(学案)三角函数的概念

三角函数的概念

【第1课时】

【学习目标】

（1）借助单位圆理解任意角的三角函数定义．

（2）掌握三角函数在各象限的符号．

（3）掌握诱导公式一并会应用．

（4）会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.

【学习重难点】

三角函数的概念。

【学习过程】

一、自主学习

状元随笔三角函数的定义

（1）三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合（弧度数）到一个比值的集合的函数．

（2）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．

知识点二：正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域

知识点三：三角函数线

状元随笔（1）三角函数线的方向．

正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．

（2）三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．

知识点四：三角函数值在各象限的符号

状元随笔对三角函数值符号的理解

三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：

（1）正弦值符号取决于纵坐标y的符号；

（2）余弦值的符号取决于横坐标x的符号；

（3）正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．

知识点五：诱导公式一

（1）语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．

（2）式子表示⎩⎨⎧

sin

α＋k ·2π＝sin α，cos

α＋k ·2π＝cos α，tan

α＋k ·2π＝tan α，

其中k ∈Z .

状元随笔诱导公式一

（1）实质：是说终边相同的角的三角函数值相等．即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．

（2）结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. （3）作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π（或0°～360°）角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．

教材解难： 正确认识三角函数线

（1）正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x 轴或y 轴同向的为正值，反向的为负值．

（2）三角函数线的画法

定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a 的三角函数线的画法，即先找到P ，M ，T 点，再画出MP ，OM ，AT ．

（3）三角函数线的作用

三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．

基础自测：

1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）

A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′

B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′

C ．正弦线MP ，正切线AT

D ．正弦线PM ，正切线AT

解析：α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，所以C 正确． 答案：C

2．sin780°的值为（ ）

A ．－3

2

B ．32

C ．－12

D ．12

解析：sin780°＝sin （2×360°＋60°）＝sin60°＝3

2，故选B ． 答案：B

3．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫

－32

，－12，则sin α的值为（ ）

A ．－3

2

B ．－12

C ．32

D ．12

解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－1

2． 答案：B

4．若α是第三象限角，则点P （sin α，cos α）在第________象限． 解析：∵α为第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0，

∴P （sin α，cos α）位于第三象限． 答案：三 二、素养提升

题型一：三角函数的定义及应用[教材P 178例1]

例1：求5π

3的正弦、余弦和正切值． 解析：在直线坐标系中，

作∠AOB ＝5π

3（如图）．

易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12

，－32.

所以sin 5π3＝－3

2， cos 5π3＝12， tan 5π

3＝－ 3.

1．在直角坐标系中作角． 2．画出单位圆求交点． 3．利用三角函数的定义求值． 教材反思：

已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：

（1）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

（2）在α的终边上任选一点P （x ，y ），P 到原点的距离为r （r >0）．则sin α＝y

r ，cos α＝x

r .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

（3）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

跟踪训练1：（1）若角α的终边经过点P （5，－12），则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．

（2）已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解析：（1）∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋－12

2

＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x

r ＝

513，tan α＝y x ＝－125．