基本不等式柯西不等式知识点复习
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
基本不等式及柯西不等式
g3.1037基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈aa R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.注意： ○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号）0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+仅当a=b 时取等号） （2）柯西不等式1、定理1（二维）若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立。
2||ac bd ≥+||||ac bd +3、定理2（向量形式）设,αβ 是两个向量，则有||||||αβαβ⋅≤⋅ ，当且仅当0β=，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立。
4、定理3（三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则有5（多维） 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、基本练习1、下列结论正确的是 （ ） A ．当101,lg 2lg x x x x>≠+≥且时B ．02x >≥当时C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．xx y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x xx yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、设0>>b a ，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a ab +2ab b a >+>2B ．>>+ab b a 2b a ab +2C ．>+2b a b a ab +2ab >D ．b a ab+22b a ab +>> 5、若,210<<a 则下列不等式中正确的是（ ）A ．log (1)1a a ->B ．x x a )21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1(6、若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （ ） A ．8 B ．4C ．22D ．4227、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 8、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是_____________________.三、例题分析例1、已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值． 例2例3、已知0a >，求函数2y =的最小值。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
基本不等式和柯西不等式
《基本不等式和柯西不等式》复习课教学设计一：教学目标复习基本不等式和柯西不等式及其推广形式，会用这两个不等式解决一些简单问题，例如证明不等式和求函数最值，掌握相关配凑的技巧，感受数学的美妙，提高数学素养，并培养学生的探究精神。
二、重点：熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式难点：求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四、教学媒体：投影仪 五、教学过程： 一、引入：（教材回归） 1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）2、定理2：如果b a ,是正数，那么abb a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abccb a ≥++。
（当且仅当c b a ==时取“=”）4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数； ②．基本不等式：na a a n+++ 21≥n n a a a 215、定理1(二维形式的柯西不等式)若,,,a b c d 都是实数,则22222()()()a b c d ac bd +++≥.当且仅当ad bc =时,等号成立 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=∙βα， 而22||b a +=α，22||dc +=β，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
6、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα∙≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
柯西 施瓦茨不等式
柯西施瓦茨不等式摘要：1.柯西- 施瓦茨不等式的定义2.柯西- 施瓦茨不等式的应用3.柯西- 施瓦茨不等式的证明方法4.柯西- 施瓦茨不等式与其他不等式的关系5.柯西- 施瓦茨不等式在实际问题中的应用正文：柯西- 施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在向量空间中的内积不等式，是向量空间中的一种基本不等式。
该不等式是由法国数学家柯西（Cauchy）和德国数学家施瓦茨（Schwarz）在19 世纪同时独立发现的，因此被命名为柯西- 施瓦茨不等式。
柯西- 施瓦茨不等式的定义是：设x = (x1, x2,..., xn) 和y = (y1, y2,..., yn) 是两个n 维实向量，那么有(x1 * y1 + x2 * y2 +...+ xn * yn)^2 <= (x1^2 + x2^2 +...+ xn^2) * (y1^2 + y2^2 +...+ yn^2)。
柯西- 施瓦茨不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等数学领域都有其身影。
在概率论中，柯西- 施瓦茨不等式被用来证明一些概率不等式，如马尔科夫不等式和切比雪夫不等式等。
在线性代数中，柯西- 施瓦茨不等式被用来研究矩阵的性质，如矩阵的谱范数和弗罗贝尼乌斯范数等。
在微积分中，柯西- 施瓦茨不等式被用来研究多元函数的泰勒公式和多元积分的不等式等。
柯西- 施瓦茨不等式的证明方法有多种，其中最常见的证明方法是通过向量的内积和勾股定理来证明。
另外，也可以通过概率论的方法来证明柯西- 施瓦茨不等式。
柯西- 施瓦茨不等式与其他不等式有着密切的关系。
例如，当x 和y 是单位向量时，柯西- 施瓦茨不等式就变成了三角形的余弦定理。
另外，柯西- 施瓦茨不等式也可以推广到p 范数和q 范数的不等式，以及复数域的不等式等。
柯西- 施瓦茨不等式在实际问题中也有着广泛的应用。
例如，在机器学习和人工智能中，柯西- 施瓦茨不等式被用来求解一些优化问题，如支持向量机和线性回归等。
竞赛讲座：基本不等式与柯西不等式
1 t
1 t
1 t
5 。 2
5 2
1 x 2 3x 1 ,x 3 , ( x 0) （2） y 2 x x 3 x
当
,即
时, y 2 （x 1)
4 5 9 （当且仅当 x＝1 时取“＝”号）。 x 1
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分离求最值。
(t 1) 2 7(t 1 ） +10 t 2 5t 4 4 = t 5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y 2 t 5 9 （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 t y
当 ，即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时， y x(8 2 x) 的最大值为 8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大 值。 变式：设 0 x
3 ，求函数 y 4 x(3 2 x) 的最大值。 2
2 3 9 2x 3 2x ∴ 3 2 x 0 ∴ y 4 x(3 2 x) 2 2 x(3 2 x) 2 2 2 2
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求 最值。即化为 y mg ( x) 最值。
A B( A 0, B 0) ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求 g ( x)
2
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f ( x) x 性。例：求函数 y
*
a b * (3)若 a, b R ，则 ab 2
3.若 x 0 ，则 x “=” ）
柯西不等式知识点总结
柯西不等式知识点总结一、柯西〔Cauchy〕不等式：()22211n n b a b a b a +++ ()()2222122221n n b b b a a a ++++++≤ ()n i R b a i i 2,1,,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立〔k 为常数，n i 2,1=〕现将它的证明介绍如下：证明：构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()2222122112222212nn n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ 由构造知()0≥x f 恒成立又22120nn a a a +++≥ ()()()44222212222122211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a 即()()()222212222122211nn n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 当且仅当()n i b x a i i 2,10==+即1212n na a ab b b === 时等号成立二、柯西不等式的简单应用柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。
灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式构造和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题〔1〕证明不等式例1正数,,a b c 满足1a b c ++=证明2223333a b c a b c ++++≥证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2333a b c a b c =++++()1a b c ++=又因为222a b c ab bc ca ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c++得：()()2222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab()()()()()22233323332222c b a 3c b a c b a c b ac b a++⋅++≤++++≤++故2223333a b c a b c ++++≥〔2〕三角形的相关问题例2设p 是ABC 的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径，证明+≤证明：由柯西不等式得：+=≤记S 为ABC 的面积，那么2242abc abc ax by cz S R R++===+≤故不等式成立。
《柯西不等式》知识点
《柯西不等式》知识点所谓柯西不等式是指:设ai,bi∈R,则2≤,等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有*≥^2我们令f=∑^2=*x^2+2**x+则我们知道恒有f≥0用二次函数无实根或只有一个实根的条，就有Δ=4*^2-4**≤0于是移项得到结论。
用向量来证=n=n=a1b1+a2b2++anbn=^乘以^乘以sX因为sX小于等于1，所以：a1b1+a2b2++anbn小于等于a1^2+a2^2++an^2)^乘以^这就证明了不等式柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、为正数且各不相等。
求证：2/+2/+2/>9/分析：∵a、b、均为正数∴为证结论正确只需证：2*[1/+1/+1/]>9而2=++又9=证明：Θ2[1/+1/+1/]=[++][1/+1/+1/]≥=9又a、b、各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献柯西简介:789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。
由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式6个基本公式和例题柯西不等式，也称为柯西-施瓦茨不等式，是线性代数中非常重要的不等式之一，广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
它是由法国数学家奥古斯特·柯西在1829年发现的，之后由德国数学家赫尔曼·施瓦茨得到了更加一般化的形式。
柯西不等式的基本形式是: 对于任意的实数 a1，a2，...，an 和b1，b2，...，bn，有：(a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)换句话说，对于具有有限个分量的两个向量a和b，它们的内积的平方不会超过它们的平方长度之积。
下面是柯西不等式的6个基本公式和相关参考内容的例子：公式1: (a1*b1 + a2*b2)^2 ≤ (a1^2 + a2^2)(b1^2 + b2^2)这是柯西不等式最基本形式之一，适用于两个二维向量的情况。
例如：对于向量a=(2,3)和向量b=(4,1)，根据柯西不等式，有：(2*4 + 3*1)^2 ≤ (2^2 + 3^2)(4^2 + 1^2)，即(11)^2 ≤ (13)(17)。
经计算得到121≤221，结论成立。
公式2: (a1^2 + a2^2)^2 ≤ (1^2 + 1^2)(a1^4 + a2^4)这是柯西不等式在平方项上的进一步推广形式。
该式可通过公式1推导得到。
例如：对于任意的实数a1和a2，根据柯西不等式，有：(a1^2 + a2^2)^2 ≤ (1^2 + 1^2)(a1^4 + a2^4)。
公式3: (a1*b1 + a2*b2 + a3*b3)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)柯西不等式的三维形式。
例如：对于向量a=(1,2,3)和向量b=(4,5,6)，根据柯西不等式，有：(1*4 + 2*5 + 3*6)^2 ≤ (1^2 + 2^2 + 3^2)(4^2 + 5^2 + 6^2)，即(32)^2 ≤ (14)(77)，经计算得到1024≤1078，结论成立。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,abc d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥---5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a bc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域 （1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
基本不等式与柯西不等式资料-2022年学习资料
2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m十n的最小值为-A.18-B.36-C.81-D.243-解析： m>0,n>0,.m+n≥2Vmn=18.当且仅当m=n-=9时，等号成立·-答案：A
3.教材习题改编已知0<x<1,则x3一3x取得最大值-时x的值为-A3-解析：由3-3刘=号×33-3≤ 星-子，当且仅当-3x=3-3x,即x=时等号成立.-答案：B
4若1，则+，兰-的最小值为-当组仅当x11即x=3时等号成立.-答案：5
5.已知>0>0，+g=1则子+的最小值-为-解析：由已知条件gx+gy=1,可得xy=10.-则+29= ，故+m=2,当且仅当2=5x-时取等号.又xy=10,即x=2,y=5时等号成立·-答案：2
[名师叮嘱要牢记]-1.在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个-条件，就是“一正一各项均为正；二定 积回或和为定值；-三相等-等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现-错误·-2对于公式a+b≥2ah,b 生，-要弄清它们的-作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和α +b-的转化关系.
3.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公-式的逆用，例如u2+b2≥2b逆用就是b≤“b;“≥{ a,b0逆用就是h≤士a,b>0等.还要注意“潘、拆-项”技巧和公式等号成立的条件等.-4.柯西不等式的形 特点-从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模-平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平 -形式，可简记为“方和积不小于积和方”·
4.利用基本不等式求最值问题-已知x>0,y>0,则：-1如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x十y 有最小值是-2p简记：积定和最小-2如果和x十y是定值p,那么当且仅当二y时，xy有-最大值是4-.简记： 定积最大-5.平均值不等式-a+6+‘≥=ahca,b,e≥0
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式
时，(*)式中左边等号成立，
∴当 x＝455，y＝－855时，a·b 的最大值为 4 5.
题型二 权方和不等式
1.二维形式：已知 x，y，a，b∈R＋，则有ax＋by≥
a＋ x＋y
b2(当且仅当
x∶y
＝ a∶ b时，等号成立).
n
aim＋1
2.一般形式：设
ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数
123456
3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为
A.14
√B.114
C.29
1 D.29
根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即 x2＋y2 ＋z2≥114，当且仅当 x＝114，y＝17，z＝134时等号成立.
123456
4.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则 1x＋4y＋9z 的最小值为__3_6___. 1x＋4y＋9z＝1x2＋2y2＋3z2≥1x＋＋2y＋＋3z2＝36，当且仅当1x＝2y＝3z，即 x＝16， y＝13，z＝12时取等号.
123456
6.若 a>1，b>1，则b－a21＋a－b21的最小值为____8____.
b－a2 1＋a－b2 1≥a＋a＋b－b22， 令 a＋b－2＝t，则a＋a＋b－b22＝t＋t22＝t＋4t ＋4≥8， 当且仅当b－a 1＝a－b 1， 即 a＝b＝2 时取等号，
a＋b－2＝2， 所以b－a2 1＋a－b2 1的最小值为 8.
∴z＝2x＋ 3y 的最小值是－5.
123456
2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广 泛的应用，其表述如下：设 a，b，x，y>0，则ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当 ax＝by时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)＝2x＋1－92x0<x<12的最小 值为
基本不等式知识点归纳
基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。
在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。
本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。
一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。
二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。
2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。
3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。
5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。
若c ≤ 0，则ac ≥ bc。
6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。
若 c < 0，则a/c ≥ b/c。
三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。
柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。
该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。
3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。
高考数学柯西不等式知识点总结
高考数学柯西不等式知识点总结柯西不等式和排序不等式是两个非常重要的不等式，它们在高等数学中的应用很普遍。
下面店铺给大家带来高考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。
高考数学柯西不等式知识点(一)所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成立。
柯西不等式证法:柯西不等式的一般证法有以下几种：(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai，bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
(2)用向量来证.m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式.柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法.柯西不等式应用:可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
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基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． 二、基本不等式三、常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)(3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b.四、算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+：当且仅当a ＝b 时取等号.五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．(1)如果积xy是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.强调：1、 “积定和最小，和定积最大”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；+≤≤2a b≤+2aba b定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等：等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．）想一想:错在哪里？3、已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．解一：因为对a>0，恒有a ＋1a ≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )≥4，所以z 的最小值是4.解二：z ＝2＋x 2y 2－2xy xy ＝(2xy＋xy)－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)． 【错因分析】 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．【正确解答】 z ＝(x ＋1x )(y ＋1y )＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋x ＋y 2－2xy xy ＝2xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤(x ＋y 2)2＝14，由f(t)＝t ＋2t 在(0，14]上单调递减，故当t ＝14时， f(t)＝t ＋2t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时z 有最小值254.误区警示：１．已知函数，求函数的最小值和此时x 的取值．xx x f 1)(+=11:()22112.f x x x xxx x x =+≥•===±解当且仅当即时函数取到最小值3２．已知函数，求函数的最小值．)2(2)(>-+=x x x x f 33()22223326f x x x x x x x x x =+≥•-->⎧⎪=⎨=⎪-⎩解：当且仅当即时，函数的最小值是23x =+大家把代入看一看，会有什么发现？用什么方法求该函数的最小值？(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3x (x<0)有最大值1－26而不是有最小值1＋2 6.(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．课堂纠错补练：若0<x ≤π2，则f(x)＝sinx ＋4sinx 的最小值为________．考点1 利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”． 2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1：（1）已知c b a ,,均为正数，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++（2）已知c b a ,,为不全相等的正数，求证：abc a c ac c b bc b a ab 6)()()(>+++++（3）已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.练习：已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.考点2 利用基本不等式求最值(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．例4： (1)设0<x<2，求函数)2(2x x y -=的最大值．【分析】 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0，(2) x>0，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；（3）已知:x>0,y>0.且2x+5y=20,求 xy 的最大值.4）已知=y 4a －2＋a ，求y 的取值范围． ．(5)已知x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y 的最小值．练习：求下列各题的最值．(1)已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值；(2)x <0，求f(x)＝12x ＋3x 的最大值；(3)x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值．（4）14,0,0=+>>b a b a ，求ab 的最大值。
考点3 利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。
2．拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值．例3：（1）已知+∈R b a ,,ab b a =++3，求ab 的最小值。
（2）已知)10(122<<-=x x x y ，求y 的最大值。
（3）已知+∈R b a ,，1222=+b a ，求21b a +的最大值。
（3）已知0>>y x ，1=xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。
考点4 基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是： (1)仔细阅读题目，透彻理解题意；(2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；(3)应用基本不等式求出函数的最值； (4)还原实际问题，作出解答． 练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d ＝kv 2l ＋12l(k 为正常数)，假定车身长都为4 m ，当车速为60 km/h 时，车距为2.66个车身长．(1)写出车距d 关于车速v 的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？归纳提升：1．创设应用基本不等式的条件：(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式”或“积式”为定值，且每项为正值；(2)在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．2．常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接． (1)a ＋1a ≥2(a>0，且a ∈R)，当且仅当a ＝1时“＝”成立．(2)b a ＋ab ≥2(a>0，b>0，a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．柯西不等式一、二维形式的柯西不等式.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++二、二维形式的柯西不等式的变式bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.),0,,,()())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++三、二维形式的柯西不等式的向量形式.),,,(等号成立使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。
例题【5】. 设x ，y ，z ∈ R ，且满足x 2 + y 2 + z 2 = 5，则x + 2y + 3z 之最大值为 解(x + 2y + 3z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)(12 + 22 + 32) = 5．14 = 70∴ x + 2y + 3z 最大值为70【6】 设x ，y ，z ∈ R ，若x 2 + y 2 + z 2 = 4，则x - 2y + 2z 之最小值为 时，(x ，y ，z) = 解(x - 2y + 2z)2 ≤ (x 2 + y 2 + z 2)[12 + ( - 2) 2 + 22] = 4．9 = 36∴ x - 2y + 2z 最小值为 - 6此时322)2(26221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，34-=z练习【8】、设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。
【9】、设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，试求222z y x ++之最小值。