学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版

初三寒假·第1讲·尖子班·学生版
考试内容
考试要求层次
A
B
C
三角形
了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心
会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题
等腰三角形和直角
三角形
了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定
能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题
会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题
勾股定理及其逆定
理 已知直角三角形的两边长，会求第三边长
会用勾股定理及其逆定理解决简
单问题
相似三角形
了解两个三角形相似的概念
会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题
锐角三角函数
了解锐角三角函数
（sin cos tan A A A ，
，）；知道304560︒︒︒，
，角的三角函数值
由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 304560︒︒︒，，角的三角函数式的值
能运用三角函数解
决与直角三角形有关的简单问题
解直角三角形
知道解直角三角形的含义
会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题
能综合运用直角三角形的性质解决有关问题
本讲结构
中考大纲剖析
1
中考第一轮复习
三角形
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一、等腰三角形
二、直角三角形
1．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．
知识导航
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45°
60°2．特殊直角三角形
“等腰直角三角形”
“含30︒和60︒的直角三角形”
边的比：112∶∶
边的比：132∶∶
3．直角三角形中的特殊线．
d c
b
a
“直角三角形斜边中线2
c d =
” a
c
b
h “直角三角形斜边高ab
h c
=”
三.尺规构造等腰三角形和直角三角形
问题
作图
求点坐标 “万能法”
其他方法 等腰三角形 l
A
B
已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使
PAB △为等腰三角形
l
P 4P 5
P 3
P 2P 1
B
A
“两圆一垂”
分别表示出点A 、B 、P 的
坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由①AB=AP ②AB=BP
③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的高，用
勾股或相似建立等量关系
直角三角形
l
A
B
已知点A 、B 和直线l ，在l 上求点P ，使
PAB △为直角三角形
B
A P 1P 2
P 3P 4
l
“两垂一圆”
分别表示出点A 、B 、P 的
坐标，再表示出线段AB 、BP 、AP 的长度，由
①222
AB BP AP =+ ②222
BP AB AP =+ ③2
2
2
AP AB BP =+ 列方程解出坐标
作垂线，用勾股或相似建立等量关系
四.全等三角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS ；⑵SAS ；⑶ASA ；⑷AAS ；⑸HL ．
在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.
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五.相似三角形
相似三角形的性质：
⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．
⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：
⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；
⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：
(1)E
D
C B
A
(3)E
D C
B
A
(4)
D C
B
A
D
C
B
A
(6)
E
D
C
B
A
(2)
E
D
C
B
A
(5)
E
D
C
B
A
（10）
（9）
（8）
A B
D
E
A
B
C D
E
E
D
B
A
【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是
两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的
个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
（2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △
是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ．
（3）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P
在射线EF 上，BP 交CE 于D ，点Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设
BP =y ，PE =x .当CQ =
21
CE 时，y 与x 之间的函数关系式是 ； 当CQ =n
1
CE （n 为不小于2的常数）时， y 与
x 之间的函数关系式是 .
模块一 特殊三角形
夯实基础
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（4）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠，点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =，
连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =．
【例2】 （1）如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的
两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿 图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点 F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到 点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围 成的图形的面积为（ ）
A. 2
B. 4－π
C.π
D.1π-
（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x
轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动， 在 运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）
A. 222+ B ．52 C ．62 D ． 6
以下探究主题为：几何最值问题
【探究1】如图，在ABC △中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点A 、C 分别在x 轴、
y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程 中，点B 到原点的最小距离是__________.
【探究2】如图，在Rt ABC △ 中，∠C =90°，tan 1
2
BAC ∠=，BC =6，点D
在边AC 上，且
23
AD AC =，连结BD ，F 为BD 中点，将线段AD 绕 点A 旋转，在旋转过程中线段CF 长度的最大值为________，最小值 为_______.
能力提升
A
C
F
E
D
B B
C 第8题图
Q
F
M
A
B
C y x
O C
B
A C B
A
O y x
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【探究3】 如图，在Rt ABC △中，∠ACB =90°，∠B =30°，CB =33，
点D 是平面上一点且CD =2，点P 为线段AB 上一动点，当△ ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段DP 长度的最大值 为_______，最小值为_______.
【探究4】如图，Rt ABC △中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．
点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合）， 且DA =DE ，则AD 的取值范围是___________________．
【例3】 在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到
线段BD .
图1
图2
A B
C
D
E
D
C
B
A
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE =150°，∠ABE =60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC =45°，求α的值.
夯实基础
模块二 全等三角形
P
D
C
B
A
C
D
A
B
E
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【例4】 等边三角形ABO 的边长为2个单位长度，点P 、Q 分别从点B 、O 同时出发，以每秒1个单
位长度向点O 、A 运动．（到达点O 、A 时停止运动）
⑴ 如图1，连接AP 、BQ 相交于点C ．证明：AP BQ =，60ACQ =︒∠． ⑵ 如图2，连接PQ ，探讨2PQ 与AB 之间的大小关系并证明你的结论．
Q
A
图1
A
C
P Q
Q
P A
图2
夯实基础
模块三 相似三角形
能力提升
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图3图2图1
2
n-1
B 2
C 2A B C
B 1
C 1
C 1
B
1C B A
【例5】 （1）已知在△ABC 中，BC=a .如图1，点B 1 、C 1分别是AB 、AC 的中点，则线段B 1C 1的长
是_______；如图2，点B 1 、B 2 ，
C 1 、C 2分别是AB 、AC 的三等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2的值
是__________；如图3, 点12......、、、n B B B ，12......、、、n C C C 分别是AB 、AC 的（n +1）等分点，则线段B 1C 1 + B 2C 2+……+ B n C n 的值是 ______.
（2）如图,在正方形ABCD 中，AB =1，E 、F 分别是BC 、CD 边上点，
① 若CE =12CB ，CF =1
2
CD ，则图中阴影部分的面积是________；
② 若CE =1n CB ，CF =1
n
CD ，则图中阴影部分的面积是_________.
（用含n 的式子表示，n 是正整数）．
（3）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的
直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角 三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A
能力提升
【例6】如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.
（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA 的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；
若不能，请说明理由．
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【例7】 在△ABC 中，AB =4，BC =6，∠ACB =30°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1． （1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△CBC 1的面积为3，求△ABA 1的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点P 1，直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．
C 1
C B
A 1
A
图2
A 1
C 1
A
B
C
图1
图3
A
模块一 特殊三角形 课后演练
【演练1】 ⑴如图，等腰ABC △中，AB AC =，20A =︒∠，线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ） A ．80° B ． 70° C ．60° D ．50°
实战演练
图1
E
D
B
A
11
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⑵ 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．
⑶ 如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =， AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，则AG
AF = ．
【演练2】 如图，P 为边长为2的正三角形中任意一点，连接P A 、PB 、P C ，
过P 点分别做三边的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则
PD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．
模块二 全等三角形 课后演练 【演练3】 ⑴如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC
于点G ，CH ⊥BD 于点H ，试证明CH =EF +EG ；
图3
G
E
F
L A
B
C
D
A
B
C
D E
F
G
H
图2
图1
H G
F
E D
C
B
A
⑵ 若点E 在BC 的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑶ 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线，L 在BD 上，且BL =BC ， 连接CL ，点E 是CL 上任一点， EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF 、EG 、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论．
G
F
E
D C
B
A
P F E
A
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初三寒假·第1讲·尖子班·学生版
E 3
E 2E 1D 4
D 3
D 2
D 1
C
B
A 【演练4】 图中是一副三角板，45︒的三角板Rt DEF △的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ABC △斜
边AB 的中点处，
304590A E EDF ACB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒，，，DE 交AC 于点G ，GM AB ⊥ 于M ．
⑴ 如图1，当DF 经过点C 时，作CN AB ⊥于N ，求证：AM DN =．
⑵ 如图2，当DF AC ∥时，DF 交BC 于H ，作HN AB ⊥于N ，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．
图2
图1
E
H
A
B
C
D F
G
N N
M
G
F E
D C
B
A
模块三 相似三角形 课后演练
【演练5】 如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作
11D E AC ⊥于1E ，连接1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥ 于2E ，连接2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…， 如此继续，可以依次得到点45n D D D ，，…，，分别记11BD E △， 22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S ．
则n S =_________ABC S △（用含n 的代数式表示）．
第十八种品格：坚持
品格教育—坚持
有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。

有些人做事，为了成功，为
了成功的目标而坚持。

但是坚持的结果都是成功。

因此坚持常常是成功的代名词。

想要实现自己的梦想，就要坚持就要努力，这样才可以成就梦想。

【坚持的三个层次】
一、学会以坚持不懈的态度对待事物；
二、坚持心中那份信念，成功最后即会到来；
三、坚持不懈的过程中会遇到挫折，迎难而上，也许终会柳暗花明。

孟母断机
孟子早年家境贫寒，相传孟母仉氏靠纺线织布维持生活。

孟子到学馆学习了一
段时间后，开始的新鲜劲头过去了，贪玩的本性难移，有时就逃学，对母亲谎称是
找丢失的东西。

有一次孟子又早早地跑回了家，孟母正在织布，知道他又逃学了。

孟母仉氏把
孟子叫到跟前，把织了一半的布全部割断。

孟子问为什么要这样，孟母回答说：“子
之废学，若吾断斯织也！”，教育孟轲，学习就像织布，靠一丝一线长期的积累，只
有持之以恒，坚持不懈，才能获得渊博的知识，才能成才，不可半途而废。

逃学就
如同断机，线断了，布就织不成了，常常逃学，必然学无所成。

孟轲从此勤学苦读，没有辜负母亲的期望，终于成了一位伟大的思想家和教育
家。

今天我学到了
初三寒假·第1讲·尖子班·学生版
13。