华东理工大学概率论答案-2

华东理工大学概率论答案-2
华东理工大学
概率论与数理统计
作业簿（第二册）
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第四次作业
一． 填空题： 1．
设事件A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(==B P A P ，则)(B A B P ⋃＝ 4/9
2． 设A 、B 、C 两两独立，且ABC=Φ，
P(A)=P(B)=P(C)<21, 16
9
)(=⋃⋃C B A P 则P(C)= 0.25
3. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ⋃=，则(|)P A B =
13，(|)P B A =12。

4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==，(|)0.4P A B =，则()P AB = 0.2，()P A B ⋃= 0.6，
(|)P B A =
2
3。

二． 选择题：
1. 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（ A ）；若已知第一次取到的球为黑球，那么第二次取到的球仍为黑球的概率为（ B ）
A ．)(b a a +
B ．11-+-b a a
C ． )1)(()1(-++-b a b a a a
D ．2
2
)(b a a +
2．
已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的
为（ B ）。

A ．A
B 与互不相容； B ．A B 与独立； C
．
A B
⊃；
D ．()0.4P B A =.
3．对于任意两事件A 和B ，则下列结论正确的是（ C ）
A ．一定不独立，，则若
B A AB ∅=； B ．一定独立，，则若B A AB ∅≠；
C ．有可能独立，，则若B A AB ∅≠；
D ．一定独立，，则若B A AB ∅= 4．设事件,,,A B C D 相互独立，则下列事件对中不相互独立的是（ C ）
)(A A 与BC D ⋃； )(B AC D ⋃与BC ； )(C BC 与A D -； )(D C A -与BD .
三． 计算题：
1．设有2台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03，第二台机床出废品的概率为0.06，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。

（1） 求任取一个零件是废品的概率
（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工
的概率。

解：(1)设B ={取出的零件是废品}，1A ={零件是第一台机床生产的}， 2A ={零件是第二台机床生产的}，则122
1(),()33
P A P A ==, 由全概率公式得：
112221()(|)()(|)()0.030.060.0433
P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯= (2)222(|)()0.02
(|)0.5()0.04
P B A P A P A B P B ===
2．某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为
1
:2:3:9，它们在一定时间内需要修理的概率
之比为 1:3:2:1，当一台机床需要修理时，求这台
机床是车床的概率。

解：
设1
2
3
4
,,,A A A A 分别表示车床、钻床、磨床、刨床,
而B 表示“机床需要修理”,利用贝叶斯公式,得
1114
1
()()
179159
(|)135271532151711522
(|)()
i
i
i P A B P A P A B P B A P A =⨯=
=
=
⨯+⨯+⨯+⨯∑
3．三个元件串联的电路中，每个元件发生断电的概率依次为0.1，0.2，0.5，且各元件是否断电相互独立，求电路断电的概率是多少?
解：设321A A A ,,分别表示第1，2，3个元件断电，A 表示电路断电， 则321A A A ,,相互独立，321A A A A ++=，
4．有甲、乙、丙三个盒子，其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。

掷一枚骰子，若出现1，2，3点则选甲盒，若出现4点则选乙盒，否则选丙盒。

然后从所选的中盒子中任取一球。

求： （1）取出的球是白球的概率；
（2）当取出的球为白球时，此球来自甲盒的概率。

解： 设A={选中的为甲盒}， B={选中的为乙盒}， C={选中的为丙盒}，
D={取出一球为白球}，则
64
0501201101111321321321.).)(.)(.()()()()()()(=----=-=++-=++=A P A P A P A A A P A A A P A P
312
(),(),()666P A P B P C ===
123
(|),(|),(|)336P D A P D B P D C ===
3112234
()6363669P D =⨯+⨯+⨯=
31363(|)489P A D ⨯==
第五次作业
一．填空题：
1．某班级12名女生毕业后第一年的平均月薪分别为
1800 2000 3300 1850 1500 2900 4100
3000
5000
2300
3000
2500
则样本均值为
2770.8 ，样本中位数为2700 ，众数为3000 ，极差
为 3500 ，样本方差为
1039299
2．设随机变量ξ的分布函数为()F x ，则 {}P a ξ≥=1(0)F a --，
{}P a ξ==()(0)F a F a --
3. 设随机变量ξ的分布函数为
20,0(),
011,1
x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩
则常数A 的范围为 [0,1]，{0.50.8}P ξ≤≤_0.39A ____
二. 选择题：
1. 描述样本数据“中心”的统计量有（A,B,C ），描述样本数据“离散程度”的统计量有（D,E ）
A ．样本均值 B. 中位数 C. 众数 D. 极差 E. 样本方差 2. 下列表述为错误的有（C ）
A ．分布函数一定是有界函数 B. 分布函数一定是单调函数 C ．分布函数一定是连续函数 D. 不同的随机变量也可能有相同的分布函数 3.下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
（ A ）
（A ）x x F arctan 1
21)(π
+= （B ） 1(1),0()2
0,0x
e x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩
（C ）2
1
()1F x x =+
（D ） ()()x F x f t dt
-∞
=⎰
，
其中()1
f t dt +∞-∞
=⎰
4．设概率β≥>)(1x X P ，α≥≤)(2x X P ，且21x x <，则)(21x X x P ≤< （ C ）
)(A 1-+≤βα； )(B )(1βα+-≤； )(C 1-+≥βα； )(D )(1βα+-≥。

三. 计算题：
1. 利用EXCEL 的数据分析工具验算填空题1. 的计算结果，并把样本数据分为四组画出频率直方图（本题可选做）
2．
设随机变量ξ的分布函数为
6
6331100
,
,,
,,12131410)(≥<≤<≤<≤<⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=x x x x x x F
试求)3(<ξP ，)3(≤ξP ，)1(>ξP ，)1(≥ξP
解：
由公式()()(0)P x F x F x ξ==--,得
1
(3)(30)3
P F ξ<=-=, 1
(3)(3)2
P F ξ≤==
,
12
(1)1(1)133P F ξ>=-=-=
, 13
(1)1(10)144
P F ξ≥=--=-=
3．已知随机变量ξ只能取-2，0，2，4四个值，概率依次为,,,,2643c
c c c 求常数c ，
并计算(1|1)P ξξ<>- 解：利用规范性，有
.125
4643=⇒=+++c c c c c
因此,)(,)(,)(,)(15
2
45121540522=======-=ξξξξP P P P {(1)(1)}(0)4
(1|1)=
=(1)(0)(2)(4)9
P P P P P P P ξξξξξξξξξ>-<=<>-=>-=+=+=I .
第六次作业
一. 填空题： 1.
若随机变量~[1,6]U ξ,则方程2
10
x
x ξ++=有实根的概
率为0.8
2. 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧≤≤=其它
010)(2
x Ax x f , 则A =__3__
3. 设离散型随机变量ξ的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤--<=0
10107
0100x x x x F .)(
则ξ的分布律为7.0)10(=-=ξP ,3.0)0(==ξP 4. 设连续型随机变量X 的概率密度函数为
(0,1)()0,(0,1)x f x x ∈=⎪∉⎩
则分布函数3/20,0
(),011,1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
二. 选择题：
1．在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（A ）
A. 2,01
()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他
B ．2
,01
()0
,x x f x ⎧<<=⎨
⎩其他
C ．cos ,0()0,x x f x π
≤≤⎧=⎨⎩其他
D ．2,0
()0
,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩
2．下列表述中不正确有（A ，D ）
A ．()F x 为离散型随机变量的分布函数的充要条件是()F x 为阶梯型函数
B ． 连续型随机变量的分布函数一定是连续函数
C ． 连续型随机变量取任一单点值的概率为零
D ． 密度函数就是分布函数的导数 三. 计算题
1.
（柯西分布）设连续随机变量ξ的分布函数为 x B A x F arctan )(+= +∞<<∞-x
求：（1）系数A 及B ；
(2) 随机变量ξ落在区间)1,1(-内的概率； （3）随机变量ξ的概率密度。

解: (1) 按照分布函数的定义,有
()lim arctan 0,2
()lim arctan 1,
2
x x F A B x A B F A B x A B π
π
→-∞
→+∞
-∞=+=-
=+∞=+=+
=
得11
,2A B π
==. (2) 1
(11)(11)(1)(1)2
P P F F ξξ-<<=-<≤=--=
.
(3)
2
111()()arctan ,2(1)p x F x x x x ππ'⎛⎫
'==+=-∞<<+∞ ⎪+⎝⎭
2．
学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，
单位为小时，它的密度函数为
其他
5.000
)(2≤≤⎩⎨
⎧+=x x cx x p
（1） 确定常数c ； （2） 写出X 的分布函数；
（3） 试求在20min 内完成一道作业的概率； （4） 试求10min 以上完成一道作业的概率。

解:
(1)利用规范性,有
0.5
20
1
1()()21248
c p x dx cx x dx c +∞-∞
==+=
+⇒=⎰
⎰. (2)当0x <时,()()00
x x F x p t dt dt -∞
-∞
===⎰
⎰,
当00.5x ≤<时,23201
()()(21)72x
x F x p t dt t t dt x x -∞==+=+⎰⎰,
当0.5x ≥时,0.5
20
()()(21)1
x F x p t dt t t dt -∞
==+=⎰
⎰,
综上所述,
320, 0,1()7, 00.5,
21, 0.5.
x F x x x x x <⎧⎪⎪
=+≤<⎨⎪≥⎪⎩
(3)11170()(0)3354
P F F ξ⎛⎫<≤=-= ⎪
⎝
⎭
. (4)12
21611103
103
1()((21))66108
108
P F or x x dx ξ⎛⎫>=-=+=
⎪
⎝
⎭
⎰
3. 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放回,直到取得黑球为至。

记Y 为抽取次数，求Y 的概率分布及至少抽取3次的概率。

解： (1) Y 的可能取值为1，2，3，4 P(Y=1)=5/8，
P(Y=2)=3/8×5/7=15/56，
P(Y=3)= 3/8×2/7×5/6=5/56， P(Y=4)= 3/8×2/7×1/6=1/56。

所以Y 的概率分布为
(2) P(Y ≥4. 某种灯具的寿命ξ具有概率密度：
210
,10
()0,10
x f x x
x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 任取三只这种灯具，问150小时内，三只灯具全部完好的概率是多少？又问150
小时内，至少有两只损坏的概率又是多少？
解： 设p 表示150小时内，一只灯具完好的概率，η 表示损坏灯具的个数，
15015021010101014{150}d 15p P x x x ξ=<==-=⎰
31{0}0.000315P η⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭
232
314114{2}0.987151515P C η⎛⎫⎛⎫≥=⋅+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。