山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第3章 托勒密定理及应用(含答案)

第三章 托勒密定理及应用

【基础知识】

托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积． 证明 如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使PAB CAD =∠∠，则△ABP ∽△ACD ，于是

A

图3-1

AB BP

AB CD AC BP AC CD

=⇒⋅=⋅． 又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ⋅=⋅． 上述两乘积式相加，得 AB CD BC AD AC BP PD AC BD ⋅+⋅=+=⋅（）．

①

注 此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180EBC EDC +=︒∠∠，令BAC ϕ=∠，AC 与

BD 交于G ，则

111

sin sin()sin 222

ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θϕ=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅∠∠，

11

sin sin 22

EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC ED DC EDC =+=⋅⋅+⋅⋅△△∠∠

()()11

sin sin 22

EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅∠∠． 易知 ABCD EBCD S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅．

推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则

sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅=⋅+⋅∠∠∠．

② 事实上，由①式，应用正弦定理将BD ，DC ，BC 换掉即得②式．

推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ⋅=⋅∠∠∠∠

sin sin ADB DBC +⋅∠∠．

③ 事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式．

直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排列的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅．

注 由直线上的托勒密定理有如下推论：若A ，B ，C ，D 是一条直线上顺次四点，点P 是直线AD 外一点，则

sin sin sin sin sin sin APB CPD APD BPC APC BPD ⋅+⋅=⋅∠∠∠∠∠∠． 事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ，

D

C B

A P

图3-2

由AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅，有 PAB PCD PAD PBC PAC PBD S S S S S S ⋅+⋅=⋅△△△△△△，

用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以1

4

PA PB PC PD ⋅⋅⋅即得推论．

由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理．

证明 如图3-3，在图上取一点P ，连PA 、PB 、PC 、PD ，设PB 交AD 于B '，PC 交AD 于C '． 由正弦定理 sin 2AB APB R =

∠，sin 2CD CPD R =∠，sin 2AD APD R =∠，sin 2BC BPC R =∠，sin 2AC APC R

=∠，sin 2BD

BPD R

=

∠，其中R 为圆的半径． B'

C '

D

C

B

A

P

图3-3

对A 、B '、C '、D 应用直线上的托勒密定理的推论，有

sin sin sin sin sin sin sin sin APB CPB APD BPC APB C PD APD B PC ''''⋅+⋅=⋅+⋅∠∠∠∠∠∠∠∠sin sin sin sin APC B PD APC BPD ''=⋅=⋅∠∠∠∠． 故AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．

四边形中的托勒密定理（或托勒密不等式） 设ABCD 为任意凸四边形，则AB CD BC AD ⋅+⋅≥ AC BD ⋅，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号．

证明 如图3-4，取点E 使BAE CAD =∠∠，ABE ACD =∠∠，则△ABE ∽△ACD ，即有AD AC

AE AB

=

，且

AC CD

AB BE

=

，即

C

B

图3-4

AB CD AC BE ⋅=⋅．

①

又DAE CAB =∠∠，有△ADE ∽△ACB ，亦有

AD BC AC ED ⋅=⋅．

② 由①式与②式，注意到BE ED BD +≥，有

AB CD BC AD AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅（）≥．

其中等号当且仅当E 在BD 上，即ABD ACD =∠∠时成立．此时A ，B ，C ，D 四点共圆．由此，即有

托勒密定理的逆定理 在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆．

【典型例题与基本方法】

1．恰当地作出或选择四边形，是应用托勒密定理的关键

例 1 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且22b a ac =-，则角B 的弧度数等于多少？

（1985年全国高中联赛题） 解 如图3-5，过点C 作CD AB ∥交ABC △的外接圆于D ，连AD ，则四边形ABCD 为等腰梯形．由托勒密定理，有22b a c CD =+⋅．

c

b

a

D

C

B

A

图3-5

由已知有22b a c a =+⋅，则CD a =，从而

AD DC CB ==，即2ADC BC =，亦即2B BAC =∠∠．

又因为在ABC △中，角A ，B ，C 的大小成等比数列，则公比2B

q A

=

=∠∠，从而A B C ++=∠∠∠ 247πA A A A ++==∠∠∠∠，故π7A =

∠，2π7

B =∠为所求． 例2 凸四边形ABCD 中，60AB

C =︒∠，90BA

D BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．如图3-6，求sin AOB ∠． （1996年北京中学生竞赛题）