解题技巧专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一 三角形中利用面积法求高

1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013

cm

2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．

◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( ) A ．48cm 2 B ．24cm 2 C ．16cm 2 D ．11cm 2

4．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( ) A ．7cm B ．10cm C ．(5＋37)cm D ．12cm

5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

◆类型三 巧妙利用割补法求面积

6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】

◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积

8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.

9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．

参考答案与解析

1．D

2.

3

5

5 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴1

2×5h

＝32，∴h ＝355.故答案为35

5

.

3．D 4.D 5.C 6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝1

2×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形ABCD

＝S △ABC ＋S △CAD ＝12AB ·BC ＋12AD ·CE ＝12×5×12＋12

×10×12＝90.

7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE ＝2AB ＝8.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝4 3.∵∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°，

∴CE ＝2CD ＝4.在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝2 3.∴S 四边形ABCD

＝S △ABE －S △CDE ＝12AB ·BE －12CD ·DE ＝12×4×43－1

2×2×23＝6 3.

8．81

9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF ＝90°.又∵∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∴∠OBF ＝∠ACB .在△ACB 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠BAC ＝∠FOB ，∠ACB ＝∠OBF ，BC ＝FB ，∴△ACB ≌△OBF (AAS)．同理：

△ACB ≌△PGC ≌△LFG ≌△OBF ，∴KO ＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，∴KL ＝3＋3＋4

＝10，LM ＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ ＝KL ·ML ＝10×11＝110.