华东理工大学概率论答案-2
华东理工大学概率论答案-11,12
第十一次作业一．填空题：1．设随机变量(,)X Y 的概率密度为()0,(,)0x y ae x y f x y -+⎧<<+∞=⎨⎩，，其他，则a =1 ，(2,1)P X Y ≤≤ 1231e e e -----+ 。
2．若二维随机变量(,)X Y 的联合分布列为则随机变量(,X Y 的联合分布函数为0,001/6,01,01(,)5/12,01,11/2,1,011,1,1x o r y x y F x y x y x y x y <<⎧⎪≤<≤<⎪⎪=≤<≥⎨⎪≥≤<⎪≥≥⎪⎩ 二. 计算题1. 设二维随机向量(,)ξη仅取(1,1),(2,3),(4,5)三个点，且取它们的概率相同，求(,)ξη的联合分布列。
解：2. 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件，现在从中随机抽取一件，记11,230i i X i ⎧==⎨⎩抽到等品（，，）其他试求随机变量12X X 和的联合分布。
解：令"1,2,3i A i i ==抽到等品"，,则123,,A A A 两两不相容.123()0.8,()()0.1P A P A P A === 123(0,0)()0.1P X X P A ==== 122(0,1)()0.1P X X P A ==== 121(1,0)()0.8P X X P A ==== 12(1,1)()0P X X P φ====3． 将一硬币抛掷3次，X 表示3次中出现正面的次数，Y 表示3次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值，求X 和Y 的联合分布率。
解：当连抛三次出现三次反面时，),(Y X 的取值为)3,0(；出现一次正面两次反面时，),(Y X 的取值为)1,1(； 出现两次正面一次反面时，),(Y X 的取值为)1,2(； 出现三次正面时，),(Y X 的取值为)3,3(。
概率论课本答案2(龙版)
第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。
4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。
Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。
P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。
778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。
华东理工大学网教概率论与数理统计(本)2期末复习题及参考答案
概率论与数理统计（本）模拟2一、判断题（共8题,每题4分,共32分）1. 设为两随机事件，则。
（）（4分）( )答案：正确2. 设离散型随机变量的概率分布为:且E=0.2，则。
（）（4分）( )答案：错误3. 已知二维随机变量的概率分布为:则,是相互独立。
（）（4分）( )答案：错误4. 有效性、一致性、无偏性是衡量估计量好坏的三个标准。
（）（4分）( )答案：正确5. 已知独立且服从于相同的分布，若令，则。
（）（4分）( )答案：错误6. 样本取自总体,则可作为的无偏估计量的是。
（）（4分） ( )答案：错误7. 当随机变量的可能值充满区间，则可以成为的概率密度。
（）（4分） ( )答案：正确8. 将6本不同的中文书和4本不同的外文书任意放到书架上去，排成一列，则4本外文书放在一起的概率为（）（4分） ( )答案：正确二、单选题（共8题,每题4分,共32分）1. 已知随机变量～，且，，则二项分布的参数的值分别为（）。
（4分）A.B.C.D.答案：B2. 设随机变量的密度函数为，则等于（）。
（4分）A.B.C.D.答案：C3. 设为两个随机变量，满足，则（）不一定成立。
（4分）A.B.C.D.答案：D4. 设随机变量的分布函数为则的数学期望为（）。
（4分）A.1B.C.D.2答案：D5. 设、为任意两个事件，且，，则下列结论中必然成立的是（）。
（4分）A.B.C.D.答案：B6. 假设事件与满足，则下列结论中正确的是（）。
（4分）A.是必然事件B.C.D.答案：B7. 设事件与的概率均大于零小于1，且与相互独立，则有（）。
（4分）A.与互不相容B.与互不相容C.与相容，即D.与互不相容答案：C8. 已知，，，则事件、、全不发生的概率为（）。
（4分）A.B.C.D.答案：A三、问答题（共3题,每题12分,共36分）1. 已知随机变量只能取-1、0、1、2四个值,其相应的概率依次为c,2c,3c,4c.求:（1）常数c；（2）（3）的概率分布。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
华东理工大学-概率论与数理统计-附参考答案
华东理工大学《概率论与数理统计》课程 期末考试试卷开课学院：理学院，专业：数学系 考试形式：闭 卷，所需时间120分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一、填空题（每题4分，共计24分）1、设随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨>⎪⎩,则)211(<<-X P ＝ 0.5 ，2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且(1)(2)1E x x --=，则λ＝ 13、用(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 表示概率(0)P Y a <≤＝(,)(,0)F a F +∞-+∞4、已知随机变量221122~(,),~(,),X N Y N μσμσ且相互独立，设随机变量Z X Y =+，则~Z 221212(,)N μμσσ++ 5、121,,,n X X X 为X 的样本，~(0,)X U θ，记11n i i X X n ==∑，则EX ＝ 2θ6、设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，1215,,,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，则随机变量221102211152()X X Y X X ++=++～(10,5)F二、选择题（每题3分，共计24分）1、设A 和B 是两个互斥事件，()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的（ D ） （A ）()()P A B P A =； （B ）A 与B 不相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()0P A B =2、已知随机事件,A B 为两相互独立的随机事件，()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，则()P B＝（ B ） （A ）21; （B ）31; （C ）41; （D ）513、已知5)2(=+ηξD ，1)2(=-ηξD ，则ξ与η的协方差=),(Cov ηξ （ D ）。
（A ）0.2; （B ）0.3; （C ）0.4; （D ）0.5 4、已知离散型随机变量ξ的概率分布为用切比雪夫不等式估计 ≥<-}5.1{ξξE P （ D ） 。
（完整版）概率论第二章答案
（完整版）概率论第⼆章答案习题2-21. 设A 为任⼀随机事件, 且P (A )=p (01,,0,A X A =??发⽣不发⽣.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠13571,24816c c c c+++= 所以3716c=. 所求概率为 P {X <1| X0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的⼆项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的⼆项分布, 若{P X ≥51}9 =, 求{P Y ≥1}.解注意p{x=k}=kk n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213qp =-=. 从⽽{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独⽴的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知⾄少成功⼀次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解设每次试验成功的概率为p , 由题意知⾄少成功⼀次的概率是2719，那么⼀次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解由泊松分布的分布律可知6=λ.6. ⼀袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表⽰取出的3只球中的最⼤号码, 写出随机变量X 的分布律.解从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表⽰3个数中的最⼤值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表⽰取出的3个数以3为最⼤值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表⽰取出的3个数以4为最⼤值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表⽰取出的3个数以5为最⼤值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设X求分布函数解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-??-(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ?+-===?+= 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+?---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <求P {X ≤-1}, P {0.3解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3P {05. 假设随机变量X 的绝对值不⼤于1;11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任⼀⼦区间上取值的条件概率与该区间的长度成正⽐. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =; 当1x =-时,1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1. 所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此{1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有 {1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=?=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从⽽0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=如果c =( ), 则()f x 是某⼀随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32.解由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=?可得02d 1cx x =?, 于是1=c , 故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),XN ⼜常数c 满⾜{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1.解因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从⽽{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某⼀随机变量的概率密度的是( ).(A)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=??其它. (B) 1,2,()20,x f x <=其它.(C)22()2,0,()0,0.≥x x f x x µσ--==?可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)XN µ, 2~(,5)Y N µ, 1{X P P =≤4µ-}, {2P P Y =≥5µ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P µ=. (B) 对任意的实数12,P P µ<. (C) 只对实数µ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P µ>. 解由正态分布函数的性质可知对任意的实数µ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, ⼜F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A)()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-.解由分布函数的⼏何意义及概率密度的性质知答案为(B). (6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N µσ,Y服从正态分布222(,)N µσ,且12{1}{1},P X P Y µµ-<>-< 则下式中成⽴的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) µ1 <µ2. (D) µ1 >µ2.解答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满⾜{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A)2u α . (B) 21α-u. (C)1-2u α. (D) α-1u .解答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成⽴, 应当怎样选择数k ?解因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=??由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=??其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成⽴, 应当怎样选择数a ?解由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5a x x =?,因此a =.4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=,可得2,01,()0,其它.x x f x <(2)22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ??≤≤ 其它, 求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解{P X ≤12201112d 224}x x x ===?;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===?. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-??,于是2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=?可得当x ≤0时,()0F x =;当0x <≤1时, 201()d 2xF x x x x ==;当1x <≤2时, 2101()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--??;当x >2时,()1F x =.所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x+<<=其它,对X 独⽴观察3次, 求⾄少有2次的结果⼤于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式{P a X <≤}()()()d bab F b F a f x x =-=?,可得2115{1}(1)d 48P X x x >=+=.所以, 3次观察中⾄少有2次的结果⼤于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的⽅程24420x Xx ++=有实根的概率.解随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=≤其它,若⽅程有实根, 则21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故⽅程有实根的概率为 P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-.9. 设随机变量)2,3(~2N X.(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满⾜{}0.9P X d >≥, 问d ⾄多为多少？解 (1) 由P {a}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2{||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 .(2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3){}0.9≥P X d > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是⼀个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +?-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N µσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从⽽2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ).(A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C)3()1F y +. (D)1133()F y -. 解由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设()~01,XN ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N .解由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度. 解若随机变量2~(,)X N µσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a µσ=++ 这⾥1,µσ==, 所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 求解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X=≥2}y -1{2}P Xy =-<-=1-2()d yX f x x --∞.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -?<-即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-?=5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =?-<因为对于0(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X于是随机变量2YX =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<总习题⼆1. ⼀批产品中有20%的次品, 现进⾏有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及⾄多有3件次品的概率.解以X 表⽰抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) ⾄多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. ⼀办公楼装有5个同类型的供⽔设备. 调查表明, 在任⼀时刻t 每个设备被使⽤的概率为0.1. 问在同⼀时刻(1) 恰有两个设备被使⽤的概率是多少？ (2) ⾄少有1个设备被使⽤的概率是多少？ (3) ⾄多有3个设备被使⽤的概率是多少？(4) ⾄少有3个设备被使⽤的概率是多少？解以X 表⽰同⼀时刻被使⽤的设备的个数，则X ~B (5,0.1),C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ; (2)所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--;(3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=且已知1{1}2P X>=, 求常数k , θ.解由概率密度的性质可知e d 1xkx θθ-+∞=?得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某⼀质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最⼤是多少?解由{120P ≤X ≤} 200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最⼤值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞试求: (1) 常数A ; (2) P {0解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ?+∞==?即02e d 1x A x +∞-=?故2A = 1, 得到A =12.所以φ(x ) =12e -|x |.(2) P {011111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈?(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=得到当x <0时, 11()e d e ,22x x x F x x -∞==?当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222 x x x xF x x x ---∞=+=-??所以X 的分布函数为 1,0,2()11,0.2x x F x x -?。
华东理工大学概率论答案
华东理工大学概率论答案【篇一：华东理工大学概率论答案-15,16】选择题：1. 设随机变量?密度函数为p(x)，则??3??1的密度函数p?(y)为（ a ）。
1y?1y?11y?1) b、3p() c、p(3(y?1)) d、3p() a、p(333332. 设随机变量?和?相互独立，其分布函数分别为f?(x) 与f?(y)，则 ?＝max(?,?) 的分布函数f?(z) 等于（ b ） a．max{f?(z),f?(z)}b. f?(z)f?(z)1c．[f?(z)?f?(z)] d. f?(z)?f?(z)?f?(z)f?(z)2二. 填空：已知?～n(0,1),??? 三. 计算题, 则?的概率密度为??(y)?3y22?e?y62。
1. 已知随机变量?~u[0,2]，求???2的概率密度。
?p{?y???解: f?(y)?p{??y}??0?2y}y?0?f?(y)?f?(?y)??y?0?0y?0y?0?1p(y)?p?(?y)?故p?(y)??2y??0????1y?0?＝?4yy?0??00?y?4其他2. 设随机变量x求y?sin(?2x)的概率分布。
x?4k?1x?2k k?1,2,? x?4k?3??1x??解：由于sin()??02?1?故随机变量y的可能取值为：-1，0，1。
随机变量y的p{y??1}??p{x?4k?1}?? k?1k?1??124k?1?112??； 8115?124p{y?0}??p{x?2k}??k?1?1111???； 2k143k?12?122??p{y?1}??p{x?4k?3}??k?1k?1?124k?3?118??， 2115于是随机变量y的分布律为：3．设?~u(0,1) ，求? =?解：对应于? =?ln?ln?的分布。
lnx，y?x?e(lnx)2?f(x) ，由于f(x)?e(lnx)21?2lnx? 。
xlny当x?(0,1)时，??1x?f(y)?ef(x)?0 ，lny?1?e??1??(y)=??(x)|x?f?1(y)|(f(y))|??2ylny?0?其中当y?(??,1]时，,y?(1,??),.其它y??(y)=0是由x?(0,1)时y?(1,??) 而导出的。
华东理工大学概率论答案
华东理工大学概率论答案-2 华东理工大学概率论答案-2概率论是一门研究随机事件发生规律的数学学科。
它广泛应用于各个领域，如金融、保险、统计学等。
华东理工大学概率论是一门重要的数学课程，对于培养学生的数学思维能力和分析问题的能力有着重要的作用。
本文将对华东理工大学概率论的一些典型题目进行解答，以帮助学生更好地理解和掌握概率论的相关知识。
1.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，求P(A∪B)和P(A∩B)。
解：根据概率的定义，P(A∪B)表示事件A或者事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
由于A、B为两个事件，所以有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，代入上式可得P(A∪B)=0.6+0.3-P(A∩B)。
又因为P(A∪B)的取值范围为[0,1]，所以有0 ≤ P(A∪B) ≤ 1。
将已知数据代入上式，可得0 ≤ 0.6+0.3-P(A∩B) ≤ 1。
化简得0.3 ≤ P(A∩B) ≤ 0.9。
所以P(A∩B)的取值范围为[0.3,0.9]。
2.设A、B两个事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，且P(A∩B)=0.2，求P(A|B)和P(B|A)。
解：P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
已知P(A∩B)=0.2，P(B)=0.5，代入上式可得P(A|B)=0.2/0.5=0.4。
同理，根据条件概率的定义，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
已知P(A∩B)=0.2，P(A)=0.4，代入上式可得P(B|A)=0.2/0.4=0.5。
所以P(A|B)=0.4，P(B|A)=0.5。
3.设A、B两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，且A、B相互独立，求P(A∩B)和P(A∪B)。
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ ϕ(x)= 0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
华东理工大学概率论与数理统计真题12-13-2-B-答案
2 0 1/10 2/10
3 0 0 1/10
----------------------3 2) 边缘概率分布律
3 1/10 1 6/10
4 3/10 2 3/10
5 6/10 3 1/10
P
P
---------------------4 3) E =4.5, E =1.5， D =0.45, D =0.45，---------------------4
i 1
xi
n
xi
n
x
X 即可；---4
的极大似然估计是无偏估计。因为 E E X E 。------2
六、 （共 8 分）某化工产品的含硫量 ～ N ( , 2 ) ，其中 、 0 都未知，取 5 个样品，测得含硫量为：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 ，经过 Excel 中“描 述统计”的计算后得到：
互独立的，这可以看作是一个 p 0.4 的独立试验序列。记 B {飞机被击落}。
i （ i 0, 1, 2, 3 ） 。 0.4 i 0.6 3i ， P( Ai ) P{ 3 人中恰有 i 人击中飞机 } C3 0 1 即有 P( A0 ) C3 0.4 0 0.63 0.216 ， P( A1 ) C3 0.41 0.6 2 0.432 ， 2 3 P( A2 ) C3 0.4 2 0.61 0.288 ， P( A3 ) C3 0.43 0.6 0 0.064 。-----4
本试卷共八大题，可能要用到的数据：
2 2 (1.645) 0.95 , (1.96) 0.975 , 0.025 (5) 0.831 , (4) 0.484 , 0.025 2 2 0.975 (4) 11.143 , 0.975 (5) 12.833 , t0.975 (4) 2.7764 , t0.975 (5) 2.5706 .
概率论第二版习题答案
概率论第二版习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在统计学、金融学、工程学等多个领域都有广泛的应用。
第二版的概率论教材通常会在第一版的基础上进行修订和补充，以反映最新的研究成果和教学方法。
以下是一些概率论习题的答案示例，这些答案仅供参考，具体习题的答案可能会根据教材的不同而有所变化。
第一章：概率空间1. 习题1：描述一个概率空间的基本元素。
- 答案：一个概率空间由三个基本元素组成：样本空间(Ω)，事件集合(F)，以及概率测度(P)。
样本空间包含了所有可能的结果，事件集合是样本空间的子集，概率测度为每个事件分配一个介于0和1之间的实数，表示事件发生的可能性。
2. 习题2：证明如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B) = P(A) +P(B)。
- 答案：由于A和B互斥，即A∩B = ∅，根据概率测度的性质，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
由于A和B互斥，P(A∩B) = 0，因此P(A∪B) = P(A) + P(B)。
第二章：随机变量及其分布1. 习题1：定义离散型随机变量和连续型随机变量。
- 答案：离散型随机变量是其取值可以列举的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。
连续型随机变量是其取值无法一一列举的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。
2. 习题2：如果X是一个随机变量，求E(X)和Var(X)。
- 答案：期望E(X)是随机变量X的平均值，定义为E(X) = ∑x *P(X = x)（对于离散型随机变量）或E(X) = ∫x * f(x) d x（对于连续型随机变量）。
方差Var(X)是随机变量X的离散程度的度量，定义为Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
第三章：多维随机变量及其分布1. 习题1：描述联合分布函数和边缘分布函数的关系。
- 答案：联合分布函数给出了两个或多个随机变量同时取特定值的概率，而边缘分布函数是通过对联合分布函数进行积分或求和得到的，它给出了单个随机变量的分布。
华理概率论习题答案
华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第一册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第一次作业一．填空题：1．设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各事件：B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者，B A =S ，B A =B ，AB =A 。
2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）事件ABC 表示A 、B 、C 都发生；(2)事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生；（3）事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生；（4）事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生；（5）事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。
二．选择题：1．设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,4,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，则事件=-BC A (A )。
A.}10,9,8,6,1{B.}5,2{C.}10,9,8,6,2{D.}10,9,8,6,5,2,1{2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件=A “恰有一弹击中飞机”,事件B =“至少有一弹击中飞机”，事件C =“两弹都击中飞机”,事件=D “两弹都没击中飞机”，又设随机变量ξ为击中飞机的次数，则下列事件中(C )不表示}1{=ξ。
A.事件AB.事件C B -C.事件C B -D.事件CD -3．设A 、B 是两个事件，且∅≠A ，∅≠B ，则()()B A B A ++表示（D）。
A.必然事件B.不可能事件C.A 与B 不能同时发生D.A 与B 中恰有一个发生4．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（D）。
(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。
所以：ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。
解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。
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华东理工大学概率论答案-2华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第二册）学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第四次作业一． 填空题： 1．设事件A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ⋃＝ 4/92． 设A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ，P(A)=P(B)=P(C)<21, 169)(=⋃⋃C B A P 则P(C)= 0.253. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ⋃=，则(|)P A B =13，(|)P B A =12。
4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==，(|)0.4P A B =，则()P AB = 0.2，()P A B ⋃= 0.6，(|)P B A =23。
二． 选择题：1. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ）A ．)(b a a +B ．11-+-b a aC ． )1)(()1(-++-b a b a a aD ．22)(b a a +2．已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为（ B ）。
A ．AB 与互不相容； B ．A B 与独立； C．A B⊃；D ．()0.4P B A =.3．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ）A ．一定不独立，，则若B A AB ∅=； B ．一定独立，，则若B A AB ∅≠；C ．有可能独立，，则若B A AB ∅≠；D ．一定独立，，则若B A AB ∅= 4．设事件,,,A B C D 相互独立，则下列事件对中不相互独立的是（ C ）)(A A 与BC D ⋃； )(B AC D ⋃与BC ； )(C BC 与A D -； )(D C A -与BD .三． 计算题：1．设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。
（1） 求任取一个零件是废品的概率（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的概率。
解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则1221(),()33P A P A ==, 由全概率公式得：112221()(|)()(|)()0.030.060.0433P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯= (2)222(|)()0.02(|)0.5()0.04P B A P A P A B P B ===2．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为1:2:3:9，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:3:2:1，当一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。
解：设1234,,,A A A A 分别表示车床、钻床、磨床、刨床,而B 表示“机床需要修理”,利用贝叶斯公式,得11141()()179159(|)135271532151711522(|)()iii P A B P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯+⨯∑3．三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为0.1，0.2，0.5，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少?解：设321A A A ,,分别表示第1，2，3个元件断电，A 表示电路断电， 则321A A A ,,相互独立，321A A A A ++=，4．有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。
掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。
然后从所选的中盒子中任取一球。
求： （1）取出的球是白球的概率；（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。
解： 设A={选中的为甲盒}， B={选中的为乙盒}， C={选中的为丙盒}，D={取出一球为白球}，则640501201101111321321321.).)(.)(.()()()()()()(=----=-=++-=++=A P A P A P A A A P A A A P A P312(),(),()666P A P B P C ===123(|),(|),(|)336P D A P D B P D C ===3112234()6363669P D =⨯+⨯+⨯=31363(|)489P A D ⨯==第五次作业一．填空题：1．某班级12名女生毕业后第一年的平均月薪分别为1800 2000 3300 1850 1500 2900 410030005000230030002500则样本均值为2770.8 ，样本中位数为2700 ，众数为3000 ，极差为 3500 ，样本方差为10392992．设随机变量ξ的分布函数为()F x ，则 {}P a ξ≥=1(0)F a --，{}P a ξ==()(0)F a F a --3. 设随机变量ξ的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩则常数A 的范围为 [0,1]，{0.50.8}P ξ≤≤_0.39A ____二. 选择题：1. 描述样本数据“中心”的统计量有（A,B,C ），描述样本数据“离散程度”的统计量有（D,E ）A ．样本均值 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 E. 样本方差 2. 下列表述为错误的有（C ）A ．分布函数一定是有界函数 B. 分布函数一定是单调函数 C ．分布函数一定是连续函数 D. 不同的随机变量也可能有相同的分布函数 3.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ A ）（A ）x x F arctan 121)(π+= （B ） 1(1),0()20,0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩（C ）21()1F x x =+（D ） ()()x F x f t dt-∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰4．设概率β≥>)(1x X P ，α≥≤)(2x X P ，且21x x <，则)(21x X x P ≤< （ C ）)(A 1-+≤βα； )(B )(1βα+-≤； )(C 1-+≥βα； )(D )(1βα+-≥。
三. 计算题：1. 利用EXCEL 的数据分析工具验算填空题1. 的计算结果，并把样本数据分为四组画出频率直方图（本题可选做）2．设随机变量ξ的分布函数为66331100,,,,,12131410)(≥<≤<≤<≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=x x x x x x F试求)3(<ξP ，)3(≤ξP ，)1(>ξP ，)1(≥ξP解：由公式()()(0)P x F x F x ξ==--,得1(3)(30)3P F ξ<=-=, 1(3)(3)2P F ξ≤==,12(1)1(1)133P F ξ>=-=-=, 13(1)1(10)144P F ξ≥=--=-=3．已知随机变量ξ只能取-2，0，2，4四个值，概率依次为,,,,2643cc c c 求常数c ，并计算(1|1)P ξξ<>- 解：利用规范性，有.1254643=⇒=+++c c c c c因此,)(,)(,)(,)(15245121540522=======-=ξξξξP P P P {(1)(1)}(0)4(1|1)==(1)(0)(2)(4)9P P P P P P P ξξξξξξξξξ>-<=<>-=>-=+=+=I .第六次作业一. 填空题： 1.若随机变量~[1,6]U ξ,则方程210xx ξ++=有实根的概率为0.82. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它010)(2x Ax x f , 则A =__3__3. 设离散型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=0101070100x x x x F .)(则ξ的分布律为7.0)10(=-=ξP ,3.0)0(==ξP 4. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为(0,1)()0,(0,1)x f x x ∈=⎪∉⎩则分布函数3/20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩二. 选择题：1．在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（A ）A. 2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他B ．2,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其他C ．cos ,0()0,x x f x π≤≤⎧=⎨⎩其他D ．2,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩2．下列表述中不正确有（A ，D ）A ．()F x 为离散型随机变量的分布函数的充要条件是()F x 为阶梯型函数B ． 连续型随机变量的分布函数一定是连续函数C ． 连续型随机变量取任一单点值的概率为零D ． 密度函数就是分布函数的导数 三. 计算题1.（柯西分布）设连续随机变量ξ的分布函数为 x B A x F arctan )(+= +∞<<∞-x求：（1）系数A 及B ；(2) 随机变量ξ落在区间)1,1(-内的概率； （3）随机变量ξ的概率密度。
解: (1) 按照分布函数的定义,有()lim arctan 0,2()lim arctan 1,2x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞-∞=+=-=+∞=+=+=得11,2A B π==. (2) 1(11)(11)(1)(1)2P P F F ξξ-<<=-<≤=--=.(3)2111()()arctan ,2(1)p x F x x x x ππ'⎛⎫'==+=-∞<<+∞ ⎪+⎝⎭2．学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时，它的密度函数为其他5.000)(2≤≤⎩⎨⎧+=x x cx x p（1） 确定常数c ； （2） 写出X 的分布函数；（3） 试求在20min 内完成一道作业的概率； （4） 试求10min 以上完成一道作业的概率。
解:(1)利用规范性,有0.52011()()21248c p x dx cx x dx c +∞-∞==+=+⇒=⎰⎰. (2)当0x <时,()()00x x F x p t dt dt -∞-∞===⎰⎰,当00.5x ≤<时,23201()()(21)72xx F x p t dt t t dt x x -∞==+=+⎰⎰,当0.5x ≥时,0.520()()(21)1x F x p t dt t t dt -∞==+=⎰⎰,综上所述,320, 0,1()7, 00.5,21, 0.5.x F x x x x x <⎧⎪⎪=+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3)11170()(0)3354P F F ξ⎛⎫<≤=-= ⎪⎝⎭. (4)12216111031031()((21))66108108P F or x x dx ξ⎛⎫>=-=+=⎪⎝⎭⎰3. 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。