第1章 一元线性回归模型(双变量回归分析：一些基本概念)..

1 P(Y 55 | X 80) 5
1 P(Y 150 | X 260 ) 7
对Y的每一个条件概率分布，我们所计算出它的均 值（mean或average value），称为条件均值 （conditional mean）或条件期望（conditional expectation），记做： E(Y | X X i )
175
70
80
94
103
116
130
144
152
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178
75
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157
175
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—
88
—
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125
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189
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源自文库
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115
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162
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191
共计
325
46
445
707
678
750
685
1043
966
1211
表2.1的含义：它给出了以X的给定值为条件的Y值 的条件分布（conditional distribution） 因为表2.1代表一个总体，我们可以从表中计算出 给定X的Y的概率，这在统计上叫做什么？ 比如：
第1章 一元线性回归模型
前导：双变量回归分析的
一些基本概念
回归分析是要根据解释变量的已知或给定值， 去估计或预测因变量的总体均值 假如我们要研究每周家庭消费支出Y与每周 可支配的家庭收入X之间的关系 假设这个国家的家体的总体由60户家庭组成。 可以按收入的高低把这60户家庭分组，每一组的 组内收入相差不大。假定我们得到的观察值如表 2.1所示
E(Y | X i ) f ( X i )
（2.2.1）
这个方程就叫做（双变量的）总体回归函数（PRF） 或简称总体回归（population regression, PR），它表明Y 的均值或平均响应（average response）是如何随X而不同
f ( X i ) 的具体函数形式如何确定是一个经验问题，已知
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
这样的回归函数，就不是线性的。
（2）对参数为线性
即Y的条件期望 E(Y | X i ) 是参数 i 的一个线性函数； 它既可以是也可以不是变量X的线性函数
这样以来，
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
就是一个线性回归模型， 而
一个例子
表2.1 x y
80 100
X：每周家庭收入（$）
120 140 160 180 200 220 240 260
55
65
79
80
102
110
120
135
137
150
每 周 家 庭 消 费 支 出
60
70
84
93
107
115
136
137
145
152
65
74
90
95
110
120
140
140
155
我们现在再回到表 2.1 和图 2.1 ，可见，随着家庭收 入↑，家庭消费支出平均地看也会↑；但是对具体的某一 个家庭的消费支出却不一定随收水平↑而↑ 给定收入水平 X i 的个别家庭的消费支出，聚集在收 入为 X i 的所有家庭的平均消费支出的周围，也就是围绕 着它的条件均值 个别的Yi围绕它的期望值的离差（deviation）可以表 示如下：
比如，给定X＝80
1 1 1 1 1 E (Y | X 80) 55 60 65 70 75 65 5 5 5 5 5
可以由表 2.1绘制如 右图的散点 图
散点图表明对应于各个X值的Y的条件分布，它表 明随着收入的增加，消费支出平均地说也在增加。 Y的条件均值随 X增加而增加。图中的粗圆点（大 的黑点）表示Y的各个条件均值 Y的条件均值落在一条正斜率的直线上，这条线叫 总体回归线（population regression line or curve），它 代表Y对X的回归 从几何意义上讲，总体回归曲线就是，当解释变 量取给定值时，因变量的条件均值或条件期望的轨迹
的经济理论可以给我们一些指导。假如， E(Y | X i ) 是 X i 的线性函数：
E(Y | X i ) 1 2 X i
（2.2.2）
1 和 2 为 回 归 系 数 （ regression coefficients ） ， （ 2.2.2 ）称为线性总体回归函数，或简称线性总体回归。
ui Yi E(Y | X i ) 或
Yi E(Y | X i ) ui （2.4.1）
离差 ui 是一个不可观测的随机变量，称之为随机干扰 （stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）
从计量经济学上看，对于给定的X水平，个别家庭的支出 可以分解为两个部分： ①表示收入相同的所有家庭的平均消费支出，称为系 统 性 （ systematic ） 或 确 定 性 （ deterministic ） 成 分 （component）。 ②ui为随机的或非系统性成分（nonsystematic component）。它是代表所有可能影响Y的，但又没有包 括到回归模型中的替代（surrogate）或代理（proxy）变 量 假定 E(Y | X i ) 对X i 是线性的，（2.4.1）式便可以写 为： Yi 1 2 X i ui （2.4.2） 它表示消费支出Y线性地依赖于相应的收入X i 和随机 扰动项
E(Y | X i ) 1 2 X i
则不是线性的。
在今后的课程中，我们讲的“线性”指的是对参数为 线性的情况，对解释变量 X i 则可以是也可以不是线性的。
如：
E(Y | X i ) 1 2 X i
2
是一个LRM（linear regression model）
PRF的随机设定
图2.1可以画成图2.2的形式 可见，对应于每一个Xi都有一个Y值的总体和 一个相应的条件均值。而回归直线（曲线）正好 穿过这些条件均值
总体回归函数（PRF，population regression function） 由图2.1和图2.2可见，每一个条件均值都是 X i 的一个函 数，即：
在我们的课程中，回归，回归方程和回归模型将 不加以区分，作为同义词使用
“线性”一词的含义 （ 2.2.2 ）式被称为“线性”总体回归，其中的 “线性”的含义是什么？ 它可以作两种解释： （1）对变量为线性
即：Y的条件期望值是 X 的线性函数，从几何意 i 义上看，这样的回归曲线是一条直线。
诸如：