初中常见动点问题解题方法73099

（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果
能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？
请说明理由.
（1）求证：AE=DF
1单位/s
解析：
在△DFC中，
∵∠DFC=90o，∠C=30o，
DC=2t,
AE
∴DF=t
t
又∵AE=t，∴AE=DF。
O
Q
A
OP= OP' =OP'' =10
∴△PQR周长的最小值= P'P'' =
P ''
F
练习
1. 如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内
部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB
上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（ ）
A．30°
B.45°
C.60°
D.90°
2. 如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2，
∵ AB2 BC2 AC2
∴ X2 5 3 2 2X2
解得x= 5 ,即AB= 5 ,AC=10.
B
∴若使平行四边形AEFD为菱形， 则即须当At=D13=0 A时E，，四即边t=形10AE-2FtD, 为t=菱13形0 。
10-2t
t
2t
30o
D
F
C
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN
的周长最小为（ ）
A．2√6
B.6
C. √6/2
D. √6
两个动点（二）
特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共 线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距 离和最小值。
思路：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动 点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段 最短） （2）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直 线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段 的长。
例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一
点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，
求△PQR周长的最小值是__1_0___2____ 。
解析：
E
过OB作P的对称点 P' 过OA作P的对称点 P''
连接 OP'，OP'' 连接 P'P'' 与OB，OA的交点即为R、Q
P'
B
RP
｛ 由对称性知： PR+PQ+RQ=P'P'' ∠ P'O P'' = 90°
B
AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，
沿着AD的方向向终点D以每秒一个
单位的速度运动，当点P在AD上运 P
动时，设运动时间为t，求当t为何值
时，四边形APCB为平行四边形.
A
解析
∵四边形APCB为平行四边形
B
6
∴ AP=6 t=6
t
A
P
C D
C D
动点构成特殊图形解题方法
1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状 态时几何元素的关系，以及可求出的量
解析
1单位/s
①当∠EDF=90o时
若∠EDF=90o时，则四边形EBFD为矩形
在Rt△AED中，
AE
∵∠ADE=∠C=30o ,
∴AD=2AE
t
即10-2t=2t,t=
10-2t
30o
B
F
53
2单位/s
30o
2t
30o
D
C
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解析：
②当∠DEF=90o时
初中常见动点问题解题方法
唐江红旗学校 张远强
引言
以运动的观点探究几何图形部分规律的问题， 称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学 中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形 中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图 形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些 元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某 部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和 关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的 规律可寻.
解析：
C
作点N关于AD的对称点 N ' 此时BM＋MN＝BM＋M N '
要使BM＋MN ' 最小 则要满足：① B，M，N ' 三点共线
②B N 垂' 直于 AC
÷ ∴ BM+MN的最小值＝ BN '=AB
N'
M
D
B
A
N
N'
C
MD
A
NB
练习
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4， ∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________
2单位
/s
30o
5
综上所述，当t= 5 或t=4时△DEF为直角三角形
2
AE
30o
D
BF
C
小结
在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点”探究题的基本思路,这也是动态 几何数学问题中最核心的数学本质。
由（2）知EF∥AD
∴∠ADE=∠DEF=90o ∵∠A=90o-∠C=60o ∴AD= 1 AE
2 即10-2t= 1 t
2 则t=4
1单位Hale Waihona Puke Baidus
2单位/s
30o
5
AE 10-2t
60o
t
2t
B
F
30o
D
C
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解析：
1单位
/s
③当∠EFD=90o时, 此种情况不存在。
常见的动点问题 一、求最值问题 二、动点构成特殊图形问题
一、求最值问题
初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图 形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解 决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三 个：
（1）两点之间线段最短； （2）三角形两边之和大于第三边； （3）垂线段最短。 求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的 最值问题，两个动点的最值问题。
例 、如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，
∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上 的动点，则BM+MN的最小值是 ________
例 、如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，
∠的B动A点C的，平则分BM线+交MBNC的于最点小D值,M是、_N_分_４_别__是_A_D、AB上
A．15°
B.22.5°
C.30°
D. 45°
2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2， BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得 最小值时，△APD中AP边上的高为 _________
3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C 在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°，P是OB上 的一动点，则PA+PC的最小值是________
2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意 的图形———化动为静
3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决 问题时所需要的条件用含t的代数式表示出
来4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系， 找出等量关系列出方程来解决动点问题
例题讲解
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3，∠C=30°.点 D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运 动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向 点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之 停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作 DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
两个动点（一）
特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间， 分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。
思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同 一直线上来解决。
例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一
点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值是__________ 。
满足最值的位置。 2 3
p
考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等 边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称 点就在这个图形上。
练习
1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，
F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，
当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形, 所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别 要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形 的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之 间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或 函数关系解决。
问题导入
如图：梯形ABCD中，AD//BC，
B
53
2单位/s
30o
t
2t
30o
D
F
C
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由.
解析：
1单位/s
能，理由如下，
2单位/s
由（1）知AE=DF ∵AB⊥BC，DF⊥BC，
30o
53
∴AE ∥DF
∴四边形AEFD为平行四边形。
AE
在Rt△ABC中，
t
设AB=x, 则AC=2x,
一、求最值问题
一个动点
例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边 三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P， 使PD+PE的值最小，则其最小值是 ______
特点： 思路：
已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一 动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。
解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点， 连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点
2. 在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°， ∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB 上动点，则BM+MN的最小值是 _________ ．
小结
以“搬点移线”为主要方法，利用轴 对称性质求解决几何图形中一些线段和最 小值问题。如何实现“搬点移线”
（1）确定被“搬”的点 （2）确定被“移”的线