解析］设圆心为C(a, a — 1)，半径为r,则点C 到直线12的距离|4a+ 3 a — 1 + 14| |7a+ 11|d 1 = =:M\|MN|==4a.［点评］ 公式求解. 空间中的距离可以通过建立空间直角坐标系通过距离 GD解得a_2, r_5,即所求圆的方程是(x — 2)2 + (y — 1)2_25. 21［解析］把圆C 的方程化为标准方程为(x+ 1)2 + (y — 2)2_4, 二圆心为C(— 1,2),半径r _2.(1)当I 的斜率不存在时，此时I 的方程为x_ 1, C 到I 的距离d _ 2_ r ，满足条件.当I 的斜率存在时，设斜率为k,得I 的方程为y — 3_ k(x — 1),即 kx — y+ 3— k_ 0,3「•I 的方程为 y —3_ — 4(x — 1),即 3x + 4y — 15_ 0.综上，满足条件的切线I 的方程为x_ 1或3x+ 4y — 15_ 0.(2)设 P(x, y)，则|PM|2_|PC|2—|MC|2_(x+ 1)2 + (y — 2)2 — 4,IPOI 2_ x 2+y ,v |PM|_ |PO|.••• (x + 1)2+ (y — 2)2 — 4_ x 2+ y 2,整理，得 2x — 4y+ 1_0,•••点P 的轨迹方程为2x — 4y+ 1_ 0.22［解析］如下图所示，圆心坐标为 P(a, b),半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b|, |a|.v 圆P 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3: 1,• / APB_ 90°取AB 的中点D ，连接PD,点C 到直线I 3的距离是d 2 =|3a+4 a — 1 + 10| |7a+ 6| 由题意，|7a+ 11|_ r5 _「，曹2 + 32=r 2.|— k — 2 + 3— k|,1 + k 23 _2解得k _- 4则有 |PB|= , 2|PD|,「. r = ：2|b|. 取圆P截y轴的弦的中点C,连接PC, PE.T圆截y轴所得弦长为2,|EC|= 1 ,「• 1 + a2= r2,即 2b2— a2= 1.则 a2— b2— 2b+ 4 = b2— 2b+ 3= (b— 1)2 + 2.•••当b= 1时，a2— b2— 2b+ 4取得最小值2, 此时 a= 1,或 a=—1, r2= 2.对应的圆为：(x— 1)2 + (y—1)2= 2, 或(x+ 1)2 + (y — 1)2= 2.二使代数式a2— b2— 2b+ 4取得最小值时，对应的圆为(x — 1)2 + (y— 1)2 = 2,或(x+ 1)2 + (y— 1)2= 2.［点评］(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 d + r，最小距离为d — r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，设弦长为I，弦心距为d,半径为r，则有(》2 + d2= r2.。