一次方程与不等式(组)
一次函数与方程(组)、不等式及二次函数与二元一次方程、不等式的关系
一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
第2讲 方程（组）与不等式（组）（解析）
第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m＝3n，那么下列等式不一定成立的是（）A．m﹣3＝n﹣3B．2m+3＝3n+2C．5+m＝5+n D．m−3=n −3【解答】解：A、由3m＝3n得m＝n，两边都减去3得m﹣3＝n﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；B、3m＝3n两边都加上2得3m+2＝3n+2，原变形错误，故此选项符合题意；C、由3m＝3n得m＝n，两边都加上5得5+m＝5+n，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由3m＝3n得m＝n，两边都除以﹣3得m−3=n−3，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．例2解方程：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）；（2）．【解答】解：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2），去括号，得2﹣3x+3＝2x﹣4，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣4﹣2﹣3，合并同类项，得﹣5x＝﹣9，系数化为1，得x＝；（2），去分母，得3（3x+2）＝15﹣5（2x﹣1），去括号，得9x+6＝15﹣10x+5，移项，得9x+10x＝15+5﹣6，合并同类项，得19x＝24，系数化为1，得x＝．【方法总结】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．例3若方程12﹣3（x+1）＝7﹣x的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，求k的值．【解答】解：∵12﹣3（x+1）＝7﹣x，∴12﹣3x﹣3＝7﹣x，∴2＝2x，∴x＝1，把x＝1代入6﹣2k＝2（x+3）得6﹣2k＝8，∴k＝﹣1．【方法总结】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．例4若方程2（2x﹣1）＝3x+1与关于x的方程2ax＝（a+1）x﹣6的解互为倒数，求a的值．【解答】解：解方程①得，x＝3，方程②的解为x＝，代入得，解得a＝﹣17．【方法总结】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？【解答】解：50万＝500000元，设自主创业且连续经营一年以上的大学生有x人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有（60﹣x）人，根据题意得：5000x +10000（60﹣x ）＝500000， 解得：x ＝20，则60﹣x ＝60﹣20＝40（人），答：自主创业且连续经营一年以上的大学生有20人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有40人．【方法总结】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【解答】解：（1）设乙车的速度为xkm /h ，则甲车速度为（x +20）km /h ， 根据题意得：（x +x +20）×12=80， 解得：x ＝70， ∴x +20＝70+20＝90，则甲车速度为90km /h ，乙车速度为70m /h ； （2）设两车出发y 小时相距20km ， 当两车没有相遇时相距20km ， 根据题意得：（70+90）y +20＝80， 解得：y =38；当两车相遇后相距20km ， 根据题意得：（70+90）y ＝80+20， 解得：y =58，综上，两车出发38小时或58小时后相距20km ．【方法总结】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝6 【解答】解：A 、由2x +1＝3x 得2x ﹣3x ＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； B 、由25x =34得x =34×52，原变形正确，故此选项符合题意；C 、由2x =34得x =38，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、由−x+13=2得﹣x ﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．【解答】解：（1）去括号得：3x +2＝8x +12， 移项得：3x ﹣8x ＝12﹣2， 合并得：﹣5x ＝10， 解得：x ＝﹣2；（2）去分母得：2（5y ﹣9）＝3（3y ﹣1）﹣6， 去括号得：10y ﹣18＝9y ﹣3﹣6， 移项得：10y ﹣9y ＝﹣3﹣6+18， 合并得：y ＝9． 3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10． （1）求a 的值； （2）求方程正确的解．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为3（3y ﹣a ）﹣2（5y ﹣7a ）＝1， ∵方程的解为y ＝10，代入得3（30﹣a ）﹣2（50﹣7a ）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程﹣＝1，得﹣＝1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．4．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．【解答】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x=−2 3，把x=−23代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得2（−23−1）＝3m﹣1，解得m=−7 9．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量单价（元）不超过23立方米的部分m超过23立方米的部分m+1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？【解答】解：（1）依题意得：10m＝26，∴m＝2.6，答：m的值为2.6；（2）∵23×2.6＝59.8＜82，∴该用户5月份用水超过23立方米，设该用户5月份用水x立方米，根据题意得：23×2.6+（2.6+1.1）•（x﹣23）＝82，解得x＝29，答：该用户5月份用水为29立方米．知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. )0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x（3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值． 【解答】解：∵关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程， ∴，解得m ＝1．【方法总结】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件． 例2解方程：9（x ﹣1）2＝16（x +2）2．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x ﹣1）＝±4（x +2）， 即3x ﹣3＝4x +8或3x ﹣3＝﹣4x ﹣8， 解得：x ＝﹣11或x ＝﹣．【方法总结】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 例3用配方法解方程：x 2﹣8x +13＝0．ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【方法总结】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1且k≠0．【方法总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为360元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．【解答】解：（1）（20﹣16﹣1）×[80+20×（1÷0.5）]＝360（元）．答：如果销售单价降低1元，那么每天的销售利润为360元．故答案为：360；（2）设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为20﹣16﹣x＝（4﹣x）元，每天的销售量为80+20×＝（80+40x）瓶，依题意，得：（4﹣x）（80+40x）＝350，解得：x1＝1.5，x2＝0.5，又∵为尽快减少库存，∴x＝1.5，∴20﹣x＝18.5，答：西板豆豉的销售单价为18.5元．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系：每天的销售利润＝每瓶的销售利润×日销售量是解决问题的关键．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【解答】解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（40﹣x）米，宽（20﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣x）（20﹣x）＝741，整理得：x2﹣60x+59＝0，解得：x1＝1，x2＝59．又∵20﹣x＞0，∴x＜20，∴x＝1．答：小道的宽为1米．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣＝0，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，解得x1＝，x2＝﹣；（2）2x2+8x﹣1＝0，x2+4x＝，x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，则x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不论k取何实数，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一个根为﹣1．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%；（2）设降价y元，（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不合题意，舍去），答：当商品降价5元时，商场当月获利4250元．4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，整理，得：2x2﹣33x+58＝0，解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．答：x的值为2．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．【解答】解：（1）＝﹣2，原方程化为：＝﹣2，方程两边都乘2（x﹣1），得2x＝3﹣4（x﹣1），解得：，检验：当时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原分式方程的根，即原分式方程的解是x＝；（2）＝，原方程化为：＝，方程两边都乘（2x+1）（2x﹣1），得2（2x+1）＝4，解得：，检验：当时，2x﹣1＝0，所以x＝是原方程的增根，即原方程无解．【方法总结】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是t2+5t+6＝0．【解答】解：把xx+1=t代入方程(x x+1)2+5(x x+1)+6=0，得t2+5t+6＝0．故答案为：t2+5t+6＝0．【方法总结】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A 、B 两种型号机器人搬运原料．已知A 型机器人每小时搬运的原料比B 型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B 型机器人搬运2400千克所用时间与A 型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．【解答】解：设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运（12x +50）kg原料， 依题意，得：2400x=200012x+50， 解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴12x +50＝125．答：A 型机器人每小时搬运125kg 原料，B 型机器人每小时搬运150kg 原料．【方法总结】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？【解答】解：设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则做作业的效率提高后每天做2x 页的数学寒假作业， 依题意，得：﹣（5+）＝6，解得：x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意． 答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【解答】解：设甲队x 天完成任务，则乙队（x +8）天完成任务， 由题意得：×+＝，解得：x ＝8，检验得：x ＝8是原方程的根，则2×（+）＝＜，答：若让两队再共同修筑2天，不能完成任务．【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 y 2+2y ﹣3＝0 ． 【解答】解：x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，则原方程化为：y =3y −2， y 2＝3﹣2y ， y 2+2y ﹣3＝0，故答案为：y 2+2y ﹣3＝0． 2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．【解答】解：（1）去分母得：x +2（x ﹣2）＝x +2，去括号得：x+2x﹣4＝x+2，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．3．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0或x+3＝0，即x＝±3，把x＝3代入整式方程，可得：m＝6，把x＝﹣3代入整式方程，可得：m＝12，综上，可得：方程的增根是x＝±3，方程产生增根时m＝6或12．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得：﹣＝2，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？【解答】解：设B班每天植树x棵，那么A班每天植树1.5x棵，依题意，得3001.5x =240x−2，解之得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解则当x＝20时，1.5x＝30．答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵．知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项符合题意；C、不是整式方程，故本选项不符合题意；D、是二元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．例2解方程组：（1）；（2）．【解答】解：（1），①+②×2，得11x＝﹣11，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入②，得y＝2，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，②×2﹣①，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，解得y＝0，故方程组的解为．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．例3已知方程组与有相同的解，求m和n值．【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【方法总结】解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力． 例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？【解答】解：设竹签有x 根，山楂有y 个， 由题意得：{5x +4=y 8(x −7)=y ，解得：{x =20y =104，答：竹签有20根，山楂有104个．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【解答】解：设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆， 根据题意得：，解得：，答：甲种车型需9辆，乙种车型需5辆．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝4【解答】解：∵3x 3m ﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，∴{3m −2n =1n −m =1， 解得：{m =3n =4，故选：D ．2．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−5【解答】解：由已知得方程组{4x −5y =412x +3y =−7，解得{x =4y =−5，代入{ax −by =13ax +by =3，得到{4a +5b =134a −5b =3，解得{a =2b =1．故选：A ．3．解方程组：．【解答】解：，①+②×2得：13x ＝26，即x ＝2， 把x ＝2代入②得：y ＝4， 则方程组的解为．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【解答】解：设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟， 依题意得：{x +y =1680x +200y =1880，解得：{x =11y =5．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？ 【解答】解：（1）设长条椅的单价为x 元，弧形椅的单价为y 元， 依题意得：，解得：．答：长条椅的单价为100元，弧形椅的单价为260元． （2）设A 景区采购长条椅m 条，弧形椅n 条， 依题意得：，解得：．答：A 景区采购长条椅300条，弧形椅100条．知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； （3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④a b a c c b +a b c ac bc c a c b a b c ac bc c a cbax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x。
方程与不等式知识结构图
方程(组)与不等式(组) 知识结构表方程: 含有未知数的等式叫做方程．方程的解:能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程: 求方程的解的过程叫做解方程．定义: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.(1) 一元一次方程 解法: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．定义: 含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．由这样的几个方(2) 二元一次方程(组) 程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．分类 解法: 基本思想是消元，基本方法是代入消元法、加减消元法．方程(组) 定义:只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (0≠a ).(3)一元二次方程 解法; 直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．根的判别式(ac b 42-=∆):当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根；当0<∆时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立.方 定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程．程 (4)分式方程 解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解与 分式方程必须要验根．有时也可采用换元法．不 应用: 一般步骤:①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)；⑤检验方程(组)的根；⑥作答． 等式 不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．不等式的解: 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．有关概念 不等式的解集:一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．解不等式:求不等式的解集的过程，叫做解不等式．性质1: 如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，a －c ＞b －c ．不等式的性质 性质2: 如果a ＞b ，并且c ＞0，那么ac ＞bc ．性质3: 如果a ＞b ，并且c ＜0，那么ac ＜bc ．: 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式．不等式（组） 一元一次不等式 解法: 基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．特别要注意当系数化为1时, 不等式两边同乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向必须改变．分类 定义: 几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．一元一次不等式组 解法: 求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出解集的公共部分．解集有如下规律: 同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解．应用: 解不等式(组)在实际问题中的应用，关键是使学生能从实际问题中抽象出数量关系，列出不等式（组），建立不等式模型，通过转化为纯数学问题来解决实际应用问题．在列不等式时还要密切关注题中的不等关系，如“至少”，“至多”，“不大于”，“不小于”等等．。
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)专项攻克试题(含详细解析)
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知关于x 的方程2mx x +=的解是4x =，则m 的值为（ ）A ．12B ．2C ．32D ．232、《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．则买鸡的人数和鸡的价钱各是（ ）A ．8人，61文B ．9人，70文C ．10人，79文D ．11人，110文 3、不等式331x +>-的解集为（ ）A ．13x >-B ．13x > C ．1x > D ．43x >- 4、已知x y =，则下列式子不一定成立的是（ ）A ．+=+x a y aB ．x b y b -=-C ．x c y c ⋅=⋅D ．x y d d= 5、3388Y X ⨯>，那么（ ）A ．X Y <B ．X Y >C ．X Y =D ．无法确定6、已知1x =-是关于x 的方程237x a +=的解，则a 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．57、《孙子算经》记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”大致意思是：今有若干人乘车，若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？有多少辆车？若设有x 人，有y 辆车，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．()229x x y x y ⎧-=⎨+=⎩B ．()3229y x y x ⎧-=⎨+=⎩C ．()3229x y y x ⎧-=⎨+=⎩D ．()3229y x x y ⎧-=⎨+=⎩8、若（m －1）x |m |＝7是关于x 的一元一次方程，则m ＝（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．09、我国古代名著《九章算术》中有一题：“今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发，多少天相遇？设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为（ ）A ．9x -7x =1B ．9x +7x =1C ．11x x 179+= D ．11x x 179-= 10、根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．如果ac bc =，那么a b =B ．如果63a =，那么2a =C ．如果123a a -=，那么321a a +=D ．如果2a b =，那么2a b =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、学校为“中国共产党建党100周年合唱比赛”印制宣传册，某复印店的收费标准如下： ①印制册数不超过100册时，每册2元；②印制册数超过100册但不超过300册时，每册按原价打八折；③印制册数超过300册时，前300册每册按原价打八折，超过300册的部分每册按原价打六折； 学校在复印店印制了两次宣传册，分别花费192元和576元，如果学校把两次复印的宣传册合并为一次复印，则可节省．．______元． 2、若1x =是方程53x a x +=-的解，则a =________．3、临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x 元，则列方程为______．4、 “a 与b 的2倍大于1”用不等式可表示为________．5、某服装进货价为60元/件，商店提高进价的50%进行标价，现为回馈老顾客将此服装打_______折销售，仍可获利20%．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解不等式组()45321023x x x x ⎧->-⎪⎨+>⎪⎩2、某机械加工厂计划在规定期限内完成一批零件的生产任务，如果每天生产零件25个，那么到期将比原计划少生产100个；如果每天生产零件30个，那么到期将比原计划多生产80个，求原计划几天完成任务？3、如表是某次篮球联赛积分榜的一部分（1）观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；（2）设某队胜x 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含x 的整式填空）；（3）若某队的负场总积分是胜场总积分的n 倍，其中n 为正整数，请直接写出n 的值．4、对于数轴上的点A 和正数r ，给出如下定义：点A 在数轴上移动，沿负方向移动r 个单位长度后所在位置点表示的数是x ，沿正方向移动r 个单位长度后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的r 对称数”，记作(,){,}D A r x y =，其中x y <．例如：原点O 表示0，原点O 的1对称数是(,1){1,1}D O =-．（1）若点A 表示2，则点A 的4对称数(,4){,}D A x y =，则x = ，y = ；（2）若(,){3,11}D A r =-，求点A 表示的数及r 的值；（3）己知(,5){,}D A x y =，(,3){,}D B m n =，若点A 、点B 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A 的速度是点B 速度的2倍，当2()3()y n x m -=-时，请直接写出点A 表示的数．5、为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于减排0.997千克“二氧化碳”，在节电55度产生的减排量中，若小明减排量的2倍比小玲多19.94千克．设小明半年节电x 度．请回答下面的问题：（1）用含x 的代数式表示小玲半年节电量为 度，用含x 的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为 千克，用含x 的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为 千克．（2）请列方程求出小明半年节电的度数．-参考答案-一、单选题1、A【分析】把4x =代入原方程，再解方程即可求解．【详解】解：把4x =代入2mx x +=得，424m +=， 解得，12m =， 故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，代入后正确地解方程．2、B【分析】买鸡的人数为x 人，根据“如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．”列出方程，即可求解．【详解】解：买鸡的人数为x 人，根据题意得：911616x x -=+ ，解得：9x = ，∴鸡的价钱为911991170x -=⨯-= ，答：买鸡的人数为9人，鸡的价钱为70文．故选：B【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3、D【分析】首先根据一元一次不等式的一般步骤，对其移项，合并同类项，将系数化为1即可得出答案．【详解】331x +>-移项得：313x >--，合并同类项得：34x >-，将系数化为1得：43x >-．故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的知识，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．4、D【分析】根据等式的性质逐项分析即可．【详解】解：A . ∵x y =，由等式的性质1可知+=+x a y a ，故成立； B . ∵x y =，由等式的性质1可知x b y b -=-，故成立；C . ∵x y =，由等式的性质2可知x c y c ⋅=⋅，故成立；D . ∵x y =，由等式的性质2可知，当d =0时，x y d d=不成立； 故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．【分析】 先两边除以38，然后根据X 的范围分类讨论即可【详解】 解：把不等式3388Y X ⨯>两边同时除以38， 得：1Y X>， ∵当X >0时，Y >X ；当X <0时，Y <X ；∴无法判断X 、Y 的大小关系，故选D ．【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．6、C【分析】将1x =-代入方程可得一个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：将1x =代入方程237x a +=得：237a -+=，解得3a =，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，掌握理解方程的解的定义是解题关键．【分析】根据“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】依题意，得：()3229y xy x ⎨-+⎧⎩＝＝故选：B【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8、B【分析】根据一元一次方程的定义得出m-1≠0且|m|=1，再求出答案即可．【详解】解：∵方程（m-1）x|m|=7是关于x的一元一次方程，∴m-1≠0且|m|=1，解得：m=-1，故选：B．【点睛】本题考查了绝对值和一元一次方程的定义，能根据题意得出m-1≠0和|m|=1是解此题的关键．9、C【分析】野鸭从南海起飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．可得野鸭和大雁每天飞行南海到北海路程的17，19，设经过x 天相遇，根据野鸭的路程+大雁的路程=1列出方程即可．【详解】解：由题意可得，17x +19x ＝1， 故选：C ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．10、C【分析】根据等式的性质逐项判断即可．【详解】解：A. 如果ac bc =，那么a b =，当c =0时，不正确，不符合题意；B. 如果63a =，那么12a =，原选项不正确，不符合题意； C. 如果123a a -=，那么321a a +=，原选项正确，符合题意；D. 如果2a b =，那么2b a =，原选项不正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是熟记等式的性质，注意：等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立．二、填空题1、76.8或48【分析】先求出三类收费标准对应的花费钱数的取值范围，根据题目中所花费的金额，分类讨论，求出两次对应购买的册数，然后对应求出合并后的花费，最后即可求出答案．【详解】解：设：印制册的花费为a 元，由题意可知：当印制册数不超过100册时，对应的花费200a ≤元，当印制册数超过100册但不超过300册时，对应的花费为160480a <≤元，当印制册数超过300册时，对应的花费为480a >元，对于第一次花费来说，设宣传册数为x ，由于花费为192元，故分两种情况讨论，①当100x ≤时，2192x =，解得：96x =，②当100300x <≤时，20.8192x ⋅=，解得：120x =，对于第二次花费来说，设宣传册数为y ，由于花费为576元，故只能是第③种优惠方案，30020.82(300)0.6576y ∴⨯⨯+-⋅=，解得：380y =∴第一次购买是96册时：优惠为19257630020.82(96380300)0.676.8⎡⎤+-⨯⨯++-⋅=⎣⎦元， 第一次购买是120册时：优惠为19257630020.82(120380300)0.648⎡⎤+-⨯⨯++-⋅=⎣⎦元， 故答案为：76.8或48．【点睛】本题主要是考查了一元一次方程的实际应用，熟练根据不同方案，进行分类讨论，列出对应方程，求解未知量，这是解决该题的关键．2、-7【分析】把x=1代入方程5x+a=x-3得出5+a=1-3，求出方程的解即可．【详解】解：把x=1代入方程5x+a=x-3得：5+a=1-3，解得：a=-7，故答案为：-7．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的方程是解此题的关键．3、0.8x-10=0.6x+50【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可．【详解】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：0.8x-10=0.6x+50，故答案为：0.8x-10=0.6x+50．【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键．4、a+2b＞1【分析】a与b的2倍即为2a b，再用不等号连接即得答案．【详解】解：由题意得：“a与b的2倍大于1”用不等式表示为21+>．a b故答案为：21+>．a b【点睛】本题考查了根据不等关系列出不等式，属于应知应会题型，正确理解题意是关键．5、八【分析】可设该服装应打x折销售，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该服装应打x折销售，根据题意得：60×（1+50%）×0.1x﹣60＝60×20%，解得：x＝8．故该服装应打8折销售．故答案是：八．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润=售价-进价，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．三、解答题1、﹣1 < x < 2【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；【详解】解：()45321023x x x x ⎧->-⎪⎨+>⎪⎩①② 解不等式①，得x >﹣1,解不等式②，得x < 2,所以，此不等式组的解集为﹣1 < x < 2【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、原计划36天完成任务．【分析】设原计划x 天完成任务，根据两种生产方式下，这批零件原计划的产量相等建立方程，解方程即可得．【详解】解：设原计划x 天完成任务，由题意得：251003080x x +=-，解得36x =，答：原计划36天完成任务．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．3、（1）胜一场积2分，负一场积1分（2）2x ，14x -（3）1、6、13【分析】（1）设胜一场积a 分，则由远大队胜、负积分可知负一场积21737a a -=-分，根据光明队胜9场负5场积23分即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设胜了x 场，则负了（14-x ）场，由胜一场积2分负一场积1分即可得出结论；（3）根据负场总积分是胜场总积分的n 倍即可得出关于x 的一元一次方程，解方程求出x 值，再根据x 、n 均为正整数即可得出n 的值．（1）设胜一场积a 分，则由远大队胜、负积分可知负一场积21737aa -=-分，∴由光明队可得：95(3)23a a +-=解得：2a =∴31a -=∴胜一场积2分，负一场积1分（2）设胜了x 场，则负了（14-x ）场，∴胜场总积分为2x 分，负场总积分为（14x -）分（3）∵负场总积分是胜场总积分的n 倍∴14x nx -= 解得：141x n =+∵x 和n 均为正整数，∴112714n +=、、、∴解得140x n =⎧⎨=⎩（舍去），71x n =⎧⎨=⎩、26x n =⎧⎨=⎩、113x n =⎧⎨=⎩ 故答案为：1、6、13【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．4、（1）2,6-（2）4,7A r ==（3）20A =【分析】（1）读懂题干中的定义，利用定义进行求解；（2）根据(,){3,11}D A r =-，列出关于,A r 的二元一次方程组求解即可；（3）假设A 点的位置是2s ，点A 的速度是点B 速度的2倍，B 点的位置是s ,此时，根据A 点的位置2s ，可以算出25x s =-，25y s =+．根据B 点的位置s ，得出3m s =-，3n s =+，代入2()3()y n x m -=-中，得到2(253)3(253)s s s s +--=--+，解出s 即可．（1）解：2,4A R ==,(2,4){2,6}D ∴=-，故答案所示：2,6-；（2）解：(,){3,11}D A r =-，311A r A r -=-⎧∴⎨+=⎩，解得：4,7A r ==；（3）解：假设A 点的位置是2s ，因为点A 的速度是点B 速度的2倍，所以B 点的位置是s ，此时，根据A 点的位置2s ，可以算出25x s =-，25y s =+，根据B 点的位置s ，可以算出3m s =-，3n s =+，代入2()3()y n x m -=-中，得到2(253)3(253)s s s s +--=--+，解得：10s =，20A ∴=．【点睛】本题为创新型题目，解题的关键是重点在题目意思的理解，结合分析可以利用数形结合的方法求解，在掌握了题目含义的基础上，进行解答．注意“x ，y 的数值是关于A 对称”的运用．5、（1）（55－x ），0.997x ，0.997（55－x ）（2）25度【分析】（1）根据题意列出相关的代数式即可；（2）根据题意列出方程求解即可．（1）解：用含x 的代数式表示小玲半年节电量为（55－x ）度，用含x 的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为0.997x 千克，用含x 的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为0.997（55－x ）千克．故答案为：（55－x ），0.997x ，0.997（55－x ）（2）列方程为：20.9970.997(55)19.94x x ⨯=-+解得：25x =答：小明半年节电25度．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系．。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
解一次方程(组)与一次不等式(组)
解一次方程（组）与一次不等式（组）1.一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b （a ≠0），它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。
解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。
2.方程ax=b （a 、b 为常数）的解的情形当a ≠0时，方程ax=b 有唯一解a b x =当a=0，b=0时，方程ax=b 有无数多个解，即方程的解为任何有理数。
当a=0，b ≠0时，方程ax=b 无解。
3.一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4.不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程（组），我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c （a 、b 互质）有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x5.一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是ax>b 或ax<b （a ≠0），任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项，合并同类项化为一般形式，解不等式的根据是不等式的同解原理。
6.不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质反身性如果a>b ，那么b<a传递性如果a>b ，b>c ，那么a>c平移性如果a>b ，那么a+c>b+c伸缩性如果a>b ，c>0，那么ac>bc如果a>b ，c<0，那么ac<bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法
不等式与方程组一元一次不等式和方程组的解法随着数学的发展，不等式和方程组是数学中常见的问题类型。
它们在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍一元一次不等式和方程组的解法。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式指的是只有一个变量的一次不等式。
其一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b、c均为已知的实数。
解一元一次不等式的方法有图像法和代数法两种。
图像法是一种直观的解题方法，通过将不等式转化为一个直线的图像来求解。
以ax + b > c为例，我们可以首先考虑等式ax + b = c，然后绘制与该等式对应的直线。
接下来，根据不等式的符号大于号">"，我们在直线上方的某一侧进行标记。
最后，我们找出标记的区域，该区域即为不等式的解集。
代数法是一种通过代数运算求解的方法。
以ax + b > c为例，我们可以首先将不等式转化为等式：ax + b = c，然后移项得到ax = c - b，最后解出x的值，即得到不等式的解集。
二、一元一次方程组的解法一元一次方程组指的是只包含一个变量的一次方程的方程组。
其一般形式为⎧⎨⎩a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知的实数。
解一元一次方程组的方法有代入法和消元法两种。
代入法是一种较为直观的解题方法，通过将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到另一个方程中的变量的值。
以上述方程组为例，我们可以首先解出其中一个变量的值，例如解出x的值，然后将x的值代入另一个方程中求解出y的值，最后得到方程组的解。
消元法是一种通过消去一个变量的方法，从而将方程组转化为一个单变量的方程，再进行解答。
以上述方程组为例，我们可以首先将两个方程中的一个变量消去，例如消去y，然后得到一个关于x的一元一次方程，解得x的值，最后根据x的值求解出y的值，得到方程组的解。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
第6章 一次方程(组)和一次不等式练习题 含解析
第6章 一次方程（组）和一次不等式（组）一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+B ．22m n ->-C ．22m n >D ．22m n ->-3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半 ． 13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 ． 14．解不等式：29x x --„的非负整数解有 个． 15．不等式2132x x +>-的非负整数解是 ． 16．不等式215x -„的非负整数解是 ． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是 ． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为 ． 19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为 ． 20．不等式123x x -+>的正整数解为 ． 21．不等式3618x ---…的正整数解为 ．22．试写出一个不等式 使它的正整数解只有1，2，3． 23．满足 2.1x <-的最大整数是 ． 24．不等式1208x-…的最大整数解为 ． 25．不等式250x -…的最小整数解为 ． 26．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是 ． 27．不等式214x ->的最小整数解是 ．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是 ． 三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．30．解不等式121132x x+++…，并把它的解集在数轴上表示出来．31．解不等式并把解集表示在数轴上： （1）2(1)142x x +-+…， （2）7223x x---…32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集．35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题： （1）1{2min -，1}3-= ． （2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值； （3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？参考答案一．选择题（共11小题） 1．不等式23x ->的解集是( ) A ．23x >-B ．23x <-C ．32x >-D ．32x <-【解答】解：不等式的两边同时除以2-得，32x <-．故选：D ．2．如果m n >，那么下列结论错误的是( ) A ．22m n +>+ B ．22m n ->- C ．22m n > D ．22m n ->-【解答】解：m n >Q ， 22m n ∴-<-，故选：D ．3．如果a b >，0m <，那么下列不等式中成立的是( ) A ．am bm >B ．a b m m> C ．a m b m +>+ D ．a m b m -+>-+．【解答】解：A 、am bm <，故原题错误； B 、a bm m<，故原题错误； C 、a m b m +>+，故原题正确；D 、a m b m -+<-+，故原题错误；故选：C ．4．不等式240x +„的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：移项得，24x -„， 系数化为1得，2x -„． 在数轴上表示为：．故选：C ．5．不等式260x +>的解集在数轴上表示正确的是( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：260x +>， 26x >-， 3x >-，在数轴上表示为：，故选：C ．6．现有三种不同的物体：“甲、乙、丙”，用天平称了两次，情况如图所示，那么“甲、乙、丙”这三种物体按质量从大到小的顺序排列为( )A ．丙甲乙B ．丙乙甲C ．乙甲丙D ．乙丙甲【解答】解：由图一可得：丙+丙>丙+乙，所以丙>乙； 由图二可得：甲+甲+甲=甲+乙，所以乙=甲+甲>甲． 则丙>乙>甲． 故选：B ．7．一件商品成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得15%的利润．如果设该商品的原价是x 元，则列式( ) A ．303015%85%x +⨯„ B ．303015%85%x +⨯… C ．303015%85%x -⨯„D ．303015%85%x -⨯…【解答】解：由题意：303015%85%x +⨯„． 故选：A ．8．若关于x 的一元一次方程20x m -+=的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．2m …B ．2m >C ．2m <D ．2m „【解答】解：Q 方程20x m -+=的解是负数， 20x m ∴=-<，解得：2m <， 故选：C ．9．关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是( )A ．1a …B ．1a -…C ．1a -„D ．0a …【解答】解：移项，得5642x x a a +=++， 合并同类项，得666x a =+， 系数化成1得1x a =+，根据题意得：10a +…， 解得：1a -…． 故选：B ． 10．不等式732122x x --+<的负整数解有( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【解答】解： 去分母， 得：7232x x -+<-， 移项， 得：3722x x -<-- 合并同类项， 得：23x -<， 则32x >-． 则负整数解是：1-． 故选：A ．11．如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，则a 的取值范围是( ) A ．0a <B ．1a <-C ．1a >D ．1a >-【解答】解：由题意，得 10a +<，解得1a <-， 故选：B ．二．填空题（共17小题）12．用不等式表示：y 减去1的差不小于y 的一半 112y y -… ．【解答】解：依题意，得：112y y -…．故答案为：112y y -…．13．不等式2(1)34x x ->-的自然数解为 1和0 ． 【解答】解：2(1)34x x ->-， 2234x x ->-， 2342x x ->-+， 2x ->-， 2x <，则该不等式的自然数解为1和0， 故答案为：1和0．14．解不等式：29x x --„的非负整数解有 4 个． 【解答】解：29x x --„，29x x +„， 39x „， 3x „，所以不等式：29x x --„的非负整数解有0，1，2，3四个， 故答案为4．15．不等式2132x x +>-的非负整数解是 0，1，2 ． 【解答】解：移项得，2321x x ->--， 合并同类项得，3x ->-， 系数化为1得，3x <． 故其非负整数解为：0，1，2．16．不等式215x -„的非负整数解是 0、1、2、3 ． 【解答】解：215x -„， 移项得：26x „，不等式的两边都除以2得：3x „， 即不等式的非负整数解释：0、1、2、3， 故答案为：0、1、2、3． 17．不等式1123x x --<的非负整数解是 0，1，2，3 ． 【解答】解：1123x x --<， 32(1)6x x --<，3226x x -+<， 3262x x -<-， 4x <，所以不等式1123x x --<的非负整数解是0，1，2，3， 故答案为：0，1，2，3． 18．不等式12123x x -->的非负整数解为 0 ． 【解答】解：12123x x -->3(1)2(21)x x ->-，则3342x x ->-， 故75x ->-， 解得：57x <， 故不等式12123x x -->的非负整数解为0． 故答案为：0．19．不等式3256x x -+„的最大负整数解为 1x =- ． 【解答】解：3256x x -+Q „，3562x x ∴-+„， 28x -„，则4x -…，∴不等式的最大负整数解为1x =-，故答案为：1x =-． 20．不等式123x x -+>的正整数解为 1，2 ． 【解答】解：123x x -+>， 去分母，得：163x x -+>， 移项，得：316x x ->-， 合并同类项，得：25x ->-， 系数化成1得： 2.5x <． 则正整数解是：1，2．故答案是：1，2．21．不等式3618x ---…的正整数解为 1、2、3、4 ．【解答】解：3618x ---…，移项得：3186x --+…合并同类项得：312x --…，把x 的系数化为1得：4x „，∴不等式3618x ---…的正整数解为1、2、3、4．故答案为1、2、3、4．22．试写出一个不等式 3x „（答案不唯一） 使它的正整数解只有1，2，3．【解答】解：不等式3x „（答案不唯一）的正整数解只有1，2，3，故答案为：3x „（答案不唯一）23．满足 2.1x <-的最大整数是 3- ．【解答】解：满足 2.1x <-的最大整数是3-，故答案为：3-．24．不等式1208x -…的最大整数解为 0 ． 【解答】解：不等式去分母得：120x -…， 解得：12x „， 则不等式的最大整数解为0，故答案为：0．25．不等式250x -…的最小整数解为 3 ． 【解答】解：不等式250x -…， 移项得：25x …， 解得：52x …， 则不等式的最小整数解为3，故答案为：326．适合不等式3(2)2x x ->的最小正整数是 7 ．【解答】解：3(2)2x x ->，362x x ->，326x x ->，6x >，所以不等式3(2)2x x ->的最小正整数是7，故答案为：7．27．不等式214x ->的最小整数解是 3 ． 【解答】解：214x ->，25x >，2.5x >，所以不等式214x ->的最小整数解是3，故答案为：3．28．对于有理数m ，我们规定[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[1.2]1=，[3]3=，[ 2.5]3-=-，若2[]53x +=-，则整数x 的取值是 17-，16-，15- ． 【解答】解：[]m Q 表示不大于m 的最大整数，2543x +∴-<-„， 解得：1714x -<-„，∴整数x 为17-，16-，15-，故答案为17-，16-，15-．三．解答题（共12小题）29．解不等式3(2)2x x +>，并把解在数轴上表示出来．【解答】解：去括号，得：632x x +>，移项，得：326x x ->-，合并同类项，得：6x >-，将解集表示在数轴上如下：30．解不等式121132x x +++…，并把它的解集在数轴上表示出来． 【解答】解：去分母，得2(12)63(1)x x +++…去括号得，24633x x +++…， 再移项、合并同类项得，5x -…．在数轴上表示为：．31．解不等式并把解集表示在数轴上：（1）2(1)142x x +-+…，（2）7223x x ---… 【解答】解：（1）22142x x +-+…， 24221x x --+…，21x -…， 12x -„，（2）3122(7)x x ---…，312152x x --+…，321512x x --+…，3x -…，32．若关于x 的不等式14x x m +>+的解集为1x <，求m 的值．【解答】解：41x x m ->-，31x m ->-，13m x -<， Q 不等式的解集为1x <，∴113m -=， 解得2m =-．33．若不等式3(2)54(1)6x x -+<-+的最小整数解为方程23x ax -=的解，求a 的值．【解答】解：解不等式3(2)54(1)6x x -+<-+，去括号，得：365446x x -+<-+，移项，得344665x x -<-++-，合并同类项，得3x -<，系数化成1得：3x >-．则最小的整数解是2-．把2x =-代入23x ax -=得：423a -+=， 解得：72a =． 34．已知3x =是方程212x a x --=-的解，求不等式1(2)53a x ->的解集． 【解答】解：由于3x =是方程212x a x --=-的解， 所以32312a --=- 解得5a =-把5a =-代入不等式，得1(21)3x +> 解得，19x > 所以不等式的解集为19x >． 35．若关于x 的一元一次方程538m x +=的解是非负数，求m 的取值范围．【解答】解：解方程538m x +=得853m x -=， 根据题意知8503m -…， 解得85m „． 36．学校为美化环境，计划购进菊花和绿萝共30盆，菊花每盆16元，绿萝每盆8元，若购买菊花和绿萝的总费用不超过400元，则最多可以购买菊花多少盆？【解答】解：设需要购买菊花x 盆，则需要购买绿萝(30)x -盆，依题意，得：168(30)400x x +-„，解得：20x „．答：最多可以购买菊花20盆．37．有10名合作伙伴承包了一块土地准备种植蔬菜，他们每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知每亩茄子平均可收入0.5万元，每亩辣椒平均可收入0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能安排多少人种茄子？【解答】解：安排x 人种茄子，依题意得：30.52(10)0.815.6x x +-g g …，解得：4x „．所以最多只能安排4人种茄子．38．字母m 、n 分别表示一个有理数，且m n ≠．现规定{min m ，}n 表示m 、n 中较小的数，例如：{3min ，1}1-=-，{1min -，0}1=-．据此解决下列问题：（1）1{2min -，1}3-= 2． （2）若21{3x min -，2)1=-，求x 的值； （3）若{25min x -，3}2x +=-，求x 的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：1{2min -，11}32-=-； 故答案为：12-； （2）由21>-，得到2113x -=-， 解得：1x =-； （3）若252x -=-，解得： 1.5x =，此时3 4.52x +=>-，满足题意；若32x +=-，解得：5x =-，此时25152x -=-<-，不符合题意，综上， 1.5x =．39．某县为了更好保障居民饮用水安全，环保局决定购10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，价格与每台日处理污水的能力见表．（1）若县环保局购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种方案．（2）在（1）的条件下，每日要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请设计“一个最省钱”的购买方案．【解答】解：（1）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，依题意得，1210(10)105x x +-„，解得， 2.5x „；又x 取自然数（或说非负整数），故2x =，1，0，所以，符合要求的购买方案有以下3种：①购买10台B 型；②购买1台A 型和9台B 型；③购买2台A 型和8台B 型．（2）设购买A 型设备x 台，则B 型设备(10)x -台，由题意得：240200(10)2040x x +⨯-…，解得，1x …， 由生活实际可知价格便宜的购置数量越多越省钱，故购买1台A 型和9台B 型符合要求，40．甲、乙两队共同承担一项“退耕返林”的植树任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用8天，且甲队单独植树7天和乙队单独植树5天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）甲、乙两队共同植树5天后，乙队因另有任务停止植树，剩下的由甲队继续植树．为了能够在规定时间内完成任务，甲队增加人数，使工作效率提高到原来的2倍．那么甲队至少再单独施工多少天？【解答】解：（1）设乙队单独完成此项任务需x 天，则甲队单独完成此项任务需(8)x +天， 依题意，得：857x x +=， 解得：20x =，828x ∴+=．答：甲队单独完成此项任务需28天，乙队单独完成此项任务需20天．（2）设甲队再单独施工y 天， 依题意，得：55212028y ++…， 解得：8y …．答：甲队至少再单独施工8天．。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
有 3 个整数解，则 a 的取值范围为
( A)
A．1<a≤2
B．1<a<2
C．1≤a<2
D．1≤a≤2
6 ． (2019 · 鄂 州 第 12 题 3 分 ) 若 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组
x－3y＝4m＋3，
x＋5y＝5
的解满足 x＋y≤0，则 m
的取值范围是__mm≤≤－－22__.
③学校购买篮球和足球共 40 个．
(1)
若④购买篮球的个数不少于足球个数的23，则最少可购买篮球
116 6
个；
【分层分析】(1)设购买篮球 x 个，则由题干③可得购买足球((440 0－－x)
个，由题干④可列不等式为
2 xx≥≥3((4400－－xx))，解此不等式得
x) xx≥≥1166.
(2)若⑤购买篮球的费用不超过购买足球的费用，则最多可购买篮球115
(2)若此不等式组的解集为－4≤x<1，则 a 的值为－－22； 【分层分析】(2)由题意得1a.－25168＝0－－m4 m，即 a＝－－22;
重难点 2：一元一次不等式的应用
(一题多设问)某校为举行体育比赛活动，准备购买若干个足球和篮
球作为奖品，已知①篮球的单价为 100 元/个，②足球的单价为 60 元/个，
第四节 一元一次不等式 (组)及其应用
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.一元一次不等式(组)的解法及解集 表示，考查形式有：①求不等式(组)的解集；②求不等式(组)的解集并在 数轴上表示；③求不等式组的整数解；④确定不等式组中字母参数的取 值范围.2.一元一次不等式的应用，考查形式有：①利用不等式判断哪种 方案合算；②与方程(组)、函数结合确定方案问题，设题背景有购买问题、 销售费用问题，以解答题为主
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
x＋y＝40， x＋y＝12， C.3x＋4y＝12 D.3x＋4y＝40
6．(2019·岳阳第 15 题 4 分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下 列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”其意思 为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺．问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布335115 尺．
8. (2019·娄底第 23 题 9 分)某商场用 14 500 元购进甲、乙两种矿泉水
共 500 箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别
成本价(元/箱)
销售价(元/箱)
甲
25
35
乙
35
48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
解：设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱，依题意，得
x＋y＝500， 25x＋35y＝14 500，
2 次，2020 年考查 2 次)
2x－y＝5， 1．(2021·郴州第 6 题 3 分)已知二元一次方程组x－2y＝1，则 x－y 的
值为
（ A）
A．2
B．6
C．－2
D．－6
2．(2021·株洲第 2 题 4 分)方程x2－1＝2 的解是 A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
（ D）
3．(2019·湘潭第 6 题 4 分)若关于 x 的方程 3x－kx＋2＝0 的解为 2，则 k 的值为 44 .
m＝8，m＝5， m＝2， ∴n＝2，n＝6，或n＝10， ∴共有 3 种运输方案，
方案 1：安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆， 所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案 2：安排 A 型车 5 辆，B 型车 6 辆， 所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案 3：安排 A 型车 2 辆，B 型车 10 辆， 所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元)． ∵4 800＜4 900＜5 000， ∴安排 A 型车 8 辆，B 型车 2 辆最省钱，最省钱的运输费用为 4 800 元．
沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)专项测评练习题(含详解)
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、不等式组212x x <⎧⎪⎨≥⎪⎩的解集在数轴上应表示为（ ） A ． B ．C ．D ．2、一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20％，另一件亏损20％，卖这两件衣服的盈亏情况为（ ）A ．盈利5元B ．亏损5元C ．不盈不亏D ．无法计算3、如果二元一次方程组3x y a x y a-=⎧⎨+=⎩的解是二元一次方程3570x y --=的一个解,那么a 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ． 34、若关于x 的一元一次方程351923x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程﹣2（3x ﹣4m ）＝1﹣5（x ﹣m ）的解大15，则m ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣15、下列不等式是一元一次不等式的是（ ）A ．23459x x >-B ．324x -<C ．12x < D ．4327x y -<-6、下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）A ．123xy x y =⎧⎨+=⎩B ．231x y y x +=⎧⎨-=⎩C ．1111x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D ．23x z x y +=⎧⎨+=⎩ 7、大车平均速度每小时80公里，小车平均速度每小时100公里，则大车和小车行驶完同一条路的时间之比是（ ）A ．80：100B ．100：80C ．4：5D ．5：48、下列说法中，正确的是（ ）A ．若a b =，则22a b +=-B ．若a b =，则44a b -=-C ．若22a =，则1a =D ．若20a b --=，则2a b =-9、不等式820x ->的解集在数轴上表示正确的是 （ ）A ．B ．C ．D ．10、下面方程是一元一次方程的是（ ）A ．31x -B ．x y y x +=+C ．21x =D ．310x -=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某活动小组购买了4个篮球和5个足球，共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球和足球的单价．设足球的单价为x 元，依题意可列方程为________．2、若2x =是方程342x x a -=-的解，则201120111a a+的值是_______． 3、若关于x 的方程2236kx m x nk +-=+，无论k 为任何数时，它的解总是x ＝2，那么m +n ＝_____． 4、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行___，把“三元”___ “二元”，使解三元一次方程组转化为解_____，进而再转化为解_____．5、如果一个数的56是65，那么这个数是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：（1）4x -10=6（x -2）（2）10349.52.525x x +++= 2、 若关于x 的方程0ax b +=（a ≠0）的解与关于y 的方程0cy d +=（c ≠0）的解满足1x y -=，则称方程0ax b +=（a ≠0）与方程0cy d +=（c ≠0）是“美好方程”．例如：方程2+15x =的解是2x =，方程10y -=的解是1y =，因为1x y -=，方程2+15x =与方程10y -=是“美好方程”．（1）请判断方程532x -=与方程()213y +=是不是“美好方程”，并说明理由；（2）若关于x 的方程3212x k x k +-=+与关于y 的方程413y -=是“美好方程”，请求出k 的值；（3）若无论m 取任何有理数，关于x 的方程232x ma b m +-=（,a b 为常数）与关于y 的方程125y y +=-都是“美好方程”，求ab 的值．3、阅读与解答：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |．数轴上表示数a 的点与表示数b 的点的距离记作|a -b |，如|3-5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|=|3-（-5）|表示数轴上表示数3的点与表示数-5的点的距离，|a -3|表示数轴上表示数a 的点与表示数3的点的距离．根据以上材料解答下列问题：已知数轴上两点A、B对应的数分别为－1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）利用数轴探究：满足|x－3|+|x+1|=8的x的所有值；（3）当点P以每秒6个单位长的速度从O点向右运动时，点A以每秒6个单位长的速度向右运动，点B以每秒钟5个单位长的速度向右运动，问它们同时出发，几秒后P点到点A、点B的距离相等？4、某校艺术节表演了30个节目，其中歌曲类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，问歌唱类节目和舞蹈类节目各有多少个．5、果园里有桃树500棵，比苹果树的棵数多19，苹果树有多少棵？-参考答案-一、单选题1、B【分析】在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可选项答案．【详解】解：不等式组212xx<⎧⎪⎨≥⎪⎩的解集在数轴上应表示为：故选：B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集等知识点，注意：在数轴上表示不等式组的解集时，包括该点时用实心点，不包括该点时用空心点．2、B【分析】首先设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，根据题意列出方程，求解即可.【详解】设盈利的衣服的进价为x 元，亏损的衣服的进价为y 元，依题意，得：60﹣x ＝20%x ，60﹣y ＝﹣20%y ，解得：x ＝50，y ＝75，∴60+60﹣x ﹣y ＝﹣5（元）．答：卖这两件衣服总的是亏损，亏损了5元钱．故选择B【点睛】此题主要考查一元一次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出关系式.3、B【分析】先求出3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩的解，然后代入3570x y --=可求出a 的值． 【详解】解：3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩①②， 由①+②，可得2x ＝4a ，∴x ＝2a ，将x ＝2a 代入①，得2a -y =a ，∴y ＝2a ﹣a ＝a ，∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，∴将2x a y a =⎧⎨=⎩代入方程3x ﹣5y ﹣7＝0，可得6a ﹣5a ﹣7＝0， ∴a ＝7，故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．4、A【分析】 分别求出方程351923x m x m ---=的解为114137m x +=，方程()()23415x m x m --=--的解为31x m =-，然后根据题意得到1141331157m m +=-+，由此求解即可． 【详解】 解：351923x m x m ---= 去分母得：()()3352114x m x m ---=，去括号得：91522114x m x m --+=，移项得：92114152x x m m -=+-，合并得：711413x m =+，系数化为1得：114137m x +=；()()23415x m x m --=--去括号得：68155x m x m -+=-+，移项得：65158x x m m -+=+-，合并得：13x m -=-，系数化为1得：31x m =-；∵关于x 的一元一次方程351923x m x m ---=的解，比关于x 的一元一次方程()()23415x m x m --=--的解大15， ∴1141331157m m +=-+， ∴114132198m m +=+，解得2m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．5、B【分析】根据含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式进行分析即可．【详解】解：A 、未知数的次数含有2次，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；B 、是一元一次不等式，故此选项符合题意；C 、1x是分式，故该不等式不是一元一次不等式，故此选项不合题意；D 、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．6、B【分析】根据二元一次方程组的定义解答．【详解】解：A 中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；B 符合定义，故是二元一次方程组；C 中含有分式，故不符合定义；D 含有三个未知数，故不符合定义；故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．7、D【详解】解：设该条路的长度为S ，则5:801004S S ，即大车和小车行驶完同一条路的时间之比是5:4． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程并解答．8、B【分析】依据等式的性质，依次判断即可．【详解】解：A. 若a b =，根据等式的性质一，两边同时加2，则22a b +=+，故该选项错误，不符合题意；B. 若a b =，根据等式的性质二，两边同时乘-4，则44a b -=-，故该选项正确，符合题意；C. 若22a =，根据等式的性质二，两边同时乘4，则4a =，故该选项错误，不符合题意； D. 若20ab --=，根据等式的性质一，两边同时加2b +，则2a b =+，故该选项错误，不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查等式的性质．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．9、B【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可.【详解】解：820x ->，移项得：28,x解得：4,x <所以原不等式得解集：4x <．把解集在数轴上表示如下：故选B【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，掌握“画图时，小于向左拐，大于向右拐”是解本题的关键，注意实心点与空心圈的使用.10、D【详解】解：A 、31x -不是等式，不是一元一次方程，此项不符题意；B 、x y y x +=+整理为00=，不含有未知数，不是一元一次方程，此项不符题意；C 、21x =中的未知数的次数是2，不是一元一次方程，此项不符题意；D 、310x -=是一元一次方程，此项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程，熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程）是解题关键．二、填空题1、()435435x x ++=【分析】找准等量关系建立等式即可【详解】设足球的单价为x 元，则篮球单价为x+3故有：4(x +3)+5x =435故答案为：4(x +3)+5x =435【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是关键．2、2-【分析】将2x =代入方程342x x a -=-中，解出a 的值；将a 的值代入201120111a a+中，进而得出结果． 【详解】解：将2x =代入342x x a -=- 得23242a ⨯-=- 解得1a =-将1a =-代入201120111a a + 得201120111(1)(1)-+- 1(1)=-+-2=-故答案为：2-．【点睛】本题考察了方程中字母的求解、整数指数幂．解题的关键与难点在于正确的求出a 的值以及a 的指数幂．解题技巧：1-的奇次幂值为1-；1-的偶次幂值为1．3、﹣1【分析】将x =2代入原方程即可求出答案【详解】解：将x =2代入2236kx m x nk +-=+， 42236k m nk +-∴=+， ∴（8+n ）k =14-2m ，由题意可知：无论k 为任何数时（8+n ）k =14-2m 恒成立，∴n +8=0，14-2m =0，∴n =-8，m =7，∴m +n =-8+7=-1，故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4、消元 化为 二元一次方程组 一元一次方程【分析】利用解三元一次方程组的基本思想-消元的思想，判断即可得到结果．【详解】解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．故答案为：消元；化为；二元一次方程组；一元一次方程【点睛】此题考查了解三元一次方程组的思路，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5、3625【分析】设这个数是x，根据这个数的56是65，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这个数是x，依题意得：56x＝65，解得：x＝36 25．故答案为：36 25．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题1、（1）x=1（2）x=-12【分析】（1）先去括号、再移项，最后系数化为1即可；（2）按照去分母、去括号、再移项，最后系数化为1的步骤解答即可．（1）解：4x-10=6x-12，4x-6x=-12+10，-2x=-2，x=1．（2） 解：10349.52.525x x +++= 50x +15+25=8x +1942x =-21x =-12．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、再移项，最后系数化为1．2、（1）不是，理由见解析（2）0k =或23k =-（3）20ab =或28ab =【分析】（1）分别求出方程的解，再判断1x y -=，即可求解； （2）分别解出方程，再代入1x y -=，求出k 即可；（3）先解出方程125y y +=-，再代入1x y -=，求出x 的值，最后代入232x ma b m +-=即可求出ab 的值．（1）532x -=的解为1x =，()213y +=的解为12y =， 1||112x y ∴-=-≠，∴方程532x -=与方程()213y +=不是“美好方程”；（2） ∵3212x k x k +-=+的解为32x k =+， 413y -=解为1y =||3211x y k ∴-=+-=203k k ∴==-或 （3）125y y +=-的解为6y =∵关于x 的方程232x ma b m +-=（,a b 为常数）与关于y 的方程125y y +=-都是“美好方程”， ∴1x y -=∴5x =或7x = ∴232x ma b m +-=的解为5x =或7x = 即关于x 的方程232x ma b m +-=，无论m 为何值，方程的解都是5x =或7x = ∴5x =代入得232x ma b m +-=，1032ma b m +-=，整理得(26)320a m b -=- 7x =代入得232x ma b m +-=，1432ma b m +-=，整理得(26)328a m b -=- 203,3a b ∴==或283b = 20ab ∴=或28ab =【点睛】本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．3、（1）P点对应的数为1（2）x的值为－3或5（3）它们出发2秒或4秒后P到A、B点的距离相等【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等列方程求解；（2）|x－3|和|x+1|=8表示P点到数轴表示3和－1的点的距离之和为8，然后分3种情况求解；（3）分P点在点B左侧和P点在点B右侧两种情况求解．（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴P点只能在A、B之间，∴PA=PB，∴x-(-1)=3-x，∴x=1，∴P点对应的数为1．（2）解：|x－3|和|x+1|=8表示P点到数轴表示3和－1的点的距离之和为8，①当P在A点左侧时，PA+PB=8，∴(-1-x)+(3-x)=8，∴x=－3；②当P在B点右侧时，PA+PB=8，∴x-3+(x+1)=8，∴x =5；③当P 在点A 、B 之间时，x 不存在．∴x 的值为－3或5．所以答案为：－3和5．（3）解：设t 秒后P 点到点A 、点B 的距离相等，当P 点在点B 左侧时，5t +3－6t =1，∴t =2当P 点在点B 右侧时，6t －(5t +3)=1，∴t =4，∴它们出发2秒或4秒后P 到A 、B 点的距离相等．【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，分类讨论是解（2）（3）的关键．4、歌唱类节目和舞蹈类节目分别有22个和8个【分析】由题意，歌唱类节目+舞蹈类节目=30个，歌曲类节目=3倍舞蹈类节目-2个，设未知数列方程组求解．【详解】解：设歌唱类节目x 个，舞蹈类节目y 个，由题意，得3032x y x y +=⎧⎨=-⎩， 解得：228x y =⎧⎨=⎩， 答：歌唱类节目和舞蹈类节目分别有22个和8个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，并以此列出方程是解题的关键． 5、450棵【分析】设苹果树有x 棵，依题意列一元一次方程求解即可．【详解】解：设苹果树有x 棵，依题意得，115009x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得，x=450，答：苹果树有450棵．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找等量关系是解本题的关键．。
沪教版(上海)六年级数学第二学期第六章一次方程(组)和一次不等式(组)同步练习试题(含详细解析)
第六章一次方程（组）和一次不等式（组）同步练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列利用等式的基本性质变形错误的是（ ）A ．如果37x -=，那么73x =+B ．由210x =得5x =C ．如果14x y +=-，那么41x y -=--D ．如果142-=x ，那么2x =- 2、下列等式变形不正确的是（ ）A ．若a b =，则0a b -=B ．若a b =，则2a a b =＋C ．若532a a b =＋，则a b =D ．若ac bc =，则a b =3、几个人一起去购买物品，如果每人出8元，那么剩余3元；如果每人出7元，那么差4元．若设有x 人，则下列方程中，符合题意的是（ ）A ．8374x x -=+B ．8374x x +=-C ．3487x x -+=D ．3487x x ++=4、若x <y 成立，则下列不等式成立的是（ ）A ．﹣x +2<﹣y +2B ．4x >4yC ．﹣3x <﹣3yD ．x ﹣2<y ﹣25、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺！设绳索长x 尺，竿长y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A ．5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．5152x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩C ．525x y x y =+⎧⎨=-⎩D ．525x y x y =-⎧⎨=+⎩6、如图，数轴上的点O 和点A 分别表示0和10，点P 是线段OA 上一动点．点P 沿O →A →O 以每秒2个单位的速度往返运动1次，B 是线段OA 的中点，设点P 运动时间为t 秒（t 不超过10秒）．若点P 在运动过程中，当PB ＝2时，则运动时间t 的值为（ ）A ．32秒或52秒B ．32秒或72秒或132秒或152秒 C ．3秒或7秒或132秒或172秒 D ．32秒或72秒或132秒或172秒 7、已知关于x 的方程2mx x +=的解是4x =，则m 的值为（ ）A ．12B ．2C ．32D ．238、两辆汽车从相距84km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇，则甲车速度为（ ）A ．84km /hB ．94km /hC ．74km /hD ．114km /h9、已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩则a b --的值为（ ）A ．4-B ．4C ．2-D ．210、已知关于x 的方程21x a x +=-与方程231x -=的解相同，则a 的值为（ ）A ．2B ．－2C ．5D ．－5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若1x =是关于x 的方程327x a +=的解，则a 的值为_________．2、 “x 的4倍减去2-的差是正数”，用不等式表示为_________．3、请写出一个解为2的一元一次方程，这个方程可以为______．4、已知等式（2A ﹣7B ）x +（3A ﹣8B ）＝8x +10，对一切实数x 都成立，则A +B ＝_____．5、数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离表示为：AB a b ．若数轴上A 、B 两点对应的数分别为a 、b ，且满是()25100a b ++-=．（1）求得A 、B 两点之间的距离是______；（2）若P 、Q 两点在数轴上运动，点P 从A 出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q 从B 出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．经过______秒，P 、Q 两点相距5个单位长度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A ，B 两种型号的新型公交车，已知购买1辆A 型公交车和2辆B 型公交车需要165万元，2辆A 型公交车和3辆B 型公交车需要270万元．（1）求A 型公交车和B 型公交车每辆各多少万元？（2）公交公司计划购买A 型公交车和B 型公交车共140辆，且购买A 型公交车的总费用不高于B 型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A 型公交车？ 2、甲同学解答“解不等式：12123x x ++-≤1”的过程如下，请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．解：去分母，得3（1+x ）﹣2（2x +1）≤6…①去括号，得3+3x ﹣4x +1≤6…②移项，得3x ﹣4x ≤6﹣3﹣1…③合并同类项，得﹣x ≤2…④两边都除以﹣1，得x ≤﹣2…⑤3、解方程：（1）()5132x x +=-（2）11132x x +--= 4、给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，依此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数），如下而这列数2，4，6，8，10中，12a =，24a =，36a =，48a =，510a =，规定运算1231n i n i a a a a a ==++++∑．即从这列数的第一个数开始依次加到第n 个数，如在上面的一列数中，3123124612i i a a a a ==++=++=∑．（1）已知一列数1，2-，3，4-，5，6-，7，8-，9，10-，那么5a = ，51i i a==∑ ；（2）已知这列数1，2-，3，4-，5，6-，7，8-，9，10-，…，按照规律可以无限写下去，那么2020a = ，20221i i a ==∑ ；（3）在（2）的条件下，若存在正整数n 使等式12022ni i a ==∑成立，直接写出n 的值．5、对于一个四位正整数n ，如果n 满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于12，那称这个数为“幸运数”．例如：n 1＝8455，∵8＋4＋5﹣5＝12，∴8455是“幸运数”；n 2＝2021，∵2＋0＋2﹣1＝3≠12，∴2021不是“幸运数”．（1）判断3753，1858是否为“幸运数”？请说明理由．（2）若“幸运数”m ＝1000a ＋100b ＋10c ＋203（4≤a ≤8，1≤b ≤9，1≤c ≤5且a ，b ，c 均为整数），s 是m 截掉其十位数字和个位数字后的一个两位数，t 是m 截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若s 与t 的和能被7整除，求m 的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【详解】解：如果x -3=7，那么x =7+3，故A 选项正确；如果210x =，那么x =5，故B 选项正确；如果14x y +=-，那么41x y -=--，故C 选项正确； 如果142-=x ，那么8x =-，故D 选项错误． 故选D【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题时注意：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．2、D【分析】根据等式的性质逐一判断即可得答案．【详解】A.若a b =，等号两边同时减b 得0a b -=，故该选项正确，B.若a b =，等号两边同时加a 得2a a b =＋，故该选项正确，C.若532a a b =＋，等号两边同时减3a 后，再同时除以2得a b =，故该选项正确，D.若ac bc =，0c ≠时，等号两边同时除以c 得a b =，故该选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等式的性质：1、等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；2、等式两边同时乘或除同一个不为零的数或式子，两边依然相等；熟练掌握等式的性质是解题关键．3、A【分析】根据“如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x 的一元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：8374x x -=+故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．4、D【分析】不等式的性质1：在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，性质2：在不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，性质3：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的基本性质逐一判断即可.【详解】解：A 、不等式x <y 的两边都乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣x >﹣y ，不等式﹣x >﹣y 的两边都加上2，不等号的方向不变，即﹣x +2>﹣y +2，原变形错误，故此选项不符合题意；B 、不等式x <y 的两边都乘4，不等号的方向不变，即4x <4y ，原变形错误，故此选项不符合题意；C 、不等式x <y 的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，即﹣3x >﹣3y ，原变形错误，故此选项不符合题意；D 、不等式x <y 的两边都减去2，不等号的方向不变，即x ﹣2<y ﹣2，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握“不等式的基本性质”是解本题的关键.5、A【分析】根据题意可列出等量关系：绳长=竿长+5尺，竿长=绳长的一半+5尺，据此列方程即可．【详解】解：设绳索长x 尺，竿长y 尺，则5152x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出等量关系，由等量关系列方程．6、D分0≤t ≤5与5≤t ≤10两种情况进行讨论，根据PB ＝2列方程，求解即可．【详解】解：①当0≤t ≤5时，动点P 所表示的数是2t ，∵PB ＝2，∴|2t −5|＝2，∴2t −5＝−2，或2t −5＝2，解得t ＝32或t ＝72； ②当5≤t ≤10时，动点P 所表示的数是20−2t ，∵PB ＝2，∴|20−2t −5|＝2，∴20−2t −5＝2，或20−2t −5＝−2，解得t ＝132或t ＝172． 综上所述，运动时间t 的值为32秒或72秒或132秒或172秒． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P 点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．7、A【分析】把4x =代入原方程，再解方程即可求解．【详解】解：把4x =代入2mx x +=得，解得，12m=，故选：A．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，代入后正确地解方程．8、B【分析】设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为（x＋20）km/h，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解．【详解】解：（1）设乙车的速度是每小时x千米，则甲车的速度为（x＋20）km/h，根据题意得1 2（x＋20）＋12x＝84，解得 x＝74．故乙车的速度是每小时74千米；x＋20＝74＋20＝94．故甲车的速度是94km/h，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9、A【分析】求出方程组的解得到a 与b 的值，即可确定出-a -b 的值．【详解】解：51234a b a b +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②×5得：16a =32，即a =2，把a =2代入①得：b =2，则-a -b =-4，故选：A ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．10、D【分析】先求出方程231x -=的解，然后代入方程21x a x +=-，即可求出答案．【详解】解：∵231x -=，∴2x =，把2x =代入方程21x a x +=-，则2212a ⨯+=-，解得：5a =-；故选：D ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法进行解题．二、填空题1、2【分析】把1x =代入方程327x a +=，再解方程即可．【详解】解：把1x =代入方程327x a +=得，327a +=，解得，2a =，故答案为：2．【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解法，解题关键是明确方程解的意义，代入原方程求解． 2、420x【详解】解：“x 的4倍减去2-的差是正数”，用不等式表示为：420,x故答案为：420x【点睛】 本题考查的是列不等式，理解题意，体现准确的运算关系与运算顺序是列式的关键，注意正数即是大于0的数.3、20x -=或 510x =（答案不唯一）【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a ，b 是常数且0a ≠），据此求解即可．【详解】解：∵2x =，∴根据一元一次方程的一般形式0ax b +=（a ，b 是常数且0a ≠），可列方程20x -=或 510x =等，故答案为：20x -=或 510x =（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，熟练掌握一元一次方程的定义及一般形式是解题关键． 4、25【分析】根据关键语“等式(2A ﹣7B )x +(3A ﹣8B )＝8x +10对一切实数x 都成立”，只要让等式两边x 的系数和常数分别相等即可列出方程组求解．【详解】解：(2A ﹣7B )x +(3A ﹣8B )＝8x +10，∴2783810A B A B -=⎧⎨-=⎩， 解得：6545A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 则A +B ＝25， 故答案为：25．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．5、15 2或4【分析】（1）根据非负数的性质求出a 、b 的值，然后根据数轴上两点的距离公式求解即可；（2）分当PQ 相遇前和和当PQ 相遇后，两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵()25100a b ++-=，50a +≥，()2010b -≥，∴50a +=，100b -=，∴5a =-，10b =， ∴5101515AB =--=-=，故答案为：15；（2）设两人运动的时间为t 秒如图1所示，当PQ 相遇前，由题意得：点P 表示的数为25t -，点Q 表示的数为103t -，∴()103255t t ---=，即103255t t --+=，解得2t =，如图2所示，当PQ 相遇后，由题意得：点P 表示的数为25t -，点Q 表示的数为103t -，∴()25103t t ---，即251035t t --+=，解得4t=，故答案为：2或4．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点的距离，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．三、解答题1、（1）A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；（2）80【分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140-m）辆B型公交车，由题意：购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．（1）解：设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意得：2165 23270x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：4560xy=⎧⎨=⎩，答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；解：设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意得：45m≤60（140﹣m），解得：m≤80，答：该公司最多购买80辆A型公交车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．2、见解析【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1依次计算可得．【详解】解：解答错误的步骤是②、⑤，正确的解答过程是：去分母得：3（1+x）﹣2(2x+1)≤6…①，去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6…②，移项得：3x﹣4x≤6﹣3+2…③，合并同类项得：﹣x≤5…④，两边都除以﹣1得：x≥﹣5…⑤．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变．（1）x =72-；（2）x =1-【分析】（1）先去括号，后移项，合并同类项求解即可；（2）方程两边同时乘以6，去分母，后按照步骤求解即可．（1）∵()5132x x +=-，去括号，得5x +1=3x -6，移项，得5x -3x =-6-1，合并同类项，得2x =-7，系数化为1，得 x =72-．（2） ∵11132x x +--=， 去分母，得2（x +1）-3（x -1）=6，去括号，得2x+2-3x+3=6，移项，得2x-3x=6-5，合并同类项，得-x=1，系数化为1，得x=1-．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．4、（1）5，3（2）-2022，-1011（3）4043【分析】（1）根据题目中给出的材料，求出5a和前5个数的和即可；（2）按照题目中的规律写出第2020个数，根据规律求出它们的和即可；（3）根据（2）中规律，列出方程求解即可．（1）解：这列数中第5个数是5，故55a=；51123453 iia==-+-+=∑，故答案为：5，3．（2）解：按照规律奇数为正，偶数为负，则20202020a =-，2022112345620212022i i a ==-+-+-+-∑，=10111111----个=-1011，故答案为：-2022，-1011．（3） 解：由12022ni i a ==∑可知，n 是奇数，则120222n n --+=， 解得，4043n =．【点睛】本题考查了新运算和有理数计算，一元一次方程的应用，解题关键是明确题意，按照题目给出的信息进行计算，根据题目中的等式列出方程．5、（1）3753是幸运数，1858不是幸运数，见解析（2）m 的值为8343，7353【分析】（1）读懂“幸运数”的意思，再根据定义代入3773和1858进行验证；（2）m 是一个四位数，s 、t 分别是两位数，都是可以用字母a 、b 、c 表示，这样就可以用a 、b 、c 表示s 和t ．再根据m 是满月数，化简得到a +c =12-b ．最后s 和t 的和能被7整除，再代入求出值．（1）解： 3753是幸运数，1858不是幸运数，理由如下：∵3+7+5﹣3=12，1+8+5﹣8=6，∴3753是幸运数，1858不是幸运数．（2）①当1≤b≤7时，∵m＝1000a+100b+10c+203＝1000a+100（b+2）+10c+3，∴s＝10a+b+2，t＝10c+3，∴s+t＝10a+10c+b+2+3＝10（a+c）+b+5．∵m为“幸运数”，∴a+（b+2）+c﹣3＝12，∴a+c＝13﹣b，∴10（a+c）+b+5＝135﹣9b．∵135﹣9b能被7整除，且1≤b≤9，∴b＝1，∴a+c＝12．∵4≤a≤8，1≤c≤5，∴当a＝8时，c＝4，m＝8×1000+100×（2+1）+10×4+3＝8343；当a＝7时，c＝5，m＝7×1000+100（2+1）+10×5+3＝7353．②当8≤b≤9时，m＝1000（a+1）+100（b﹣8）+10c+3，∴a+1+b﹣8+c﹣3＝12，∴a+b+c＝22，当b＝8时，a+c＝14（舍去）；当b＝9时，则a+c＝13，∴85ac=⎧⎨=⎩，∴m＝9153，而91+53＝146不能被7整除，答：3764是幸运数，2858不是幸运数；m的值为8343，7353．【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，根据题目给的新定义去求解，而找到字母之间的关系，用代入消元和整体法消元是解题的关键．。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
13．(2021·毕节适应性考试)如图，点 A 在数轴上表示的数是－16.点 B 在数轴上表示的数是 8.若点 A 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动， 同时点 B 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，问：当 AB＝8 时，运 动时间为__2或4 __秒．
14．(2021·贺州)为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每 户每月用水量不超过 12 m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 12 m3 时，超过部分按二级单价收费. 已知李阿姨家五月份用水量为 10 m3， 缴纳水费 32 元，七月份因孩子放假在家，用水量为 14 m3，缴纳水费 51.4 元． (1)问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ (2)某户某月缴纳水费为 64.4 元时，用水量为多少？
1 y＝4 的一个解，则 a 的值为 2 .
7．(2020·南京)已知
x，y
x＋3y＝－1， 满足方程组2x＋y＝3， 则
x＋y
的值为__11__.
8．(2020·牡丹江)某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元．为了
拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为 20%，则商店应打__88__折．
解：(1)－1；5. (2)设铅笔的单价为 m 元，橡皮的单价为 n 元，日记本的单价为 p 元，依 题意，得 20m＋3n＋2p＝32，① 39m＋5n＋3p＝58，② 由 2×①－②可得 m＋n＋p＝6， ∴5m＋5n＋5p＝5×6＝30. 答：购买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本共需 30 元．
15．(2020·扬州)阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于 未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数 x，y 满足 3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求 x－4y 和 7x＋5y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 x，y 的值再代入欲求 值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方 程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式 的值，如由①－②可得 x－4y＝－2，由①＋②×2 可得 7x＋5y＝19.这样 的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
沪教版数学六年级(下)第六章一次方程(组)和一次不等式
数学六年级（下） 第六章 一次方程（组）和一次不等式（组）6.11一次方程组的应用（1）一、填空题1. 一个三位数，个位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数可表示为 。
2. 两个数的和是17，差为-9，这两个数分别是 。
3. 鸡兔同笼，同有头40个，脚96只，则笼中鸡有 只，兔有 只。
4、两数之差为9，又知此两数各扩大3倍后的和为51，则这样的两个数分别为________.5、武炜购买8分与10分邮票共16枚，花了一元四角六分，购买8分和10分的邮票的枚数分别为_________.6、在1996年全国足球甲级A 组的前11轮（场）比赛中，大连万达队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了________场.7、某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12只或螺母18只，要求一个螺栓配两个螺母，应分配______人生产螺栓，____人生产螺母，才能使螺栓与螺母恰好配套. 8、已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，154小时相遇.如果甲比乙先走32小时，那么在乙出发后23小时两人相遇.设甲、乙两人速度分别为每小时x 千米和y 千米，则x =________,y =________.9、一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，如果把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的新的两位数比原来的两位数大9。
设个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，根据题意列方程组是 .10、某彩电原价1998元,若价格上涨x%,那么彩电的新价格是________元,若价格下降y%,那么彩电的新价格是____________元.11、一个两位数,若个位上数字为x,十位上的数字比个位数字的3倍多1,则这个两位数为____________。
12. 汽车从A 地到B 地，如果每小时行驶50千米就要迟到半小时，如果每小时行驶60千米就要提前半小时到达，则A 、B 相距 千米。
课题四 一次方程与不等式(组)的复
例5 当a在什么范围取值时，关于x的不等式
1 ? 2 a x＞1的解集为x＜ 2a
例6.解不等式 2 x 4x 3 x 0 6 3 并把它的解集在数轴上表示出来。
例7.解不等式组 2 3x 3 2 x ＞ 6 4 4 x x 6
2 x 3＜0 求不等式组 的整数解 3x 2＞0
例8 1 求使代数式 x 2的值不大于 6 1 代数式 x-1的值的最小整数x。 2
1、 x＞a x＞ a x＞a x＞ a （ A） （ B） （ C） （ D） x＞b x＜ b x＜ b x＜b
2、 购票人数
单价 （元）
1——50 51——100 100人以上 30元 25元 20元
今有甲乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙 团人数不超过100人，若分别购票，两团共付门票费 3200元，若合为一个团体购买，总计应付2400元。 （1）请你判断乙团的人数是否也少于50人。 （2）求甲、乙两团各多少人。
例4. 某汽车厂一车间有39名工人。车间接到 加工两种汽车零件的生产任务，每个工人每天 能加工甲种零件8个，或加工乙种零件15个。 每一辆汽车只需甲零件6个和乙零件5个， 为了能配套生产，每天应如何安排工人生产？
不等式性质
( 1) 如果a> b, 那么a+ m ___b+ m ; 如果a< b, 那么a+ m ___b+ m .
一元一次方程：
只含有一个未知数且未知数的次数是一次 的方程叫做一元一次方程。 二元一次方程： 含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程 请举例 二元一次方程的解有 无数 个
方程2 x 3 y 4的非负整数解有几个？
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第四节 一元一次不等式(组)及其应用
重难点 2：一元一次不等式的应用 在某次篮球联赛初赛阶段，每队共有 10 场比赛，每场比赛都要分出
胜负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，积分超过 15 分才能获得参加 决赛资格． (1)已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少 场； (2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少 场？
4．对于带有单位的应用题，设未知数和答时要带单位． 评分说明： (1)正确地设未知数并列出方程或方程组得 2 分； (2)方程或方程组解答正确得 1 分，解答的具体过程不是得分点，可以省 略；
(3)写出“答”得 1 分； (4)正确地设未知数并列出不等式得 2 分； (5)解不等式的过程不是得分点，可以省略，正确地写出不等式的解得 1 分； (6)正确地写出“答”得 1 分．
(1)【教你审题】设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场．
原题信息
整理后的信息
在某次篮球联赛初赛阶段，每队共 x＋y＝10
有 10 场比赛
每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分， 2x＋y＝18
甲队在初赛阶段的积分为 18 分
解：设甲队初赛阶段胜 x 场，负 y 场，由题意得，
x＋y＝10， 2x＋y＝18，(2 分)
积分超过 15 分才能获得参加决赛 2a＋(10－a)>15
资格，乙队要获得参加决赛资格
解：设乙队初赛阶段胜 a 场，则负(10－a)场，由题意得， 2a＋(10－a)>15，(6 分) 解得 a>5.(7 分) 答：乙队在初赛阶段至少要胜 6 场．(8 分)
1．设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”等不能出现，即应给出 肯定的未知数的设法． 2．对于不等式的应用，应注意一些关键词语，从而建立不等式模型，例 如“不少于≥”“不超过≤”“至少≥”“最多≤”“不高于≤”等． 3．不等式的应用还需要验根，题目中用字母表示的量要符合实际意义， 如人数是正整数，时间不能为负数等．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一次方程与不等式（组）
一、知识点梳理
一次方程与不等式（组）
1．主要知识点：
（1）列方程，一元一次方程的概念，一元一次方程的解法，一元一次方程的应用；
（2）不等式的概念，不等式的性质，不等式的解集，一元一次不等式，一元一次不等式的解法，一元一次不等式组及其解集；
（3）二元一次方程，二元一次方程组的概念，二元一次方程组的解法，三元一次方程组的概念，三元一次方程组的解法。
一次方程组的应用。
利税问题盈亏问题
利息 = 本金×利率×期数盈利率= X 100% = X 100% 利息税 = 利息×税率亏损率= X 100% = X 100%
税后利息 = 利息-利息税现价 = 原价×折数
税后本利和 = 本金+税后利息=
行程问题
路程（s）速度（v）时间（t）
路程 = 速度×时间
s = v · t
1.直线型行程
相向而行：相遇时，甲走的路程+乙走的路程=两人间距
同向而行：追上时，快的人所走路程－慢的人所走路程=两人间距
2.环形跑道
相向而行：第一次相遇时，甲走的路程+乙走的路程=环形跑道的周长
同向而行：第一次相遇时，甲走的路程－乙走的路程=环形跑道周长
2．基本要求：
（1）理解一元一次方程的有关概念，掌握一元一次方程的解法；
（2）理解二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念，掌握“消元法”，会解二元、三元一次方程组；
（3）会列一次方程（组）解简单应用题；
（4）理解不等式及不等式的基本性质，理解一元一次不等式（组）及其解的有关概念，掌握一元一次不等式的解法，会利用数轴表示不等式的解集，会解简单的一元一次不等式组。
3．教学重点、难点：
重点是一元一次方程，二元一次方程组，三元一次方程组，一元一次不等式（不等式组）的解法。
难点是一次方程（组）不等式的应用。
1．主要知识点：
一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的应用。
2．基本要求：
（1）理解一元二次方程的有关概念；
（2）根据一元二次方程的特殊形式，运用因式分解或直接开方解一元二次方程，会用配方法和公式法解一元二次方程；
（3）知道判别式与方程根之间的关系，会求要根的判别式的值及判断实数根的情况；
（4）会利用一元二次方程求根公式，对二次三项式在实数范围内进行因式分解
（5）会列一元二次方程解简单的实际问题。
3．教学重点、难点：
重点是一元二次方程的解法。
难点是一元二次方程的简单应用。
二、考点梳理：
（一）一次方程（组）
1. 已知2x =是关于x 的方程352
x x a +=-的解，求2a a -的值。
2. 方程组233
x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 …………… ……………（ ）
（A ） 12x y =⎧⎨=⎩
（B ）21x y =⎧⎨=⎩ （C ） 11x y =⎧⎨=⎩ （D ）23x y =⎧⎨=⎩
3. 已知：10a +=，则a b -= 。
4. 某汽车厂一车间有39名工人，车间接到加工两种汽车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件8个，或加工乙种零件15个，每辆汽车只需甲零件6个和乙零件5个，为了能配套生产，每天应如何安排工人生产？
（二）一次不等式（组）
1. 解不等式243063
x x x ----≥，并把它的解集在数轴上表示出来。
2. 解不等式组：23324646
x x x x --⎧>⎪⎨⎪≤-⎩
3. 求代数式126x -的值不大于代数式112
x -的值的最小整数x 。
4. 某车间计划生产1000个零件，如果按定额平均分6个小组，则不能完成任务；如果每小组多生产1个零件，就可以超额完成任务，问：按定额每小组生产多少个零件？
（三）一元二次方程
1. 用你认为较简单的方法解下列方程。
（1）23(2)75x -= （2）224x x =-
（3）(1)(3)12x x -+= (4)22(21)4(2)x x -=+
2. 关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，求m 的值
3. 在实数范围内因式分解：2443x x --
4. 如果关于x 的一元二次方程22(1)(1)0mx m x m ++++=有两个实数根：
（1） 求m 的取值范围；
（2） 判别关于x 的一元二次方程2210x x m ++-=的根的情况。
三、课堂检测：
（一）一次方程（组）
1．如果1x =是方程42x a x +=-的解，那么a = 。
2．若215x +=，那么31x -= 。
3
．若()2
240a c -+-=，则a b c -+= 。
4．求直线2y x =-+与直线1y x =-交点的坐标。
5．某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件，也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件，求A 、B 两种纪念品进价分别是多少？ 6．若关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k
+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程230
x y +=的解，则k 的值为 。
（二）一次不等式（组）
1．不等式组23182x x x
>-⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是……………（ ）
（A ） -1 （B ） 0 （C ） 2 （D ） 3
2．不等式组1023x x ->⎧⎨≤⎩
的解集是 。
3．解不等式：13223
y y y -++≥- 4．解不等式组：231212
x x x -<⎧⎪+≥-⎨-⎪⎩，并在数轴上表示其解集。
5．某负整数5倍减去2小于这个数的8倍加上7的和，这个数可能的值是 。
6．当23x -<<时，化简23x x ++-的值。
（三）一元二次方程
1．用适当的方法解下列方程：
（1）022=+x x （2）0)1(=-x x
（3）12)1(2=+x （4）010342=+-x x
2．如果关于x 的方程012=++mx x 有两个相等的实数根，求m 的值和方程的根。
3．在实数范围内分解：22432y xy x -+
4．某种商品，原售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分率是 。
5．关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 有一个根是1=x ，求m 的值及另个根。
6．已知关于x 的一元二次方程022)23(2=+++-m x m mx （0>m ）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为1x 、2x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且122x x y -=，求这个函数解析式。