向量的线性运算技巧及练习题
向量及线性运算
按照向量与数的乘积的规定，
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
例1 化简
解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证
与 平行且相等,
结论得证.
习题7-1.2
四、小结
向量的概念
（注意与标量的区别）
向量的加减法
（平行四边形法则）
由三角形两边之和大于第三边的原理有
三、向量与数的乘法
结合律：
（2）分配律：
数与向量的乘积符合下列运算规律： 两个向量的平行关系
证 充分性显然； 必要性 ‖ 两式相减，得
.定理是建立数轴的理论依据
给定一个点及一个单位向量，就确定了一个数轴。 设点o及单位向量i确定了数轴ox, 如图 对于轴上任一点P,对应一个向量，
大小相等且方向相同的向量.记作
4
负向量：
5
大小相等但方向相反的向量.
6
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
空间两向量的夹角的概念：
01
02
设有两个向量a,b,任取空间一点O,
称为向量a与b的夹角。
向量的共面
向量的平行（共线）
二、向量的加减法
[1] 加法：
添加标题
1
（平行四边形法则）
添加标题
2
特殊地：若
添加标题
3
‖
添加标题
4
分为同向和反向
添加标题
5
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
添加标题
6
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
《必修二》课后习题解析：向量的线性运算
《必修二》课后习题解析：向量的线性运算必修二课后习题解析：向量的线性运算向量是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
在高中数学课程中，向量的线性运算是一个重要的学习内容。
本文将对《必修二》中的相关习题进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握向量的线性运算。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量的运算。
在进行向量的加法时，需要将两个向量的对应分量相加，并且保持向量的方向和大小不变。
示例题目1：已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量c=a+b。
解析：将向量a和向量b的对应分量相加，得到向量c的分量。
c=(2+4, 3+7)=(6, 10)因此，向量c=a+b=(6, 10)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数得到一个新的向量的运算。
在进行数量乘法时，需要保持向量的方向不变，只改变向量的大小。
示例题目2：已知向量a=(2, 3)，求实数k使得k*a=(-4, 6)。
解析：设k为需要求解的实数。
k*a=(-4, 6)根据数量乘法的定义，有：(k*2, k*3)=(-4, 6)解方程组：2k=-43k=6求解方程组，可得：k=-2因此，当k=-2时，k*a=(-4, 6)。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的运算。
在进行向量的减法时，可以将减法转化为加法，即a-b=a+(-b)。
示例题目3：已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量c=a-b。
解析：将向量b取相反数，即-b=(-4, -7)，然后进行向量的加法运算。
c=a+(-b)=(2, 3)+(-4, -7)=(2+(-4), 3+(-7))=(-2, -4)因此，向量c=a-b=(-2, -4)。
4. 向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积，是指将两个向量的对应分量分别相乘，再将乘积相加得到一个实数的运算。
示例题目4：已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, 7)，求向量a和向量b的数量积。
向量的线性运算技巧及练习题附解析
向量的线性运算技巧及练习题附解析一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，a是非零向量，那么k a＝0 B．如果e是单位向量，那么e＝1C．如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a D．已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【详解】解：A、如果k＝0，a是非零向量，那么k a＝0，错误，应该是k a＝0．B、如果e是单位向量，那么e＝1，错误．应该是e＝1．C、如果|b|＝|a|，那么b＝a或b＝﹣a，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量a，如果向量b＝﹣5a，那么a∥b，正确．故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.2．如图，已知△ABC中，两条中线AE、CF交于点G，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由△ABC中，两条中线AE、CF交于点G可知，，求出的值即可解答.【详解】∵∴∵∴故本题答案选B.【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．3．下列判断正确的是( )A ．0a a -=B ．如果a b =，那么a b =C ．若向量a 与b 均为单位向量，那么a b =D ．对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.【详解】 A. -a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量. 4．下列命题：①若a b =，b c =，则c a =；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0．其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】①若a b =，b c =，则c a =，正确；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，正确；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0，正确．综上所述，真命题的个数是3个．故选C ．5．已知3a →=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→=B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=- 【答案】D【解析】【分析】 根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反 ∴32a b =-故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.6．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b 的是( ) A ．2a b =B ．//a c ，//b cC ．||||a b =D ．12a c =，2bc = 【答案】C【解析】【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】 A 选项：由2a b =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；B 选项：由//a c ，//b c ，可以推出//a b ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =，不可以推出//a b ．本选项符合题意；D 选项：由12a c =，2bc =，可以推出//a b ．本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．7．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.8．点C 在线段AB 上，且35AC AB =，若AC mBC =，则m 的值等于（ ）． A ．23 B ．32 C ．23- D ．32- 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-，从而得出：52AB BC =-，再代入35AC AB =中，即可求出m 的值.【详解】解：∵点C 在线段AB 上，且35AC AB = ∴25AC AB CB AB ==- ∴5522CB AB BC ==- ∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭ 故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝ B ．++＝0 C ．+＝ D ．+＝ 【答案】C【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可．【详解】由加法的三角形法则可得，+＝, ++＝ , +＝, +＝故选：B.【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量()12m n +相等的向量是（ ）.A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD【答案】C【解析】 【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==，然后由三角形法则，求得AC 与BD ，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD n ==，∴AC ＝AB BC m n +=+，=BD AD AB n m -=-，∴()11=-22OA AC m n =-+，()11=22OC AC m n =+ ()11=-22OB BD n m =--，()11=22OD BD n m =- 故选：C ．【点睛】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a ∥e →B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反 【答案】C 【解析】【分析】 由向量的方向直接判断即可.【详解】解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误，故选C.【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =- AE EC =+AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．13．已知a ，b 为非零向量，如果b ＝﹣5a ，那么向量a 与b 的方向关系是（ ） A ．a ∥b ，并且a 和b 方向一致B ．a ∥b ，并且a 和b 方向相反C ．a 和b 方向互相垂直D ．a 和b 之间夹角的正切值为5【答案】B【解析】【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．【详解】∵已知a ，b 为非零向量，如果b ＝﹣5a ，∴a ∥b ，a 与b 的方向相反，故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．14．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B C D ．2【答案】B【解析】根据向量的运算法则可得: n =)22OA OB +=故选B.15．已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∥b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b = 【答案】D【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】 解：A.∵a //c ，b //c ，∴a ∥b ，故本选项错误； B.∵1,22a cbc ==∴a ∥b ，故本选项错误. C.∵2a b =，∴a ∥b ，故本选项错误；D.∵a b =，∴a 与b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．16．设e 为单位向量，2a =，则下列各式中正确的是（ ） A ．2a e = B ．a e a = C ．2a e = D ．112a =± 【答案】C【解析】【分析】 根据e 为单位向量，可知1e =,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e 为单位向量，∴1e =,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =,1e =,∴2a e =,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C.【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键. 18．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．=a bB ．a ∥c ，b ∥cC ．a +b ＝0D ．a +b ＝2c ，a ﹣b ＝3c【答案】A【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、该等式只能表示两a 、b 的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B 、由a ∥c ，b ∥c 可以判定a ∥b ，故本选项不符合题意；C 、由a +b ＝0可以判定a 、b 的方向相反，可以判定a ∥b ，故本选项不符合题意；D 、由a +b ＝2c ，a ﹣b ＝3c ，得到a ＝52c ，b ＝﹣12c ，则a 、b 的方向相反，可以判定a ∥b ，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.19．若a ＝2e ，向量b 和向量a 方向相反，且|b |＝2|a |，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a |＝2B ．|b |＝4C ．b ＝4eD ．a ＝12b - 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可以得到：b ＝﹣4e ，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a ＝2e 推知|a |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b ＝-4e 推知|b |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b ＝﹣4e ，故本选项符合题意．D 、依题意得：a ＝-12b ，故本选项不符合题意． 故选C ．【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．20．化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）．A ．QPB ．OQC ．SPD ．SQ 【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减法的法则化简即可.【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++=Q O ，故选B.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.。
高中 平面向量的线性运算及基本定理 练习 含答案
训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。
第1节 平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。
初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析
初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案解析一、选择题1．点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r，若AC mBC=u u u r u u u r，则m的值等于（）．A ．23B．32C．23-D．32-【答案】D【解析】【分析】根据已知条件即可得：25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r，从而得出：52AB BC=-u u u r u u u r，再代入35AC AB=u u u r u u u r中，即可求出m的值.【详解】解：∵点C在线段AB上，且35AC AB=u u u r u u u r∴25AC ABCB AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r∴5522CBAB BC==-u u u r u u u r u u u r∴55322335BC BC A CA B⎛⎫=-⎝==-⎪⎭u u u r u u u r u u u r u u u r故选D.【点睛】此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键. 2．下列命题中，真命题的个数为( )①方向相同②方向相反③有相等的模④方向相同A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.【详解】解：对于①，若，则方向相同，①正确；对于②，若，则方向相反，②正确；对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设，，则向量关于、的分解式表示正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.【详解】 ∵ ∴ ∵∴故本题答案选B. 【点睛】本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】|||1||22|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴===+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．已知233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r ，那么4m n -r r等于（ ）A ．823a b -r rB ．443a b r r -C ．423a b -r rD ．843a b -r r【答案】A 【解析】根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．解：∵233m a b =-r r r ，1124n b a =+r r r，∴4m n -r r =2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-rr r r r r r r r r ．故选A ．6．若AB u u u r是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =u u u r u u u r ；B ．AB BA u u u v u u u v =；C ．0AB BA +=u u u r u u u r；D ．0AB BA +=u u u r u u u r.【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v 故选B 【点睛】此题考查平面向量，难度不大7．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u r u u u rB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k=坠r r，那么a r 与b r平行或共线D ．AB BA 0+=u u u r u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA +=u u u r u u u r r可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD =u u u r u u u r，那么AB CD =u u u v u u u v ，故此选项正确；B 、a b b a +=+r r r r，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k =坠r r ，那么a r 与b r平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA +=u u u r u u u r r，故此选项错误；故选：D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键8．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =rrB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =rrD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，错误，D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；故选D. 【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.10．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u v v，那么AD uuu v等于（ ）A ．a b +v vB ．2233a b +v vC ．23a b -v vD ．23a b +v v【答案】D 【解析】 【分析】根据2BD CD =，即可求出BD uuu v，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论． 【详解】 解：∵2BD CD =∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v∴23AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v故选D ． 【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．A ．()12a b -r rB ．()12b a -r rC ．()12a b +r rD ．()12a b -+r r【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r rr ，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .【详解】解：∵AB a =u u u r r，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()1122CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.13．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.14．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r的是（ ）A ．a r //c r ，b r //c rB ．2a c =r r ，3b c =rr C ．5a b =-r rD ．||2||a b =r r【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．∵a r ∥c b r r ，∥c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；B ．∵a r =2c b r r ，=3c r，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；C ．∵a r=﹣5b r ，∴a b P u u r r，故本选项，不符合题意； D ．∵|a r|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．15．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r为（ ）A ．3a e =v vB ．3a e =-v vC ．3e a =v vD ．3e a =-v v【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的定义解答即可． 【详解】解：∵向量e r为单位向量，向量a r与向量e r方向相反， ∴3a e r r=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r rB ．||3||a b =rrC ． 5a b =-r rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =r r只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r的方向相反，则//a b r r ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =r r可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r叫做平行向量．17．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.18．已知5a b =r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=rrB ．a r与b r方向相同 C ．//a b r rD ．||5||a b =r r【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】A 、50a b -=r rr，故该选项说法错误B 、因为5a b =r r ，所以a r 与b r的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =r r ，所以//a b r r，故该选项说法正确，D 、因为5a b =r r ，所以||5||a b =r r ；故该选项说法正确，故选：A ． 【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．19．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =r r； B ．a r ∥b r；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.20．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u rr，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r r r ；C ．()12BO b a =-+u u u r r r ； D ．()12BO b a =-u u u r r r ．【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选。
向量的线性运算经典测试题附答案
向量的线性运算经典测试题附答案一、选择题1．在ABCD中，AC与BD相交于点O，AB a=，AD b=，那么OD等于（）A．1122a b+B．1122a b--C．1122a b-D．1122a b-+【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得12OD BD=，，又由BD BA AD=+，即可求得OD的值．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12 BD，∴12OD BD=，∵BD BA AD a b=+=-+，∴12OD BD==111()222a b a b-+=-+故选：D．【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．2．如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a用单位向量e表示为（）A．12a e=B．2a e=C．12a e=-D．2a e=-【答案】C 【解析】由向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，根据向量的定义，即可求得答案．解：∵向量a 与单位向量e 方向相反，且长度为12， ∴12a e =-． 故选C ．3．已知3a →=，2b =，而且b 和a 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→=B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=- 【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】 ∵3,2a b ==，而且12,x x R ∈和a 的方向相反 ∴32a b =-故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.4．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝3b ，那么a ∥bB ．||a ＝||b ，那么a ＝b 或a ＝-bC ．0的方向不确定，大小为0D ．如果e 为单位向量且a ＝﹣2e ，那么||a ＝2【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质解答即可．【详解】解：A 、如果a ＝3b ，那么两向量是共线向量，则a ∥b ，故A 选项不符合题意． B 、如果||a ＝||b ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意． C 、0的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意． D 、根据向量模的定义知，||a ＝2|e |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.5．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D 【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．6．下列说法正确的是（ ）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b -B ．()12b a -C ．()12a b +D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.8．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】D【解析】【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.9．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为、、，则向量等于（）A．++B．-+C．+-D．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥bC．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．11．如图，在ABC 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =,BC b =，那么AD 等于（ ）A ．a b +B ．2233a b +C ．23a b -D ．23a b + 【答案】D【解析】【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD ，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．【详解】解：∵2BD CD = ∴2233BD BC b == ∴23AD AB BD a b =+=+故选D ．【点睛】此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．12．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ） A ．AB BA =- B ．AB BA = C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.13．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.14．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ） A ．50a b -=B ．a 与b 方向相同C ．//a bD ．||5||a b =【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【详解】A 、50a b -=，故该选项说法错误B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．15．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =；B ．a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=． 【答案】D【解析】【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．17．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】 解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(3,1)OH =-D ．(22,4)OM =；(22,2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.20．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D、3544++-=-，故D选项正确；a b a b a b故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.。
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析
向量的线性运算技巧及练习题附答案解析一、选择题1．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =-AE EC =+ AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．2．已知233m a b =-，1124n b a =+，那么4m n -等于（ ） A ．823a b - B ．443a b - C ．423a b - D ．843a b - 【答案】A【解析】 根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心． 解：∵233m a b =-，1124n b a =+， ∴4m n -=2112834()32232433a b b a a b b a a b --+=---=-． 故选A ．3．计算45a a -+的结果是（ ）A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B【解析】【分析】按照向量之间的加减运算法则解题即可-4a+5a=a ,所以答案为B 选项【点睛】本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键4．如图，ABCD 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==，那么向量AE 用向量a b 、表示为（ ）A ．12a bB ．12a b -C ．12a b -+D ．12a b -- 【答案】A【解析】【分析】 根据AE AB BE =+，只要求出BE 即可解决问题. 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC AD BC ∴∥，＝，BC AD b ∴==，BE CE ＝，1BE b 2∴=， AE AB BE,AB a =+=，1AE a b 2∴=+， 故选：A.【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.5．下列判断不正确的是（ ）A ．如果AB CD ，那么AB CDB ．+＝+C ．如果非零向量ab(0)k k ，那么a 与b 平行或共线 D ．AB BA 0【解析】【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA 可判断D 错误 【详解】A 、如果AB CD ，那么AB CD =，故此选项正确；B 、a b b a +=+，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k ，那么a 与b 平行或共线，故此选项正确；D 、0ABBA ，故此选项错误； 故选：D ．【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键6．以下等式正确的是（ ）．A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=--D ．km k m = 【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的运算法则进行判断．【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误；B. 00a ⋅=，故本选项错误；C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误.故选：C.【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．7．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.8．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量()12m n +相等的向量是（ ）.A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD【答案】C【解析】【分析】 由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==，然后由三角形法则，求得AC 与BD ，继而求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD n ==，∴AC ＝AB BC m n +=+，=BD AD AB n m -=-，∴()11=-22OA AC m n =-+，()11=22OC AC m n =+()11=-22OB BD n m =--，()11=22OD BD n m =- 故选：C ．【点睛】 此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．9．如图，已知向量a ，b ，c ,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=B ．b c a +=C ．a c b +=D ．a c b +=-【答案】D【解析】 【分析】【详解】由平行四边形法则，即可求得：解：∵CA AB CB +=，即a c b +=-故选D ．10．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ） A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a bB ．a b =C ．72BD = D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确. 12．已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∥b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b = 【答案】D【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】 解：A.∵a //c ，b //c ，∴a ∥b ，故本选项错误；B.∵1,22a cbc ==∴a ∥b ，故本选项错误. C.∵2a b =，∴a ∥b ，故本选项错误； D.∵a b =，∴a 与b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．13．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--．【答案】C【解析】【分析】 由平行四边形性质，得DC AB =，由三角形法则，得到OA AB OB +=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =，∵OA a =，OB b =，在△OAB 中，有OA AB OB +=，∴AB OB OA b a a b =-=-=-+，∴DC a b =-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．14．已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ）A ．||2||a b =；B ．a ∥b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=． 【答案】D【解析】【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∴a ∥b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∴a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.15．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误； B 、12CB AB =，故本选项正确； C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．17．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a （）＝（）B ． m n a ma na ++（）＝C ．m a b ma mb +（+）＝D ．若0ma =，那么0a =【答案】D【解析】【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同．【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；∵D 、如果a =0，则m=0或a =0．∴错误．故选D ．【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.18．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b = C ．1a e a = D ．11a b a b= 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B.【点睛】 本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.19．若a ＝2e ，向量b 和向量a 方向相反，且|b |＝2|a |，则下列结论中不正确的是（ ） A ．|a |＝2B ．|b |＝4C ．b ＝4eD ．a ＝12b - 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可以得到：b ＝﹣4e ，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a ＝2e 推知|a |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b ＝-4e 推知|b |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b ＝﹣4e ，故本选项符合题意．D 、依题意得：a ＝-12b ，故本选项不符合题意． 故选C ．【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．20．下列关于向量的运算中，正确的是A ．a b b a -=-；B ．2()22a b a b --=-+；C ．()0a a +-=；D ．0a a +=．【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算法则进行计算.【详解】 A. (),a b b a A ---＝所以错误；B. ()222a b a b B ---＝＋，所以正确；C. ()0a a -＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误．故选B.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.。
向量经典例题及解析
向量经典例题及解析一、向量的基本概念与线性运算例题例1：已知向量→a=(1,2)，→b=(3, - 4)，求→a+→b，→a-→b。
解析：1. 对于向量的加法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)。
- 已知→a=(1,2)，→b=(3,-4)，那么→a+→b=(1 + 3,2+( - 4))=(4,-2)。
2. 对于向量的减法，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)。
- 所以→a-→b=(1 - 3,2-( - 4))=(-2,6)。
例2：设→e_1，→e_2是两个不共线向量，已知→AB=2→e_1+k→e_2，→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，若A，B，D三点共线，求k的值。
解析：1. 首先求→BD，因为→BD=→CD-→CB。
- 已知→CB=→e_1+3→e_2，→CD=2→e_1-→e_2，则→BD=(2→e_1-→e_2)-(→e_1+3→e_2)=→e_1-4→e_2。
2. 因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得→AB=λ→BD。
- 即2→e_1+k→e_2=λ(→e_1-4→e_2)=λ→e_1-4λ→e_2。
- 由向量相等的定义，可得<=ft{begin{array}{l}2=λ k = - 4λend{array}right.。
- 把λ = 2代入k=-4λ，得k=-8。
二、向量的数量积例题例3：已知向量→a=(3,4)，→b=( - 2,1)，求→a·→b，|→a|，|→b|以及cos〈→a,→b〉。
解析：1. 对于向量的数量积，如果→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2。
- 已知→a=(3,4)，→b=(-2,1)，则→a·→b=3×(-2)+4×1=-6 + 4=-2。
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2)
新初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案(2)一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +rr 等于（ ）A ．BD u u u rB ．AC u u u rC ．DB u u u rD ．CA u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =u u u r r ，∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，∴a b +r r =AB u u ur +BC uuu r =AC u u u r ．故选B ．2．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答. 【详解】解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.3．如图，已知向量a r ，b r ，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r， 即a c b +=-r r r 故选D ．4．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u r Q u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =r rB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =r rD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a br r ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．6．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r r ，DC b =u u u r r，则（ ）A ．()12BO a b =+u u u r r r ； B ．()12BO a b =-u u u r rr ； C ．()12BO b a =-+u u u r r r； D ．()12BO b a =-u u u r r r ． 【答案】D 【解析】1,.21(b-a)2BCD BO BD BD DC CB CB BCBO D∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r r r在中，所以故选7．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，则2132m m -r r 等于（ ）．A ．AO u u u rB ．BO uuu rC ．CO uuu rD ．DO u u u r 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r，∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴122312AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r，故A 不符合题意；211322BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r，故B 符合题意；122312CO AC m m ==---u u u r u u uu u r r u u r ，故C 不符合题意；121232DO BD m m =-=-u u u r u u ur u u r u u r ，故D 不符合题意.故选B.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u rr，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r rD ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．9．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.10．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r； B ．2()22a b a b --=-+r r r r； C ．()0a a +-=r r； D ．0a a +=r r．【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则进行计算. 【详解】A. (),a b b a A ---vv v v ＝所以错误；B. ()222a b a b B ---v vv v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -rv v ＋＝，C 所以错误;D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.11．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断． 【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v|＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v＝-4e v推知|b v|＝4，故本选项不符合题意． C 、依题意得：b v＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v ＝-12b v，故本选项不符合题意．故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a vvB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意．D 、由|a v|=2|b v|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．13．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r B ．AB BC AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC=-u u u r u u u r u u u rD ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A ．34a rB ．34a -rC ．43a rD ．43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反， ∴BA u u u r =43a -r ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.15．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得: n v()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.16．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+u u u r r rB ．DC a b =-u u u r r r； C ．DC a b =-+u u u r r rD ．DC a b =--u u u r r r．【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r，代入计算即可得到答案. 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r，∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r，在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u ru u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r rr rr， ∴DC a b =-+u u u rr r； 故选择：C. 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．17．已知非零向量a r 、b r ，且有2a b =-r r，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =r r ；B ．a r ∥b r ；C ．a r 与b r方向相反； D ．20a b +=r r ．【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量以及模的知识求解即可.【详解】A.∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴||2||a b =r r，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-r r，表明向量a r 与2b -r 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -r 与br 方向相反，但还是相互平行，∴a r ∥b r ，该选项不符合题意错误； C. ∵2a b =-r r，而2b -r 与b r 方向相反，∴a r 与b r 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +r r是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本知识.18．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得＝,＋ .故选D. 【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.19．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r（）＝（）B ． m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r（+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB u u u r 是单位向量，则BA u u u r不是单位向量 C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB u u u r是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r都等于这个单位长度，这时OA u u u r 、OB uuu r都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。
(易错题精选)初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案
（易错题精选）初中数学向量的线性运算技巧及练习题附答案一、选择题1．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r ，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r与OB u r互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．()()013,2019,3,1OC OD -==-u r u r B ．()()21,1,21,1OE OF -=+u r u rC ．()()2138,,2,82OG OH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r u rD ．()252,2,52,OM⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭u r【答案】A 【解析】 【分析】根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.()133201910-⨯-+⨯=，正确；B.()()2121112-⨯++⨯=，错误；C.()21382812242⨯-+⨯=+，错误； D.()()25252222+⨯-+⨯=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．2．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ） A ．++ B ．-+C ．+-D ．--【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论． 【详解】 如图，，则-+故选B．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.3．□ABCD中， -+等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴ = -∴ -+=- + =，故选A．【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.4．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（）A．+++=B．-+-=C．+--=D．--+=【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.5．在矩形ABCD 中，如果AB u u u r 3BC uuu r 模长为1，则向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为（ ） A ．2 B ．4C 31D 31【答案】B 【解析】 【分析】先求出AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，然后2AB BC AC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，利用勾股定理即可计算出向量（AB u u u r +BC uuur +AC u u u r ）的长度为【详解】22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC AC AB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴u u u r u u u rQ u u u ru u u r u u u r u u u rQ u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：B. 【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.6．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A ．3a b =r rB ．3a b =-r rC ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( )A ．2a b =rrB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =rrD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a br r ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．8．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r与b r均为单位向量，可得向量a r与b r的模相等，但方向不确定． 【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r，那么下列选项中，与向量()12m n +ur r 相等的向量是（ ）.A ．OA u u u rB ．OB uuu rC ．OC u u u rD ．OD uuu r【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u ur u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r ur r ，()11=22OC AC m n =+u u u r u u u r u r r()11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r ur ，()11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．11．若a v ＝2e v，向量b v和向量a v方向相反，且|b v|＝2|a v|，则下列结论中不正确的是（ ）A ．|a v |＝2B ．|b v|＝4 C ．b v ＝4e vD ．a v＝12b v -【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v＝﹣4e v，由此对选项进行判断．【详解】A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．B 、由b v ＝-4e v推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．C 、依题意得：b v ＝﹣4e v，故本选项符合题意．D 、依题意得：a v＝-12b v，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．12．若2a b c +=rr ，3a b c -=r r，而且c r ≠0，a r 与rb 是（ ） A ．a r与rb 是相等向量 B ．a r 与rb 是平行向量 C ．a r 与rb 方向相同，长度不等 D ．a r 与rb 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意．故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．13．如图，点C 、D 在线段AB 上，AC BD =，那么下列结论中，正确的是（ ）A ．AC u u u r 与BD u u u r是相等向量 B ．AD u u u r 与BD u u u r是平行向量 C ．AD u u u r 与BD u u u r是相反向量 D ．AD u u u r 与BC uuu r是相等向量【答案】B 【解析】 【分析】由AC=BD ，可得AD=BD ，即可得AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，AD BC AC BD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，，继而证得结论． 【详解】 A 、∵AC=BD ，∴AC BD =-u u u r u u u r，该选项错误；B 、∵点C 、D 是线段AB 上的两个点， ∴AD u u u r 与BD u u u r是平行向量，该选项正确； C 、∵AC=BC ， ∴AD ≠BD ，∴AD u u u r 与BD u u u r不是相反向量，该选项错误； D 、∵AC=BD ， ∴AD=BC ，∴AD BC =-u u u r u u u r ，，该选项错误；故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．14．下列判断错误的是（ ）A ．0•=0a v vB ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b rC ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A 、0•=0a vv ，故本选项不符合题意． B 、由a v +b v=2c v，a v -b v=3c v 得到：a v＝52c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v ，故本选项不符合题意．C 、e v 为单位向量，那么|e v|=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v|=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．15．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ． 【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．16．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．17．设e r为单位向量，2a =r ，则下列各式中正确的是（ ）A ．2a e =r rB ．a e a=rr r C ．2a e =r r D ．112a =±r【答案】C 【解析】 【分析】根据e r为单位向量，可知1e =r ,逐项进行比较即可解题.【详解】解：∵e r为单位向量，∴1e =r,A 中忽视了向量的方向性,错误B 中忽视了向量的方向性,错误C 中,∵2a =r ,1e =r, ∴2a e =r r,正确,D 中忽视了向量的方向性,错误故选C. 【点睛】本题考查了向量的应用,属于简单题,熟悉向量的概念是解题关键.18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n u u u v=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u rB ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u rC ．OG =u u u r ；(OH =u u u rD ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =rr不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r r 不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r和b r都是单位向量，则|a r|＝|b r|＝1，故本选项正确． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D【解析】【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确； B. a r 与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r ，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r ，故本选项错误. 故选D.【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。
(完整版)平面向量的线性运算
ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
向量的线性运算技巧及练习题含答案
向量的线性运算技巧及练习题含答案一、选择题1．如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的定义解答即可．【详解】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反，∴3a e =-．故选：B ．【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 【答案】C【解析】【分析】 利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项. 【详解】 解：∵， ∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC.∴四边形ABCD 为梯形.【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.3．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )A ．｜2｜＞｜-2｜B ．｜2｜＜｜-2｜C ．｜2｜＞｜2-｜D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A【解析】【分析】 对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题.【详解】 解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ； 令， ，则， ∴且； 又BA+BC>AC ∴ ∴. 故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.4．在矩形ABCD 中，如果AB 3BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ）A ．2B ．4C 31D 31【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．若AB 是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A ．AB BA =；B ．AB BA =；C ．0AB BA +=；D ．0AB BA +=.【答案】B【解析】【分析】 长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果【详解】∵AB 是非零向量, ∴AB BA =故选B【点睛】此题考查平面向量，难度不大6．下列判断正确的是( )A ．0a a -=B ．如果a b =，那么a b =C ．若向量a 与b 均为单位向量，那么a b =D ．对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案.【详解】 A. -a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b ，如果()0a k b k =⋅≠，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 正确.故答案为D.【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.7．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12a bB ．2133a bC ．2233a bD ．1124a b 【答案】B【解析】【分析】 利用三角形的重心性质得到： 23AO AD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BCb ， ∴11BDBC b 22． ∴1b 2AD AB BD a又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AOAD ， ∴221AO AD a b 333． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AOAD 是解题的关键．8．若向量a 与b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =B ．1a =C ．1b =D ．a b =【答案】D【解析】【分析】由向量a 与b 均为单位向量，可得向量a 与b 的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a 与b 均为单位向量，∴向量a 与b 的模相等， ∴a b =. 故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=， =，=，则 （ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--=D ．--+= 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而； ∴B 正确. 故选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-=C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a bB ．a b =C ．72BD = D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.13．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =- AE EC =+AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．14．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =-B ．AB BA =C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+ 【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.15．已知c 为非零向量， 3a c =， 2b c =-，那么下列结论中错误的是（ ）A ．//a bB ．3||||2a b =C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】∵ 3a c =， 2b c =- ∴3a b 2=-， ∴a ∥b ，32a b =- a 与b 方向相反，∴A ，B ，D 正确，C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是A ．=a bB ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=代入3a b c -=，计算得：-2a b =（方向相反）.故选：D【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.17．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ）A ．2a b =-B ．a c =，3b c =C ．2a b c +=，a b c -=-D ．2a b =【答案】D【解析】【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．18．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB = B ．12CB AB = C ．0AC BC += D ．0AC CB +=【答案】B【解析】 根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答． 解：A 、12CA BA =，故本选项错误；B 、12CB AB =，故本选项正确；C 、0AC BC +=，故本选项错误；D 、AC CB AB +=，故本选项错误．故选B ．20．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C【解析】【分析】 根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b =∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==- ∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.。
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a b a b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l－β 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角α －l－β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角α －l－β 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角AB与的夹角的大小．α －l－β 的大小就是向量CD方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2P A1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b 得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴⋅AD AC AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ． ∴BC ⊥平面P AC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ，b ⊂α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ⊂α ，则a ∥b (C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b 2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38(C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3 (D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23 (D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形；③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°． 不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55 习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ． ∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
向量的线性运算经典测试题及解析
a =3， b =5，
b =5 a , 3
b 与 a 的方向相反, b 5 a.
3
故选：D. 【点睛】 考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
17．已知非零向量 a 、 b ，且有 a 2b ，下列说法中，不正确的是（ ）
A． | a | 2 | b | ； B． a ∥ b ；
D. BO OD ，故该选项错误；
故选：C． 【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
14．已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，那么向量 a 与 b 的方向关系是（ ）
A． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向一致
B． a ∥ b ，并且 a 和 b 方向相反
A． a
B． a
【答案】B
C． a
D． a
【解析】 【分析】 按照向量之间的加减运算法则解题即可 【详解】
-4a+5a=a ,
所以答案为 B 选项 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法，熟练掌握相关概念方法是关键
6．如图， ABCD 中，E 是 BC 的中点，设 AB a, AD b ，那么向量 AE 用向量 a、b
C． a 和 b 方向互相垂直
【答案】B 【解析】
D． a 和 b 之间夹角的正切值为 5
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可．
【详解】
∵已知 a ， b 为非零向量，如果 b ＝﹣5 a ，
∴ a ∥ b ， a 与 b 的方向相反，
故选：B． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题目中给的已知条件 与 是平行向量，可得 AB 与 CD 是平行的，且不确定 与
第02讲 平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版
第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算 叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和 记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是 向量的相加满足三角形法则 而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等 方向相反的向量 叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量 则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形 可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量． 故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形 则下列等式中成立的是（ ） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质 结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误； 对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ； （2）AB BC CD DE EF ++++= ； （3）AB CB AC --= ； （4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ． 【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=； （3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=； （4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图 已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示 在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法 一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量 共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥； 由a b ∥得a 与b 方向相同或相反 模长不一定相等 所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（ ） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念 以及向量加减法的运算律 即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量 则下列说法错误的是（ ） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同 【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知 只有当非零向量,a b 同向时 有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时 有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ． 二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算 结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是； 对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是； 对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线 且1==a b 则+=a b ． 【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量 据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线 且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量 当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+． 故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示 中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是 三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果 再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三 、向量的数乘运算 一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（ ） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍． 故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中 点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（ ）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形 故43ABCACEFSS =四边形 又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时 四边形ACEF 面积最大 最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点 且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中 对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形 所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中 点G 在AC 上 且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量 求向量x y ． 【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线 向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（ ）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理 由向量平行 求得x 满足满足的方程 求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量 则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ． 故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线 则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线 由此结合向量的相等列式求解 即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线 故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量 若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线． 故选：B ． 二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点 且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中 点D 在线段AB （不含端点）上 且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上 故,,A D B 三点共线 所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时 即21,22x y =-=-时取等号 故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示 在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点 若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为 ．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线 所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点 且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点 且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线 得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线 故69177λλ+=++ 解得8λ=． 故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线 求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线 即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线 则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图 在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点 且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线 所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图 在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点 求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。
向量的线性运算经典测试题及答案
向量的线性运算经典测试题及答案一、选择题1．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.2．若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( ) A ．｜2｜＞｜-2｜ B ．｜2｜＜｜-2｜ C ．｜2｜＞｜2-｜ D ．｜2｜＜｜2-｜【答案】A 【解析】 【分析】对非零向量、共线与否分类讨论，当两向量共线，则有，即可确定A 、C 满足；当两向量不共线，构造三角形，从而排除C ，进而解答本题. 【详解】解：若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， 故可以构造三角形，使其满足OB=AB=BC ；令，，则，∴且；又BA+BC>AC ∴∴.故选A.【点睛】本题考查了非零向量的模，针对向量是否共线和构造三角形是解答本题的关键.3．在中，已知是边上一点，，则( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据A，B，D三点共线得出入的值,即可完成解答.【详解】解：在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，，则，∴，故选A.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.4．已知向量，且则一定共线的三点是( ) A．A、B、D B． A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【解析】【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点【详解】解：由向量的加法原理知所以A、B、D三点共线.【点睛】本题考点平面向量共线的坐标表示，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于向量知识的应用题，也是一个考查基础知识的基本题型.5．下列等式正确的是（ ） A ．AB +BC ＝CB +BA B ．AB ﹣BC ＝ACC ．AB +BC +CD ＝DA D ．AB +BC ﹣AC ＝0【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形法则即可判断. 【详解】∵AB BC AC +=，∴0AB BC AC AC AC +-=-= ， 故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.6．下列判断不正确的是（ ） A ．如果ABCD ，那么ABCDB ．+＝+C ．如果非零向量a b(0)k k ，那么a 与b 平行或共线D ．AB BA【答案】D【解析】 【分析】根据模的定义，可判断A 正确；根据平面向量的交换律，可判断B 正确；根据非零向量的知识，可确定C 正确；又由0AB BA可判断D 错误【详解】 A 、如果ABCD ，那么AB CD =，故此选项正确；B 、a b b a +=+，故本选项正确；C 、如果非零向量a b(0)k k，那么a 与b 平行或共线，故此选项正确；D 、0AB BA，故此选项错误；故选：D ．【点睛】此题考查的是平面向量的知识，掌握平面向量相关定义是关键7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=B ．00a ⋅=C ．()a b b a -=-- D ．km k m =【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=，故本选项错误； B. 00a ⋅=，故本选项错误； C. ()a b b a -=--，故本选项正确； D. km k m =⋅，故本选项错误. 故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．8．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =，AC b =，则AM 等于（ ）．A ．()12a b - B ．()12b a - C ．()12a b + D ．()12a b -+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-，然后根据中线的定义可得：()12CM a b =-，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM . 【详解】解：∵AB a =，AC b = ∴CB AB AC a b =-=-∵AM 是ABC △的边BC 上的中线∴()1122CM CB a b ==-∴()()1122AM AC CM b b b a a -=+=+=+ 故选C.【点睛】此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，=，=，=，则（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；；而 ；∴B 正确. 故选B. 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.10．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=B ．a b b a +=+C ．如果()0a k b k =⋅≠，那么b 与a 平行D ．如果a b =，那么a b = 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠，根据实数与向量乘积的意义可知：a ∥b ，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =，但a 与b 方向不同，则a b ≠，所以D 选项错误. 故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.11．已知e →为单位向量，a =-3e →，那么下列结论中错误．．的是（ ） A ．a ∥e → B ．3a =C ．a 与e →方向相同D ．a 与e →方向相反【答案】C 【解析】 【分析】由向量的方向直接判断即可. 【详解】解：e 为单位向量，a =3e -，所以a 与e 方向相反，所以C 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了向量的方向，是基础题，较简单.12．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =，AD n =，那么下列选项中，与向量()12m n +相等的向量是（ ）.A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==，然后由三角形法则，求得AC 与BD ，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==，∴AC ＝AB BC m n +=+，=BD AD AB n m -=-， ∴()11=-22OA AC m n =-+，()11=22OC AC m n =+ ()11=-22OB BD n m =--，()11=22OD BD n m =-故选：C ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．13．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD = B ．AC BD =C ．AO OD =D ．BO OD =-【答案】C 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-，故该选项错误；B. AC BD =，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =，故该选项正确；D. BO OD =，故该选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．14．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0aB ．如果a +b =2c ，a -b =3c ，其中0c ≠，那么a ∥bC ．设e 为单位向量，那么|e |=1D ．如果|a |=2|b |，那么a =2b 或a =-2b 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】A 、0•=0a ，故本选项不符合题意．B 、由a +b =2c ，a -b =3c 得到：a ＝52c ，b ＝﹣12c ，故两向量方向相反，a ∥b ，故本选项不符合题意．C 、e 为单位向量，那么|e |=1，故本选项不符合题意．D 、由|a |=2|b |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意． 故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．15．下列说法不正确的是( ) A ．设e 为单位向量，那么||1e =B ．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =-，那么//a bC ．四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设e 为单位向量，那么||1e =，此选项说法正确；B. 已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =-，那么//a b ，此选项说法正确；C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．16．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a //b B ．a -2b =0C ．b =12a D ．2ab =【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误. 故选B.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =- B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D 【解析】 【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意； B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意； C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意； D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a = B ．e b b =C ．1a e a=D ．11a b a b= 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.19．已知a 、b 、c 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b 的是（ ） A ．a b = B ．3a b =C ．//a c ，//b cD ．2,2a c b c ==-【答案】A 【解析】 【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】解：A 、||||a b =只能说明a 与b 的模相等，不能判定a ∥b ，故本选项符合题意; B 、3a b =说明a 与b 的方向相同，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; C 、a ∥c ，b ∥c ，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意;D 、2a c =，2b c =-说明a 与b 的方向相反，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．20．化简OP QP PS SP -++的结果等于（ ）． A ．QP B ．OQC ．SPD ．SQ【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++ =Q O ， 故选B. 【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.。
初中数学向量的线性运算基础测试题含答案(1)
初中数学向量的线性运算基础测试题含答案(1)一、选择题1．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++r r r r r rB ．()()330a b b a ++-=rr r rC ．2AB BA AB +=u u u r u u u r u u u rD ．3544a b a b a b ++-=-r r r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可. 【详解】A 、()222a b c a b c ++=++r r r r rr ，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-r r r r rr r r r ，故B 选项错误；C 、0AB BA +=uu u r uu r r，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-r r r r r r ，故D 选项正确；故选D. 【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( )A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案.【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．在四边形ABCD 中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形【解析】 【分析】利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD ∥BC ，AD=2BC ，据梯形的定义得到选项.【详解】 解：∵，∴，∴AD ∥BC ，AD=2BC. ∴四边形ABCD 为梯形. 【点睛】本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.4．已知a r、b r和c r都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b rr 的是( ) A ．2a b =r rB ．//a c r r，//b c r rC ．||||a b =r rD ．12a c =r r ，2bc =r r【答案】C 【解析】 【分析】由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】A 选项：由2a b =rr，可以推出//a b rr．本选项不符合题意；B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r．本选项符合题意；D 选项：由12a c =r r ，2bc =r r ，可以推出//a b rr ．本选项不符合题意；故选：C ． 【点睛】考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．5．已知a r 、b r为非零向量，下列判断错误的是（ ）A ．如果a r ＝3b r ，那么a r ∥b rB ．||a r＝||b r ，那么a r ＝b r 或a r ＝-b u u rC ．0r的方向不确定，大小为0D ．如果e r 为单位向量且a r ＝﹣2e r ，那么||a r＝2【解析】 【分析】根据平面向量的性质解答即可． 【详解】解：A 、如果a r ＝3b r ，那么两向量是共线向量，则a r ∥b r，故A 选项不符合题意．B 、如果||a r ＝||b r ，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故B 选项符合题意．C 、0r的方向不确定，大小为0，故C 选项不符合题意．D 、根据向量模的定义知，||a r＝2|e r |＝2，故D 选项不符合题意．故选：B ． 【点睛】此题考查的是平面向量,掌握平面向量的性质是解决此题的关键.6．若向量a r与b r均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．A ．a b =r rB ．1a =rC ．1b =rD ．a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】由向量a r 与b r 均为单位向量，可得向量a r 与b r的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量a r与b r均为单位向量， ∴向量a r与b r的模相等，∴a b =r r.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列选项与1122a b -+rr 相等的向量是（ ）．A ．MA u u u rB ．MB u u u rC ．MC u u u u rD ．MD u u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r,M 分别为AC 、BD 的中点,∴()11112222a M AC ab A b =+==----u u u r u u u r r rr r ，故A 不符合题意；()11112222MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r rr r ，故B 不符合题意；()11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r rr ，故C 不符合题意；()11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r rr r ，故D 符合题意.故选D.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.8．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r【答案】A 【解析】试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，＝12a b +rr ．故选A ．考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+＝B ．++＝0C ．+＝D ．+＝【答案】C 【解析】 【分析】由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,+＝故选：B. 【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.10．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a r、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r②对于实数m 、n 和向量a r，恒有()m n a ma na -=-r r r③若ma mb =r r （m 是实数）时，则有a b =r r ④若ma na =r r （m 、n 是实数，0a ≠r r ），则有m n =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可. 【详解】①对于实数m 和向量a r 、b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r ，正确；②对于实数m 、n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r，正确； ③若ma mb =rr（m 是实数）时，则有a b =rr，错误，当m=0时不成立； ④若ma na =r r（m 、n 是实数，0a ≠rr），则有m n =，正确； 故选C.本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．11．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a r r（）＝（）B ．m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝ D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.12．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r，故本选项错误.故选D.本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.13．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r为（ ）A ．3a e =v vB ．3a e =-v vC ．3e a =v vD ．3e a =-v v【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的定义解答即可． 【详解】解：∵向量e r为单位向量，向量a r与向量e r方向相反， ∴3a e r r=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（ ）A ．||＝2||B ．是与方向相同的单位向量C ．2-＝D ．∥【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的模和向量平行的定义解答． 【详解】 A 、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误． B 、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误． C 、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误． D 、由＝-得到∥，故本选项说法正确．故选D ． 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．15．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r的结果是（ ）．A ．CA u u u rB ．AC u u u r C ．0rD ．AE u u u r【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u rAE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u rAC =u u u r ，故选：B ． 【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．16．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r等于（ ）A ．1122a b +r rB ．1122a b --r rC ．1122a b -r rD ．1122a b -+r r【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得12OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，即可求得OD uuu r的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD=12BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ，∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222a b a b -+=-+r r r r故选：D ． 【点睛】此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．17．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v，那么下列说法错误的是（ ）A ．a r∥b rB ．|a r |=2C ．|b r |=﹣2|a r |D ．a r =﹣12b r【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v，4b e =vv，∴//a b v v ，2a =v ， 4b =v ，12a b =-v v ， 故C 选项错误，故选C.18．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．19．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a r //b rB ．a r -2b r =0C ．b r =12a rD ．2a b =r r【答案】B 【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv-= 故错误. 故选B.20．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r的结果等于（ ）．A ．QP uuu rB ．OQ uuu rC ．SP u u rD ．SQ u u u r【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r=Q O uuu r，故选B.【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.。
向量的线性运算技巧及练习题
向量的线性运算技巧及练习题一、选择题1. 下列条件中，不能判定a// b的是().r r r r r r r r r rA. a//c,b//cB. |a | 31 b |C. a 5bD. a 2b 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可.【详解】解：A、由a〃c,b〃c推知非零向量a、b、c的方向相同，贝y a〃b，故本选项不符合题意.B、由| a | 31 b |只能判定向量a、b的模之间的关系，不能判定向量a、b的方向是否相同，故本选项符合题意.c、由r a r , r r5b可以判定向量a、b的方向相反，则r r ,a//b，故本选项不符合题意r r r r r rD、由a2b可以判定向量a、b的方向相同，贝U a//b，故本选项不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量.2. 四边形ABCD中，若向量 G与…是平行向量，则四边形ABCD ()A. 是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形【答案】C【解析】【分析】根据题目中给的已知条件山与厂门是平行向量，可得AB与CD是平行的，且不确定■小与陵的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案【详解】根据题意可得AB与CD是平行的，且不确定与-门的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形•故答案为：C.【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3. 下列等式正确的是（）uun uuu uur uuu A. AB + BC = CB+ BA uuu uuu uuu B. AB—BC =ACuuu uuu uuu uuuuuu uuu uuu r c. AB+BC +CD = DAD . AB + BC - AC = 0【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形法则即可判断• 【详解】uuu uur uur T AB BC AC ，uuur uuu uuur uuur uuur r •- AB BC AC AC AC 0，故选D . 【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则5.下列命题：c ，则 c a ；〃c ，贝y a 〃c ；r r r r 亠 r r③若 I a |=2| b l ，则 a 2b 或 a = - 2b ；④ 若；与b 是互为相反向量，则 5 + b =0.其中真命题的个数是（）uuu uuuAB 模长为-.3, BC 模长为1，则向量（uuu uuu uur AB + BC +AC )的长度为（）A . 2B . 4【答案】 B【解析】【分析】ujur uuu uuu uu 先求出， AC AB BC ，然后 AB uuuuuu uur 的长度为 (AB + BC + AC )【详解】uuu .3,| uurQ| AB| uur|AC| BC| 1,(■ 3)2 12 2uur iuu iuu Q AC AB BCuuu uur uur uur AB BC AC 2AC uuu uur uuu uuu| AB BC AC| |2AC | 2 2C. .3 1D . ..3 1BC AC 2AC ，利用勾股定理即可计算出向量rb rb r b rb ra r a若若①②4.在矩形ABCD 中，如果故选：B. 【点睛】4A ．1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【答案】 C 【解析】【分析】 根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】① 若 ar b r， b r c r ，则 c r a r ，正确；反；r r r r④ 若 a 与 b 是互为相反向量，则 a +b =0，正确．综上所述，真命题的个数是 3 个． 故选 C ．6．下列说法正确的是（ ）． A. —个向量与零相乘，乘积为零 B. 向量不能与无理数相乘C. 非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】 D 【解析】【分析】 根据平面向量的定义和性质进行判断. 【详解】解： A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量 .故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘 .故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短 .故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确 .故答案是： D.【点睛】 考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题.7.下面四个命题中正确的命题个数为（）.r rrr① 对于实数 m 和向量 a 、 b ，恒有 m ama mbr② 对于实数 m 、 n 和向量 a ，恒有 m r na r mar na③ 若 ma r mb （ m 是实数）时，则有 a rr b④ 若 ma r na r （ m 、 n 是实数， a r 0r） ，则有m n② 若a 〃 b ③ 若| a r |=2|rcrb | ，则 a r则a ii c ，正确；2ib 或5 = - 2|b ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相A. 1个B . 2个【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的性质依次判断即可根据平面向量计算法则依次判断即可 【详解】r r r r rr A 、2 a b c 2a 2b c ，故A 选项错误;rr r r r r rr r B 、3 a b 3 b a 3a 3b +3b 3a=6b ，故 B 选项错误;uur uir r故C 选项错误；C 、 ABBA 0， D 、 a b3a r5b 4a 4【，故D 选项正确； 故选D.【点睛】 本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键9. O\BCD 中，益三I 等于（） A.㈡ B . /■' |【答案】A 【解析】 【分析】C. 3个 D . 4个【详解】①对于实数m 和向量a 、mra mr r r② 对于实数 m 、n 和向量5，恒有 m n a ma na ，正确； ③ 若m a mb （ m 是实数）时，则有 a b ，错误，当m=0时不成立; ④ 若ml n$ （ m 、n 是实数，a 0），则有m n ，正确； 故选C. 【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键.& 下列各式正确的是（ ）.r r r 小 r J r A . 2 ac 2a b cuuu uur uuu C AB BA 2AB【答案】 D【解析】【分析】B. 3 a b 3 b a 0 D . a b 3ai 5b 4ai 4bram有叵在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要 么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零 向量，得到结果. 【详解】T 在平行四边形 ABCD 中，小 与R ：是一对相反向量，・ I < i ■. i* || *. 斗-g +j ； i = m+ i：,故选A . 【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出10.已知非零向量a 、b 、c ，在下列条件中，不能判定a 〃b 的是()分析：根据平面向量的性质即可判断.uir r•- a Pb ，故本选项，不符合题意; B.r r r ruir r••• a =2c, b =3C ，二a Pb ，故本选项，不符合题意；C.r ruur r••• a = - 5b ，二a Fb ，故本选项，不符合题意；D.r rurra |=2|b I ，不能判断a Pb ，故本选项，符合题意.故选D .点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键.r r rr r11. 已知a 、b 、c 都是非零向量，如果 a 2c , b 2C ，那么下列说法中，错误的是()r r r r7r rA . a//bB . a bC . BD D . a 与 b 方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答 .【详解】川与777 是一对相反向量〃r aA-r b5 r aG rc3 rb rc 2 r aBD . |a| 2|b|rcr brG解：已知v=2c , 2，故V I D是长度相同，方向相反的相反向量，uuu r ••• AB a ，r r uuuuuiu uur •'•a b = AB + BC =AC .故选B .13.下列说法正确的是（ ）r rrC. 如果|a| |b |，那么ar r a//b【答案】D 【解析】【分析】 根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案 【详解】r r A . a ( a) 0B .如果a 和b 都是单位向量，那么故A,B,D 正确，向量之和是向量，C 错误, 故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正 确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确•uuu r uu r , r r — 如果AB a ， AD b ，那么ab 等于(iuur C.DBuuu D .CA【解析】【分由四边形ABCD 是平行四边形，可得 则，即可求得答案. 【详解】AD=BC, AD// BC,则可得BC b ，然后由三角形法解：•••四边形ABCD 是平行四边形, • AD=BC, AD / BC ,rbD . a1lb （ b 为非零向量），那么 2【答案】B A . BDB . AC切r r. ,解：A 、a （ a ）等于0向量，而不是o ,故A 选项错误；B 、如果；和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 如果|a| |b|，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；r1 r r 二r r ,D 、如果ab （ b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到 a//b ，故D 2选项正确• 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注 意向量的加减结果都是一个向量14. 在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（【答案】DuuuUULTuuiuuuuUUuuu A . AB CD B . AC BDC. AOODUHT D . BOuur OD【答案】 【解析】 【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可. 【详解】相等向量： uuu A. ABuuur B. AC 长度相等且方向相同的两个向量uuuCD ，故该选项错误； uuurBD ，但方向不同，故该选项错误; C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以uuu uuuD. BO OD ，故该选项错误； 故选：C.【点睛】UULT uuu AO OD本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键.15.下列有关向量的等式中，不一定成立的是uuu umA . AB BA uuu uuu uuur C. AB + BC = AC)uuu B . AB uuu D . AB uur BAuiurBCuu u ABuu u BCBC ，故该选项正确;【解析】 【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解故答案为D. 【点睛】 此题主要考查向量的运算，熟练掌握，即可解题.UUUT T UUT T16. 已知点C 在线段AB 上，AC 3BC ，如果AC a ，那么BA 用a 表示正确的是（）3 T 3 T 4T 4T A . — aB .a C. — aD .a 44 33【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案 •【详解】UULT T •••点 C 在线段 AB 上，AC 3BC , AC a ,4二 BA=—AC ,3UUU UUU••• BA 与AC 方向相反，UUT 4 T二 BA = §a ，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键17.已知e 是单位向量，且a 2& V 4$，那么下列说法错误的是（）T T TT T T 1 T A. a 〃 bB . | a 1=2C. | b l= - 2| a lD . a =—匚b2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】【详解】A 选项,B 选项,C 选项,D uu u AB um ABuuuBA ，成立; ULTBA ，成立; UUU UUU UULT 、 AB + BC = AC ，成立;UUU UUU AB BC UU U ABUUUBC 不 定成立;解：••• e 是单位向量，且a 2e , bv 4e , v//b ，肖 2, |b| 4, a 1b , 故C 选项错误，故选C.r r rr r18.已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定 aPb 的是（）r r r r r r A . a2bB .a cb 3cr r r r r rrrC. a 2b c ， a b cD .a 2 b【答案】D 【解析】 【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法 求 【详解】A 、 a 2b ，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；r r r r r r r ,B 、 a c ， b 3c ，则a 〃 b ” c ，故本选项错误；C 、 由已知条件知2a b ， 3a ：，则a 〃 b 〃 ：，故本选项错误；r rD 、 a 2 b 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一 「定平行，故本选项正确. 故选：D . 【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键.19. 如图，在 AABC 中，点D 是在边BC 上，且BD = 2CD, M ="，川’，那么」门等于【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加法即可解答 【详解】解：根据题意得 而=%,3一 _. _ _ 2_AD = AB + B 卫= “ + — b .____ 2JD. MD =H +—bC—2 一 2 亠B .山。
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向量的线性运算技巧及练习题一、选择题1．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）．A ． //a c ,//b cB ．||3||a b =C ． 5a b =-D ．2a b =【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的性质进行逐一判定即可．【详解】解：A 、由//a c ,//b c 推知非零向量a 、b 、c 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意．B 、由||3||a b =只能判定向量a 、b 的模之间的关系，不能判定向量a 、b 的方向是否相同，故本选项符合题意．C 、由5a b =-可以判定向量a 、b 的方向相反，则//a b ，故本选项不符合题意．D 、由2a b =可以判定向量a 、b 的方向相同，则//a b ，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量．2．四边形ABCD 中，若向量与是平行向量，则四边形ABCD ( ) A ．是平行四边形B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形【答案】C【解析】【分析】 根据题目中给的已知条件与是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与的大小，所以有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形.故答案为：C.【点睛】此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.3．下列等式正确的是（ ）A ．AB +BC ＝CB +BA B ．AB ﹣BC ＝ACC ．AB +BC +CD ＝DAD ．AB +BC ﹣AC ＝【答案】D【解析】【分析】根据三角形法则即可判断.【详解】∵AB BC AC +=，∴0AB BC AC AC AC +-=-= ，故选D ．【点睛】 本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.4．在矩形ABCD 中，如果ABBC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ）A ．2B ．4 C1 D1【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．下列命题：①若a b =，b c =，则c a =；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0．其中真命题的个数是（ ）【答案】C【解析】【分析】 根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】①若a b =，b c =，则c a =，正确；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，正确；③若|a |=2|b |，则2a b =或a =﹣2b ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相反；④若a 与b 是互为相反向量，则a +b =0，正确．综上所述，真命题的个数是3个．故选C ．6．下列说法正确的是（ ）．A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义和性质进行判断．【详解】解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误；B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确.故答案是：D.【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．7．下面四个命题中正确的命题个数为（ ）．①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =【答案】C【解析】【分析】 根据平面向量的性质依次判断即可.【详解】①对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-，正确；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-，正确；③若ma mb =（m 是实数）时，则有a b =，错误，当m=0时不成立；④若ma na =（m 、n 是实数，0a ≠），则有m n =，正确；故选C.【点睛】本题考查平面向量知识，熟练掌握平面向量的基本性质是解决本题的关键．8．下列各式正确的是（ ）．A ．()22a b c a b c ++=++B ．()()330a b b a ++-= C ．2AB BA AB +=D ．3544a b a b a b ++-=- 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量计算法则依次判断即可.【详解】 A 、()222a b c a b c ++=++，故A 选项错误；B 、()()3333+33=6a b b a a b b a b ++-=+-，故B 选项错误；C 、0AB BA +=，故C 选项错误；D 、3544a b a b a b ++-=-，故D 选项正确；故选D.【点睛】本题是对平面向量计算法则的考查，熟练掌握平面向量计算法则是解决本题的关键.9．□ABCD 中， -+等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD 中，与 是一对相反向量， ∴ = - ∴ -+=- + =， 故选A ．【点睛】 此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出 与 是一对相反向量.10．已知非零向量a 、b 、c ，在下列条件中，不能判定a //b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．2a c =，3b c =C ．5a b =-D ．||2||a b =【答案】D【解析】分析：根据平面向量的性质即可判断．详解：A ．∵a ∥c b ，∥c ，∴a b ，故本选项，不符合题意；B ．∵a =2c b ，=3c ，∴a b ，故本选项，不符合题意；C ．∵a =﹣5b ，∴a b ，故本选项，不符合题意；D ．∵|a |=2|b |，不能判断a b ，故本选项，符合题意．故选D ．点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．11．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，2b c =-，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a bB ．a b =C ．72BD = D ．a 与b 方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：已知2a c ＝，2b c -＝，故a b ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误，故选C.【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．13．下列说法正确的是（ ）A ．()0a a +-=B ．如果a 和b 都是单位向量，那么a b =C ．如果||||a b =，那么a b =D ．12a b =-（b 为非零向量），那么//a b【答案】D【解析】【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b 都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =-（b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D. 【点睛】 本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.14．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =B ．AC BD = C ．AO OD = D ．BO OD =- 【答案】C 【解析】【分析】 根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．A. AB CD =-，故该选项错误；B. AC BD =，但方向不同，故该选项错误；C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =，故该选项正确；D. BO OD =，故该选项错误；故选：C ．【点睛】 本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键． 15．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A ．AB BA =- B ．AB BA =C ．AB BCAC D ．AB BC AB BC +=+【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质，逐一判定即可得解.【详解】A 选项，AB BA =-，成立；B 选项，AB BA =，成立；C 选项，AB BC AC ，成立；D 选项，AB BC AB BC +=+不一定成立；故答案为D.【点睛】此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.16．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键. 17．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ） A ．a ∥bB ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b 【答案】C【解析】【分析】【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =，∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误， 故选C.18．已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a b 的是（ ） A ．2a b =-B ．a c =，3b c =C ．2a b c +=，a b c -=-D ．2a b =【答案】D【解析】【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A 、2a b =-，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；B 、a c =，3b c =，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；C 、由已知条件知2a b =-，3a c -=，则a ∥b ∥c ，故本选项错误；D 、2a b =只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a 与b 不一定平行，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．19．如图，在△ABC 中，点D 是在边BC 上，且BD ＝2CD ，＝，＝，那么等于（ ）A ．＝＋B ．＝＋C ．＝－D ．＝＋【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的加法即可解答.【详解】解：根据题意得＝, ＋ .故选D.【点睛】本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.20．下列结论正确的是（ ）．A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量B ．若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量D ．计算向量的模与单位长度无关【答案】C【解析】【分析】根据单位向量的定义及意义判断即可.【详解】A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；B. AB 是单位向量时，1AB =，而此时1AB BA ==，即BA 也是单位向量，故选项B 不正确；C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA 、OB 都等于这个单位长度，这时OA 、OB 都是单位向量，故选项C 正确；D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确.故选C.【点睛】本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.。