如何求非齐次线性方程组axb的通解修订版
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
matlab 非齐次方程的通解
matlab 非齐次方程的通解非齐次方程是数学中常见的一种方程形式，与齐次方程相对应。
在解非齐次方程时，我们需要找到其通解。
本文将介绍如何求解非齐次方程并得到其通解。
一、什么是非齐次方程？非齐次方程是指形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的方程，其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数，y(x)是未知函数。
这个方程中的f(x)项使得它与齐次方程不同，也使得解的求解变得更加复杂。
二、如何求解非齐次方程？对于非齐次方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常数变易法的基本思想是，假设非齐次方程的解可以表示为齐次方程的通解和一个特解的和。
具体步骤如下：1. 求解齐次方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的通解。
我们可以使用特征方程法或级数法来求解齐次方程，得到通解y_h(x)。
2. 假设非齐次方程的特解为y_p(x)，代入非齐次方程，得到一个关于y_p(x)的方程。
3. 根据非齐次方程的形式，我们可以猜测特解的形式，并将其代入方程。
根据猜测的形式，我们可以确定特解的形式。
4. 将特解代入非齐次方程，并求解得到特解y_p(x)。
5. 非齐次方程的通解为y(x) = y_h(x) + y_p(x)，其中y_h(x)为齐次方程的通解，y_p(x)为非齐次方程的特解。
三、非齐次方程的通解举例考虑一个具体的非齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 2x + 1。
我们可以按照上述步骤求解该方程。
1. 求解齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0的通解。
该方程的特征方程为r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1，重根。
因此齐次方程的通解为y_h(x) = (c1 + c2x)e^{-x}，其中c1和c2为常数。
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组解法(定稿)
线性方程组解的结构〔解法〕一、次性方程的解法【定】r )=,假设AX=0〔Amn矩〕的一解ξ1,ξ2,L,ξnr,且足：A(1)ξ1,ξ2,L,ξn r性无关;(2)AX=0的)任一解都可由解性表示.称ξ,ξ,L,ξAX=0的基解系.12nr称X k1ξ1k2ξ2Lknrξnr AX=0的通解。
其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数).次性方程的关就是求通解，而求通解的关是求基解系.【定理】假设次性方程AX=0有解，(1)假设次性方程AX=0〔A m n矩〕足r(A)n，只有零解；次性方程有非零解的充要条件是r(A)n.〔注：当mn，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0.〕注：1、基解系不唯一，但是它所含解向量的个数相同，且基解系所含解向量的个数等于nr(A).2、非次性方程AX B的同解方程的出方程〔称“出〞〕次性方程AX O所的同解方程。
由上述定理可知，假设m是系数矩的行数〔也即方程的个数〕，n是未知量的个数，有：〔1〕当mn，r(A)m n，此次性方程一定有非零解，即次方程中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；〔2〕当m n，次性方程有非零解的充要条件是它的系数行列式A0；〔3〕当m n且r(A)n，假设系数矩的行列式A0，次性方程只有零解；〔4〕当m n，假设r(A)n，存在次性方程的同解方程；假设r(A)n，次性方程无解。
1、求AX=0〔Amn矩〕通解的三步〔1〕A 行C〔行最形〕;写出同解方程CX=0.(2)求出CX=0的基解系ξ1,ξ2,L,ξnr;(3)写出通解Xk1ξ1k2ξ2L knrξn r其中k1,k2,⋯,kn-r任意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0, 【例题1】解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0, 4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有r(A)4n ，那么方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 40.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数〔即mn 〕〔注意：方程组的个数不等于未知量的个数〔即n 〕，不可以用行列式的方法来判断〕，从而可计算系数矩阵A 的行列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 3270，知方程组仅有零解，即x 1x 2x 3x 40.4 6 1247注：此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题2】解线性方程组x 2 2x 3 2x 4 6x 5 0,5x 14x 23x 33x 4x 50.解：将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得r(A)2n ，那么方程组有无穷多解，其 同解方程组为x 1x 3 x 4 5x 5,〔其中x 3，x 4，x 5为自由未知量〕x 22x 3 2x 46x 5.令x 3 1，x 4 0，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 3 0，x 4 1，x 5 0，得x 1 1,x 2 2； 令x 30，x 40，x 51，得x 1 5,x 26，于是得到原方程组的一个根底解系为11522611，20，30.010001所以，原方程组的通解为X k 11 k 22 k 33〔k 1，k 2，k 3R 〕.二、非齐次线性方程组的解法求AX =b 的解〔A mn,r(A)r 〕用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关c11c12Lc1rLc1n d1c22Lc2r Lc2n d2OM M M行c rr L c rn d r其中c ii 0(i1,2,L,r),所以知(AMb) d r1M0(1)d r10时,原方程组无解.d r10,rn时,原方程组有唯一解.(3)d r10,r<n时,原方程组有无穷多解.其通解为X 0 k1ξ1k2ξ2Lk nrξnr ，k1,k2 ,L,k nr为任意常数。
第九讲 求解非齐次线性方程组
中基础解系向量个数为
9.1 复习
以上例说明： 令
为主变量，
分别得
的解为
则
为自由变量.
9.2 求特解
这次课，考虑求解一般线性方程组
已知：(1)
有解
(2)设 是
的一特解，则
是方程全部解.
9.2 求特解
例
一个特解
则原方程组解集
从图像上看，
和
是两条平行直线.
9.2 求特解
如何求特解？ 例 解：考虑增广矩阵
§9 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
设是
阶矩阵，考虑
行变换
行变换
(阶梯形)
主变量：主列对应的变量. 主列个数 主元个数 主变量个数
秩 无关行向量个数 无关列向量个数
列对换
9.1 复习
(1) 中主列设为第
列，则 中
列线性无关
(称为 中主列)，且 中其余列均是这些主列的线性组合.
例:
容易看出
则
(2)
则 是可逆的.
有唯一解
9.3 解的一般性讨论
则 有唯一解(特解).
只有零解，此时
例：
的列数. 考虑
无解或
有解
9.3 解的一般性讨论
则 行消去得到 个主元，即
列对换
则
变为
此时自由变量有
故这种情况下
(同解). 个.
有无穷多解.
总有特解
9.3 解的一般性讨论
有解
有解.
满足
若有解，则有无穷解
有无穷解.
9.3 解的一般性讨论
注记：
列满秩.
即 有左逆 行满秩.
即 有右逆
9.3 解的一般性讨论
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
一阶非齐次线性方程的通解
一阶非齐次线性方程的通解
如今，大数据、云计算正在发力，助力互联网的发展与改变。
一阶非齐次线性方程也作为一种重要的解决复杂算法问题的数学模型，被广泛应用在日常的计算过程中。
一阶非齐次线性方程定义为：ax + b = 0，该方程组有一个形如x=`-b/a`的解，a、b均为实数，a ≠ 0。
它是一个相对简单的一阶线性方程，意味着方程中只有一个未知数x，且对应一次阶，因其只含一个未知量，所以只有一个解。
一阶非齐次线性方程经常被用来解决多种数学方法的计算问题，而且调用起来也可以比较快捷，提高计算效率。
例如该方程可以用来确定特定的上涨速度，根据实际数据设定方向下降点，便可着手处理复杂的优化问题。
此外，一阶非齐次线性方程的求解过程也相对简单，只要将所有的参数封装入恰当的初始值中，可求得该方程的解，从而通过指定精确的值来完成解决这一复杂计算问题。
可见，一阶非齐次线性方程在互联网行业有着重要的应用价值，它能够快速解决各种复杂的计算问题，并对对网络安全也起着重要作用。
因此，熟练掌握一阶非齐次线性方程，对于现代互联网行业来说，势在必行而易之。
如何求非齐次线性方程组Ab的通解
如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
怎么求非齐次线性方程组的通解法则
怎么求非齐次线性方程组的通解法则答：非齐次线性方程组Ax=b的求解方法：
1、对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；
2、求出导出组Ax=0的一个基础解系；
3、求非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。
（为简捷，可令自由变量全为0）
4、按解的结构ξ（特解）+k1a1+k2a2+…+krar（基础解系）写出通解。
注意：当方程组中含有参数时，分析讨论要严谨不要丢情况，此时的特解往往比较繁。
扩展资料：
对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
设
R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有，即不一定有解。
线性代数非齐次方程求解
解系中所含向量个数必为 n (未知数个数) - R(A).
（2） 若AX = 0有非零解，则必有无穷多个解.
返回
6. AX = 0的解法（四步） (1) A 行 行阶梯 R(A)< n 简化行阶梯（继续以下三步）
R(A)= n
1 0 0
2 0 0
4 0 10
1 0 3
1 2 4 1 0 0 10 3
0 0 0 0
1 2 4
1
1
2
0
1 5
0
0
1
3 10
0
0
1
3 10
0 0 0 0 0 0 0 0
返回
(2)
得同解方程组
x1
x3
2x2
1 5
3 10
x4
x4
(x2, x4为自由未知量)
(3) 基础解系为
未知数个数.（具体举例说明）
返回
例1 求方程组的基础解系
32xx11
x2 2x3 2x2 x3
3x4 2x4
0 0
x1 x2 x3 x4 0
解:
2 1 2 3
0 1 4 5
(1)
A
3
1
2 1
1 1
2
1
2r3 r1
3r3 r2
0
1
1 1
4 1
5
1
0 0 0 0
(x3, x4为自由未知量)
(3) 求基础解系（对自由未知量取值）
3
（求得两个解）
1
4
,
1
0
4
2
一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\)其中\(P(x)\)和\(Q(x)\)是给定的函数。
要求这个方程的通解，我们可以使用常数变易法。
常数变易法是利用常数的变化，将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程的一种方法。
首先，我们考虑齐次线性微分方程：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y=0\)这个方程的通解为：\(y_h=Ce^{-\int P(x)dx}\)其中\(C\)是常数。
接下来，我们设非齐次线性微分方程的解为：\(y=y_hu(x)\)其中\(u(x)\)是待定函数。
将上面的解代入原方程中，可以得到：\(\frac{dy}{dx}+P(x)y_hu(x)=Q(x)\)使用乘积法则展开，我们可以得到：\((y_hu(x))'+P(x)y_hu(x)=Q(x)\)对上式两边进行整理和化简，可得到：\(y_hu'(x)+y_hu(x)P(x)+y_h'_{h}(x)u(x)+P(x)y_hu(x)=Q(x)\)由于\(y_h=Ce^{-\int P(x)dx}\)是齐次方程的解，所以有\(y_h'_{h}(x)+P(x)y_h=0\)，代入上式，可以消去\(y_h'_{h}(x)u(x)+P(x)y_hu(x)\)这一项。
得到：\(y_hu'(x)=Q(x)\)将上式两边除以\(y_h\)，可得到：\(\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{Q(x)}{y_h}\)对上式两边进行积分，可得到：\(\ln，u(x)，=\int \frac{Q(x)}{y_h}dx\)解这个方程，可以得到\(u(x)\)的表达式。
最后，将我们得到的\(y=y_hu(x)\)代入到非齐次线性微分方程中，即可得到方程的通解。
总结起来，一阶非齐次线性微分方程的通解的求解步骤如下：1.求解对应的齐次方程，得到\(y_h\)的表达式。
非齐次线性方程组
kn-r n-r 0
k n可取任意常数.
(Spring 16ppt) 7
例
x1 1 3 4 5 2 x2 2 1 1 1 x 1 3 1 2 3 3 4 x 4
2019年3月26日星期二 (Spring 16ppt) 8
练习
0 1 2 2 1 3 4 2 1. 设 A , 2 1 1 0
5 b 6 , 求 Ax b 的通解． 4
解
0 5 4 3 1 2 2 1 0 2 行 0 1 A b 1 3 4 2 6 2 2 1 2 4 0 0 0 1 1 0 0 0
以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（2.18）等价.
2019年3月26日星期二
(Spring 16ppt)
17
另一方面,若向量b能由向量组1 , 2 ,
, n线性表示, 那
么在增广矩阵B中,最后一列的向量组可以表示为系数 矩阵A的列向量组的线性组合,所以,矩阵A与矩阵B的秩 相等,即R(A)=R(B).
例
x1 2 x2 x3 x4 2 解方程组 2 x1 x2 x3 3x4 1 4 x 3x x x 3 2 3 4 1
2 1 2 1 1 2 r 2 r 1 2 1 1 r32 4 r11 B 2 1 1 3 1 0 5 3 5 5 4 3 1 1 3 0 5 3 5 5
反之, 若R( A) R( B) r 0, 那么,向量组1 , 2 , 与向量组1 , 2 , , n , b有相同的秩, 若1 , 2 ,
3.5 非齐次线性方程组
2 x1 x2 x3 1 a 1时，方程组为 x1 x2 x3 2 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
不再是含参数 的方程组了。
4 2 x1 5 x2 x3 1 4 a 时，方程组为 4 x x x 2 1 2 3 5 5 4 x1 5 x2 5 x3 1
x1 x2 x4 1/ 2 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4 1 / 2
令x2 x4 0得一个特解为
X 0 (1/ 2, 0,1/ 2, 0)T
第3步：写出导出组的一般解，求得一个基础解系。 导出组的一般解为
x1 x2 x4 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
秩(C, d) 秩(C)
秩( A, b)
秩( A)
二、非齐次线性方程组的解的结构 1. 解的性质
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A 1 1 1 3 1 0 0 2 4 1 1 1 2 3 0 0 1 2
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
10第十次课 非齐次线性方程组教程
有无穷多解 R A R A n ( b 能被1 , , n 线性表示,且表示形式不唯一)
2018年10月6日星期六 3
三、AX=b 解的性质
性质 1：1 ,2 是 AX b的解，
(P109性质4.2.1)
则1 2 是对应的 AX 0的解
化、判、化、扩 例5
问 a , b 为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x 2 2 x 3 2 x4 1 x 2 a 3 x 3 2 x4 b 3 x1 2 x2 x3 ax4 1
1>：无解；2>：存在唯一解； 3>：有无穷多解，并求其通解。
例1
1 2 3 1 1 增广矩阵A A b 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 因为R A 2 R A 3 0 0 0 0 2 所以方程组无解
+
基础解系
化、判、化、扩
2018年10月6日星期六
11
化、判、化、扩 例3 (P110例4.2.1) 求解方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3 x4 2 x x 2 x 3 x 1 2 3 4 1
2018年10月6日星期六
理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念 掌握用行初等变换求方程组通解的方法 重 点
线性方程组解的判定定理及通解的求解 难 点 线性方程组解的结构的论证
b1 a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 一、形式 b a x a x a x b 2 21 1 22 2 2n n 2b 1、一般形式： bm a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 a1n a11 a12 x AX b a 2、矩阵形式： a22 a2 n 2 21 X A 3、向量形式： x1 amn xn x am 1 am 2 2 1 , 2 , , n x11 x22 xnn b 1 2 n 2 2018年10月6日星期六 x n
第十七讲线性方程组的通解
2 x3
所以方程组的通解为
x1 1 1
x2
c
2
1
x3 1 0
( c为任意实数）
9
二、齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
11
例4. 求解齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 x4 0 2 x1 x2 2x3 2x4 0
.
x1 x2 4x3 3x4 0
解：对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 A 2
1
2 1 1
2 2 4
1 2 3
1 2
有解，
2 x1 2 x3
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
2 2
5 3 4
r2
(3)
0
0
0
3 0
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
Hale Waihona Puke 2 2x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
线性代数-非齐次线性方程组
2 2 1 3
1 1 2 ~ 0 1 1 2 2 2 3 0 0 2 1 1 1 0 1 0 0
1
1 2
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
Ax b
A 系数矩阵
b=0,齐次线性方程组 b≠0,非齐次线性方程组
A ( A | b)
增广矩阵
一、非齐次线性方程组有解的判定条件
如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
与 Ax 0一定有解不同，非齐次 线性方程 组
Ax b (b 0) 不一定有解，而是有
c 为任意实数.
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
(1) r ( A) r ( A ) 方程组无解 .
(2) r ( A) r ( A ) n 方程组有唯一解；
(3) r ( A) r ( A ) < n 方程组有无穷多解；
而且通解中有n-r(A)个任意常数. 结论：两方程组同解，则系数矩阵的秩相同
对应同解方程组
所以方程组的通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x c1 0 c2 2 1 2 . (其中c1 , c2 R) 3 0 1 0 x 4
常系数非齐次方程的通解
常系数非齐次方程的通解
我们要找出一个常系数非齐次方程的通解。
首先，我们需要理解什么是常系数非齐次方程。
常系数非齐次方程的一般形式是：
y'' + py' + qy = f(x)
其中，p 和 q 是常数，f(x) 是非齐次项。
为了找到这个方程的通解，我们可以使用常数变易法。
首先，我们解对应的齐次方程 y'' + py' + qy = 0，得到其通解 Y(x)。
然后，我们用常数变易法，将Y(x) 中的每一项都乘以一个待定的函数u(x)，得到新的方程。
这个新的方程的解就是原方程的通解。
现在我们要来解这个方程，找出其通解。
计算结果为：y = C1exp(-px/2) + C2exp(px/2) + (1/(2p))(exp(-
px/2)∫f(x)exp(px/2)dx + exp(px/2)∫f(x)exp(-px/2)dx)
所以，常系数非齐次方程的通解为：y = C1exp(-px/2) + C2exp(px/2) + (1/(2p))(exp(-px/2)∫f(x)exp(px/2)dx + exp(px/2)∫f(x)exp(-px/2)dx)。
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如何求非齐次线性方程
组a x b的通解修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解?
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。