高三数学考前赢分30天_第30天

2014年高三数学考前赢分30天 第30天

核心知识

1．形如⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a

2

1

22221

11211的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵。一般用大写字母A ，B ，C ……

或者（a ij ）来表示矩阵，其中i,j 分别表示元素a ij 所在的行与列。同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）叫做矩阵的元素。

2．二阶矩阵与列向量的乘积即为⎥⎦⎤⎢

⎣⎡d c b a

⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax ，实际上它是将点（x, y ）变换为点（ax+by, cx+dy ），本质是一个平面点集到一个平面点集的映射。 3．掌握六种平面变换： （1）恒等变换矩阵M=⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡1001

； （2）伸压变换矩阵M 1= ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡A 001，M 2

=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡100ω

，其中A ， 0>ω ； ( 3 ) 反射变换矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-10

01，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡--1001； （4）旋转变换矩阵M=⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡-θθθθ

cos sin sin cos ； （5）投影变换矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00

01，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡1000

，M 3=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡0101

；

（6）切变变换矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡101k ，M 2=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡101k ； 4．两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时，才能作乘法，其积仍为矩阵。矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律。

5．矩阵A 与B 乘积AB 的几何意义为对向量连续实施几何变换（先T B 后T A ）的复合变换T M 。

6．当矩阵对应的变换是一一映射时，该矩阵存在逆矩阵。对于二阶矩阵A=⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡d c

b a

，A 可逆，等价于ad —bc ≠0，且A 1

-=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-----

-bc ad a bc

ad c bc ad b bc ad d 7．解二元一次方程组⎩⎨

⎧=+=+n dy cx m by ax 矩阵A=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡d c b a 和向量a=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，求向量X=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x 使AX=a,若矩阵A 可逆，则X=A 1

- a.

8．求矩阵的特征值及特征向量的方法要掌握。一般地，对于矩阵A=⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡d c

b a

,特征值是方程f(λ)=

d

c

b

a

----λλ=0的解，特征向量是方程{,0)(,0)(=-+-=--y d cx by x a λλ的解。

9．如果矩阵M 有两个不共线的特征向量a 1, a 2, 其对应的 ，其对应的特征值分别为 那么平面内任意一个向量 可用 惟一线性表示，即存在惟一实数对特征值分别为21

λλ ，那么平面内任意一个

向量a 可用a 1,a 2 惟一线性表示，即存在惟一实数对s, t 使a=sa 1+ta 2,从而M n

a=s(λn

1a 1)+t(λn

2a 2)

解题规范

1 已知方程组AX=B ，其中A=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡2121212

1

，X=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，试从几何变换的角度研究该方程组的解的情况。

考前赢分第30天 爱练才会赢

前日回顾

1． 向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡01在矩阵⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡3001变换下 （ C ） A ． 改变了方向，长度不变 B ． 改变了长度，方向不变 C ． 方向和长度都不变 D ．

以上都不变

2．下列对于矩阵A 的特征值λ的描述中正确的是 （ D ） A 存在向量a,使得Aa=λa B 对任意向量a,有Aa=λa

C 对任意非零向量a, Aa=λa 成立

D 存在任意非零向量a, 有Aa=λa

3．设A=⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡1221

，矩阵A 的特征值为 （ B ） A 3和1 B 3和—1 C —3和1 D —3和—1

4．设M=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321 矩阵M 的特征向量可以是 （ A ） A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡13 B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13 C ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡31 D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31

当天巩固

1．已知⎥⎦⎤

⎢⎣⎡y x →⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡//y x =⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡02

21⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡y x ,试将它写成坐标变换的形式，并求点A （1，3）在矩阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0221对应的变换作用下得到的点。

2．已知⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡y x →

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡//y x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+

-+y x y x 23，试将它写成矩阵的乘积的形式；若在上述矩阵对应的变换作用下得到点P （7，0），试求变换前对应的点P /

的坐标。